高三答案理科数学_2024年3月_013月合集_2024届四川省绵阳南山中学高三下学期入学考试_四川省绵阳南山中学2024届高三下学期入学考试理科数学

绵阳南山中学高 2021级高三下期入学考试试题 理科数学答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1-5: BCADA 6-10 :BACDC 11-12 :AD 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分 27π 13.0 14.-2 15. 3 16. 16 三、解答题：共 70 分。 17.解(1)(1)当n=1时，2a=3a-2,∴a=2，当n≥2时，2S =3a -2,∴2S =3a -2， 1 1 1 n n n-1 n-1 两式相减，得2a n =3a n -3a n-1 ,∴a n =3a n-1 ，又a 1 =2≠0，所以数列a n  为等比数列，首项为2，公比为 3， 所以数列a n  的通项公式是a =2⋅3n-1.6分 n 2n-1 (2)由(1)知，b = a =(2n-1)⋅3n-1，T=1×30+3×31+5×32+⋯+(2n-1)×3n-1， n 2 n n 则有3T=1×31+3×32+5×33+⋯+(2n-3)×3n-1+(2n-1)×3n， n 两式相减得：-2T n =1+23+32+33+⋯+3n-1  31-3n-1 -(2n-1)×3n=1+2×  -(2n-1)×3n 1-3 =-(2n-2)×3n-2，于是得T n =(n-1)⋅3n+1，因为n∈N*且n≥2，2T n -1  ≥(n-1)λ,∴λ≤2⋅ 3n， 当n≥2时，数列2⋅3n  是递增数列，所以2⋅3n的最小值为18， 因此λ≤18. 12分 18.解(1)如图，连接AC，在△AAC中，AA=2，AC=1，∠AAC=60°， 1 1 1 1 1 由余弦定理，得AC2=AA2+AC2-2AA⋅AC⋅cos∠AAC=4+1-2×2×1× =3， 1 1 1 1 2 所以AC= 3，所以AC2+AC2=AA2，所以AC⊥AC， 1 1 1 1 同理AC⊥BC，又BC∩AC=C，AC，BC⊂平面ABC， 1 所以AC⊥平面ABC，又AC⊂平面AACC ， 1 1 1 1 所以平面ABC⊥平面AACC．6分 1 1 (2)由平面几何知识可知，AC⊥CP， 以C为坐标原点，以CA,CP，CA 为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz， 1 第1页共4页则A1,0,0  1 3 ，B- , ,0 2 2  ，A 10,0, 3   ，所以AA 1 =-1,0, 3   3 3 ，AB=- , ,0 2 2   设平面A 1 AB的法向量为m=x 1 ,y 1 ,z 1    m⋅AA 1 =-x 1 + 3z 1 =0  ，则   3 3 ，令z 1 =1，得m= m⋅AB=- x + y =0 2 1 2 1  3,3,1  ．  又平面CA 1 P的法向量为n=1,0,0    3 39 ，∴cos= = ， 3+9+1 13 130 所以二面角C-A P-B 的正弦值为 ． 12分 1 1 13 1 19.解(1)根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜欢观看足球比赛的女生为40× =10人， 4 可得得2×2列联表如下： 男 女 合计 喜爱看足球比赛 50 10 60 不喜爱看足球比赛 10 30 40 合计 60 40 100 100×(50×30−10×10)2 1225 根据列联表中的数据计算得k= = ≈34.028>10.828 60×40×60×40 36 根据小概率值P(K2≥k )=0.001的独立性检验，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.  0 6分 (2)按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，则X的可能取值为 0,1,2， PX=0  C2 15 = 6 = ,PX=1 C2 28 8  C1C1 3 = 6 2 = ，PX=2 C2 7 8  C2 1 = 2 = ， C2 28 8 所以X的分布列为 X 0 1 2 15 3 1 P 28 7 28 期望值EX  15 3 1 1 =0× +1× +2× = .12分 28 7 28 2 p 20.