文档内容
咸阳市实验中学 2025—2026 学年度第一学期第二次质量检测
高二数学
注意事项：
1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.
4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.
5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则实数
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面的位置关系可得法向量关系，根据坐标运算可求结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故选：D.
2. 若直线 与直线 平行，则 与 之间的距离是（ ）
A. 3 B. 1 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】先利用平行直线的判定可求出 ，再利用平行直线间的距离公式可得答案.
第1页/共24页
学科网（北京）股份有限公司【详解】对于 ：斜率 ，
对于 ：，斜率 ，
因为 ，所以 ，
即： ，
因此， 的方程为： ，即 ，
两条平行直线 之间的距离为：
.
故选：A
3. 已知定点 ， ，动点 满足 ，则动点 的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】题目条件符合椭圆的定义，求出 即可写出轨迹方程
【详解】结合椭圆定义可知，动点 的轨迹为以 ， 为焦点且长轴长为6的椭圆， ， ，所以
，动点 的轨迹方程为 .
故选：B
4. 如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨 长约500
第2页/共24页
学科网（北京）股份有限公司米，主塔 高约100米，缆悬索 是以 为顶点且开口向上的抛物线 的一部分，若 为抛物线 的
焦点，则主塔端点 到焦点 的距离约为（ ）
A. 1350米 B. 758米 C. 725米 D. 558米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，求出其准线方程，结合抛物线的定义即可求解.
【详解】以 为原点，直线 为 轴，过 且与主塔 平行的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
连接 ， ，则 ，
设抛物线 的方程为 ，
则 ，解得 ，
因此抛物线 的焦点为 ，
准线方程为 ，
利用抛物线的定义得： .
故选：C
第3页/共24页
学科网（北京）股份有限公司5. 在空间直角坐标系 中，定义：经过点 且一个方向向量为 的直
线 的方程为 ，经过点 且一个法向量为 的平面 的方
程为 .现给出平面 的方程为 ，经过点
的直线 的方程为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线 的一个方向向量和平面 的一个法向量，利用空间向量法可求得直线 与平面 所成
角的正弦值.
【详解】直线 的方程可化为 ，所以直线 的一个方向向量为 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
所以 .
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：B.
6. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 是双曲线左支上一点，点 ，则
周长的最小值为（ ）
第4页/共24页
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 由 双 曲 线 的 定 义 得 出 ， 即 得 出 的 周 长 为
，由点 为线段 与双曲线的交点时， 周长取最小值，即
可求解.
【详解】如下图所示：
在双曲线 中， ， ，则 ，则 、 ，
由双曲线的定义可得 ，所以 ，
所以 的周长为
，
当且仅当点 为线段 与双曲线的交点时，等号成立，
故 周长的最小值为 .
故选：C.
7. 已知圆 上到直线 的距离等于1的点恰有两个，则实数 的取值范围是（
）
A. B.
第5页/共24页
学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断圆心到直线的距离 ，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围.
【详解】圆 的圆心是 ，半径 ，
而圆 上恰有两个点到直线 的距离等于1，
所以圆心 到直线 的距离 ，满足 ，
即 ，解得 或 .
故选：D.
8. 已知椭圆 的右顶点，上顶点和上焦点分别是 ，若 轴恰与过
三点的圆相切，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用过 三点的圆恰与 轴相切，求出圆的标准方程，再利用点 在圆上，坐标适合方程
即可求解．
【详解】由已知可得： ， ， ，
第6页/共24页
学科网（北京）股份有限公司线段 的垂直平分线方程为 ，过 三点的圆恰与 轴相切，
所以圆心坐标为 ，圆的半径为 ，
所以经过 三点的圆的方程为 ，
在圆上，所以 ，
整理得： ，所以 ，所以 ，
化为： ，由 ，解得 ．
故选：B．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 已知向量 ，则任意向量都不能与 构成空间的一个基底
B. 若直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则
C. “存在实数 ，使 ”是“ 与 共面”的充分不必要条件
D. 已知 是空间的一个基底，且 ，则点 在平面 内，且
为 的重心
【答案】ACD
第7页/共24页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】A：根据空间的基底的概念作出判断；B：根据直线在平面内和不在平面内讨论；C：根据互相推
出关系作出判断；D：先化简得到 证明点在面内，再根据重心是中线的交点作出判断.
