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雅礼教育集团2025年上学期3月考试试卷
高二数学
时量:120分钟分值:150分
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1、设集合 ,下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】因为集合 ,
所以 ,
因此 ,
所以 不正确, 正确.
又因为 ,所以 不正确.
故选 .
2、已知函数 的图像关于点 对称,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】函数 的图像关于点 对称,
则 ,即 .
因为 ,
所以 .故选 .
3、复数 满足 ,则 的虚部为( )
A. B. C.2 D.
【答案】
【解析】因为 ,所以 ,所以 的虚部为2.故选 .
4、边长为1的正三角形 中, 的值为( )
A.1 B.2 C. D.
【答案】
【解析】如图,作菱形 ,则
由余
弦定理得 ,所以
故选 .
、已知 ,则曲线 在点 处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 ,当 时, ,故切点为(1,0),切线在该点处的斜率为 ,
故曲线 在点 处的切线方程为 ,即 .
6、如图,三棱柱 中, , 分别是 、 的中点,平面 将三棱柱分成体
积为 (左为 ,右为 )两部分,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】设三角形 的面积为 ,三角形 与三角形 的面积为 ,三棱柱的高为
,
则有 ,
设三棱柱 的体积为 ,
又因为 ①, ②,所以 ③,
由题意可知 ④,
由①②③④可得 ,
所以 ,所以 .
故选: .
★7、如图1所示,双曲线具有光学性质;从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射
光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 的左、右焦点分别为 ,从 发出的光线经过图2中的 两点反射后,分别经过点 和 ,且
,则 的离心率为( )
图1 图2
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由题意可知直线 都过点 ,如图,则有 ,
设 ,则 ,所以 ,故
,所以 ,因此 ,
在 ,即 ,
整理得 即 ,解得 ,
所以 ,令双曲线半焦距为 ,在 中, ,即 ,
解得 ,所以 的离心率为 .故选:B
8、已知函数 的定义域为 是 的导数,且
,若 为偶函数,则 ( )
A.80 B.75 C.70 D.65
【答案】
【解析】因为 为偶函数,所以 ,所以 ,
是奇函数,所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
,
所以 ,所以 ,
又 ,所以 是周期为4的函数,
故选: .
二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
、已知抛物线 的焦点 到准线的距离是4,直线 过它的焦点 且与
交于 , 两点, 为弦 的中点,则下列说法正确的是( )
A.抛物线 的焦点坐标是(2,0)
B.
C.若 ,则D.若以 为圆心的圆与 的准线相切,则 是该圆的一条直径
【答案】ABD
【解析】对选项 ,抛物线 的焦点 到准线的距离是4,
所以 ,故 正确.对选项 ,当直线 的斜率不存在时, ,所以
,当
直线 的斜率存在时,设 ,
得: ,所以 .故 正确.
对选项 , ,故 错误.对选项 ,如图所示:
过 分别向准线作垂线,垂足为 ,因为 ,
所以 ,即:以 为直径的圆与 的准线相切,故 正
确.故选:ABD
10、一个不透明的口袋中有8个大小相同的球,其中红球4个,白球1个,黑球3个,则下列选项正
确的有( )
A.从该口袋中任取3个球,设取出的红球个数为 ,则数学期望
B.每次从该口袋中任取一个球,记录下颜色后放回口袋,先后取了3次,设取出的黑球次数为 ,则
C.从该口袋中任取3个球,设取出的球的颜色有 种,则数学期望,则数学期望
D.每次从该口袋中任取一个球,不放回,拿出红球即停,设拿出的黑球的个数为
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了离散型随机变量的期望,二项分布等,属于中档题.
对于 ,分别计算随机变量取不同值时对应的概率,即可求解期望值,对于 ,则
可求 .
