文档内容
通辽一中高二年级第一次月考
数学试题
满分：150分 时间：120分钟
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时间
120分钟.
2、做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3、回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. 已知直线 和直线 平行，则这两条平行线之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将两条直线化为 和 的形式，然后利用两条平行直线间的距
离公式来求解即可.
【详解】直线 可化为 ，设两条平行直线间的距离为 ，则
.
故选： .
2. 若点 在椭圆 上，则该椭圆的离心率为（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件求出 即可计算椭圆的离心率.
【详解】因点 在椭圆 ，则 ，解得 ，而椭圆长半轴长 ，
所以椭圆离心率 .
故选：C
3. 把五个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线 将这
五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知在直线下方是面积为 的直角三角形，求出直线与 的交点，即可求出方程
【详解】直线 将这五个正方形分成面积相等的两部分，
在直线下方是面积为 的直角三角形，所以直线过 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 方程为 .
故选:C.
【点睛】本题考查直线方程，属于基础题.
4. 设 ， 是椭圆C： 的两个焦点，点P是C上的一点，且 ，则 的
面积为（ ）
A. 3 B. C. 9 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题设可得 ，应用余弦定理、椭圆定义求得 ，最后应用三角形
面积公式求面积.
【详解】由题设， ，可得 ，
，
由 ， ，则 ，即 ，
所以 的面积 .
故选：B
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学科网（北京）股份有限公司5. 若直线 与圆 相离，则点 （ ）
A. 在圆O外 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 与圆O的位置关系不确
定
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解.
【详解】由题意，圆 的圆心为 ，半径 .直线 到圆心的距离为
，根据相离条件 ，即 ，整理得 ，这表明
点 到原点的距离的平方小于4，即点 在圆 内部.
故选：B.
6. 已知圆 和两点 ，若圆 上存在点 ，使得
，则 的最大值为（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】由题意首先得出 的几何意义，再画出图形通过数学结合、三角形三边关系即可求解 的最大值.
【详解】设点 在圆 上，由题意 ，
若 ，则 ，而 ，
所以 ，即 的几何意义为圆 上的点 到坐标原点 的距离，
如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司设 为圆 的圆心，其半径为2，点 为圆 上的点， 为坐标
原点， 三点共线，
由三角形三边关系可知 ，等号成立当且仅当 重合，
所以 的最大值为 .
故选：C.
7. 已知直线 与 交于 、 两点，则“ ”是“ 的面积取得
最大值”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形的面积公式可得，当 时， 的面积取得最大值，利用等面积求出圆
心 到直线 的距离，
再由点到直线的距离公式求出 的值，最后结合充要条件的定义进行判断即可.
详解】
【
由 ，可得圆心 ，半径 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
当且仅当 时，等号成立，
此时 ，
由等面积可得点 到直线 的距离 ，
又点 到直线 的距离 ，
解得， ，
因此“ ”是“ 的面积取得最大值”的充分必要条件.
故选：C.
8. 已知 为椭圆 上一动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，
则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 ，设 ，则 ，利用两点间距离公式，求出 的
最大值即可求解.
【详解】
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学科网（北京）股份有限公司设圆 的圆心为 ，半径为 ，则 ，半径 ， ，
因为 ，所以只需 最大，
设点 是椭圆上任意一点，则 ，即 ，
所以 ，
当 时， 有最大值 ，所以 ，
所以 的最小值为 ，即 的最小值为 .
故选：B.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知直线 ： ， 为坐标原点，则（ ）
A. 直线 的倾斜角为
B. 若 到直线 的距离为 ，则c＝2
C. 过 且与直线 平行的直线方程为
D. 过 且与直线 垂直的直线方程为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据直线 方程，得直线的倾斜角，可判断 ；根据点到直线的距离公式计算可判断 ，根据与
知直线平行或垂直的直线方程求法可判断 .
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学科网（北京）股份有限公司【详解】直线 可化为： ，
所以斜率 ，得倾斜角为 ，故 错误；
由点到直线的距离公式得 ，得 ，
所以 ，故 错误；
设与直线 平行的直线方程为 ，
为
因 平行直线方程经过原点，所以 ，
即平行直线方程为 ，故 正确；
设与直线 垂直的直线方程为 ,
因为垂直直线方程经过原点，所以 ，
即垂直直线方程为 ，故 正确.
故选： .
