文档内容
2016年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）4的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．± D．±2
2．（3分）下面实数比较大小正确的是（ ）
A．3＞7 B． C．0＜﹣2 D．22＜3
3．（3分）如图，已知直线a∥b，∠1＝100°，则∠2等于（ ）
A．80° B．60° C．100° D．70°
4．（3分）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定
是红球
B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨
C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖
第1页（共24页）D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
6．（3分）若﹣x3ya与xby是同类项，则a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： b＜0； c＞0； a+c
＜b； b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（ ） ① ② ③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那
么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则
这一段时间有（ ）
A．9天 B．11天 C．13天 D．22天
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）使代数式 有意义的x的取值范围是 ．
10．（3分）计算：a2•a3＝ ．
11．（3分）如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为
．
12．（3分）已知反比例函数y＝ 的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合
条件的反比例函数解析式 ．
13．（3分）张朋将连续10天引体向上的测试成绩（单位：个）记录如下：16，18，18，16，19，
19，18，21，18，21．则这组数据的中位数是 ．
14．（3分）如图，△ABC是 O的内接正三角形， O的半径为3，则图中阴影部分的面积是
． ⊙ ⊙
第2页（共24页）15．（3分）如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D ，折痕为
1
EF，若∠BAE＝55°，则∠D AD＝ ．
1
16．（3分）平面直角坐标系中有两点M（a，b），N（c，d），规定（a，b）（c，d）＝（a+c，b+d），
则称点Q（a+c，b+d）为M，N的“和点”．若以坐标原点O与任意⊕两点及它们的“和点”
为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A（2，5），B（﹣1，3），若
以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是 ．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．（5分）计算：﹣14+ sin60°+（ ）﹣2﹣（ ）0．
18．（5分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
．
四、(本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）先化简，再求值：（ ） ，其中x＝2．
20．（6分）如图，直线AB与坐标轴分别交于A（﹣2，0），B（0，1）两点，与反比例函数的图象
在第一象限交于点C（4，n），求一次函数和反比例函数的解析式．
第3页（共24页）五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．（7分）某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批
该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．
（1）这两次各购进这种衬衫多少件？
（2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950
元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？
22．（7分）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行
常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只
正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C
处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结
果保留整数）？
（参考数据：cos75°＝0.2588，sin75°＝0.9659，tan75°＝3.732， ＝1.732， ＝1.414）
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．（8分）今年元月，国内一家网络诈骗举报平台发布了《2015年网络诈骗趋势研究报告》，
根据报告提供的数据绘制了如下的两幅统计图：
（1）该平台2015年共收到网络诈骗举报多少例？
（2）2015年通过该平台举报的诈骗总金额大约是多少亿元？（保留三个有效数字）
（3）2015年每例诈骗的损失年增长率是多少？
（4）为提高学生的防患意识，现准备从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取两人作为受骗演练对
象，请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两人的概率是多少？
第4页（共24页）24．（8分）如图，已知 O是△ABC的外接圆，AD是 O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，
