射洪中学高2024级高二上期第一次月考数学答案_2025年10月高二试卷_251027四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高二上学期10月月考试题（全）

射洪中学高 2024 级高二上期第一次月考数学答案
一、选择题 1-5 CABDD 6-8 AAC
二、多选题 9.AD 10.AD 11.AC
   
10.【详解】若l∥α，则a⊥b，即有a⋅b=0，即-2m+n+3=0，即有2m-n=3，故A正确，C错误；
   
若l⊥α，则a∥b，即有b=λa，可得-2=λm,n=λ,1=3λ，
1 1
解得λ= ,m=-6,n= ，则mn+2=-2+2=0，故B错误，D正确.故选：AD.
3 3
11.【详解】对于A，若N⊆M，则PM∪N  =PM 
1
= ，A正确；
3
对于B，若M∩N=∅，则M,N事件互斥，
所以PM+N  =PM  +PN 
1 1 1
= + = ，B错误；
3 6 2
C选项，因为PM 
1
= ,PN
3

1
= ，所以PM∩N
6

1
= =PM
18
 PN  ，则M,N相互独立，C正确；
  
D选项，若M,N相互独立，则M,N 相互独立，且PM 

1 2
=1- = ,PN
3 3

1 5
=1- = ，
6 6
 
所以PM∪N 

=PM 

+PN 

-PMN 
2 5 2 5 17
= + - × = ，D错误．
3 6 3 6 18
故选：AC．
三、填空题
1
12.0.7 13. - 或-0.25 14. ①②④
4
13.【详解】在平行六面体ABCD-ABCD 中，AA =AD=AB=1，∠AAD=∠AAB=∠BAD=60°，
1 1 1 1 1 1 1
     
1 1
AA ⋅AB=AA ⋅AD=AB⋅AD=1×1× = ，M为BD 的中点，
1 1 2 2 1 1
     
1
CM =CC +CM =AA + CB +CD
1 1 1 2 1 1 1 1

  
1
=AA - AD+AB
1 2
 ，
          
1 1
所以CM ⋅AD= (2AA -AD-AB)⋅AD= (2AA ⋅AD-AD2-AB⋅AD)
2 1 2 1
1 1 1
= 2× -1-
2 2 2

1 1
=- . 故答案为：-
4 4
14.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A1,1,0  ，B0,1,0  ，C0,0,0  ，
2
因为E,F在B 1 D 1 上，且EF= 2 ，故可设Et,1-t,1 
1 3
，Ft- , -t,1 2 2 
1
， ≤t≤1， 2

所以AE=t-1,-t,1 

1 3
，CF=t- , -t,1
2 2
 .
对于①，连接BD,AD,AB ，平面EFB即为平面BDDB ，
1 1 1 1
而平面AEF即为平面ABD ，
1 1
故当E向D 运动时，二面角A-EF-B的大小不变，①对；
1

对于②，设平面ABE的法向量为m=x,y,z  ，

又AB=-1,0,0 
-x=0,
，所以
t-1  x+-t 


y+z=0,
高二上期第一次月考答案 第1页 共4页
取y=1，则x=0,z=t，所以m=0,1,t  是平面ABE的一个法向量，

又平面ABC的一个法向量为n=0,0,1 
  t
，所以cos<m,n>= ，
1× t2+1
t 1
设二面角E-AB-C的平面角为θ，则θ为锐角，故cosθ= = ，
t2+1 1
1+
t2
1 1 5 2
因为 ≤t≤1，故 2≤ 1+ ≤ 5，所以 ≤cosθ≤ ，
2 t2 5 2
2
当且仅当t=1时cosθ取最大值 ，此时θ取最小值45°，②对；
2
 
1
对于③，因为AE⋅CF=t-
2
 t-1 
3
+ -t
2
 ⋅-t 
3
+1=2t2-3t+ ，
2
 
故AE⋅CF不恒为零，③错；
   
2 1
对于④，因为EF= ，DB = 2，所以EF= DB ，故EF在CB方向上的投影向量为
2 1 1 2 1 1
 
EF⋅CB

CB 

CB
⋅ 
CB 
 
1
DB ⋅CB 2 1 1
= 
CB 
 
1
 DB⋅CB 2
⋅CB= 
2 CB 
1
 × 2×1×cos45°   2 1
⋅CB= ⋅CB= CB，④对.
2 12 2
故选：①②④.
四、解答题

15.【解析】(1)因为向量a=1,2,2 

，b=-2,1,-1  ，
 
所以a·b=1×-2  +2×1+2×-1  =-2.4分
2 
 
cosa,b 
 
a·b
=  a   ×b 
-2
= 1+4+4× -2  2+12+-1 
-2 6
= =- 8分 2 3 6 9
3 
 
因为2a-b=21,2,2  --2,1,-1  =4,3,5  ，11分
 
所以2a-b  = 42+32+52=5 2.13分

16.【解析】(1)因为|c|=2 2,所以 x2+22+22=2 2⇒x=0.3分
 
且ka+b=(-2k-1,1-k,2k+2).
  