10. 下列四个命题中正确的有（ ）
A. 过点 ，且在 轴和 轴上的截距的绝对值相等的直线方程为 ，
B. 若直线 和以 为端点的线段相交，则实数 的取值范围为
C. 若三条直线 不能构成三角形，则实数 所有可能的取值组成的集
合为
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学科网（北京）股份有限公司D. 若直线 沿 轴向左平移 个单位长度，再沿 轴向上平移 个单位长度后，回到原来的位置，则该直
线 的斜率为
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，举出反例；B选项，求出 恒过 ，求出直线 ， 的斜率，
数形结合得到 或 ，求出实数 的取值范围；C选项，当三条直线交于一点时，
，C 错误；D 选项，当直线 的斜率不存在时，不满足要求，当斜率存在时，设直线 方程为
，从而得到平移后的解析式 ，从而得到方程，求出 .
【详解】A选项，当直线经过原点时，且经过 ，此时直线方程 为，也符合题意，故 A错误，
B选项，直线 ，恒过定点 ，
直线 ， 的斜率分别为 ， ，
又直线的斜率为 ，所以 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 或 ，故实数 的取值范围为 ，B正确；
对于C，当直线 ， 平行时，解得 ，
当直线 ， 平行时，解得 ，
显然直线 ， 交于点 ，
当点 在直线 时， ，
实数 的取值集合为 ，故 C错误；
对于D，当直线 的斜率不存在时，不满足要求，
当斜率存在时，设直线 方程为 ，
沿 轴向左平移 个单位长度，再沿 轴向上平移 个单位长度后，
得到 ，即 ，故 ，解得 ，
则该直线 的斜率为 ，故D正确．
故选：BD．
11. （多选）已知圆 和直线 ，则下列说法中正确的是
（ ）
A. 直线 与圆 的位置关系无法判定
B. 当 时，圆 上的点到直线 的最远距离为
C. 当圆 上有且仅有3个点到直线 的距离等于1时，
D. 如果直线 与圆 相交于 ， 两点，则弦 的最短长度为
【答案】BCD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】选项A，通过变形直线方程，得到直线恒过定点 ，从而判断直线和圆相交；选项B，根
据圆的性质即可判断；选项C，由题可得圆心 到直线 的距离为1，根据点到直线距离公式即得；
选项D，当过圆心 和定点 的直线与直线 垂直时，弦 的长度最短，即可判断.
【详解】对于A，由直线 的方程可得 ，则直线 恒过定点 ，此点在圆 内，所
以直线 与圆 相交．故A错误．
对于B，当 时，直线 的方程为 ，圆 ，即
，可知半径 ．
设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
所以圆 上的点到直线 的最远距离为 ．故B正确．
对于C，当圆 上有且仅有3个点到直线 的距离等于1时，圆心 到直线 的距离为1，由
，得 ．故C正确．
对于D，直线 恒过定点 ，当过圆心 和定点 的直线与直线 垂直时，弦 的长度
最短，即 ，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12. 已知椭圆 ： ，过 的右焦点作 轴的垂线交 于 ， 两点， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 的离心率 为________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用 的横坐标计算出 ，进而可得 ， ，进而求解离心率.
【详解】将 代入椭圆方程得 ，
整理得 ，解得 ，
因此，点 和 的坐标分别为 和 ，
， ，
则 ，
因此 .
故答案为：
13. 在平面直角坐标系 中，动点 到 、 两点的距离的平方和为10，则 的
取值范围为______.
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意计算化简得出点 的轨迹是以原点 为圆心，半径 的圆，将 看作
是点 与点 连线的斜率 ，利用直线与圆的位置关系求得 的取值范围，即可得解.
【详解】由动点 到点 距离的平方和为10，得 ，
则点 的轨迹方程为 ，点 的轨迹是以原点 为圆心，半径 的圆，
可看作是点 与点 连线的斜率 ，
设直线 ，即 ，则圆心 到直线 的距离 ，
由直线 与圆有公共点，得圆心到直线 的距离 ，整理得 ，解得 或
，
所以 的取值范围为 ．
故答案为：
14. 已知 ，从椭圆 外一点 向椭圆引两条切线，切点分别为 ，则
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学科网（北京）股份有限公司直线 方程为 称为点 关于椭圆 的极线．如图，两个椭圆 、 的方程分别为
和 ，离心率分别为 、 ， 在 内，椭圆 上的任
意一点 关于椭圆 的极线为 ．若 到 的距离为定值1，则 取最大值时 的值为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用设动点 ，可得极线方程，即可求原点到极线的距离，通过距离为定值1，得到相
等关系，再通过动点在椭圆上，再得相等关系，由于这两个等式恒成立，则可得系数关系，最后转化到离
心率上求最值即可.
