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2019 年辽宁省盘锦市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 的绝对值是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义即可解决．
【详解】在数轴上，点 到原点的距离是 ，
所以， 的绝对值是 ，
故选C．
【点睛】错因分析 容易题，失分原因：未掌握绝对值的概念.
2. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 2018年1月至8月，沈阳市汽车产量为60万辆，其中60万用科学记数法表示为（ ）
A. 6×10 B. 0.6×10 C. 6×10 D. 6×10
【答案】D
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．
当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：60万＝600000＝6×105，
故选D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 如图，是由4个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上面看得到的图形是：
故选B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. 2x•3x ＝5x B. x +x ＝x
C. （x y） ＝x y D. （x+1） ＝x +1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据单项式乘单项式、合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方以及完全平方公式进行计算即可．
【详解】A、原式＝6x3，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式＝x6y3，符合题意；
D、原式＝x2+2x+1，不符合题意，
故选C．
【点睛】此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握
公式及法则是解本题的关键．
6. 在中考体育加试中，某班30名男生的跳远成绩如下表：
成绩/m 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.25
人数 2 3 9 8 5 3
这些男生跳远成绩的众数、中位数分别是（ ）
A. 2.10，2.05 B. 2.10，2.10 C. 2.05，2.10 D. 2.05，2.05
【答案】C
【解析】
【分析】
中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数
据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【详解】由表可知，2.05出现次数最多，所以众数为2.05；
由于一共调查了30人，
所以中位数为排序后的第15人和第16人的平均数，即：2.10．
故选C．
【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数
个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
7. 如图，点P（8，6）在 ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将 ABC缩小到原来的
△ △
，得到 A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为（ ）
△
A. （4，3） B. （3，4） C. （5，3） D. （4，4）
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点 的
坐标的比等于k或−k，进而结合已知得出答案．
【详解】∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的
，得到△A′B′C′，
∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．
故选A．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 方差越大，数据波动越小
B. 了解辽宁省初中生身高情况适合采用全面调查
C. 抛掷一枚硬币，正面向上是必然事件
D. 用长为3cm，5cm，9cm的三条线段围成一个三角形是不可能事件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据随机事件的定义，全面调查和抽样调查以及方差的意义分别分析得出答案．
【详解】A、方差越大，数据波动越大，故本选项错误；B、了解辽宁省初中生身高情况适合采用抽样调查，故本选项错误；
C、抛掷一枚硬币，正面向上是不确定事件，故本选项错误；
D、用长为3cm，5cm，9cm的三条线段围成一个三角形是不可能事件，故本选项正确；
故选D．
【点睛】此题考查了随机事件、全面调查和抽样调查以及方差，熟练掌握随机事件的定义，全面调查和抽
样调查以及方差的意义是解题的关键．
9. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F
为圆心、大于 BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF．下列结论中不
一定成立的是（ ）
A. BE＝EF B. EF∥CD C. AE平分∠BEF D. AB＝AE
【答案】D
【解析】
【分析】
首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．
【详解】由尺规作图可知：AF＝AB，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA．
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AF＝AB，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE平分∠BEF，BE＝EF，EF∥AB，故选项A、C正确，∵CD∥AB，
∴EF∥CD，故选项B正确；
故选D．
【点睛】本题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于
中考常考题型．
10. 如图，四边形ABCD是矩形，BC＝4，AB＝2，点N在对角线BD上（不与点B，D重合），EF，GH过
点N，GH∥BC交AB于点G，交DC于点H，EF∥AB交AD于点E，交BC于点F，AH交EF于点M．设
BF＝x，MN＝y，则y关于x的函数图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求 出 ， ， y ＝ EF−EM−NF ＝
2−BFtan∠DBC−AEtan∠DAH，即可求解．
【详解】解： ，
y＝EF﹣EM﹣NF＝2﹣BFtan∠DBC﹣AEtan∠DAH＝2﹣x× ﹣x（ ）＝ x2﹣x+2，故选B．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数，此类问题关键是确定函数的表达式，进而求解．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 代数式 有意义，则x的取值范围是__．
【答案】x＞1
【解析】
【分析】
根据被开方式大于零列式解答即可.
【详解】解：由题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故答案为x＞1．
【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考
虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代
数式是二次根式时，被开方数为非负数．
12. 计算：（2 +3 ）（2 ﹣3 ）＝_____．
【答案】2．
【解析】
【分析】
利用平方差公式进行计算即可.
【详解】原式＝（2 ）2﹣（3 ）2
＝20﹣18
＝2．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，是基础知识，要熟练掌握.
