文档内容
海南中学 2025 届高三年级第 2 次月考
数学试题
时间：120 分钟 总分：150 分
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上
无效。
第Ⅰ卷
一 、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一 项是符合题目要求的.
1.已知集合 M={x|2x-3>0},N={y|y= +1},则 ( )
A. B. C. D.
2.设 A 是 B 的充分不必要条件，C 是 B 的必要不充分条件，D 是 C 的充要条
件，则 D 是 A 的 ( ) 条件
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也
不必要条件
3. 函数 的图像是( )
A. B. C. D.
4.已知 a,b,c 满足 ,bln2=1, , 则 （ ）
A.a>b>c B.a>c>b C. b>c>a D.b>a>c
5. 若在用二分法寻找函数 （x>0）零点的过程中，依次确定了零点所在区
间为 则实数 a 和 b 分别等于( )
A. B. C. D.2025 届高三数学第 2 次月考(试题卷)第 1 页共 4 页6.在同一平面直角坐标系内，函数 y=f(x)及其导函数 y=f'(x)的图像如图所示，已知两
图像 有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1),则( )
A. 函数 y=f(x)+x 的最大值为 1 B. 函数 的最小值为 1
C.函 数 y= 的最大值为 1 D. 函数 的最小值为 1
7.已知椭圆 的左、右焦点分别为 是 C 上一点，且 PF₂⊥
H 是线段 上靠近 的四等分点，且 =0,则 C 的离心率为( )
,
B. C. D.
8.已知函数 有唯一零点，则 a 的值为( )
A.2 B. C.
D. -1
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多
项符合 题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.已知幂函数 （ ），下列关于 的结论正确的是（ ）
A.m,n 是奇数时，幂函数 f(x)是奇函数
B. m 是奇数，n 是偶数时，幂函数 f(x)是偶函教
C.m 是偶数，n 是奇数时，幂函数 f(x)是偶函数
D. 时，幂函数 f(x)在(0,+00)上是增函数
2025 届高三数学第 2 次月考(试题卷)第 2 页共 4 页10.已知函数 f(x)的定义为(-00,0),其导函数 f’(x)满足 xf'(x)-2f(x)>0,则下列不
等式
中正确的是( )
A.f(-2)<2f(-1) B.f(-2)>4f(-1)
C.f(-4)>4f(-2) D.f(-4)<4f(-2)
11.已知函数 f(x)= ,g(x)=x ²+ax(a∈R),h(x)= (k∈R), 给出下
列
四个命题，其中真命题为( )
存在实数 k,使得方程 f(x)=h(x)恰有两个
A.
根； 存在实数 k,使得方程|f(x)=h(x)恰有
B.
三个根；
C. 任意实数 a, 存在不相等的实数 x,x₂,使得 f(x)-f(x)=g(x₂)-g(x):
任意实数 a,存在不相等的实数 x,x ,使得 f(x)-f(x)=g(x)-
D. ₂
g(x ).
₂ 三。填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.若代数式 有意义，则 .
13.函数 y=f(x)的定义域为 R.若对满足 (t>0)的任意 ,均有 f(x ₂)-f(
)>t,则称函数 y=f(x)具有“P(t)性质”,已知 f(x)= ,且函数 y=f(x)具有 P(t)
性质，则实数 a 的取值范围为 .
14.已知抛物线 C:y ²=2px(p>0)的焦点为 F,A( ,y ),B(x ,y ),D( ,y )为抛物线
₁ ₂ ₂ ₃
C 上的任意
三点(异于坐标原点 O), ,且|FA|+|FB|+|FD|=6,若直
线 AB,AD,BD 的斜率分别为 , 则 p 的值为
四。解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或推算步骤。
15. (13 分)已知 a、b、c 分别是△ABC 三个内角 A、B、C 的对边，且
.