【解答】
对于 的可能值:0,1,2,3,
则 ,故 正确;
对于 的可能值:0,1,2,3,取球一次取到黑球的概率为 ,
因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果,
因此, ,故 错误;
对于 的可能值:1,2,3,
则 ,故 正确;
对于 的可能值:0,1,2,3,因为 对应的事件为:红或白红,所以 ,
因为 对应的事件为:黑红或黑白红或白黑红,所以
,
因为 对应的事件为:黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红,
所以 ,
所以 ,
则 ,故 正确.
故选:ACD.
11、高斯被誉为“数学王子”,是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数 表示
不超过 的最大整数)称为高斯函数.已知正项数列 的前 项和为 ,且 ,
令 ,则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】【解析】对于 ,
当 时, ,
化简得 ,又 ,解得 ,
则 是以1为首项,1为公差的等差数列,
,
选项 错,选项 正确;
对于 ,
,
,选项 正确;
对于 ,当 时, ,
,
又 ,
,
,故 对.
故选:BCD.
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
★12、已知 ,若 ,则 _____
【答案】
【解析】令 ,可得 ,解得 ,,
展开式中 的系数为 .
★13、2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备
分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研,每个村各有一组来
调研,每个组至多3名学生,则不同的安排方法种数为_____
【答案】450种
【解析】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生,
所以可以分成1,2,3或2,2,2两类,
当6人分成1,2,3三组,有 种分法,
当6人分成2,2,2三组,有 种分法,
所以不同的安排方法种数为 种
★14、已知不等式 在区间 上恒成立,则实数 的取值范围是_____
【答案】
【解析】设 ,则对 有 ,
对 有 .从而 在(0,1)上递减,在 上递增,所以
,故 .
①一方面,在条件中令 ,即得 .
假设 ,则 ,从而 ,矛盾.
所以一定有 .
②另一方面,若 :首先有 % .
以及 .
将两个不等式相加,就得到 ,
从而 .
由于 ,故 ,所以对任意 ,有 .
而对任意的 ,显然也有 ,
所以 ,从而 时条件一定满足.
综合①②两个方面,可知 的取值范围是 .
法二:指对同构
四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、如图,四棱锥 的底面是矩形, 是等边三角形,平面
平面 , 分别是 的中点, 与 交于点 .
(1)求证: 平面 ；
(2)平面 与直线 交于点 ,求直线 与平面 所成角 的大小.
【答案】(1)略(2)
【解析】(1)证明:因为 为正三角形, 是 中点,所以 ,
又因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 ,
因为 ,所以
,所以 ,
又因为 在平面 内且相交,故 平面 ;
(2)因为 分别为 的中点,所以 ,
又平面 过 且不过 ,所以 平面 ,
又平面 交平面 于 ,故 ,进而 ,因为 是 中点,所以 是
的中点,
以 为原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系,
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,解得 ,令 ,得 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以直线 与平面 所成角 的大小为 .
16、(本小题15分)已知 分别是角 的对边, 的面积
.
(1)证明: ;
(2)若 为 的平分线,交 于点 ,且 , ,求 的长.
【答案】(1)略(2)
【解析】(1)证明:
因为 ,化简得 ,
由正弦定理 ,
得 ,
又 ,
所以 ,整理得 ,
又 为 的内角,所以 ,即 ；
(2)因为 为 的平分线,且 ,
所以 ,所以 ,
在等腰三角形 中, ,①
又 ,,
化简得 ,
又 ②
①代入②,得 ,
解得 或 (舍去),
,
在 中,由余弦定理得:
.
17、南澳县是广东唯一的海岛县,海区面积广阔,发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势,所
产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品,产量高、肉质肥、营养好,素有“海洋牛奶精
品”的美誉.根据养殖规模与以往的养殖经验,产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质
量(克)在正常环境下服从正态分布 .
