射洪中学高2024级高二上期第一次月考数学答案_2025年10月高二试卷_251027四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高二上学期10月月考试题（全）

射洪中学高 2024 级高二上期第一次月考数学答案 一、选择题 1-5 CABDD 6-8 AAC 二、多选题 9.AD 10.AD 11.AC     10.【详解】若l∥α，则a⊥b，即有a⋅b=0，即-2m+n+3=0，即有2m-n=3，故A正确，C错误；     若l⊥α，则a∥b，即有b=λa，可得-2=λm,n=λ,1=3λ， 1 1 解得λ= ,m=-6,n= ，则mn+2=-2+2=0，故B错误，D正确.故选：AD. 3 3 11.【详解】对于A，若N⊆M，则PM∪N  =PM  1 = ，A正确； 3 对于B，若M∩N=∅，则M,N事件互斥， 所以PM+N  =PM  +PN  1 1 1 = + = ，B错误； 3 6 2 C选项，因为PM  1 = ,PN 3  1 = ，所以PM∩N 6  1 = =PM 18  PN  ，则M,N相互独立，C正确；    D选项，若M,N相互独立，则M,N 相互独立，且PM   1 2 =1- = ,PN 3 3  1 5 =1- = ， 6 6   所以PM∪N   =PM   +PN   -PMN  2 5 2 5 17 = + - × = ，D错误． 3 6 3 6 18 故选：AC． 三、填空题 1 12.0.7 13. - 或-0.25 14. ①②④ 4 13.【详解】在平行六面体ABCD-ABCD 中，AA =AD=AB=1，∠AAD=∠AAB=∠BAD=60°， 1 1 1 1 1 1 1       1 1 AA ⋅AB=AA ⋅AD=AB⋅AD=1×1× = ，M为BD 的中点， 1 1 2 2 1 1       1 CM =CC +CM =AA + CB +CD 1 1 1 2 1 1 1 1     1 =AA - AD+AB 1 2  ，            1 1 所以CM ⋅AD= (2AA -AD-AB)⋅AD= (2AA ⋅AD-AD2-AB⋅AD) 2 1 2 1 1 1 1 = 2× -1- 2 2 2  1 1 =- . 故答案为：- 4 4 14.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A1,1,0  ，B0,1,0  ，C0,0,0  ， 2 因为E,F在B 1 D 1 上，且EF= 2 ，故可设Et,1-t,1  1 3 ，Ft- , -t,1 2 2  1 ， ≤t≤1， 2  所以AE=t-1,-t,1   1 3 ，CF=t- , -t,1 2 2  . 对于①，连接BD,AD,AB ，平面EFB即为平面BDDB ， 1 1 1 1 而平面AEF即为平面ABD ， 1 1 故当E向D 运动时，二面角A-EF-B的大小不变，①对； 1  对于②，设平面ABE的法向量为m=x,y,z  ，  又AB=-1,0,0  -x=0, ，所以 t-1  x+-t    y+z=0, 高二上期第一次月考答案 第1页 共4页 取y=1，则x=0,z=t，所以m=0,1,t  是平面ABE的一个法向量，  又平面ABC的一个法向量为n=0,0,1    t ，所以cos= ， 1× t2+1 t 1 设二面角E-AB-C的平面角为θ，则θ为锐角，故cosθ= = ， t2+1 1 1+ t2 1 1 5 2 因为 ≤t≤1，故 2≤ 1+ ≤ 5，所以 ≤cosθ≤ ， 2 t2 5 2 2 当且仅当t=1时cosθ取最大值 ，此时θ取最小值45°，②对； 2   1 对于③，因为AE⋅CF=t- 2  t-1  3 + -t 2  ⋅-t  3 +1=2t2-3t+ ， 2   故AE⋅CF不恒为零，③错；     2 1 对于④，因为EF= ，DB = 2，所以EF= DB ，故EF在CB方向上的投影向量为 2 1 1 2 1 1   EF⋅CB  CB   CB ⋅  CB    1 DB ⋅CB 2 1 1 =  CB    1  DB⋅CB 2 ⋅CB=  2 CB  1  × 2×1×cos45°   2 1 ⋅CB= ⋅CB= CB，④对. 2 12 2 故选：①②④. 四、解答题  15.【解析】(1)因为向量a=1,2,2   ，b=-2,1,-1  ，   所以a·b=1×-2  +2×1+2×-1  =-2.4分 2    cosa,b    a·b =  a   ×b  -2 = 1+4+4× -2  2+12+-1  -2 6 = =- 8分 2 3 6 9 3    因为2a-b=21,2,2  --2,1,-1  =4,3,5  ，11分   所以2a-b  = 42+32+52=5 2.13分  16.【解析】(1)因为|c|=2 2,所以 x2+22+22=2 2⇒x=0.3分   且ka+b=(-2k-1,1-k,2k+2).    因为向量ka+b与c垂直,    所以(ka+b)⋅c=0. 5分 即2k+6=0. 所以实数x和k的值分别为0和-3. 7分       (2)因为向量c与向量a，b共面,所以设c=λa+μb(λ,μ∈R). 因为(x,2,2)=λ(-2,-1,2)+μ(-1,1,2), 1 x=- , x=-2λ-μ,  2   1 2=μ-λ, 所以  λ=- 2 , 2=2λ+2μ,   μ= 3 . 2 1 所以实数x的值为- .15分 2 高二上期第一次月考答案 第2页 共4页17.