(1)求角 A;
(2)若 a= ,△ABC 的面积为 ，
求 b, c.2025 届高三数学第 2 次月考(试题卷)第 3 页共 4 页海南中学 2025 届第二次月考数学试题
16.(15 分)已知数列 是公差为 3 的等差数列，数列 满足
{an } {bn }
(1)求数列 , 的通项公式；
{an } {bn }
(2)求数列{ }的前 2n 项和 。
17. (15 分)已知 f(x)= , 。
(1)求曲线 y=g(x)在点(l,g(1))处的切线方程；
(2)讨论是否存在 a<0,使函数 h(x)=2f(x)-g(x)有极小值?并说明理由。
18.(17 分)已知函数 f(x)=
(1)若 a=2,求函数 f(x)
的定义域；
(2)若 a≠0,若 f(x)=a 有 2 个不同实数根，求实数 a 的取值范围；
(3)是否存在实数 a,使得函数 f(x) 在定义域内具有单调性?若存在，求出 a 的取值
范围.
19.(17 分)在平面内，若直线 l 将多边形分为两部分，多边形在 l 两侧的顶点到直线 l 的
距离
之和相等，则称 l 为多边形的一条“等线”。双曲线 E: 的左、右焦点分别
为 ,其离心率为 2,且点 P 为双曲线 E 右支上一动点，直线 m 与曲线 E 相切于点
P,
且与 E 的渐进线交于 A,B 两点，且点 A 在点 B 上方。当 ⊥x 轴时，直线 y=1 为△
的等线。已知双曲线 E ： 在其上一点 P( ) 处的切线方程为
。
(1)求双曲线 E 的方程；
(2)若 y=√2x 是四边形 的等线，求四边形 的面积；(3)已知 O 为坐标原点，设 , 点 G 的轨迹为曲线 ，证明： 在点 G 处的切线 n
为 △ 的等线。
2025 届高三数学第 2 次月考(试卷)第 4 页共 4 页海南中学 2025 届高三年级第 2 次月考
数学答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40
分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要
求的.
1.【答案】C 【详解】 ) ，
:M = {x 2x - 3 > 0} = (| , +∞ N = {y y > 1} = (1,
( ,
，因 故 A 项错误；由 ，知 B 项错
+∞) M ∩ N = M N = (1, +∞)
误；因 ，故 C 项正确, 由 项错误.
M ≤ N cM =
N
2.【答案】B【解析】由题意得 A ，B ，C ，D 间的关系
如图．故 D 是 A 的必要不充分条件.
3. 【答案】D
函数 f 在 上单调递增 且
= 3x2 + > 0 ， ，
f ( 1 ) = f (-1) = 0 。
因为 2 a = 3 ，b ln 2 = 1 ，3 c = 2 ，所以 a
， ，
= log 3 b = = log e
2 2
，因为 在定义域上单调递增，所以
c = log 2 < log 3 = 1 y = log x
3 3 2
log 3 > log e > log 2 = 1
2 2 2
a > b > 1 ，c < 1 ，所以a > b > c ，故选：A
所以
5.【答案】B【详解】由函数
= ex - = ex - 2 -
f (x) 在(1, +∞) 上为单调递增函
根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数
数， 所以函数f (x) 在(1, +∞) 至多有一个零点，又由依次确定了零点所在区间为
0
「 「4
-
[a, b],L | , b ,|L3 a, b ，可得 ，即 ，得a =6 ．【答案】B
【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在 x 轴
上方，任何一个为导函数，则另外一
个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为 ，实
y = f, (x)
线部分为 ，
y = f (x)
对于 A, 恒成立，故 在 R 上单调递
y, = f, (x)+1 > 0 y = f (x ) + x
增，则 A 显然错误，
2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 1 页 共 11 页对于 C, y, = f,(x).ex + f( x) .ex = ( f,( x) + f( x)) . ex > 0 恒成
立， 故y = f (x ). ex 在 R 上单调递增，则 C 显然错误，
对于 D ，y, = 由图像可知 ，y, = > 0 恒成立，
故
f
单调递增，当x ∈ , y, = < 0 ，y = 单调递减，
7所.以【函数答y 案= 】在Cx【 = 0解 处取析得】极大由值题，也意为最，大不值，妨 设点 = 1 ，P D 在错误第 B一 正确象.故限选：，B
如图.
因为 PF 丄 FF ，则 iPF i = ， = 2a - i HF i = i PF
2 1 2 2 1 1
= .
i
---→ ---→
因为OH . PF = 0 ，则 ，可知△PFF∽△OFH ，
OH 丄 PF
1 1 1 2 1
2 2
则 即 整理得 c2 - 2 2ac + a2 = 0 .
a
得e2 - 2 2e +1 = 0 ，解得 2 ±1（舍去 +1），
由
C 的离心率为 2 - 1.故答案为：C.
