文档内容
南宁三中 2025 届高三年级 12 月份摸底考试参考答案
数 学
1.【答案】C【解析】由题意得 ，又因为 ，所以
，故选：C.
2.【答案】B【解析】由题意，得 ，故选B.
3.【答案】A【解析】若曲线C: 表示双曲线，且 ，则双曲线标准方程为
,则 故选A.
π π 3π
4.【答案】B【解析】g(x)=cos(x−φ)奇函数,则cos(−φ)=cos(φ)=0，φ=kπ+ ,0<φ<2π，φ= 或
2 2 2
5.【答案】C【解析】由题意得， ，则 .∵ ，∴ ，即
，
∴ ，解得 .故选：C.
6.【答案】C【解析】选 C.解：f(x)单调递增，由于f (a)f (b)f (c)>0，得f (a)>0，f (b)>0,f (c)>0，或者
f (a)<0，f (b)<0,f (c)>0。画出草图，即得x 0有一个解，则a=x2+x在x>0有唯
一交点，则a>0，D正确。
12. 【答案】45【解析】展开式的通项为 ，令 得 所以展开式中 的系
数为 .
13. 【答案】答案不唯一，满足 的复数 都符合.
【解析】设 ，∵ ，∴ ，即 ；
又∵ ，∴ .
∴满足 的复数 都满足条件①②.
14.【答案】解：第一个空的答案：4，6，8；第二个空的答案为29（第一个空给2分，第二空3分）
（其中
第二空的解答：设 ）
， ，
， ， ， ，
依此类推，
所以
所以 代表28个数相加，28个1，0个3；27个1，1个3；
，0个1，28个3，共29种可能。
2
学科网（北京）股份有限公司15．【详解】（1）因为 ，所以 ，................1分
所以当 时， ，当 时， ，................2分
所以 在 上递增，在 上递减.................3分
因为 ， ， ， ................5分
所以 的值域是 .................6分
（2）由题意知 ，即 ................7分
令 ，则 ................8分
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，................10分
所以 ................12分
则 ................13分
16.【详解】（1）由题意可知， ......................2分(一个式子1分）
解得 ................................................................................................4分(一个结果1分）
（2）由（1）可知每组的频率依次为 ， ，............................5分
因为 ，故优秀成绩的最低分 ，.................................................6分
所以 ..............................................................................8分
可得 ，所以优秀成绩的最低分为73分...............................................................9分
3
学科网（北京）股份有限公司（3）设第二组、第四组的平均数分别为 ，方差分别为 ，
且各组频率之比为：
，...10分
所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者 人，
第四组面试者 人，..............................................................12分
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数 ，.........13分
第二组、第四组面试者的面试成绩的方差
.......................................................................................................14分（列式正确给1分）
故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是 ．
...................................................................................................................................15分
17.【详解】（1）选择条件①
连接 ， ， 是 中点
…………….1分
又
…………….2分
…………….3分
…………….4分
选择条件②
连接
…………….2分
…………….3分
是 中点
…………….4分
(2)在三角形ABC中， ,E是BC中点，所以AE=1.…………….5分
所以，当 时，点A到面BCD距离的最大。…………….7分
连接ED、EA，
…………….8分
建立以E为坐标原点，EC、ED、EA分别x、y、z轴的空间直角坐标系 ，
在等腰直角三角形ABC中， ，故相关点坐标如下：
4
学科网（北京）股份有限公司…………….9分
设面ABD，法向量 则
，即 令 ，则
，…………….11分
面ADE的法向量 …………….12分
…………….13分
二面角 是锐二面角
二面角 的余弦值为 …………….14分
二面角 的正弦值为 …………….15分
18.【详解】（1）由题意可知， ，............1分
............2分
所以 ............3分
，所以 ............4分
（2）由 ，............5分
得 .............1分
记 ，由条件得 ，............6分
因为 ，所以
所以
所以 必为整数.............7分
由 ，得
所以 ，又 ，所以 ，............8分
所以
5
学科网（北京）股份有限公司所以 ............9分
解得 ............10分
，代入得 ............11分
即 ，
所以 .............12分
（3）因为 ，可得 ，
由（2）的结论得 ，又 ,所以 ；.............13分
由余弦定理可得 ，当且仅当 时取等号.............14分
而 ，所以 ，.............15分
所以 ．.............16分
即该三角形的面积的最大值为 ．.............17分
19.【详解】（1）由于椭圆C： 的短轴长为 ，所以有 ...................1分
又由于椭圆过点A ，所以有 ，所以有 ..................2分
所以有椭圆C的方程为 ...................3分
（2）当过 作两条直线与椭圆C相切的直线中有一条直线的斜率不存在时，点 的坐标为 ....................4
分
当过 作两条直线与椭圆C相切的直线中两条直线的斜率均存在时，可设这两条直线的斜率为 ， .设点 的坐
标为 ，则切线方程可设为 与
联 立 ， 可 得 由 于 相 切 ， 则
6
学科网（北京）股份有限公司...................6分
则 ，即 ...................7分
同理可得
所以 ， 可以看成是 的两根...................8分
由于这两条切线互相垂直，则 ，所以有 ...................9分
注意到，当当过 作两条直线与椭圆C相切的直线中有一条直线的斜率不存在时，点 的坐标为 ，也满
足 ，则点 的轨迹方程 为 ...................10分
（3）由于点 的轨迹方程 为 是一个圆，则过平面上一点 作（2）中的轨迹 的两条切线且这两条
切线互相垂直，点 的轨迹方程 也是一个圆，设轨迹方程 的半径为 ，则点 的轨迹方程 的半径为
，依次类推，设轨迹方程 的半径为 ，则点 的轨迹方程 的半径为 ，不难发现
是以 为首项，
为半径的一个等比数列，则
.......................................................12分
由于 是轨迹方程 上任意三点，可设 ， ， ，
、 、
由于 ， ， 均为钝角，则 .......................................................13分
.......................................................14分
方法一：注意到 在 上是上凸函数。
由 琴 生 不 等 式 ， 可 得 ， 当 且 仅 当 时 取
.......................................................16分
等。
.......................................................17分
7
学科网（北京）股份有限公司方法二：
................
.......................................16分
记
所以，当 取得最大值
时，
.......................................................17分
8
学科网（北京）股份有限公司
