甘肃省兰州市第四片区2024-2025学年高二下学期期中考试数学PDF版含答案_2024-2025高二（7-7月题库）_2025年05月试卷_0516甘肃省兰州市第四片区2024-2025学年高二下学期期中考试

2024-2025 学年第二学期期中考试 1 1
C.在(0, )上是减函数，在( ,1)上是增函数
e e
高二年级数学学科试卷 1 1
D.在(0, )上是增函数，在( ,1)上是减函数
e e
高二年级 数学 7．已知ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，则ABC的重心
一、单选题（本题共8 小题，每题 5分，共 40分） 坐标为 （ ）
1．若向量  p  在空间的一个单位正交基底  a  ,b  ,c  下的坐标是1,3,2，则  p  在基底 A．  6, 7 ,3   B．  4, 7 ,2   C．  8, 14 ,4   D．  2, 7 ,1  
 2   3   3   6 
    
 
ab,ab,c 下的坐标是 （ ）
8．已知函数y  xf (x)的图象如右图所示（其中 f (x)是函数 f(x)
A．4,2,2 B．2,1,2 C．2,1,2 D．1,3,2
的导函数）.下面四个图象中, y  f(x)的图象大致是 ( )
2．设A  3,2,1  ,B  1,0,5  ,C  0,2,1 ，AB 的中点为M，则|CM|= （ ）
A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 3 2
3．已知不共线向量 e ，e ， =e +2e ， =-5e+6e ， =7e -2e ，则一定共线的三个
1 2 1 2 1 2 1 2
点是 ( )
A.点A，B，D B.点A，B，C C.点B，C，D D.点A，C，D
4．设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则 的值为（ ） A. B. C. D.
AEAF
二、多选题（本题共 3 小题，每题6 分，共 18 分，全部选对得 6 分，部分选对得部
分分）
3 1 1
A． a2 B． a2 C．a2 D． a2
4 2 4 9.对于函数 ( )，若 '( 0 ) = 2，则当 无限趋近于 0 时，在下列式子中无限趋近于 2
的式子有（ ）
5．已知 ( ) = sin2 + 2 ，则
f(x)
( )
ℎ
A. ( 0+ ) ( 0 ) B. ( 0+ ) ( 0) C. ( 0+2 ) ( 0) D. ( 0+2 ) ( 0)
A.si  n2  + 2   B. cos2 + 2 2
ℎ−   −ℎ   ℎ−     ℎ−     ℎ−  
C.2sin2  +  2  2 D.2cos2  +  2  2 10．函数 2 f ℎ (x) ex1,x1 与 ℎ 函数g(x) xa图 ℎ 象有且仅有一个交点， ℎ 则实数a可

ln(x1),x1
6．函数 f(x  )  x  lnx在区间(0,1)上是   ( )
能取值是
A.单调增函数
B.单调减函数 A.2 B. 0 C.1 D.3
高二数学第1页，共2页
{#{QQABbQwl4wgYgAQACB7aAwW2C0kQsIIQLQoOwQCauAxCQBFABCA=}#}11．如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ，其中，以顶点A 为端点的 17．（15分）已知空间中三点 (2,0, 2)， (1, 1, 2)， (3,0, 4)，设 = ， =
三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中错误的是（ ）
−  − −  −              
A．AC 6 （1）若| | = 3，且 // ，求向量 ;
1
B．AC BD             
1
C．向量