所以
8.【答案】A 【详解】f(x) = x 2 - 4x + a(e x-2 + e -x+2 ) =
(x - 2) 2 - 4 + a(e x-2 + e -x+2 )设t = x - 2 ，则f (t ) = t2 - 4 + a ( et + e -t )
定义域为R ，f (-t) = (-t)2 - 4 + a ( e -t + et ) = f (t )
所以f (t ) 为偶函数，所以f (x ) 的图像关于x =2 成轴对
要使f (x ) 有唯一零点，则只能f (2) = 0 ，即-4 + 2a = 0 ，解得a = 2 ，故答案为：2 .
2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 2 页 共 11 页二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18
分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有
选错的得 0 分.
A ，当 m ，n 是奇数时，f (x) 的定义域为R ，关于原点对称，
xn = -f 则幂函数f (x) 是奇函数 ， 故 A 中的结论正确；
对
对 B ，当 m 是奇数，n 是偶数时，f (x) 的定义域为R ，关于原点对称，
xn = f 则幂函数f (x) 是偶函数 ， 故 B 中的结论正确；
对 C ，当 m 是偶数，n 是奇数，幂函数f (x) 在x < 0 时无意义，故 C 中的结论错误；
对 1 0 D . 【 ，0 答 < 案 <1 】 时， B 幂 C 函 【 数f 详 (x) 解 在( 】 0, +∞ 由 ) 上 题 是增 意 函 知 数， ， 故 当 D 中 x 的 结 ∈ 论 ( 正 - 确 ∞ ； , 故 选 0 ) ： 时 AB ， D.
xf, ( x )- 2f ( x ) > 0 ，
所以 g(x)在(-∞, 0) 上单调递减，
- 4 < -2 → g → → f ； 选：BC.
11.【答案】ABC 【详解】画出 的函数图
f (x ) = ex - 2
象，如图：经过定点 2, 1 ，从图中可以看出存在实数
h (x ) = kx - 2k +1 ( ) f = h ( x ) 恰
k，使得方程
x
( ) 有两个
根；A 正确；
2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 3 页 共 11 页存在实数 k ，使得方程 f ( x ) = h ( x ) 恰有三个根，B 正
确；
要想对任意实数 a ，存在不相等的实数 ，使得 f x
x , x (
1 2 1
)-f ( x ) = g ( x )- g ( x ) ，即
2 2 1
f (x ) -f (x ) = - g (x ) - g (x ) ，只需 f ( x ) = e x - 2 与-g ( x ) =
1 2 1 2
-x 2 - ax ，无论 a 取何值，都
有两个交点，其中-g = -x 2 - ax = - 开口向
下，且有最大值为 且恒过 0, 0 ，画出两函数图象
( )
如下，其中-g = -x 2 - ax = - 为一组抛物线，
用虚线表
示：无论 a 取何值，都有两个交点，C 正确；
要想对任意实数 a ，存在不相等的实数 ，使得 f x
x , x (
1 2 1
)-f ( x ) = g ( x )- g ( x ) ，只需函数
2 1 2
f ( x ) = e x - 2 ，g ( x ) = x 2 + ax（ a ∈ R ）始终有两个交点，
当 a = 1 时，g = x 2 + x =
3
开口向上，且最小值为 ，此时图象如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数，显
4
然此时两函数只有一个交点，故 D 错误；
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.【答案】1x -1≥ 0
【解析】由题意得： 2 - x ≥ 0 ，解得：1 ≤ x ≤ 2 ，
{〔l
故
，故答案为：1 .
x 2 - 2x +1+ 4 (x - 2)4 = x -12+4(x - 2) = 4 | x - x 1 | - + 2 | |= x -1 + 2 - x = 1
( )
·
13.【答案】 【解析】由题意 ，
a > 4 x - x = 1, x = x +1
2 1 2 1
f(x ) -f(x ) = ax 3 - ax 3 = a(x +1)3 - ax 3 = a(3x 2 + 3x +1) > 1 恒成立，故有a > 0 时，
2 1 2 1 1 1 1 1
则
且x = - 取最小值 ，即有 > 1, a > 4 。
1
2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 4 页 共 11 页( p
)
14.【答案】2， 0 【解析】F 为 的重心， ，
△ABD F , 0
|( 2
,
所以x + x + x = , y + y + y = 0 ，
1 2 3 1 2 3
又 FA + FB + F = x + x + x + = 6 ，即p = 2 ，
1 2 3
因为y 2 = 4x ，y 2 = 4x ，两式相减,得：(y + y )(y - y ) = 4 (x - x ) ,
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
所以k = 同理可得k = , k =
AB BD AD
所以
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.公众号：高中试卷君
15 （13 分）【解析】（1）已知
. asin C -c cosA -c = 0 ，
3 sin Asin C -sin C cos A -sin C = 0 .