13. 不等式组 的解集是_____．
【答案】 ＜x≤3．【解析】
【分析】
分别求出每个不等式的解集，再求其解集的公共部分即可．
【详解】 ，
由①得，x≤3，
由②得，x＞ ，
原不等式组的解集为 ＜x≤3，
故答案为 ＜x≤3．
【点睛】此题考查了不等式组的解法，求不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小
大大小中间找，大大小小解不了．
14. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，
任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则
a的值约为_____．
【答案】30．
【解析】
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定
在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】由题意可得， ×100%＝20%，
解得，a＝30．
为
故答案 30．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量
关系．
15. 某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆15km，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆．已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生
骑自行车的速度是_____km/h．
【答案】20．
【解析】
【分析】
设学生骑自行车的速度是xkm/h，则公交车的速度是1.5xkm/h．根据骑自行车走15km多用15min列出方程
并解答即可．
【详解】设骑车学生每小时走x千米，
据题意得： ，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
答：骑车学生每小时行20千米．
故答案是：20．
【点睛】本题是分式方程的应用，找等量关系是本题的关键；这是一道行程问题，汽车和学生的路程、速
度、时间三个量要准确把握，以走完全程的时间为依据列分式方程，注意单位要统一．
16. 如图，四边形ABCD是矩形纸片，将 BCD沿BD折叠，得到 BED，BE交AD于点F，AB＝3．AF：
FD＝1：2，则AF＝_____． △ △
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得到AD∥BC，∠A＝90°，求得∠ADB＝∠DBC，得到FB＝FD，设AF＝x（x＞0），则
FD＝2x，求得FB＝FD＝2x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠DBC＝∠DBF，∴∠ADB＝∠DBF，
∴FB＝FD，
∵AF：FD＝1：2，
∴设AF＝x（x＞0），则FD＝2x，
∴FB＝FD＝2x，
∵AB2+AF2＝FB2，
∴32+x2＝（2x）2，
∵x＞0，
∴x＝ ，
∴AF＝ ，
故答案为 ．
【点睛】此题考查了四边形综合题，结合折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理解答．注意掌握折叠前后
图形的对应关系是解题的关键．
17. 如图， ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，
EA⊥BD于△点F．若OD＝2，则BC＝_____．
【答案】4 .
【解析】
【分析】
根据垂径定理得到AD＝DC，由等腰三角形的性质得到AB＝2OD＝2×2＝4，得到∠BAE＝∠CAE＝
∠BAC＝ ×90°＝45°，求得∠ABD＝∠ADB＝45°，求得AD＝AB＝4，于是得到DC＝AD＝4，根据勾
股定理即可得到结论．
【详解】∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，∵BO＝CO，
∴AB＝2OD＝2×2＝4，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠COE＝90°，
∴ ，
∴∠BAE＝∠CAE＝ ∠BAC＝ ×90°＝45°，
∵EA⊥BD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝4，
∴DC＝AD＝4，
∴AC＝8，
∴BC＝ ＝ ＝4 ．
故答案为4 ．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的识别图形是解题
的关键．
18. 如图，点A，A，A…，A 在x轴正半轴上，点C ，C ，C ，…， 在y轴正半轴上，点B，B，
1 2 3 n 1 2 3 1 2
B，…，B 在第一象限角平分线OM上，OB＝BB＝BB＝…＝B B＝ a，AB⊥BC ，AB⊥BC ，
3 n 1 1 2 2 3 n﹣1 n 1 1 1 1 2 2 2 2
AB⊥BC ，…， ，…，则第n个四边形 的面积是____．
3 3 3 3【答案】 .