(1)购买10只该基地的“南澳牡蛎”,会买到质量小于 的牡蛎的可能性有多大？
(2)2019年该基地考虑增加人工投入,现有以往的人工投入增量 (人)与年收益增量 (万元)的数
据如下:
人工投入增量 (人) 2 3 4 6 8 10 13
年收益增量 (万元) 13 22 31 4 50 56 58
2
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量,建立了 与 的两个回归模型:模型①:由最小二乘公式可求得 与 的线性回归方程: ;
模型②:由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线: 的附近,令
(i)根据所给的统计量,求模型②中 关于 的回归方程(精确到0.1)；
(ii)根据下列表格中的数据,比较两种模型的决定系数 ,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,
预测人工投入增量为16人时的年收益增量.
回归模型 模型① 模型②
回归方程
182.4 79.2
附:若随机变量 ,则
决定系数 .
【答案】(1)1.29%(2)(i) (ii)当 时,模型②年收益增量预测值为:
(万元),
这个结果比较模型①的预测精度更高、更可靠.
【解析】(1)由已知,单个“南澳牡蛎”质量 ,
则 ,
由正态分布的对称性可知
设购买10只该基地的“南澳牡蛎”,其中质量小于 的牡蛎为 只故 ,
则 ,
这10只“南澳牡蛎”中,会买到质量小于20g的牡蛎的可能性仅为1.29%;
(2)(i)由 ,
有 ,
且 ,
所以模型②中 关于 的回归方程为 ；
(ii)由表格中的数据,有182.4>79.2,
即 ,
模型①的 小于模型②,说明回归模型②刻画的拟合效果更好,
当 时,模型②年收益增量预测值为: (万元),
这个结果比较模型①的预测精度更高、更可靠.
18、已知椭圆 ,定义椭圆 上的点 的“伴随点”为
.
(1)求椭圆 上的点 的“伴随点” 的轨迹方程;
(2)如果椭圆 上的点 的“伴随点”为 ,对于椭圆 上的任意点 及它的“伴
随点” ,求 的取值范围;(3)当 时,直线 交椭圆 于 两点,若点 的“伴随点”分别是
,且以 为直径的圆经过坐标原点 ,求 的面积.
【答案】(1) (2)
【详解】(1)设 .所以,根据“伴随点”的定义,有 ,则
又因为 ,所以 ,即
所以,椭圆 上的点 的“伴随点” 的轨迹方程为
(2)由(1)知,椭圆 上的点 的“伴随点” 的轨迹方程为 ,
因为椭圆 上的点 的“伴随点”为 ,
所以,根据“伴随点”的定义与(1)中结论,有 ,解得 .
因为点 在椭圆上,所以 ,所以, ,且 ,
所以
因为 ,所以 ,
所以 的取值范围是
(3)由题意,得椭圆 的方程为 .
设 ,则联立椭圆 和直线 的方程,得 所以
由题意,得 ,所以 .①
因为 为直径的圆经过坐标原点 ,
所以 ,即 ,
所以 .②
将①代入②,化简,得 .所以 ,
所以
又因为点 到直线 的距离 ,所以 .
19、定义:如果函数 在定义域内,存在极大值 和极小值 ,且存在一个常数 ,使
成立,则称函数 为极值可差比函数,常数 称为该函数的极值
差比系数.已知函数
(1)当 时,求 ；
(2)是否存在 使 的极值差比系数为 ？若存在,求出 的值；若不存在,请说明理由；
(3)若 ,求 的极值差比系数的取值范围.
【解析】(1)当 时, ,所以 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在 和 上单调递增,在 上单调递减,
所以 的极大值为 ,极小值为 ,
所以 ,
此时
(2) 的定义域为 ,即 ,
假设存在 ,使得 的极值差比系数为 ,
则 是方程 的两个不等正实根,
不妨设 ,则 ,
由于
所以 ,从而 ,得 ,
令 ,
所以 在 上单调递增,有 ,
因此 式无解,即不存在 使 的极值差比系数为 .
(3) ,又 ,令
所以
,因为 ,所以
令
则 ,令
在 上单调递减, ,
所以 上单调递增,
所以