B

C

与

A

A

的夹角是60
（2）已知向量
+
与 互相垂直，求 的值;
1 1
D．BD 与AC所成角的余弦值为 6           
1 （3）求 的面积．
3
三、填空题（本题共3 小题，每题 5分，共 15分）
△   
12．已知 ， 若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围
2
是 a = (5,3,1) b = (−2,t,−5). a b t 18.（17分）如图，在直三棱柱
1 1 1
中， = = 1，
13．已知函数y  1 x3  x2 ax5,若函数在(,)上总是单调函数,则实数
a
的取 ∠ = 90 ， 1 = 2， ， 分   别  是 −  1  1 ，  1 的  中  点．  
3 ∘
（  1）   求 的长  ;       
值范围是 .
（2）求  c  os < ， >的值;
4 1 1
14．已知点P 在曲线y 上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范
ex1 （3）求证： 1       1   .
围是 .
⊥  
四、解答题（本题共5 小题，共计 77分）
15．（13分）求下列函数的导数：
1cosx 19．（17分）设函数 f(x)  axn(1 x)b(x  0)，n为正整数，a,b为常数．曲线y  f(x)
（1）（4分）y
x2
   在(1, f(1))处的切线方程为x y 1
（2）（4分） y  4x x ex 1
（１）求a,b的值
x x
（3）（5分） y  xsin cos
2 2
（２）求函数 f(x)的最大值
16.（15分）已知函数 f x
x2
a aR. 1
ex （３）证明： f(x)
ne
（1）若a 0，求函数 f x的极值；
（2）若函数 f x有三个零点，求实数a的取值范围.
高二数学第2页，共2页
{#{QQABbQwl4wgYgAQACB7aAwW2C0kQsIIQLQoOwQCauAxCQBFABCA=}#}2024-2025 学年第二学期期中考试
0,2上是增函数.
高二年级数学学科参考答案
当x2时， fx0，函数 f x在2,上是减函数.
一、单选题 得当x0时，函数 f x取得极小值0；当x2时，函数 f x取得极大值为 4 ...........7分
e2
1．C 2．A 3．A 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C
x2
（2）函数 f x有三个零点等价于函数gx 与函数ya的图像有三个公共点.由（1）可知：当
二、多选题
ex
x2
9．ABD 10．AB 11．ACD x时，gx，当x时，gx0，并且函数gx 的极小值为0，极大值为
ex
三、填空题 4
，函数图象如下所示：所以0a
4
.即实数a的取值范围是

0,
4 
...........15分
e2 e2  e2 
12．
17．解： ，由于 ，故可设c=(2n,n,-2n)，
13．a1
故|c|= 4n2+n2+4n2=3|n|=3，解得n= ±1，
解析：导函数0
故c为(2,1,-2)或(-2,-1,2)；........5分
3 
14．

,
 4  ，ka+b=(1-k,-k,-2)，
四、解答题 15．
由于ka+b与b垂直，(ka+b)·b=0，
则1-k+4=0,k=5；........10分
（1）
1cosx x21cosx  x2
xsinx2cosx2........4分
y 
x4 x3
（2）y  4xx  ex1    4xx  ex1    4xln41  ex1    4xx  ex
(3)依题意 ， ， ，
2+5-9 1
ex 4xln44xx1  4xln41 故由余弦定理得cosA= 2× 2× 5 = - 10 ， ，
........8分
所以sinA= 1-cos2A=3 10，
1 10
（3）y 1 cosx........13分
2
故三角形面积为 ．........15分
16．【解】（1）当a0时，函数 f x e x x 2 ，所以 f(x) 2xe  x e  x x 2 2ex  2x e  x x2  x(2 e  x x) ，令 fx0 18.解：(1)如图，以C为原点，分别以CA，CB，CC１ 为x，y，z轴，
解得：x0或x2..........3分 建立空间直角坐标系O-xyz，
当x0时， fx0，即函数 f x在,0上是减函数.当0x2时， fx0，函数 f x在
依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴|BN|= (1-0)2+(0-1)2+(1-0)2= 3．........5分(2)依题意得A (1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B (0,1,2)，
1 1
∴BA =(1,-1,2)，CB =(0,1,2)，
1 1
BA ·CB =3，|BA |= 6，|CB |= 5，
1 1 1 1
∴cos<BA ,CB >= BA1·CB1 = 30．........11分
1 1 | BA1 | · | CB1 | 10
(3)证明：依题意得C (0,0,2)，M( 1 , 1 ,2)， A B=(-1,1,-2)， C M=( 1 , 1 ,0)，
1 22 1 1 22
∴A B·C M= - 1 + 1 +0=0，
1 1 2 2
∴A B⊥C M．........17分
1 1
 f(1)  0 a 1
19．（１） ,  ........5分
f (1)  1 b0
n n nn
（２） f (x)  (n1)xn1(  x),最大值为 f( )  ........11分
n1 n1 (n1)n1
1 1
（ ３ ） 令 (t)  lnt 1 (t  0)， 利 用 导 数 证 (t)0(t 1)， 令 t 1 ， 再 证
t n
n1 1 nn 1
ln  ，即 f(x)   ........17分
n n1 (n1)n1 ne