【详解】对于A：因为 ，所以 共线，所以任意向量与 都共面，
所以任意向量都不能与 构成空间的一个基底，故A正确；
对于B：因为 ，所以 ，所以 ，
此时 或 ，所以 不一定成立，故B错误；
对于C：“存在实数 ，使 ”可以推出“ 与 共面”，
但“ 与 共面”不一定能推出“存在实数 ，使 ”，
在
例如：当 共线但 与 不共线时， 与 共面，但不存 实数 ，使 ，
所以“存在实数 ，使 ”是“ 与 共面”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 共面且有公共点 ，所以点 在平面 内；
取 中点 ，则有 ，
同理取 中点 ，则有 ，
所以 为 的重心，故D正确；
第8页/共24页
学科网（北京）股份有限公司故选：ACD.
10. 已知圆 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 的取值范围为
B. 若 ，则点 在圆 内
C. 若 ，则直线 与圆 相离
D. 若 ，圆 关于直线 对称的圆 的方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A：化简得到圆 的标准方程，根据半径大于 求解结果；B：根据 与半径 的大小关系作
出判断；C：根据圆心到直线的距离与半径的关系作出判断；D：先判断点 的位置，然后可求圆 的方
程.
【详解】 ，圆心 ，半径
，
对于A：因为 ，所以 ，故正确；
对于B：因为 ， ，
所以 ，所以点 在圆 内，故正确；
第9页/共24页
学科网（北京）股份有限公司对于C：当 时， ，圆心到直线的距离 ，
所以直线 与圆 相切，故错误；
对于D：因为 在直线 上，所以圆 关于 的对称圆即为圆 ，
所以圆 的方程为 ，故正确；
故选：ABD.
11. 已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一
象限，点 ，若 ，则（ ）
A. 直线 的斜率为 B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线
的方程，联立抛物线求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出
即可判断C选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D选
项.
【详解】
对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为 ，
第10页/共24页
学科网（北京）股份有限公司代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，
则 ，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝角，
又 ，则 为
钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.
第11页/共24页
学科网（北京）股份有限公司三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线 的离心率是 ，则双曲线 的实轴长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据离心率的公式以及 可求解出 的值，则结果可知.
【详解】因为 ，解得 ，所以实轴长为 ，
故答案为： .
13. 已知 两点分别在圆 和圆 上，则 的最小值为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】判断出两圆外离，根据 求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
第12页/共24页
学科网（北京）股份有限公司所以圆 与圆 外离，
所以 .
故答案为：
的
14. 已知正方体 棱长为 ，点 是正方体外接球的球面上一点， 为正方体内切球的球面上的两点，
若 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据 的长度判断出其为内切球的直径，然后通过化简可得 ，代入外接
球和内切球的半径可计算出结果.
【详解】因为正方体棱长为 ，所以外接球的半径为 ，内切球的半径 ，
因为 ，所以 是内切球的直径，如图所示，设两个球心均为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
第13页/共24页
学科网（北京）股份有限公司四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知 的三个顶点的坐标分别为 .
（1）求 边上的高所在直线的一般式方程；
（2）求 的平分线所在直线的斜截式方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出直线 的斜率，可得出 边上的高所在直线的斜率，可得出 边上的高所在直线
的点斜式方程，化为一般式方程即可；
（2）由图可知 ，所以 的平分线所在直线的斜率为 ，可得到 的平分线所
在直线的点斜式方程，化为斜截式方程即可.
【小问1详解】
因为点 、 ，则 ，
所以， 边上的高所在直线的斜率为 ，
又 ，所以 边上的高所在直线的方程为 ，即 ，
第14页/共24页
学科网（北京）股份有限公司即 边上的高所在直线的一般式方程为 .
【小问2详解】
如图，可得 ，所以 的平分线所在直线的倾斜角为 ，斜率为 ，
又 ，所以 的平分线所在直线的方程为 ，即 ，
即 的平分线所在直线的斜截式方程为 .
16. 已知双曲线 的焦距为 ，其渐近线方程为 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）若过点 的直线与双曲线 相交于 两点，且 为线段 的中点，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，进而求解即可；
（2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可.
【小问1详解】
第15页/共24页
学科网（北京）股份有限公司由题意知， ，
解得 ，故双曲线 的方程为 .