【详解】设椭圆 ， ，则 ．
设椭圆 ， ，则 ．
设 ，
由题意可得 方程为： ，
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学科网（北京）股份有限公司因为原点到直线 的距离恒为1，所以 ．
又因为 为椭圆 上的点，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
设 ，则 ，
，
当 时， 取得最大值，此时 为 ．
故答案为： ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
15. 过原点O的直线l与圆 交于A，B两点，且点 ．
（1）过点P作圆C的切线m，求切线m的方程；
（2）求弦 的中点M的轨迹方程．
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求
解即可；
（2）设 ，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即 ，再利用向量垂直的
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学科网（北京）股份有限公司坐标表示即可求解．
【小问1详解】
由题知圆心 ，半径 ，
当直线斜率不存在时，直线方程为 ，
此时圆心到直线的距离 ，直线与圆相离，不符合题意；
当直线斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
圆心到直线的距离 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
所以切线 的方程为 或 ．
【小问2详解】
设 ，圆心 ，
因为M弦 的中点，所以 ，
又直线l过原点O，所以 ，
，
，
整理得 ，
所以M的轨迹方程为 ．
16. 已知四棱锥 ， ， ， ， 于点E，
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若点F在线段PE上，且 ∥平面 ，证明：F是 中点．
（2）若 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）过点 作 ，交 于 ,证四边形 是平行四边形即可；
（2） 平面 ， ，以 为原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴建
立空间直角坐标系 ,用向量法求线面角的正弦值.
【小问1详解】
过点 作 ，交 于 ,连接 ，
因为 ，所以 ，所以 四点共面，
因为 平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 ，
所以 ，又 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 分别是 的中点，
即 是 中点得证.
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
连接 ，因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 ，
为
以 原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ,
如图，
则 ，
， ，
设 是平面 的法向量，则
，即 ，令 ，则 ，
所以 是平面 的一个法向量.
设直线 与平面 所成角为 ，则
，
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学科网（北京）股份有限公司即直线 与平面 所成角的正弦值是 .
17. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是椭圆C上一点，且
的周长是 ，椭圆C的离心率为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，过点 的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且 ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据周长和离心率列出方程组可得方程；
（2）联立方程结合韦达定理和向量数量积求出斜率，利用弦长公式可得答案.
【小问1详解】
设椭圆的焦距为2c，由题意可得 ，
解得 ， ，所以 ，
所以椭圆C的方程为 .
【小问2详解】
由题意可知直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为 .
设 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，
所以 ， ，由 得 .
由 ，
得 ，满足 ，所以 ， ，
所以 .
18. 已知两直线 ， ．
（1）求过两直线的交点，且垂直于直线 的直线方程；
（2）已知两点 ， ，
①判断直线 与以A，B为直径的圆D的位置关系；
②动点P在直线 运动，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）①相离；②
【解析】
【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程；
（2）①根据圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断位置关系；②求出点 的对称点，利用两点之间
线段最短可求答案.
【小问1详解】
联立方程 ，解得 ；
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学科网（北京）股份有限公司因为所求直线垂直于直线 ，所以所求直线的斜率为 ，
故所求直线方程为 ，即 ；
【小问2详解】
①以 、 为直径的圆的方程为 ，
整理得 ，故该圆的圆心为 ，半径为 ，
故圆心到直线 的距离为 ，
故直线 与圆 的位置关系为相离.
②设点 关于直线 对称的点为 ，
则 ，解得 ，即 ；
则 ,
故 的最小值为 .
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学科网（北京）股份有限公司19. 如图，在等腰梯形 中， ， ， ， 为边 上靠近点 的三等分
点，现将三角形 沿 翻折，得到四棱锥 ，使得平面 平面 ， 为棱
的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离是 ？若存在，求出线段 的长度；
若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明；
（2）建系得出平面 和平面 的法向量即可得出面面角余弦，最后同角三角函数关系求解正弦；
（3）设 再应用点到平面距离即可计算求参.
【小问1详解】
取 的中点N， 连接 ， 如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司为棱 的中点，
四边形ABMN是平行四边形，
又 平面 ， 平面 ，
平面 .
【小问2详解】
由在等腰梯形 中， ， ， 为边 上靠近点 的三等分点，可得
，
也即
又平面 平面 ，交线为 , 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面ABCD， 又
以点D为坐标原点，
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学科网（北京）股份有限公司所在直线分别为 轴建立直角坐标系， ,
如图，则
为棱 的中点，
（i） 设平面 的一个法向量为 则
令 则
平面 的一个法向量为
所以二面角 的正弦值为 .
【小问3详解】
假设在线段 上存在点Q，使得点Q到平面 的距离是 ，
设 则
由（i）知平面 的一个法向量为
点Q到平面 的距离是
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学科网（北京）股份有限公司第25页/共25页
学科网（北京）股份有限公司
