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2019年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，﹣1）
2．（3分）下列各数中比3大比4小的无理数是（ ）
A． B． C．3.1 D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． + ＝ B． ＝3 C． ＝﹣2 D． ＝
4．（3分）某公司全体职工的月工资如下：
月工资（元） 18000 12000 8000 6000 4000 2500 2000 1500 1200
人数 1（总经理）2（副总经理） 3 4 10 20 22 12 6
该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的
普通员工最关注的数据是（ ）
A．中位数和众数 B．平均数和众数
C．平均数和中位数 D．平均数和极差
5．（3分）如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至
少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错
了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（ ）
A．10＜x＜12 B．12＜x＜15 C．10＜x＜15 D．11＜x＜14
7．（3分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角
形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（ ）
第1页（共20页）A．20 B．22 C．24 D．26
8．（3分）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中
的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）数轴上表示﹣3的点到原点的距离是 ．
10．（3分）不等式3x+1＞2（x+4）的解为 ．
11．（3分）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩
都是89.7，方差分别是S甲 2＝2.83，S乙 2＝1.71，S丙 2＝3.52，你认为适合参加决赛的选手是
．
12．（3分）国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000 000 001
米，将7纳米用科学记数法表示为 米．
13．（3分）二元一次方程组 的解为 ．
14．（3分）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将
△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则
∠ABD的度数是 ．
15．（3分）若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为 ．
16．（3分）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱
形．根据规定判断下面四个结论： 正方形和菱形都是广义菱形； 平行四边形是广义菱
形； 对角线互相垂直，且两组邻①边分别相等的四边形是广义菱形②； 若M、N的坐标分
③ ④
别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝ x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直
直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号）
第2页（共20页）三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．（5分）计算：6sin45°+|2 ﹣7|﹣（ ）﹣3+（2019﹣ ）0．
18．（5分）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（ ﹣ ）÷（ ﹣1）．
20．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限的图象交
于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．（7分）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择
这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
22．（7分）如图， O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，
DE∥OA，CE是 ⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙ O的切线；
⊙
第3页（共20页）（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．（8分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶
持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把
享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检査帮
扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完
整的统计图：
请根据图中信息回答下面的问题：
（1）本次抽样调查了多少户贫困户？
（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；
（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？
（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取
两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．
24．（8分）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄
长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角
∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE
＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
第4页（共20页）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，
tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且
B点的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N
作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是
矩形MNHG面积的 ？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点
N．
（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；
（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN
于点F，求证：PE+PF＝BM；
（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点
第5页（共20页）E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．
第6页（共20页）2019年湖南省常德市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．【分析】坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，
横纵坐标都变成相反数．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（1，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反
数．
2．【分析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义
即可求解．
【解答】解：∵四个选项中是无理数的只有 和 ，而 ＞4，3＜ ＜4
∴选项中比3大比4小的无理数只有 ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无
限不循环小数为无理数．
3．【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B、C进行判断；根
据分母有理化和二次根式的性质对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝ +2，所以A选项错误；
B、原式＝2 ，所以B选项错误；
C、原式＝2，所以C选项错误；
D、原式＝ ＝ ，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二
次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运
用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．【分析】根据中位数、众数、平均数及极差的意义分别判断后即可得到正确的选项．