【小问2详解】
①当过点 的直线斜率不存在时，若点 为 的中点，
则点 必在 轴上，这与 矛盾；
②当过点 的直线斜率存在时，设斜率为 ，则直线方程为 ，
设 ，因为点 为线段 的中点，
所以 ，
因为 在双曲线 上，所以 ，
则 ，
所以 ，
则所求直线方程为 ，即 .
经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意.
第16页/共24页
学科网（北京）股份有限公司17. 已知圆 的方程为 ，其中 .
（1）若圆 和圆 的公共弦长为 ，求 的值；
（2）若过点 的圆 与圆 相切，切点为 ，求圆 的标准方程.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，求出圆心 到相交弦所在直线的距离，再利
用勾股定理可得出关于 的等式，解之即可；
（2）记点 、 ，分析可知圆心 为直线 和线段 垂直平分线的交点，联立这两条直
线的方程，可得出圆心 的坐标，进而可得出圆 的半径，即可得出圆 的方程.
【小问1详解】
因为圆 的方程为 ，则 ，解得 ，
将两圆方程作差可得 ，即为两圆相交弦所在直线的方程，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
由勾股定理可知，圆心 到直线 的距离为 ，
由点到直线的距离公式可得 ，解得 或 .
【小问2详解】
由题意可知，点 在圆 上，则 ，解得 ，
故圆 的方程为 ，其标准方程为 ，
第17页/共24页
学科网（北京）股份有限公司记点 、 ，
由圆的几何性质可知，圆心 在直线 上，
且 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
因为圆 过点 、 两点，所以圆心 在线段 的垂直平分线上，
线段 的中点为 ， ，
故线段 的垂直平分线的方程为 ，即 ，
联立 ，解得 ，即圆心 ，
所以，圆 的半径为 ，
故圆 的方程为 .
18. 如图1，在等腰直角 中， 分别为 的中点.将 沿
向平面 上方翻折，得到如图2所示的四棱锥 ，且 .记 的中点为 ，
动点 在线段 上运动.
第18页/共24页
学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3）求动点 到直线 的距离的取值范围.
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角；
（3）根据向量共线求出 ，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即
可．
【小问1详解】
因为折叠前 为 中点， ，所以 ，折叠后， ，
所以 ，所以 ，在折叠前 分别为 中点，
所以 ，又因为折叠前 ，所以 ，
所以在折叠后 ， ， ；
以 为坐标原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
第19页/共24页
学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ， ， ，
为 中点，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，又 ， ，
所以 ，即 ，令 ，则 ， ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 平面 ；
【
小问2详解】
设 ，由（1）知， ，因为动点Q在线段 上，
且 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ， ，所以 ， ，
，设平面 的法向量为 ，
，即 ，令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，
第20页/共24页
学科网（北京）股份有限公司所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ；
【小问3详解】
设 ， ， ，动点Q在线段 上，
所以 ， ，即 ，即 ，
所以 ， ， ，
设点Q到线段 距离为 ， ，
的
， ，
， ，令 ， ，
则 ， ，根据二次函数的性质可知 ，
所以 ，由此可知动点Q到线段 的距离的取值范围为 ．
19. 已知椭圆 上的点 到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过椭圆 的左焦点 作不与 轴重合的直线 与椭圆 相交于 两点，过点 作直线
的垂线 为垂足.求：
①已知直线 过定点 ，求定点 的坐标；
②点 为坐标原点，求 面积的最大值.
第21页/共24页
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，得到 ，结合 ，求得 的值，
即可求得椭圆 的标准方程；
（2）①设直线 为 ，联立方程组，求得 ，求得直线
的方程为 ，令 ，得到 ，即可得到直线 过定点；.
②利用韦达定理求得 ，得到 ，令 ，转化为
，结合 的单调性，即可求解.
【小问1详解】
解：由椭圆 上的点 到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1，
由椭圆的几何性质，可得 ，解得 ，则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
解：①由题意，根据椭圆的对称性可得，点 必在 上，且 ，
第22页/共24页
学科网（北京）股份有限公司设直线 的方程为 ，且 ，
联立方程组 ，整理得 ，
所以 ，可得 ，
又由 ，所以直线 的方程为 ，
令 ，则 ，
所以直线 过定点 .
②由①知： ，
可得 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为函数 在 上为单调递增函数，
所以 在 上为单调递减函数，
故当 时， 面积取得最大值，最大值为 .
第23页/共24页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、
图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值
（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）
导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
（3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关
系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.
第24页/共24页
学科网（北京）股份有限公司
