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蓝天中学高二年级第一次月考数学试卷
一、单选题
1. 已知直线 与平面 没有公共点，直线 ，则 与 的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间线面、线线的位置关系直接判断即可.
【详解】依题意可知 ，而 ，所以a，b没有公共点，a与b可能异面或平行.
故选：D
2. 点P是平面 外一点，过点P且平行于平面 的平面有（ ）个
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数
【答案】B
【解析】
的
【分析】假设过点P且平行于平面 平面有两个 ，可判断 重合.
【详解】假设过点P且平行于平面 的平面有两个 ，
则由面面平行的性质知 ，
又 都过P点，故 重合，
所以过点P且平行于平面 的平面只有一个.
故选：B
3. 已知正方体 的棱长为1，则直线 与 所成角的正弦值为（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正方体可得 ，可得 是异面直线直线 与 所成的角，进而求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】在正方体 中，可得 ， ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
所以 是异面直线直线 与 所成的角，
又易得 是等边三角形，所以 ，
所以 ，所以直线 与 所成角的正弦值为 .
故选：D.
4. 在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，
则PM的最小值为（ ）
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面垂直得出PC⊥CM，利用勾股定理及正三角形的性质可得答案.
【详解】如图，连接CM，因为PC⊥平面ABC， 平面ABC，所以PC⊥CM，
因为PC＝4，所以 ，
要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，
此时有 ，所以PM的最小值为 .
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知两点 ，若直线 的倾斜角为 ，则 的值为（ ）
A. B. 6 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知直线 的斜率 ，再结合斜率公式运算求解.
【详解】因为直线 的倾斜角为 ，则直线 的斜率 ，
又因为 ，则 ，解得 .
故选：C.
的
6. 过点 且与直线 斜率相等 直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线的点斜式方程得到直线方程.
【详解】直线斜率为2且过点 ，由点斜式方程得 ．
故选：A．
7. 若直线 与直线 互相平行，则实数 的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或-1
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据平行直线的性质进行求解即可.
【详解】因为直线 与直线 互相平行，
所以有 且 ，
解得 ，
故选：A
8. 已知三棱锥 的底面 与侧面 均是边长为2的正三角形，且平面 平面 ，
则该三棱锥外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，找到球心的位置，设 ，连接 ，利用半
径相等得到方程，求出 ，进而求出外接球半径和表面积.
【详解】取 的中点 ，连接 ， ，
因为底面 与侧面 均是边长为2的正三角形，
所以 ⊥ ， ⊥ ，
因为平面 平面 ，交线为 ，且 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
在 上取点 ，使得 ，故 为等边三角形 的中心，
该三棱锥外接球的球心 在平面 上的投影为 ，
其中 ， ， ，
设 ，连接 ，过点 作 ⊥ 于点 ，
则 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
即 ，解得 ，
所以 ，该三棱锥外接球的表面积是 .
故选：C
二、多选题
9. 在棱长均为2的正三棱柱 中，D是棱AC的中点，则（ ）
A. B.
C. 平面 平面 D. 平面 平面
【答案】BD
【解析】
【分析】根据正三棱柱的性质以及相关判定定理，对每个选项逐一进行分析判断.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】在正三棱柱中， ，又 ，故 与 不平行，A错误；
由题得 ， ， ，
所以 ，所以 ，B正确；
因为 平面 ， 平面 ， ，
且 在平面 与平面 的交线上， 与 不垂直，
所以平面 与平面 不垂直，C错误；
因为 是正三角形， 是 的中点，所以 ，
又 ，且 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，D正确．
故选：BD.
10. 已知直线 ，直线 ，则（ ）
A. 当 时， 与 的交点为
B. 直线 恒过点
C. 若 ，则
D. 存在 ，使
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，联立两直线方程，求出交点坐标；B选项，变形得到 ，从而得到
，求出定点坐标；C选项，根据两直线垂直得到方程，求出 ；D选项，根据两直线平行得
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学科网（北京）股份有限公司到方程，求出 或 ，检验后得到结论.
【详解】对于A，当 时，直线 ，直线 ，
联立 ，解得 ，所以两直线的交点为 ，故A正确；
对于B，直线 ，即 ，令 ，即 ，
所以直线 恒过点 ，故B正确；
对于C：若 ，则 ，解得 ，故C正确；
对于D，假设存在 ，使 ，则 ，解得 或 ，
当 ， ， ，两直线重合，舍去，
当 时， ，即 ，
，即 ，两直线重合，舍去，
所以不存在 ，使 ，故D错误．
故选：ABC．
11. 已知点 ，且点 在直线 上，则（ ）
A. 存在点 ，使得
B. 存在点 ，使得
C. 的最小值为
D. 若 ，则 的最小值为1
【答案】BC
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】对于A，设 ，分 ， 和 且 三类情况，利用斜率判断 与
是否垂直即可；对于B，设 ，通过将坐标代入等式，利用方程有实根即可判断；对于
C，通过作点关于直线的对称点，利用三点共线时线段和最短即可判断；对于 D，通过消元后化成二次函
数，利用其性质求得最小值即可判断.
【详解】对于A：依题意，设 ，
当 时， ，此时 轴，但 ，此时 与 不垂直；
同理当 时， ，此时 与 不垂直；
而当 且 时，由 ，可得
该方程无实数解，此时 与 不垂直.