【解答】解：∵数据的极差为16800，较大，
∴平均数不能反映数据的集中趋势，
第7页（共20页）∴普通员工最关注的数据是中位数及众数，
故选：A．
【点评】本题考查了统计量的选择的知识，解题的关键是了解有关统计量的意义，难度不
大．
5．【分析】根据左视图即从物体的左面观察得到的视图，进而得出答案．
【解答】解：如图所示，该几何体的左视图是：
．
故选：C．
【点评】此题主要考查了几何体的三视图；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形
是解决本题的关键．
6．【分析】根据题意得出不等式组解答即可．
【解答】解：根据题意可得： ，
可得：12＜x＜15，
∴12＜x＜15
故选：B．
【点评】此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答．
7．【分析】利用△AFH∽△ADE得到 ＝（ ）2＝ ，所以S△AFH ＝9x，S△ADE ＝16x，则
16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE ＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形
DBCE的面积．
【解答】解：如图，
根据题意得△AFH∽△ADE，
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝
设S△AFH ＝9x，则S△ADE ＝16x，
∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，
∴S△ADE ＝16，
第8页（共20页）∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了
相似三角形的性质．
8．【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．
【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，
∴个位数4个数一循环，
∴（2019+1）÷4＝505，
∴505×（1+7+9+3）＝10100，
∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．
故选：A．
【点评】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．【分析】表示﹣3的点与原点的距离是﹣3的绝对值．
【解答】解：在数轴上表示﹣3的点与原点的距离是|﹣3|＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了实数与数轴，熟记数轴的特点以及绝对值的几何意义是解题的关键．
10．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：3x+1＞2（x+4），
3x+1＞2x+8，
x＞7．
故答案为：x＞7．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关
键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
11．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解答】解：∵S甲 2＝2.83，S乙 2＝1.71，S丙 2＝3.52，
而1.71＜2.83＜3.52，
∴乙的成绩最稳定，
第9页（共20页）∴派乙去参赛更好，
故答案为乙．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明
这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分
布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
【解答】解：7纳米＝0.000 000 007米＝7×10﹣9米．
故答案为：7×10﹣9．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为
由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．
【解答】解：
﹣ 得x＝1
②将 ①代入 得y③＝5
③ ①
∴
故答案为：
【点评】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．
14．【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'，由等腰三角形的性质可得
∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°，即可求∠ABD的度数．
【解答】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，
∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'
∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°
∴∠ABD＝22.5°
故答案为：22.5°
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
15．【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
【解答】解：∵x2+x＝1，
第10页（共20页）∴3x4+3x3+3x+1＝3x2（x2+x）+3x+1＝3x2+3x+1＝3（x2+x）+1＝3+1＝4；
故答案为：4．
【点评】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
16．【分析】 根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等， 正
确； ① ①
平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等， 错误；
②由给出条件无法得到一组对边平行， 错误； ②
③ 设点P（m， m2），则Q（m，﹣1），由 ③ 股沟定理可得PQ＝MP＝ +1，MP＝PQ和
④
MN∥PQ，所以四边形PMNQ是广义菱形． 正确．
【解答】解： 根据广义菱形的定义，正方形和④菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，
正确； ① ①
平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等， 错误；
②由给出条件无法得到一组对边平行， 错误； ②
③设点P（m， m2），则Q（m，﹣1）③，
④
∴MP＝ ＝ ，PQ＝ +1，
∵点P在第一象限，
∴m＞0，
∴MP＝ +1，
∴MP＝PQ，
又∵MN∥PQ，
∴四边形PMNQ是广义菱形．
正确；
④故答案为 ．
【点评】本①题④考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱
形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则
计算即可求出值．
第11页（共20页）【解答】解：原式＝6× ﹣2 +7﹣8+1＝ ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】公式法的步骤： 化方程为一般形式； 找出a，b，c； 求b2﹣4ac； 代入公式
① ② ③ ④
x＝ ．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17；
∴x＝
＝ ，
∴x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【点评】本题主要考查了解一元二次方程的解法．要会熟练运用公式法求得一元二次方程
的解．此法适用于任何一元二次方程．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义
的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（ ﹣ ）÷（ ﹣1）
＝[ ]÷[ ]
＝
＝
＝
＝ ，
第12页（共20页）当x＝2时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+3上求a，进而代入反比例函数y＝ （k≠0）求k即可；
（2）设P（x，0），求得C点的坐标，则PC＝|3﹣x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解
方程即可．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y＝ ，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝ ；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC ＝ |3﹣x|×2＝5，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的
解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．
【解答】解：（1）设y甲 ＝k
1
x，根据题意得5k
1
＝100，解得k
1
＝20，∴y甲 ＝20x；
设y乙 ＝k
2
x+100，根据题意得：20k
2
+100＝300，解得k
2
＝10，∴y乙 ＝10x+100；
（2） y甲 ＜y乙 ，即20x＜10x+100，解得x＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比
