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2024~2025 学年第一学期高二第一次月考
数学卷
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 若向量 ， ，则 在 上的投影向量的坐标是（ ）
.
A B. C. D.
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件 “出现的点数为奇数”， “出现的点数不大于3”，事
件 “出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 与 互为对立事件 B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司6. 一道竞赛题， ， ， 三人可解出的概率依次为 ， ， ，若三人独立解答，则仅有1人解出的
概率为（ ）
A. B.
C. D. 1
7. 下列说法不正确 是的（ ）
A. 8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是
B. 用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为0.2
C. 一组数据4，3，2，6，5，8的60%分位数为6
D. 若样本数据 ， ，…， 的平均数为2，则数据 ， ，…， 的平均数为3
8. 如图所示，在三棱柱 中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面 将三棱柱分成体
积为 ， 的两部分，则 （ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对得满分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错
的项得0分．）
9. 下列是基本事实的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 过三个点有且只有一个平面
B. 平行于同一条直线的两条直线平行
C. 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
10. 已知函数 ， ，则（ ）
A. 与 的图象有相同的对称中心
B. 与 的图象关于 轴对称
C. 与 的图象关于 轴对称
D. 的解集为 （ ）
11. 在 中， ， ， 为 内的一点，设 ，则下列说法正确
的是（ ）
A. 若 为 的重心，则
B. 若 为 的外心，则
C. 若 为 的垂心，则
D. 若 为 的内心，则
12. 在菱形 中， ， ，将 沿对角线 折起，使点A至点 （ 在平
面 外）的位置，则（ ）
A. 在折叠过程中，总有BD⊥PC
B. 存在点 ，使得
C. 当 时，三棱锥 的外接球的表面积为
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学科网（北京）股份有限公司D. 当三棱锥 体的积最大时，
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知虚数 ，其实部为1，且 ，则实数 为______．
14. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班
男生30人，女生20入、按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：男
生答对题目的平均数为10，方差为1：女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方
差为______．
15. 已知锐角 中， ，则 的取值范围______.
16. 设 ，满足 ，则 ______．
四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区部分师生进
行调查，先将调查结果统计如下：
（1）请将表格补充完整，若该地区共有教师30000人，用频率估计概率，试估计该地区教师反对“高考使
用全国统一命题的试卷”这一看法的人数；
（2）先按照比例分配的分层随机抽样从“反对”的人中抽取6人，再从中随机选出3人进行深入调研，求深
入调研中恰有1名学生的概率．
赞成 反对 合计
教师 120
学生 40
合计 280 120
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学科网（北京）股份有限公司的
18. 记 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A．
（2）若 ， ，求 的周长．
19. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， 为棱 上的一点，且 ．
(Ⅰ)证明：平面 平面 ；
的
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角 正弦值．
20. 现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市：
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
购买基金：
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率
（1）当 时，求 的值；
（2）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的
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学科网（北京）股份有限公司概率大于 ，求 的取值范围．
21. 如图，在三棱台 中， ， ， ，侧棱 平
面 ，点D是棱 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
22. 已知函数 的最大值为 .
（1）求实数 的值；
（2）若向量 满足 ，设 的夹角为 ，求 的取值范围.
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