综上可知，不存在点 ，使得 ，故A错误；
对于B：设 ，由 ， ，
可得 ，化简得 ，
因 ，则方程有解，故存在点 ，使得 ，故B正确；
对于C：如图设 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
所以 ，
在
当且仅当 三点共线时取等号（ 两点 之间），故C正确：
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学科网（北京）股份有限公司对于D，因 ，则 ，
当 时等号成立，故 的最小值为2，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
12. 如图所示，正方形 为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且 ，则
原平面图形的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用斜二测画法，可得原图形是平行四边形，求得一边长及这边上的高即可求面积.
【详解】因为正方形 为一个平面图形的水平直观图，
所以可得原图形 是一平行四边形，且 ， ， ，
所以平行四边形 的面积为 .
故答案为： .
13. 已知直线l经过点 ，则直线l的倾斜角为____________.
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】求出直线 的斜率，进而求出其倾斜角.
【详解】依题意，直线 的斜率 ，
所以直线l的倾斜角为 .
故答案为：
14. 直线 与线段 没有公共点，其中 ， ，则实数b的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】数形结合即可求得 的取值范围.
【详解】由题可知，当直线 经过点 时 ，
当直线 经过点 时 ，
当直线 与线段 没有公共点，
则 或 .
故答案为： .
四、解答题
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学科网（北京）股份有限公司15. 如图，在正方体 中，E为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若F为 的中点，判断并证明平面 和平面 的位置关系．
【答案】（1）证明见解析；
（2）平面 平面 ，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）连接 ，交 于 ，易得 ，再由线面平行的判定证明结论；
（2）先证 ，利用线面平行的判定得 平面 ，结合（1）及面面平行的判定证明面面
平行.
【小问1详解】
连接 ，交 于 ，连接 ，由正方体的结构易知 为 的中点，
又E为 的中点，则 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司平面 平面 ，证明如下：
由F为 的中点，连接 ；
E为 的中点，易知 ，
所以 为平行四边形，则 ，
由 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
由（1） 平面 ，且 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
16. 如图，在四棱锥 中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD， ，
．
（1）证明：BD 平面PAC；
⏊
（2）求三棱锥 的表面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先由线面垂直的性质定理得证 ，然后由线面垂直的判定定理得证结论；
（2）证明三棱锥 的四个面都是直角三角形，然后计算表面积．
【小问1详解】
∵ 平面ABCD， 平面ABCD，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，又底面ABCD为正方形，∴ ，
又 ， 平面 ，∴ 平面PAC；
【小问2详解】
连接PO，∵ 平面ABCD， 平面 ，∴ ， ，∴ ，
为直角三角形，
同理由（1）中 平面PAC可得 为直角三角形，又 是直角三角形，
由题意可得 ， ， ，
其表面积
∴三棱锥 的表面积为 ．
17. 已知 ， ， 三点．
（1）若过 两点的直线的倾斜角为45°，求m的值．
（2） 三点可能共线吗？若能，求出m值．
【答案】（1）1 （2）3
【解析】
【分析】（1）利用斜率与倾斜角的关系式及斜率公式即可求解；
（2） 三点共线，则 ，结合斜率公式即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
过 两点的直线斜率 ，
所以 ，解得 .
【小问2详解】
， ，
若 三点共线，则 ，
即 ，解得 ，
所以当 时， 三点共线.
18. 根据下列条件，写出直线方程的一般式：
（1）经过点 ，且倾斜角为 ；
（2）经过点 和点
（3）经过点 ，在x，y轴上有相等的截距．
【答案】（1）
（2） ；
（3） 或 .
【解析】
【分析】（1）由题知直线的斜率为 ，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可；
（2）根据斜率公式得直线斜率为 ，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可；
为
（3）分截距 0和不为0两种情况求解.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为直线经过点 ，且倾斜角为 ，
所以直线的斜率为 ，则直线方程为 ，
所以直线的一般方程为 ；
【小问2详解】
因为直线经过点 和点 ，
所以直线斜率为 ，直线方程为 ，
所以直线的一般式方程为 ；
【小问3详解】
当直线在x，y轴上截距都为0时，
设直线方程为 ，则 ，得 ，
设直线方程为 ，即 ；
当直线在x，y轴上截距都不为0时，
由题设直线方程为 ，
因为直线过点 ，所以 ，解得 ，
所以直线的一般式方程为 ,
综上所述，所求直线为 或 .
19. 已知 三个顶点分别为 ， ， .
（1）求 边上的高线长；
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学科网（北京）股份有限公司（2）过 内一点 有一条直线 与边 ， 分别交于点 ， ，且点 平分线段 ，
求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离可得答案；
（2）求出直线AC的方程，设 ，则 ，根据点M，N分别在直线AB，AC上，可
得 ，再利用点斜式方程可得答案.
【小问1详解】
， ， ，
直线 的斜率 ，
直线 的方程为 化为 ，
点C到直线 的距离 ，
即 边上的高线长为 ；
【小问2详解】
由题知，直线 的斜率 ，
直线 的方程为 ，即 ，
设 ，因为点 平分线段 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵点M，N分别在直线 ， 上，
，解得 ，
直线l的斜率 ，
直线l的方程为 ，即 ．
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