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西南大学附中高 2025 届高三上 11 月阶段性检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.
【答案】B
2.
【答案】B
3.
【答案】A
4.
【答案】D
5.
【答案】D
6.
【答案】A
7.
【答案】C
8.
【答案】B
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】ACD
10.
【答案】ABD
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
【答案】
第1页13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知，设 ，则 ，由余弦定理，可得 ，利用三角形的面积公式即可
求得 的面积；
（2）在 中，由正弦定理，可求得 ，进而求得 ，进而求得
，在 中，由正弦定理，求得 ，即可求得 的大小．
【小问1详解】
由已知，设 ，则 ，
在 中，由余弦定理， ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，所以 ， ，
第2页所以 .
【小问2详解】
在 中，由正弦定理， ，
因为 ， ，
所以 ，
又在 中， ，则 ，
所以 ，
因为 ，
所以
，
在 中，由正弦定理， ，
又 ，则 ，
解得 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，
第3页则 .
16.
【答案】（1）证明见解析
（2） .
【解析】
【分析】（1）先证明 四点共面，再证明 ，由线面平行的判定定理可证；
（2）以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标
运算以及二面角公式，带入求解即可.
【小问1详解】
证明：连接 ，因为 分别为 的中点，则 ，
在三棱柱 中， ，则 ，则 四点共面，
，且 ， 分别为 的中点，则 且 ，
则四边形 为平行四边形，则 ， 平面 ， 平面 ，
则 平面 .
【小问2详解】
在直棱柱 中， ，
则以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系：
则有 ，
，
设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
第4页则 及 ，
令 ，则有 ，
则 ，
因为二面角 为钝角，则所求二面角的余弦值为 .
17.
【答案】（1） ；
（2）存在， ， .
【解析】
【分析】（1）根据题意由双曲线的渐近线方程得到 的值，再根据 在双曲线上，将坐标代入双曲
线方程即可解得 的值.
（2）设出直线l方程与M，N点坐标 ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可表示出
、 、 、 ，再设出 坐标 ，则可以表示出 坐标，即可用坐标表示出
的值，再结合具体代数式分析当 为常数时 的值.
【小问1详解】
由题意得，因为双曲线渐近线方程为 ，
所以 ，
第5页又点 在双曲线上，所以将坐标代入双曲线标准方程得： ，
联立两式解得 ， ，
所以双曲线的标准方程为： .
【小问2详解】
如图所示，
点 ,直线l与双曲线交于 两点，
由题意得，设直线l的方程为 ， 点坐标为 ，
联立 得， ，
设 ， ，
则 ， ，
，
，
， ，
第6页所以
，
所以若要使得上式为常数，则 ，
即 ，此时 ，
所以存在定点 ，使得 为常数 .
18.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【
分析】（1）根据解析式求出切点，再根据导函数求出斜率，点斜式可得到切线方程；
（2）先分析函数的单调性，需要二次求导，再结合函数值的情况进行判断；
（3）对于函数图象的位置关系问题，可先特值探路求出参数的取值范围，再证明在该条件不等式恒成立
即可.
【小问1详解】
，当 时， ，
所以切点为 ，
因为 ，
所以斜线方程的斜率 ，
第7页根据点斜式可得 可得 ，
所以 在 处的切线方程为 ；
【小问2详解】
由（1）可得 ，
令 ，
所以 ，
当 和 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；
，
， ，
，
存在 使得 ，
所以 在 上单调递增，在 单调递减，
又 ，
，
所以 在 上有且仅有一个零点；
【小问3详解】
因为 时， 的图象恒在 的图象上方，
第8页即 恒成立，等价于 恒成立，
当 时，有 ，
下证： 即证 ， 恒成立，
令 ，
当 时， ，
当 时， ，
设 ，则 ，
此时 在 有两个不同 的解 ，
且当 或 时， ，
当 时， ，
故 在 上为减函数，在 ， 上为增函数，
而 ，
故当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
故 在 上为增函数，在 为减函数，在 为增函数，
第9页而 ，故 时， 恒成立，
综上 .
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数
的图象的交点问题.
19.
【答案】（1） ，
（2）
（3） ， 或
【解析】
【分析】（1）先利用数列通项与前n项和的关系求出 ，然后得到 为等差数列，求得 ，
再求得 ，计算数列 的通项公式即可；
（2）先求出区间 的端点值，然后明确 的项为奇数，得到 中奇数的个
数，得到 通项公式，然后求和即可；
（3）先假设存在，由（1）求得 ， ，令 ，然后判断 的取值，最后验证，
不同取值时， 的值即可.
【小问1详解】
第10页由题可知，当 时， ；
当 时，得
因为
两式相减得
经检验，当 时，
显然， 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以
所以
等差数列 的公差
所以
【小问2详解】
由（1）可知，
因为 ，所以 为奇数；
故 为区间 的奇数个数
显然 为偶数
所以
所以
第11页【小问3详解】
由（1）可知 ，
所以
若 是 或 中的项
不妨令 ，则
则有
因为
所以
因为 为数列 或 中的项
所以 的所有可能取值为
当 时，得 无解，所以不存在；
当 时
得
令
得
令
第12页显然 为二次函数，开口向下，对称轴为
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减
得
因为
所以
所以 的可能取值有
我们来验证，
当 时，得 ，可得存在正整数解 或 ，故 满足；
当 时，得 ，当 为整数时， 分子为整数，分母不能被3整除；所以 无
正整数解，故 不满足；
当 时，得 ，得存在正整数解 ，故 满足；
综上所诉， ， 或 .
第13页