因为向量ka+b与c垂直,
  
所以(ka+b)⋅c=0. 5分
即2k+6=0.
所以实数x和k的值分别为0和-3. 7分
     
(2)因为向量c与向量a，b共面,所以设c=λa+μb(λ,μ∈R).
因为(x,2,2)=λ(-2,-1,2)+μ(-1,1,2),
1
x=- ,
x=-2λ-μ,  2
 
1
2=μ-λ, 所以

λ=-
2
,
2=2λ+2μ,   μ= 3 .
2
1
所以实数x的值为- .15分
2
高二上期第一次月考答案 第2页 共4页17.【解析】1  400.0005+0.0020×2+2a+0.0060+0.0065  =1，
解得a=0.0040；4分
2  200,240  和240,280  的频率之比为0.0040:0.0020=2:1，5分
故选取的6人中观看时长在200,240 
2
的人数为6× =4，设为A,B,C,D，
2+1
观看时长在240,280 
1
的人数为6× =2，设为a,b，7分
2+1
则抽取的2人有以下情况，A,B  ,A,C  ,A,D  ,A,a  ,A,b  ，
B,C  ,B,D  ,B,a  ,B,b  ,C,D  ,C,a  ,C,b  ,D,a  ,D,b  ,a,b  ，共15种情况，
其中抽取的2人恰好观看时长在200,240  的有A,B  ,A,C  ,A,D  ,B,C  ,B,D  ,C,D  ，
共6种情况，13分
故抽取的2人恰好观看时长在200,240 
6 2
的概率为 = .15分
15 5
18.【解析】(1)证：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，
N(4，2，4)，E0,2,4  ,F2,4,4  ,D0,0,0  2分
 
∴MN =(2，2，0)，AM =(-2，0，4)，
 
∴DE=(0，2，4)，DB=(4，4，0)，

设n 1 =x 1 ,y 1 ,z 1 

是平面AMN的法向量，设n 2 =x 2 ,y 2 ,z 2  是平面EFBD的法向量，

则   n  1  ·A  M=-2x 1 +4z 1 =0, 解得   x 1 =2z 1 ,
n·MN=2x +2y =0, y =-2z.
1 1 1 1 1

取z 1 =1，则x 1 =2，y 1 =-2，得n 1 =2,-2,1  是平面AMN的一个法向量.4分

x =-y ,
则   n  2 ·D  E=-2y 2 +4z 2 =0, 解得   2 1 2
n ·DF=4x +4y =0, z = y .
2 2 2 2 2 2

取y 2 =2，则x 2 =-2，z 2 =1，得n 2 =2,-2,1  是平面EFBD的一个法向量. 6分

∴n 1 =2,-2,1 

=n 2 =2,-2,1 
∴平面AMN∥平面EFBD. 8分
(2)由(1)知平面AMN∥平面EFBD，
∴平面AMN与平面EFBD的距离等于点A到平面EFBD的距离

∵A(4，0，0)，B(4，4，0),∴AB=(0，4，0)，9分

又∵n 2 =2,-2,1  是平面EFBD的一个法向量


|AB·n | 8
∴平面AMN与平面EFBD的距离d= 2 = .12分
 3
|n |
2
8
（3）由(2)知点A到平面EFBD的距离为d= 13分
3
∵EF=0.5AC,∴梯形EFBD为等腰梯形
1
∴S= 4 2+2 2
2
 ×3 2=18,
1
V = S ⋅d=1617分
A-EFBD 3 梯形EFBD
高二上期第一次月考答案 第3页 共4页19.【解析】(1)取D为原点，DA所在直线为x轴，过点D且平行于直线AB的直线为y轴，DE所在直线为
z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，E0,0, 3  ，F-1,2, 3  ，

∴BE=-1,-2, 3 

，AB=(0,2,0)，

设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z)，
-x-2y+ 3z=0
∴ .
2y=0

不妨设x= 3,y=0，则z=1，∴n= 3,0,1  .

又∵DF=-1,2, 3 


，∴DF⋅n=- 3+ 3=0，


∴DF⊥n.
又∵DF⊄平面ABE，
∴DE⎳平面ABE；4分

(2)BE=-1,-2, 3 

，BF=-2,0, 3 

设平面BEF的一个法向量为m=(x,y,z)，
-x-2y+ 3z=0
∴
-2x+ 3z=0

不妨设x=2 3，则y= 3，z=4，∴m=2 3, 3,4  .
     
设向量m与n的夹角为θ，则m⋅n=|m|⋅|n|⋅cosθ，
3×2 3+0× 3+1×4
∴cosθ=
2 3  2+ 3  2+42⋅  3 
5
= ，
2+02+12 31
6 186
∴sinθ= = .
31 31
186
∴平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值为 ；9分
31
 
(3)设DP=λDF=λ-1,2, 3  =-λ,2λ, 3λ  ,λ∈0,1  ，
则P-λ,2λ, 3λ 

，所以BP=-λ-1,2λ-2, 3λ  ，

又平面ABE的一个法向量为n= 3,0,1  ，
即直线BP与平面ABE所成角为α，
 
则sinα=cos<BP,n> 


BP⋅n
= 
BP   ×n 
  3-λ-1
=
  + 3λ 
-λ-1  2+2λ-2  2+ 3λ 
3
= ，
2×2 4
1 1
整理得8λ2-6λ+1=0，解得λ= 或λ= ，
2 4

1 3 3
当λ= 时，BP=- ,-1,
2 2 2


，则BP  =2；

1 5 3 3
当λ= 时，BP=- ,- ,
4 4 2 4


，则BP  =2；

综上BP 
3
=2，即在线段DF上存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为 ，此时线段
4
BP的长为2.17分
高二上期第一次月考答案 第4页 共4页