解(1)y2=2px(p>0)，准线为x=- ，点Q分别向x轴和准线做垂线，垂足为M,N， 2 则MQ  = 7p，QN  =QF  p =8，所以Q8- , 7p 2  ，又点Q在抛物线上， 所以 7p  p 2=2p8- 2  ，即p2-2p=0，解得p=2或p=0(舍)， 所以抛物线的方程为y2=4x. 5分 (2)点Pa,1  1 1 在y2=4x上，所以1=4a，解得a= ，所以P ,1 4 4  ，设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ， 第2页共4页k = y 1 -1 = y 1 -1 = 4 ，同理，k = 4 ，所以k⋅k = 4 ⋅ 4 =2，即 1 x 1 - 4 1 y 1 2 - 1 y 1 +1 2 y 2 +1 1 2 y 1 +1 y 2 +1 4 4 16 y 1 +1  y 2 +1  =2， 设直线AB为x=my+n，则   y2=4x ，即y2-4my-4n=0， x=my+n 16 所以y +y =4m，y y =-4n，所以 1 2 1 2 y 1 +1  y 2 +1  16 = y 1 y 2 +y 1 +y 2  16 = =2， +1 -4n+4m+1 7 解得n=m- ，代入到直线方程x=my+n， 4 7 7 得x=my+m- ，即x+ =y+1 4 4  7 m，当y+1=0，即y=-1时，x=- ， 4 7 所以直线AB过定点- ,-1 4  . 12分 21.解(1)f x  a a+2 = +a+2= x-1  x-1  +a a+2 = x-1  x-2 ,x>1. x-1 当a=-2时，f x  2 =- <0,∴fx x-1  在1,+∞  上单调递减. 2 当-20, 故fx  2 在1, a+2  2 上单调递减， ,+∞ a+2  上单调递增. 当a>0时，a+2  x>2,a+2  x-2>0,∴fx  在1,+∞  上单调递增. 当a<-2时，a+2<0,a+2  x-2<0,∴fx  在1,+∞  上单调递减. 综上所述，当-20时，fx  在1,+∞  上单调递增. 当a≤-2时，fx  在1,+∞  上单调递减.6分 (2)a=1时，Fx  =lnx-1  +2sinx-1  -x+1.令hx  =lnx+2sinx-x(x>0)， 则h x  1 = +2cosx-1.令mx x  =h x  ,m x  1 =- -2sinx. x2 (i)当x∈0,1  时，h x  >0恒成立，∴hx  在0,1  上单调递增.又h1  =2sin1-1>0， he-2  =-2+2sine-2-e-2<0∴存在一个零点x 1 ,x 1 ∈0,1  ，使hx 1  =0. (ii)当x∈1,π  ，m x  1 =- -2sinx<0恒成立，∴mx x2  在1,π  上单调递减.又mπ  1 = -2 π -1<0， m1  =2cos1>0.存在零点x 0 ，使mx 0  =0.∴x∈1,x 0  ,h x  >0，x∈x 0 ,π  ,h x  <0. ∴hx  在1,x 0  上单调递增，x 0 ,π  上单调递减.又h1  >0,∴hx 0  >0.hπ  =lnπ-π<0， ∴存在一个零点x 2 ,x 2 ∈x 0 ,π  ，使hx 2  =0. 3π (iii)当x∈π, 2  ，∴h x  1 = -1+2cosx<0恒成立.∴hx x  3π 在π, 2  单调递减. ∴hx  0. x ∴nx  3π 在 ,+∞ 2  上单调递增，nx  3π ≥n 2  3π 3π 3π , -2-ln >2-ln >0， 2 2 2 ∴lnx+2-x<0恒成立.综上所述，hx  在0,+∞  只有两个零点. 又Fx  是由hx  向右平移一个单位所得， ∴Fx  在1,+∞  只有两个零点.12分 22.解(1)由题意可得：圆C的普通方程为x+1  2+(y-1)2=16， 将x=ρcosθ,y=ρsinθ，x2+y2=ρ2代入普通方程，得ρ2+2ρcosθ-sinθ  -14=0， 故圆C的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-sinθ  -14=0. 5分 (2)由题意可知：直线l过坐标原点，倾斜角为α∈0,π  的直线， 在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=αρ∈R  ， 设A，B所对应的极径分别为ρ ,ρ . 1 2 将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+2ρcosα-sinα  -14=0， 于是ρ+ρ =sinα-cosα,ρρ =-14， 1 2 1 2 可得AB  =ρ -ρ 1 2  = ρ +ρ 1 2  2-4ρ ρ = 57-sin2α=2 14，则sin2α=1， 1 2 且α∈0,π  ，则2α∈0,2π  π π ，可得2α= ，即α= ， 2 4 所以l的斜率为k=tanα=1.10分 23.(1)解法一： 当x≥3时，f(x)=(x-3)+2(x+5)=3x+7， 此时f(x)单调递增，所以f(x)的最小值为16； 当-5