且有∠EBD＝∠CA⊙B． ⊙
（1）求证：BE是 O的切线；
（2）若BC＝ ，⊙AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）已知四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE
＝AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．
（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证： △ABC≌△ADE； BF＝EF；
（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF＝①EF还成立吗？请证明②你的结论．
26．（10分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合
条件的P点的坐标（求出两点即可）；
第5页（共24页）（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与
线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME＝∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐
标．
第6页（共24页）2016年湖南省常德市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案．
【解答】解：4的平方根是：± ＝±2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
2．【分析】根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、3＜7，故本选项错误；
B、∵ ≈1.7， ≈1.4，∴ ＞ ，故本选项正确；
C、0＞﹣2，故本选项错误；
D、22＞3，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知实数比较大小的法则是解答此题的关键．
3．【分析】先根据对顶角相等求出∠3，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵∠1与∠3是对顶角，
∴∠3＝∠1＝100°，
∵a∥b，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣100°＝80°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
4．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看易得上面第一层中间有1个正方形，第二层有3个正方形．下面一层
左边有1个正方形，
故选：A．
第7页（共24页）【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5．【分析】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一
个球，一定是红球的概率是 ，故本选项错误；
B、天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，故本选项错误；
C、某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，
故本选项错误；
D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正
确．
故选：D．
【点评】本题考查的是概率的意义，熟知一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频
率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率是解答此题的关键．
6．【分析】根据同类项中相同字母的指数相同的概念求解．
【解答】解：∵﹣x3ya与xby是同类项，
∴a＝1，b＝3，
则a+b＝1+3＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项中相同字母指数相同的
概念．
7．【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，
与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．
【解答】解：∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，故 正确；
②
∵0＜﹣ ＜1，
∴b＞0，故 错误；
当x＝﹣1时①，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故 正确；
∵二次函数与③x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，故 正确
④
第8页（共24页）正确的有3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是
要明确： 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当
a＜0时，①抛物线向下开口； 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a
与b同号时（即ab＞0），对称②轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．
（简称：左同右异） 常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
8．【分析】解法一：根据题③意设有x天早晨下雨，这一段时间有y天；有9天下雨，即早上下雨
或晚上下雨都可称之为当天下雨， 总天数﹣早晨下雨＝早晨晴天； 总天数﹣晚上下
雨＝晚上晴天；列方程组解出即可①． ②
解法二：列三元一次方程组，解出即可．
【解答】解：解法一：设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，
根据题意得：
+ 得：2y＝22
①y＝1②1
所以一共有11天，
解法二：设一共有x天，早晨下雨的有y天，晚上下雨的有z天，