根据正弦定理，即为
因为在 △ABC 中， sin C > 0 ，所 c 以 os A- 1 3 s = i n , A
0
，因为0 < A < π , 0 < A - 所以A - = ，即A = ； ……6
即
3
2）解法一：由A = bc sin A = ，得bc = 2 .
（
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A ，
由余弦定理，得
因为 a = ， A = ， bc = 2 ， 所以2 = b2 + c2 - 2，b2 + c2 = 4 ，
又 bc = 2 ， 解得b = c = 或b = c = - （舍） ． 所以b = c = ……13 分
3
2）解法二：由A = bc sin A = ，得bc = 2 .
（
a2 = b2 + c2 - 2bc cosA = (b+ c)2 - 2bc - 2bc cosA，
由余弦定理，得
因为a = s2 ，A = ，bc = 2 ， 所以(b + c )2 - 2 × 2 - 2 × 2 cos = 2
，:b , c > 0 ， 有 b + c = 2 · ,
又 bc = 2 ， 解得b = c = · 或b = c = - v2 （舍） ． 所以b = c = · 。 ……13 分2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 5 页 共 11 页16.（15 分）
（1）设数列{a } 的公差为d , d = 3 ，
n
a b + b = nb 中，令n = 1 ，有a b + b = b ，代入b = 1, b = ，得a = 2 ，
n n+1 n+1 n 1 2 2 1 1 2 1
所 解 以 析 数列{a } 是首项为2 ，公差为3 的等差数列，通项公式为a = 2 + 3(n -1) = 3n -1；
n n
将a = 3n -1 代入a b + b = nb ，得3nb = nb , n ∈ N * ，故有
n n n+1 n+1 n n+1 n
1
因此{b } 是首项为1 ，公比为 3 的等比数列，
n
b = 1 × n-1 = n-1 。 ……8 分
n
（2）设c = (-1)n a = (-1)n (3n -1) ，
n n
n 为奇数时，c + c = (-1)n (3n -1) + (-1)n+1(3n + 2) = -(3n -1) + (3n + 2) = 3 ，
n n+1
: S = (c + c ) + (c + c ) +…… + (c + c ) + (b + b +…… + b )
2n 1 2 3 4 2n -1 2n 1 2 2n2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 6 页 共 11 页17.（15 分）
因为g ，所以g 定义域为
有g (1) = 0 ，且g ' (1) = 1 ，
所以曲线y = g (x) 在点(1, g(1)) 处的切线方程为y - 0 = 1.(x -1) ，即y = x -1 。 ……5 分
则h (x) 定义域为
令 = ln x
+1+ 2ax ，则m, + 2a ，
因为 a<0 ，所以令 + 2a = 0 得x = -
1
当0 < x < - 时，m' (x) > 0 ，m (x) 单调递
2 a
1
增， 当x > - 时，m' (x) < 0 ，m (x) 单调
2 a
递减，
所以当 取得最大值 + 1+ 2a
1
即a ≤ - 2 时，m (x)≤0 ，即h,(x) ≤ 0 恒成立，
所以h (x) 在(0,+∞) 单调递减，此时函数h (x)无极小值，舍去；
1
即- 2 < a < 0 时，
由于当x → 0 时，m (x) → -∞ , 当 x → +∞ 时，m (x) → -∞ ,
x (0, x 1 ) x 1 (x 1 , x 2 ) x 2 (x 2 , +∞)
h, (x) 0 + 0
- -
h (x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减m (x) = 0 有两个解，即h,(x) = 0 有两个解x，x ，且0 < x < - < x ，列表得
1 2 1 2
所以
所以存在 ，使得h 存在极小值h (x ) . ……15 分
1
2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 7 页 共 11 页18.（17 分）
当 a = 2 时 ，f |x+2|-2 - x ， 由| x + 2 | -2≥0 ， 得| x + 2
解析
1
| ≥2 ， 即x + 2 ≤ -2或x + 2≥ 2 解得x ≤ -4 或x ≥ 0 .