较合①算；
y甲 ＝y乙 ，即20x＝10x+100，解得x＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费
第13页（共20页）
②用一样；
y甲 ＞y乙 ，即20x＞10x+100，解得x＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较
③合算．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，
正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型．
22．【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质得出∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，根据等
腰三角形的性质得出∠OED＝∠ODE，即可得出∠AOC＝∠AOD，进而证得
△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO＝∠ACB＝90°，即可证得结论；
（2）根据切割线定理求得BE，得到BC，然后根据切线长定理和勾股定理列出关于y的方
程，解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，
∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半径，
∴AB是 O的切线；
（2）解⊙：连接OD，CD，
∵BD是 O切线，
∴∠ODB⊙＝90°，
∴∠BDE+∠ODE＝90°，
∵CE是 O的直径，
∴∠CDE⊙＝90°，
第14页（共20页）∴∠ODC+∠ODE＝90°，
∴∠BDE＝∠ODC，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠BDE＝∠OCD，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCD，
∴
∴BD2＝BE•BC，
设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，
∴42＝x（x+6），
解得x＝2或x＝﹣8（舍去），
∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD、AC是 O的切线，
∴AD＝AC，⊙
设AD＝AC＝y，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（4+y）2＝y2+82，
解得y＝6，
∴AC＝6，
故AC的长为6．
第15页（共20页）【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌
握性质定理是解题的关键．
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．【分析】（1）由A类别户数及其对应百分比可得答案；
（2）总数量乘以C对应百分比可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽样调查的总户数为260÷52%＝500（户）；
（2）抽查C类贫困户为500×24%＝120（户），
补全图形如下：
（3）估计至少得到4项帮扶措施的大约有13000×（24%+16%）＝5200（户）；
（4）画树状图如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，
所以恰好选中甲和丁的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，能正确画出条形统计图和
树状图是解此题的关键．
24．【分析】过B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，根据锐角三角函数的定义即可
求出答案．
第16页（共20页）【解答】解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，
∵AB＝25，DE＝50，
∴sin37°＝ ，cos37°＝ ，
∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20，
∴BF＝50﹣15＝35，
∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°，
∴∠GBA＝53°，
∴∠CBF＝55°，
∴∠BCF＝35°，
∵tan35°＝ ，
∴CF≈ ＝50，
∴FE＝50+130＝180，
∴GD＝FE＝180，
∴AD＝180﹣20＝160，
∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于
中等题型．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．【分析】（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式，即可求解；
（2）矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，即可求
解；
第17页（共20页）（3）S△PNC ＝ ＝ ×PK×CD＝ ×PH×sin45°×3 ，解得：PH＝ ＝HG，即可求解．
【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，
故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3… ；
（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2①x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3），
则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，
矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，
∵﹣2＜0，故当x＝﹣ ＝2，C有最大值，最大值为10，
此时x＝2，点N（0，3）与点D重合；
（3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的 ，
则S△PNC ＝ ×MN×GM＝ ×2×3＝ ，
连接DC，在CD的上下方等距离处作CD的平行线m、n，
过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，
过点P作PK⊥CD于点K，
将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3 ，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
S△PNC ＝ ＝ ×PK×CD＝ ×PH×sin45°×3 ，
解得：PH＝ ＝HG，
第18页（共20页）则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝ ，
解得：x＝ ，
故点P（ ， ），
直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣ ＝﹣x+ … ，
②
联立 并解得：x＝ ，
①②
即点P′、P″的横坐标分别为 或 ；
故点P横坐标为： 或 或 ．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会
利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，
从而求出线段之间的关系．
26．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，利用AAS定理证明；
（2）根据全等三角形的性质得到BM＝NC，证明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根据相
似三角形的性质列出比例式，证明结论；
（3）根据△BMC≌△CNB，得到MC＝BN，证明△AMC∽△OMB，得到 ＝ ，根据比
例的性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CM⊥AB，BN⊥AC，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°，
在△BMC和△CNB中，
，
∴△BMC≌△CNB（AAS）；
（2）∵△BMC≌△CNB，
∴BM＝NC，
第19页（共20页）∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CMB，
∴ ＝ ，
∵PF∥AC，
∴△BFP∽△BNC，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ＝1，
∴PE+PF＝BM；
（3）同（2）的方法得到，PE﹣PF＝BM，
∵△BMC≌△CNB，
∴MC＝BN，
∵∠ANB＝90°，
∴∠MAC+∠ABN＝90°，
∵∠OMB＝90°，
∴∠MOB+∠ABN＝90°，
∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°，
∴△AMC∽△OMB，
∴ ＝ ，
∴AM•MB＝OM•MC，
∴AM×（PE﹣PF）＝OM•BN，
∴AM•PF+OM•BN＝AM•PE．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形
的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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