根据题意得： ，
解得： ，
所以一共有11天，
故选：B．
【点评】本题以天气为背景，考查了学生生活实际问题，恰当准确设未知数是本题的关键；
根据生活实际可知，早晨和晚上要么下雨，要么晴天；本题也可以用算术方法求解：
（9+6+7）÷2＝11．
第9页（共24页）二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【解答】解：∵代数式 有意义，
∴2x﹣6≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握被开方数为非负数．
10．【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．
【解答】解：a2•a3＝a2+3＝a5．
故答案为：a5．
【点评】熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．
11．【分析】过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD＝
PC，从而得解．
【解答】解：如图，过P作PD⊥OA于D，
∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB，
∴PD＝PC，
∵PC＝3，
∴PD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关
键．
12．【分析】由反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，结合反比例函数的性
质即可得出k＜0，随便写出一个小于0的k值即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，
∴k＜0．
故答案为：y＝﹣ ．
第10页（共24页）【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出k＜0．本题属于基础题，难度不
大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质得出k的取值范
围是关键．
13．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平
均数）为中位数．
【解答】解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：16，16，18，18，18，18，19，19，21，
21．
位于最中间的两个数都是18，
所以这组数据的中位数是18．
故答案为：18．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一
定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间
的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
14．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积
公式计算可得．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
根据圆周角定理可得∠AOB＝2∠C＝120°，
∴阴影部分的面积是 ＝3 ，
π
故答案为：3 ．
【点评】本题π主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理
求得圆心角度数是解题的关键．
15．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D AE＝∠BAD，得出∠D AD＝∠BAE
1 1
＝55°即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，
由折叠的性质得：∠D AE＝∠C，
1
∴∠D AE＝∠BAD，
1
∴∠D AD＝∠BAE＝55°；
1
故答案为：55°．
第11页（共24页）【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质；由平行四边形和折叠的性质得出
∠D AE＝∠BAD是解决问题的关键．
1
16．【分析】以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，分3种情况讨论： C为
点A、B的“和点”； B为A、C的“和点”； A为B、C的“和点”，再根据点①A、B的
坐标求得点C的坐标②． ③
【解答】解：∵以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，
当C为A、B的“和点”时，C点的坐标为（2﹣1，5+3），即C（1，8）；
①当B为A、C的“和点”时，设C点的坐标为（x
1
，y
1
），
②
则 ，解得C（﹣3，﹣2）；
当A为B、C的“和点”时，设C点的坐标为（x ，y ），
2 2
③
则 ，解得C（3，2）；
∴点C的坐标为（1，8）或（﹣3，﹣2）或（3，2）．
故答案为：（1，8）或（﹣3，﹣2）或（3，2）．
【点评】本题主要考查了点的坐标，解决问题的关键是掌握“和点”的定义和“和点四边
形”的定义．坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出
算式﹣14+ sin60°+（ ）﹣2﹣（ ）0的值是多少即可．
【解答】解：﹣14+ sin60°+（ ）﹣2﹣（ ）0
＝﹣1+2 × +4﹣1
＝﹣1+3+3
＝5
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行
实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数
第12页（共24页）的运算律在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： a0＝1
（a≠0）； 00≠1． ①
（3）此题还②考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．
（4）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： a﹣p
①
＝ （a≠0，p为正整数）； 计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计
