高三答案理科数学_2024年3月_013月合集_2024届四川省绵阳南山中学高三下学期入学考试_四川省绵阳南山中学2024届高三下学期入学考试理科数学

绵阳南山中学高 2021级高三下期入学考试试题
理科数学答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1-5: BCADA 6-10 :BACDC 11-12 :AD
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
27π
13.0 14.-2 15. 3 16.
16
三、解答题：共 70 分。
17.解(1)(1)当n=1时，2a=3a-2,∴a=2，当n≥2时，2S =3a -2,∴2S =3a -2，
1 1 1 n n n-1 n-1
两式相减，得2a n =3a n -3a n-1 ,∴a n =3a n-1 ，又a 1 =2≠0，所以数列a n  为等比数列，首项为2，公比为
3，
所以数列a n  的通项公式是a =2⋅3n-1.6分 n
2n-1
(2)由(1)知，b = a =(2n-1)⋅3n-1，T=1×30+3×31+5×32+⋯+(2n-1)×3n-1，
n 2 n n
则有3T=1×31+3×32+5×33+⋯+(2n-3)×3n-1+(2n-1)×3n，
n
两式相减得：-2T n =1+23+32+33+⋯+3n-1 
31-3n-1
-(2n-1)×3n=1+2×

-(2n-1)×3n 1-3
=-(2n-2)×3n-2，于是得T n =(n-1)⋅3n+1，因为n∈N*且n≥2，2T n -1  ≥(n-1)λ,∴λ≤2⋅
3n，
当n≥2时，数列2⋅3n

是递增数列，所以2⋅3n的最小值为18，
因此λ≤18. 12分
18.解(1)如图，连接AC，在△AAC中，AA=2，AC=1，∠AAC=60°，
1 1 1 1
1
由余弦定理，得AC2=AA2+AC2-2AA⋅AC⋅cos∠AAC=4+1-2×2×1× =3，
1 1 1 1 2
所以AC= 3，所以AC2+AC2=AA2，所以AC⊥AC，
1 1 1 1
同理AC⊥BC，又BC∩AC=C，AC，BC⊂平面ABC，
1
所以AC⊥平面ABC，又AC⊂平面AACC ，
1 1 1 1
所以平面ABC⊥平面AACC．6分
1 1
(2)由平面几何知识可知，AC⊥CP，
以C为坐标原点，以CA,CP，CA 为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
1
第1页共4页则A1,0,0 
1 3
，B- , ,0 2 2  ，A 10,0, 3 

，所以AA 1 =-1,0, 3 
 3 3
，AB=- , ,0 2 2 

设平面A 1 AB的法向量为m=x 1 ,y 1 ,z 1 


m⋅AA
1
=-x
1
+ 3z
1
=0

，则   3 3 ，令z 1 =1，得m=
m⋅AB=- x + y =0
2 1 2 1
 3,3,1  ．

又平面CA 1 P的法向量为n=1,0,0 
  3 39
，∴cos<m,n>= = ， 3+9+1 13
130
所以二面角C-A P-B 的正弦值为 ． 12分
1 1 13
1
19.解(1)根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜欢观看足球比赛的女生为40× =10人，
4
可得得2×2列联表如下：
男 女 合计
喜爱看足球比赛 50 10 60
不喜爱看足球比赛 10 30 40
合计 60 40 100
100×(50×30−10×10)2
1225
根据列联表中的数据计算得k= = ≈34.028>10.828
60×40×60×40 36
根据小概率值P(K2≥k )=0.001的独立性检验，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联. 
0
6分
(2)按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，则X的可能取值为
0,1,2，
PX=0  C2 15 = 6 = ,PX=1
C2 28
8
 C1C1 3 = 6 2 = ，PX=2
C2 7
8
 C2 1 = 2 = ，
C2 28
8
所以X的分布列为
X 0 1 2
15 3 1
P
28 7 28
期望值EX 
15 3 1 1
=0× +1× +2× = .12分
28 7 28 2
p
20.解(1)y2=2px(p>0)，准线为x=- ，点Q分别向x轴和准线做垂线，垂足为M,N，
2
则MQ  = 7p，QN  =QF 
p
=8，所以Q8- , 7p
2
 ，又点Q在抛物线上，
所以 7p 
p
2=2p8-
2
 ，即p2-2p=0，解得p=2或p=0(舍)，
所以抛物线的方程为y2=4x. 5分
(2)点Pa,1 
1 1
在y2=4x上，所以1=4a，解得a= ，所以P ,1 4 4  ，设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ，
第2页共4页k = y 1 -1 = y 1 -1 = 4 ，同理，k = 4 ，所以k⋅k = 4 ⋅ 4 =2，即
1 x 1 - 4 1 y 1 2 - 1 y 1 +1 2 y 2 +1 1 2 y 1 +1 y 2 +1
4 4
16
y 1 +1  y 2 +1 
=2，
设直线AB为x=my+n，则 

y2=4x
，即y2-4my-4n=0，
x=my+n
16
所以y +y =4m，y y =-4n，所以
1 2 1 2 y 1 +1  y 2 +1 
16
=
y 1 y 2 +y 1 +y 2 
16
= =2，
+1 -4n+4m+1
7
解得n=m- ，代入到直线方程x=my+n，
4
7 7
得x=my+m- ，即x+ =y+1
4 4

