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雅礼教育集团2025年上学期3月考试试卷
高二数学
时量:120分钟 分值:150分
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1、设集合 ,下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
2、已知函数 的图像关于点 对称,则 ( )
A. B. C. D.
3、复数 满足 ,则 的虚部为( )
A.-2025 B. C.2 D.
4、边长为1的正三角形 中, 的值为( )
A.1 B.2 C. D.
、已知 ,则曲线 在点 处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
6、如图,三棱柱 中, , 分别是 、 的中点,平面 将三棱柱分成体
积为 (左为 ,右为 )两部分,则 ( )A. B. C. D.
★7、如图1所示,双曲线具有光学性质;从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射
光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 的左、右焦点
分别为 ,从 发出的光线经过图2中的 两点反射后,分别经过点 和 ,且
,则 的离心率为( )
图1 图2
A. B. C. D.
8、已知函数 的定义域为 是 的导数,且
,若 为偶函数,则 ( )
A.80 B.75 C.70 D.65
二、多项选择题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
、已知抛物线 的焦点 到准线的距离是4,直线 过它的焦点 且与
交于 , 两点, 为弦 的中点,则下列说法正确的是( )
A.抛物线 的焦点坐标是(2,0)
B.
C.若 ,则D.若以 为圆心的圆与 的准线相切,则 是该圆的一条直径
10、一个不透明的口袋中有8个大小相同的球,其中红球4个,白球1个,黑球3个,则下列选项正
确的有( )
A.从该口袋中任取3个球,设取出的红球个数为 ,则数学期望
B.每次从该口袋中任取一个球,记录下颜色后放回口袋,先后取了3次,设取出的黑球次数为 ,则
C.从该口袋中任取3个球,设取出的球的颜色有 种,则数学期望
,则数学期望
D.每次从该口袋中任取一个球,不放回,拿出红球即停,设拿出的黑球的个数为
11、高斯被誉为“数学王子”,是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数 表示
不超过 的最大整数)称为高斯函数.已知正项数列 的前 项和为 ,且 ,
令 ,则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
★12、已知 ,若 ,则 _____
★13、2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备
分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研,每个村各有一组来
调研,每个组至多3名学生,则不同的安排方法种数为_____
★14、已知不等式 在区间 上恒成立,则实数 的取值范围是_____四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、(本小题13分)如图,四棱锥 的底面是矩形, 是等边三
角形,平面 平面 分别是 的中点, 与 交于点 .
(1)求证: 平面 ；
(2)平面 与直线 交于点 ,求直线 与平面 所成角 的大小.16、(本小题15分)已知 分别是角 的对边, 的面积
.(1)证明: ;
(2)若 为 的平分线,交 于点 ,且 , ,求 的长.17、(本小题15分)南澳县是广东唯一的海岛县,海区面积广阔,发展太平洋牡蛎养殖业具有得天
独厚的优势,所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品,产量高、肉质肥、营养好,素有“海
洋牛奶精品”的美誉.根据养殖规模与以往的养殖经验,产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳
牡蛎”质量(克)在正常环境下服从正态分布 .
(1)购买10只该基地的“南澳牡蛎”,会买到质量小于20 的牡蛎的可能性有多大？
(2)2019年该基地考虑增加人工投入,现有以往的人工投入增量 (人)与年收益增量 (万元)的数
据如下:
人工投入增量 (人) 2 3 4 6 8 10 13
年收益增量 (万元) 13 22 31 4 50 56 58
2
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量,建立了 与 的两个回归模型:
模型①:由最小二乘公式可求得 与 的线性回归方程: ;
模型②:由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线: 的附近,令
(i)根据所给的统计量,求模型②中 关于 的回归方程(精确到0.1)；
(ii)根据下列表格中的数据,比较两种模型的决定系数 ,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,
预测人工投入增量为16人时的年收益增量.
回归模型 模型① 模型②
回归方程
182.4 79.2
附:若随机变量 ,则决定系数 .、(本小题17分)已知椭圆 ,定义椭圆 上的点
的“伴随点”为 .
(1)求椭圆 上的点 的“伴随点” 的轨迹方程;
(2)如果椭圆 上的点 的“伴随点”为 ,对于椭圆 上的任意点 及它的“伴
随点” ,求 的取值范围;
(3)当 时,直线 交椭圆 于 两点,若点 的“伴随点”分别是
,且以 为直径的圆经过坐标原点 ,求 的面积.19、(本小题17分)定义:如果函数 在定义域内,存在极大值 和极小值 ,且存在
一个常数 ,使 成立,则称函数 为极值可差比函数,常数 称为
该函数的极值差比系数.已知函数 .
(1)当 时,求极值差比系数 的值；
(2)是否存在 使 的极值差比系数为 ？若存在,求出 的值；若不存在,请说明理由；
(3)若 ,求 的极值差比系数的取值范围.