②
算； 当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
18．【分析③】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解
集，表示在数轴上即可．
【解答】解： ，
由 得：x≥﹣ ，
①
由 得：x＜4，
②
∴不等式组的解集为﹣ ≤x＜4，
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运
算法则是解本题的关键．
四、(本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝[ + ]÷[ ﹣ ]
＝ ÷
＝ ÷
＝ •
第13页（共24页）＝ ，
当x＝2时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类问题时要注意把分式化为最简形式，
再代入求值．
20．【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+b，把A（﹣2，0），B（0，1）代入得出方程组，解方程
组即可；求出点C的坐标，设反比例函数的解析式为y＝ ，把C（4，3）代入y＝ 求出m
即可．
【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣2，0），B（0，1）代入得： ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为y＝ x+1；
设反比例函数的解析式为y＝ ，
把C（4，n）代入得：n＝3，
∴C（4，3），
把C（4，3）代入y＝ 得：m＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝ ．
【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式，一次函数和和反比例函数的交点问
题，函数的图象的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力．
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．【分析】（1）设第一批衬衫每件进价是x元，则第二批每件进价是（x﹣10）元，再根据等量
关系：第二批进的件数＝ ×第一批进的件数可得方程；
（2）设第二批衬衫每件售价y元，由利润＝售价﹣进价，根据这两批衬衫售完后的总利润
不低于1950元，可列不等式求解．
第14页（共24页）【解答】解：（1）设第一批衬衫每件进价是x元，则第二批每件进价是（x﹣10）元，根据题意
可得： ，
解得：x＝150，
经检验x＝150是原方程的解，
第一批衬衫每件进价是150元，第二批每件进价是140元，
（件）， （件），
答：第一批衬衫进了30件，第二批进了15件；
（2）设第二批衬衫每件售价y元，根据题意可得：
30×（200﹣150）+15（y﹣140）≥1950，
解得：y≥170，
答：第二批衬衫每件至少要售170元．
【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出
方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解．
22．【分析】过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD的长，在直
角三角形BCD中，求出CD的长，由AD+DC求出AC的长即可．
【解答】解：过B作BD⊥AC，
∵∠BAC＝75°﹣30°＝45°，
∴在Rt△ABD中，∠BAD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
由勾股定理得：BD＝AD＝ ×20＝10 （海里），
在Rt△BCD中，∠C＝15°，∠CBD＝75°，
∴tan∠CBD＝ ，即CD＝10 ×3.732＝52.77048，
则AC＝AD+DC＝10 +10 ×3.732＝66.91048≈67（海里），即我海监执法船在前往监
视巡查的过程中行驶了67海里．
第15页（共24页）【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解
本题的关键．
六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．【分析】（1）利用条形统计图求解；
（2）利用2015年每例诈骗的损失乘以2015年收到网络诈骗举报的数量即可；
（3）用2015年每例诈骗的损失减去2014年每例诈骗的损失，然后用其差除以2014年每
例诈骗的损失即可；（4）画树状图（用A、B、C、D分别表示甲乙丙丁）展示所有12种等可
能的结果数，再找出选中甲、乙两人的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）该平台2015年共收到网络诈骗举报24886例；
（2）2015年通过该平台举报的诈骗总金额大约是24886×5.106≈1.27亿元；
（3）2015年每例诈骗的损失年增长率＝（5106﹣2070）÷2070＝147%；
（4）画树状图为：（用A、B、C、D分别表示甲乙丙丁）
共有12种等可能的结果数，其中选中甲、乙两人的结果数为2，
所以恰好选中甲、乙两人的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求
出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概
率．也考查了统计图．
24．【分析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD＝∠CAB从而得到∠BAD＝
∠EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可；
（2）利用三角形的中位线先求出OF，再用平行线分线段成比例定理求出半径R，最后根据
相似求出BE即可．
【解答】解：如图，
连接OB，∵BD＝BC，
第16页（共24页）∴∠CAB＝∠BAD，
∵∠EBD＝∠CAB，
∴∠BAD＝∠EBD，
∵AD是 O的直径，
∴∠ABD⊙＝90°，OA＝BO，
∴∠BAD＝∠ABO，
∴∠EBD＝∠ABO，