【解析】1  400.0005+0.0020×2+2a+0.0060+0.0065  =1， 解得a=0.0040；4分 2  200,240  和240,280  的频率之比为0.0040:0.0020=2:1，5分 故选取的6人中观看时长在200,240  2 的人数为6× =4，设为A,B,C,D， 2+1 观看时长在240,280  1 的人数为6× =2，设为a,b，7分 2+1 则抽取的2人有以下情况，A,B  ,A,C  ,A,D  ,A,a  ,A,b  ， B,C  ,B,D  ,B,a  ,B,b  ,C,D  ,C,a  ,C,b  ,D,a  ,D,b  ,a,b  ，共15种情况， 其中抽取的2人恰好观看时长在200,240  的有A,B  ,A,C  ,A,D  ,B,C  ,B,D  ,C,D  ， 共6种情况，13分 故抽取的2人恰好观看时长在200,240  6 2 的概率为 = .15分 15 5 18.【解析】(1)证：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)， N(4，2，4)，E0,2,4  ,F2,4,4  ,D0,0,0  2分   ∴MN =(2，2，0)，AM =(-2，0，4)，   ∴DE=(0，2，4)，DB=(4，4，0)，  设n 1 =x 1 ,y 1 ,z 1   是平面AMN的法向量，设n 2 =x 2 ,y 2 ,z 2  是平面EFBD的法向量，  则   n  1  ·A  M=-2x 1 +4z 1 =0, 解得   x 1 =2z 1 , n·MN=2x +2y =0, y =-2z. 1 1 1 1 1  取z 1 =1，则x 1 =2，y 1 =-2，得n 1 =2,-2,1  是平面AMN的一个法向量.4分  x =-y , 则   n  2 ·D  E=-2y 2 +4z 2 =0, 解得   2 1 2 n ·DF=4x +4y =0, z = y . 2 2 2 2 2 2  取y 2 =2，则x 2 =-2，z 2 =1，得n 2 =2,-2,1  是平面EFBD的一个法向量. 6分  ∴n 1 =2,-2,1   =n 2 =2,-2,1  ∴平面AMN∥平面EFBD. 8分 (2)由(1)知平面AMN∥平面EFBD， ∴平面AMN与平面EFBD的距离等于点A到平面EFBD的距离  ∵A(4，0，0)，B(4，4，0),∴AB=(0，4，0)，9分  又∵n 2 =2,-2,1  是平面EFBD的一个法向量   |AB·n | 8 ∴平面AMN与平面EFBD的距离d= 2 = .12分  3 |n | 2 8 （3）由(2)知点A到平面EFBD的距离为d= 13分 3 ∵EF=0.5AC,∴梯形EFBD为等腰梯形 1 ∴S= 4 2+2 2 2  ×3 2=18, 1 V = S ⋅d=1617分 A-EFBD 3 梯形EFBD 高二上期第一次月考答案 第3页 共4页19.【解析】(1)取D为原点，DA所在直线为x轴，过点D且平行于直线AB的直线为y轴，DE所在直线为 z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，E0,0, 3  ，F-1,2, 3  ，  ∴BE=-1,-2, 3   ，AB=(0,2,0)，  设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z)， -x-2y+ 3z=0 ∴ . 2y=0  不妨设x= 3,y=0，则z=1，∴n= 3,0,1  .  又∵DF=-1,2, 3    ，∴DF⋅n=- 3+ 3=0，   ∴DF⊥n. 又∵DF⊄平面ABE， ∴DE⎳平面ABE；4分  (2)BE=-1,-2, 3   ，BF=-2,0, 3   设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z)， -x-2y+ 3z=0 ∴ -2x+ 3z=0  不妨设x=2 3，则y= 3，z=4，∴m=2 3, 3,4  .       设向量m与n的夹角为θ，则m⋅n=|m|⋅|n|⋅cosθ， 3×2 3+0× 3+1×4 ∴cosθ= 2 3  2+ 3  2+42⋅  3  5 = ， 2+02+12 31 6 186 ∴sinθ= = . 31 31 186 ∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为 ；9分 31   (3)设DP=λDF=λ-1,2, 3  =-λ,2λ, 3λ  ,λ∈0,1  ， 则P-λ,2λ, 3λ   ，所以BP=-λ-1,2λ-2, 3λ  ，  又平面ABE的一个法向量为n= 3,0,1  ， 即直线BP与平面ABE所成角为α，   则sinα=cos    BP⋅n =  BP   ×n    3-λ-1 =   + 3λ  -λ-1  2+2λ-2  2+ 3λ  3 = ， 2×2 4 1 1 整理得8λ2-6λ+1=0，解得λ= 或λ= ， 2 4  1 3 3 当λ= 时，BP=- ,-1, 2 2 2   ，则BP  =2；  1 5 3 3 当λ= 时，BP=- ,- , 4 4 2 4   ，则BP  =2；  综上BP  3 =2，即在线段DF上存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为 ，此时线段 4 BP的长为2.17分 高二上期第一次月考答案 第4页 共4页