文档内容
重庆市长寿中学校 2024-2025 学年高二上第三学月测试
数学试题
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.
3. 答非选择题时，必须使用 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上．
4. 考试结束后，将答题卷交回．
一．单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，
1.如图所示，两条异面直线 ， 所成的角为 ，在直线 ， 上分别取点 ， 和点 ， ，使
，且 已知 ， ， ，则线段 的长为( )
A. B. C. 或 D. 或
2.如图，在多面体 中，底面 是边长为 的正方形， 为底面 内的一个动点
包括边界 ， 底面 ， 底面 ，且 ，则 的最小值与最大值分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.经过点 作直线 ，若直线 与连接 ， 两点的线段总有公共点，则直线 的倾斜
角 的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知两直线 ，若 ，则 与 间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知点 ， ，则以 为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
6.已知椭圆 的右焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 交于 ， 两点，若
为坐标原点， 表示面积 ，则 的离心率为( )A. B. C. D.
7.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与 的左支交于 ，
两点，且 ， ，则 的渐近线为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴交于点 ，过焦点 的直线交抛物线于 ， 两
点，分别过点 ， 作准线 的垂线，垂足分别为 ， ，如图所示，则
以线段 为直径的圆与准线 相切；
以 为直径的圆经过焦点 ；
若已知点 的横坐标为 ，且已知点 ，则直线 与该抛物线相切；
， ， 其中点 为坐标原点 三点共线；
则以上说法中正确的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直三棱柱 中， ， ，点 为 的中点，则下列说
法正确的是( )
A.
B. 平面
C. 异面直线 与 所成的角的余弦值为
D. 点 到平面 的距离为
10.已知点 ， ，曲线 是满足 的点 的轨迹， ， 分别是曲线 与圆
上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 若曲线 与圆 有公共点，则
B. 若 ，则两曲线交点所在直线的方程为
C. 若 ，则 的取值范围为
D. 若 ，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则存在点 ，使得11.在平面直角坐标系中，已知点 ， ，点 是平面内的一个动点，则下列说法正确的是
( )
A. 若 ，则点 的轨迹是双曲线
B. 若 ，则点 的轨迹是椭圆
C. 若 ，则点 的轨迹是一条直线
D. 若 ，则点 的轨迹是圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面内的动点 到两定点 ， 的距离分别为 和 ，且 ，则点 到
直线 的距离 的取值范围为 ．
13.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，若过 且斜率为 的直线与椭圆在第一
象限交于点 ，且 ，则 的值为 ．
14.如图，在空间四边形 中， ，点 为 的中点，设 ， ，
， ， ， ，则试用向量 表示向量 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题13分 如图，在棱长为 的平行六面体 中，
．
求线段 的长度
求直线 与直线 的夹角的余弦值．
16. 本小题15分 已知过抛物线 的焦点，斜率为 的直线交抛物线于 ，
两点，且 ．求该抛物线的方程；
为坐标原点，求 的面积．
17. 本小题15分 在平面直角坐标系 中，已知 ，满足 的点 形成的曲线
记为 ．
求曲线 的方程
是直线 上的动点，过点 作曲线 的切线，切点分别为 ， 求切线长 的最小
值，并求出此时直线 的方程．
18. 本小题17分 若集合 表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合 中的每一条直
线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是 中的一条直线，则称该圆为集合 的包络圆．
若圆 是集合 的包络圆．
(ⅰ)求 ， 满足的关系式
(ⅱ)若 ，求 的取值范围
若集合 ， 的包络圆为 ， 是 上任意一点，判
断 轴上是否存在定点 ， ，使得 ，若存在，求出点 ， 的坐标 若不存在，请说明
理由．
19. 本小题17分 定义：若椭圆 上的两个点 满足
，则称 为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图， 为椭圆 的“共轭点对”，已知 ，且点 在直线 上，直线 过原点．求直线 的方程；
已知 是椭圆 上的两点， 为坐标原点，且 ．
求证：线段 被直线 平分；
若点 在第二象限，直线 与 相交于点 ，点 为 的中点，求 面积的最大值．数学答案
1-5.CACDB 6-8.DAD
9. 10. 11.
12. 13. 14.【答案】
15.解： 如图所示：由图可知
，
因为棱长为 ， ，
因此由题意有
．
如图所示： ，
由 可知 ，所以由题意有
，
，
又 ，
且 可知 ，不妨设直线 与直线 的夹角为 ，
所以 ，
故直线 与直线 的夹角的余弦值为 ．
16.解： 抛物线 的焦点为 ，
所以直线 的方程为 ，
由 消去 得 ，易得 ，
所以 ，
由抛物线定义得 ，
即 ，所以 ，所以抛物线的方程为
由 知，方程 ，
可化为 ，
解得 ， ，故 ， ，
所以 ， ．
则 面积 ．
17.解： 由 ，即 ，得 ，
化简得， ，
即曲线 的方程为 ．
由 知曲线 为圆，且圆心为 ，半径 当 与直线 垂直时，
切线长 取得最小值．
此时 ，
所以切线长 的最小值为 ．
由 解得
即 ，所以四边形 的外接圆是以 为直径的圆的方程，即
，即 ．所以直线 的方程为 ，
化简为 ，即 ．
18.解： 因为圆 是集合 的包络圆，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
即 ，所以 ．
由 ， 满足 及 ，可得圆 与直线 有公共点，
所以 ，解得 ，故 的取值范围是 ．
设 ，由题意可知点 到直线 的距离为与 无关的定值，
即 为与 无关的定值，
所以 ， ，故C ，此时， ．
所以 的方程为 ，
设 ，则 ，即 ，
假设 轴上存在定点 ， ，使得 ，设 ， ，
则 ，所以
解得 或 ．
所以 ， 或 ， ．
19.解： 由已知，点 在直线 上，
又因为直线 过原点，
所以所求直线 的方程为： ．
方法 ：因为 ，所以
设 ，则
两式相减得 ，
整理得 ，
即 ，所以线段 的中点在直线 上．
所以线段 被直线 平分．
方法 ：因为 ， ，
所以设 ，由
由根与系数的关系得 ，于是 ，
从而 ，所以线段 的中点在直线 上，
所以线段 被直线 平分．
由 可知 为 的中点，而 为 的中点，
所以 ．
由 解得 ，设 ，
由
由 ，
由根与系数的关系得 ．
点 到直线 的距离 ，
令 ， ，
则 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；所以 ，所以 的最大值为 ．