7
m，当y+1=0，即y=-1时，x=- ，
4
7
所以直线AB过定点- ,-1
4
 . 12分
21.解(1)f x 
a a+2
= +a+2=
x-1
 x-1  +a a+2
=
x-1
 x-2
,x>1.
x-1
当a=-2时，f x 
2
=- <0,∴fx
x-1
 在1,+∞  上单调递减.
2
当-2<a<0时，在1,
a+2
 上，有f x 
2
<0，在 ,+∞
a+2
 上，有f x  >0,
故fx 
2
在1,
a+2

2
上单调递减， ,+∞
a+2
 上单调递增.
当a>0时，a+2  x>2,a+2  x-2>0,∴fx  在1,+∞  上单调递增.
当a<-2时，a+2<0,a+2  x-2<0,∴fx  在1,+∞  上单调递减.
综上所述，当-2<a<0时，fx 
2
在1,
a+2

2
上单调递减， ,+∞
a+2
 上单调递增.
当a>0时，fx  在1,+∞  上单调递增.
当a≤-2时，fx  在1,+∞  上单调递减.6分
(2)a=1时，Fx  =lnx-1  +2sinx-1  -x+1.令hx  =lnx+2sinx-x(x>0)，
则h x  1 = +2cosx-1.令mx
x
 =h x  ,m x  1 =- -2sinx.
x2
(i)当x∈0,1  时，h x  >0恒成立，∴hx  在0,1  上单调递增.又h1  =2sin1-1>0，
he-2  =-2+2sine-2-e-2<0∴存在一个零点x 1 ,x 1 ∈0,1  ，使hx 1  =0.
(ii)当x∈1,π  ，m x 
1
=- -2sinx<0恒成立，∴mx
x2
 在1,π  上单调递减.又mπ 
1
= -2
π
-1<0，
m1  =2cos1>0.存在零点x 0 ，使mx 0  =0.∴x∈1,x 0  ,h x  >0，x∈x 0 ,π  ,h x  <0.
∴hx  在1,x 0  上单调递增，x 0 ,π  上单调递减.又h1  >0,∴hx 0  >0.hπ  =lnπ-π<0，
∴存在一个零点x 2 ,x 2 ∈x 0 ,π  ，使hx 2  =0.
3π (iii)当x∈π,
2
 ，∴h x  1 = -1+2cosx<0恒成立.∴hx
x
 3π 在π,
2
 单调递减.
∴hx  <hπ  =lnπ-π<0恒成立.∴hx 
3π
在π,
2
 没有零点.
第3页共4页3π
(ⅳ)当x∈ ,+∞
2
 时，lnx+2sinx-x≤lnx+2-x
3π
下面来证明当x∈ ,+∞
2
 时，lnx+2-x<0.设nx  =x-2-lnx.n x 
1
=1- >0.
x
∴nx 
3π
在 ,+∞
2
 上单调递增，nx 
3π
≥n
2

3π 3π 3π
, -2-ln >2-ln >0，
2 2 2
∴lnx+2-x<0恒成立.综上所述，hx  在0,+∞  只有两个零点.
又Fx  是由hx  向右平移一个单位所得，
∴Fx  在1,+∞  只有两个零点.12分
22.解(1)由题意可得：圆C的普通方程为x+1  2+(y-1)2=16，
将x=ρcosθ,y=ρsinθ，x2+y2=ρ2代入普通方程，得ρ2+2ρcosθ-sinθ  -14=0，
故圆C的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-sinθ  -14=0. 5分
(2)由题意可知：直线l过坐标原点，倾斜角为α∈0,π  的直线，
在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=αρ∈R  ，
设A，B所对应的极径分别为ρ ,ρ .
1 2
将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+2ρcosα-sinα  -14=0，
于是ρ+ρ =sinα-cosα,ρρ =-14，
1 2 1 2
可得AB  =ρ -ρ
1 2
 = ρ +ρ
1 2
 2-4ρ ρ = 57-sin2α=2 14，则sin2α=1，
1 2
且α∈0,π  ，则2α∈0,2π 
π π
，可得2α= ，即α= ，
2 4
所以l的斜率为k=tanα=1.10分
23.(1)解法一：
当x≥3时，f(x)=(x-3)+2(x+5)=3x+7，
此时f(x)单调递增，所以f(x)的最小值为16；
当-5<x<3时，f(x)=-(x-3)+2(x+5)=x+13，此时f(x)单调递增，
故8<f(x)<16；
当x≤-5时，f(x)=-(x-3)-2(x+5)=-3x-7，
此时f(x)单调递减，所以f(x)的最小值为f(-5)=8，
综上，f(x)的最小值为8，故m=8；5分
解法二：
f(x)=x-3  +x+5  +x+5  ≥(x-3)-(x+5)  +x+5  =8+x+5  ≥8，
当且仅当x=-5时等号成立，所以f(x)的最小值为8，故m=8；
1 1 8 a+b 8 a+b 8 a+b 8
(2) + + = + = + ≥2 ⋅ =4，
2a 2b a+b 2ab a+b 2 a+b 2 a+b
a=2+ 3 a=2- 3
 
当且仅当a+b=4，即 或 时等号成立，
b=2- 3 b=2+ 3
1 1 m
所以 + + 的最小值为410分
2a 2b a+b
第4页共4页