∴∠OBE＝∠EBD+∠OBD＝∠ABD+∠OBD＝∠ABD＝90°，
∵点B在 O上，
∴BE是 ⊙O的切线，
⊙
（2）如图2，
设圆的半径为R，连接CD，
∵AD为 O的直径，
∴∠ACD⊙＝90°，
∵BC＝BD，
∴OB⊥CD，
∴OB∥AC，
∵OA＝OD，
∴OF＝ AC＝ ，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠BDE＝∠ACB，
∵∠DBE＝∠ACB，
∴△DBE∽△CAB，
∴ ，
第17页（共24页）∴ ，
∴DE＝ ，
∵∠OBE＝∠OFD＝90°，
∴DF∥BE，
∴ ＝ ，
∴ ，
∵R＞0，
∴R＝3，
∴AD＝2R＝6，
在Rt△ODF中，OF＝ ，OD＝R＝3，
∴DF＝ ＝
∵ ，
∴BE＝ ＝ ＝
【点评】此题是切线的判定，主要考查了圆周角的性质，切线的判定，平行线分线段成比例
定理，相似三角形的判定和相似，圆内接四边形的性质，解本题的关键是作出辅助线．
七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．【分析】（1） 利用SAS证全等；
易证得：BC∥①FH和CH＝HE，根据平行线分线段成比例定理得BF＝EF，也可由三角
②形中位线定理的推论得出结论．
（2）作辅助线构建平行线和全等三角形，首先证明△MAE≌△DAC，得AD＝AM，根据等
量代换得AB＝AM，根据 同理得出结论．
【解答】证明：（1） 如②图1，
∵AB⊥AD，AE⊥AC，①
第18页（共24页）∴∠BAD＝90°，∠CAE＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△ABC和△ADE中，
∵ ，
∴△ABC≌△ADE（SAS）；
如图1，
②∵△ABC≌△ADE，
∴∠AEC＝∠3，
在Rt△ACE中，∠ACE+∠AEC＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∵AH⊥CD，AE＝AC，
∴CH＝HE，
∵∠AHE＝∠BCE＝90°，
∴BC∥FH，
∴ ＝ ＝1，
∴BF＝EF；
（2）结论仍然成立，理由是：
如图2所示，过E作MN∥AH，交BA、CD延长线于M、N，
∵∠CAE＝90°，∠BAD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠1+∠CAD＝90°，
∴∠2＝∠CAD，
∵MN∥AH，
∴∠3＝∠HAE，
∵∠ACH+∠CAH＝90°，∠CAH+∠HAE＝90°，
∴∠ACH＝∠HAE，
∴∠3＝∠ACH，
在△MAE和△DAC中，
第19页（共24页）∵
∴△MAE≌△DAC（ASA），
∴AM＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝AM，
∵AF∥ME，
∴ ＝ ＝1，
∴BF＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例的性质，本题的关键
是能正确找出全等三角形；在几何图形中证明线段相等或已知线段相等的一般思路是：
证明相等线段所在的三角形全等； 利用相等线段的比值为1证相等．
26．【①分析】（1）设抛物线的解析式为y＝②a（x+1）（x﹣4），然后将（0，﹣2）代入解析式即可求
出a的值；
（2）当△PBH与△AOC相似时，△PBH是直角三角形，由 可知∠AHB＝90°，所以
求出直线AH的解析式后，联立一次函数与二次函数的解析式后即可求出P的坐标；
（3）设 M 的坐标为（m，0），由∠BME＝∠BDC 可知∠EMC＝∠MBD，所以
第20页（共24页）△NCM∽△MDB，利用对应边的比相等即可得出CN与m的函数关系式，利用二次函数
的性质即可求出m＝ 时，CN有最大值，然后再证明△EMB∽△BDM，即可求出E的坐
标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），
把（0，﹣2）代入y＝a（x+1）（x﹣4），
∴a＝ ，
∴抛物线的解析式为：y＝ x2﹣ x﹣2；
（2）当△PBH与△AOC相似时，
∴△AOC是直角三角形，
∴△PBH也是直角三角形，
由题意知：H（0，2），
∴OH＝2，
∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴OA＝1，OB＝4，
∴AH＝ ，BH＝2 ，
∴AH2+BH2＝AB2，
∴∠AHB＝90°，
且∠ACO＝∠AHO＝∠HBA，
∴△AOC∽△AHB，
∴A（﹣1，0）符合要求，
取AB中点G，则G（ ，0），
连接HG并延长至F使GF＝HG，连接AF，
则四边形AFBH为矩形，
∴∠HBD＝90°，∠BHG＝∠GBH＝∠AHO＝∠ACO，
且F点坐标为（3，﹣2），
第21页（共24页）将F（3，﹣2）代入y＝ x2﹣ x﹣2得，F在抛物线上，
∴点（3，﹣2）符合要求，
所以符合要求的P点的坐标为（﹣1，0）和（3，﹣2）．
（3）过点M作MF⊥x轴于点F，
设点E的坐标为（n，0），M的坐标为（m，﹣2），
∵∠BME＝∠BDC，
∴∠EMC+∠BME＝∠BDC+∠MBD，
∴∠EMC＝∠MBD，
∵CD∥x轴，
∴D的纵坐标为﹣2，
令y＝﹣2代入y＝ x2﹣ x﹣2，
∴x＝0或x＝3，
∴D（3，﹣2），
∵B（4，0），
∴由勾股定理可求得：BD＝ ，
∵M（m，﹣2），
∴MD＝3﹣m，CM＝m（0≤m≤3）
∴由抛物线的对称性可知：∠NCM＝∠BDC，
∴△NCM∽△MDB，
∴ ，
∴ ，
∴CN＝ ＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
∴当m＝ 时，CN可取得最大值，
∴此时M的坐标为（ ，﹣2），
∴MF＝2，BF＝ ，MD＝
第22页（共24页）∴由勾股定理可求得：MB＝ ，
∵E（n，0），
∴EB＝4﹣n，
∵CD∥x轴，
∴∠NMC＝∠BEM，∠EBM＝∠BMD，
∴△EMB∽△BDM，
∴ ，
∴MB2＝MD•EB，
∴ ＝ ×（4﹣n），
∴n＝﹣ ，
∴E的坐标为（﹣ ，0）．
【点评】本题考查函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，联立解析式求交点坐标，相
第23页（共24页）似三角形判定与性质，二次函数最值等知识，内容较为综合，需要学生灵活运用知识去解
决问题．
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