所以，函数的定义域为(-∞ , -4] U [10 ，+∞) ； ……4 分
（2）解法一
|x+a|-a = x + a ，
设x + a =t≥0 ，转化为 t - a = t 有两个不同实数根，整理得a = t - t2 ，t≥0 ，
所以， t≥0 ，
由二次函数的图象与性质，当且仅当0≤a < 时，方程有 2 个不同实数根，
4
又a ≠ 0 ，所以，a 的取值范围是(0, ) ； ……10 分
4
解法二 |x+a|-a = x + a 有解 ， 则有x + a ≥ 0 , x ≥ -a，| x + a |=
x + a ， 由f(x) = a → (x + a) - a = x + a → x = x + a(x ≥ 0且x ≥ -a ，a ≠ 0)
令t = x ，得 a = t - t2 = -
1
函数g 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为t = 2 ，函数零点为 0 和 1，
①a < 0 时，f(x) 的定义域为[-a,+∞) ，则t ≥ - a > 0 ，
由f(x)= a 有 2 个不同实数根，得a = g(t) 在[ - a，+ ∞) 上有 2 个不同实数根，
应有 不等式组无解，故舍去。
②a > 0 时，f(x) 的定义域为[0,+∞) ，则t ≥ 0 ，2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 8 页 共 11 页3） |x+a|-a - x 中 ， 有| x + a |≥ a ，
① a ≤ 0 时，| x + a |≥ a 恒成立，函数f(x) 的定义域为
易知x < -a 时，f(x) 在(-∞,-a) 上单调递减，
（
若存在实数a ，使得函数f(x) 在定义域内具有单调性，
应有x ≥ -a 时，f - x = - 在 上单调递减，
令t = x ，t = x 在[-a,+∞) 上单调递增，由复合函数同增异减，
得 在[ - a ,+∞) 上单调递
减， 故有 ，- a ≥ 即
② a > 0 时，| x + a |≥ a → x + a ≤ -a或x + a ≥ a → x ≤ -2a或x
≥ 0 ， 函数f(x) 的定义域为{x | x ≤ -2a或x ≥ 0}，
1
x ≥ 0 时，f - x = - 在[0, 4] 上单调递增，在 上单调递减，2025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 9 页 共 11 页19.（17 分）
2
中，令x = c ，解得y = ± ，
因为直线y = 1 为△PF F 的等线，显然点 P 在直线y = 1 的上方，故有P
1 2
又 ，有 -1 = 2, e = = 2, c2 = a2 + b2 ，
解得a = 1，b = 3 ，所以E 的方程为 ……4 分
（2）设P(x , y ) ，由题意有m 方程为x x -
0 0 0
= =
x , x
渐近线方程为 y = ± 3x ，联立得 A B
所以P 是线段 AB 的中点，因为F , F 到过原点O 的直线距离相
1 2
等， 则过原点O 点的等线必定满足:A, B 到该等线距离相等，
且分居两侧，所以该等线必过点P ，即OP 的方程为y = 2x ，
x
〔
x 3
( )
由 ，解得{
y 6
，故P 3, 6 .所以
= 1
l
1
所以y - y = 6 ，所以S = F F . y - y = 2 y - y = 12 . ……10 分
A B ABCD l 1 2 A B A B
22025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 10 页 共 11 页设G ，由 ，所以x = 3x, y = 3y ，
0 0
故曲线Γ 的方程为9x2 - 3y2 = 1(x > 0)
由（*）知切线为 n ，也为 = 1 ，即x x - ，即3x x - y y -1 = 0
0 0 0
易知 A 与F 在n 的右侧，F 在n 的左侧，分别记F , F , A 到n 的距离为d , d , d ，
2 1 1 2 1 2 3
x = ，
由（2）知 A
由 x ≥1 得d = = , d = =
0 1 2
d + d =
因为 ，
2 3
所以直线n 为△AF F 的等线 . ……17 分
1 22025 届高三数学第 2 次月考（试题卷）第 11 页 共 11 页