【解析】
【分析】
过点 作 于点 E，过点 作 于点 F，过点 分别作 于点 H，
于点N，先证明： （AAS），再证明： （AAS），即可
证得： 进而可得： ，同理可得：
， ，…， ．
【详解】如图，过点C 作C E⊥OB 于点E，过点A 作AF⊥OB 于点F，过点B 分别作B H⊥OC 于点H，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
B N⊥OA 于点N，
1 1
∵∠B OC ＝∠B OA ，
1 1 1 1
∴B H＝B N
1 1
∵∠HB N＝∠C BA＝90°
1 1 1
∴∠HB C ＝∠NB A
1 1 1 1
∵∠B HC ＝∠B NA ＝90°
1 1 1 1
∴△B HC ≌△B NA （AAS）
1 1 1 1
∴B C ＝B A
1 1 1 1
∵∠C B F+∠A B F＝90°，∠AB F＝90°
1 1 1 1 1 1
∴∠C B F＝∠B AF
1 1 1 1
∵∠C EB ＝∠B FA＝90°
1 1 1 1
∴△B C E≌△A B F（AAS）
1 1 1 1
∴C E＝B F
1 1
∵∠B OA ＝45°
1 1
∴∠FA O＝45°
1
∴AF＝OF
1
∴C E+A F＝B F+OF＝OB
1 1 1 1＝ •C E+ ＝ （C E+A F）＝ ＝ ＝
1 1 1
，
同理， ＝ ＝ ＝ ，
＝ ＝ ，
…，
＝ ＝ ＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线性质，等腰直角三角形性质，找规律，三角形面积
等；属于填空压轴题，综合性强，难度较大，解题时要善于发现和总结规律．
三、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 先化简，再求值：（m+ ）÷（m﹣2+ ），其中m＝3tan30°+（π﹣3）0．
【答案】 ，原式＝ .
【解析】
【分析】
本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．【详解】原式＝ ÷
＝
，
m＝3tan30°+（π﹣3）0＝3× +1＝ ，
原式＝ ＝ ＝ ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
20. 随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注．某校学生会为了了解垃圾分类知识的普及情
况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制
成下面两幅统计图．
（1）求：本次被调查的学生有多少名？补全条形统计图．
（2）估计该校1200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少．
（3）被调查的“非常了解”的学生中有2名男生，其余为女生，从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交
流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）本次被调查的学生有50人，补全图形见解析；（2）估计该校1200名学生中“非常了解”与
“了解”的人数和是408人；（3）恰好抽到一男一女的概率为 ．
【解析】【分析】
（1）由“了解”的人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以对应的百分比可求出“非常了解”、“了解很
少”的人数，继而求出“不了解”的人数，从而补全图形；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】（1）本次被调查的学生有由12÷24%＝50（人），
则“非常了解”的人数为50×10%＝5（人），
“了解很少”的人数为50×36%＝18（人），
“不了解”的人数为50﹣（5+12+18）＝15（人），
补全图形如下：
（2）估计该校1200名学生中“非常了解”与“了解” 的人数和是1200× ＝408（人）；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中恰好抽到一男一女的有12种结果，
所以恰好抽到一男一女的概率为 ＝ ．
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率＝所求情况数与总情
况数之比．
四、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21. 如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF＝2m，∠CEB＝30°，∠CDB＝
45°，求CB部分的高度．（精确到0.1m．参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
【答案】CB部分的高度约为3.4m．
【解析】
【分析】
设CB部分的高度为 ，则BC＝ ，CD＝ ，CE＝2 ，结合CE＝CF＝CD＋DF即可得出关于
x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设CB部分的高度为xm．
∵∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴BC＝BD＝xm．
在Rt△BCD中，CD＝ ＝ ＝ x（m）．
在Rt△BCE中，∵∠BEC＝30°，
∴CE＝2BC＝2x（m）．
∵CE＝CF＝CD+DF，
∴2x＝ x+2，
解得：x＝2+ ．
∴BC＝2+ ≈3.4（m）．
答：CB部分的高度约为3.4m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形及CE＝CF＝CD＋DF，找出关于x的一元一
次方程是解题的关键．22. 如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y＝﹣ 的图象上，点B在第一象限y＝ 的图象上，
1 2
AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝ ，S ＝ S ．
矩形OCBE 矩形ODAE
（1）求点B的坐标．
（2）若点P在x轴上，S ＝3，求直线BP的解析式．
BPE
△
【答案】（1）B（ ，2）；（2）直线BP的解析式是y＝ x+1或y＝﹣ x+3．
【解析】
【分析】
（1）根据反比例函数系数k的几何意义求得k＝3，得出 ，由题意可知B的横坐标为 ，代入即可
求得B的坐标；
（2）设P（a，0），根据三角形面积求得P的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BP的解析式．
【详解】（1）∵S ＝ S ，点B在第一象限y＝ 的图象上，
矩形OCBE 矩形ODAE 2
∵点A在第四象限y＝﹣ 的图象上，
1
∴S ＝2
矩形ODEA
∴S ＝ ×2＝3，
矩形OCBE
∴k＝3，∴y＝ ，
2
∵OE＝AD＝ ，
∴B的横坐标为 ，
代入y＝ 得，y＝ ＝2，
2
∴B（ ，2）；
（2）设P（a，0），
∵S ＝ PE•BE＝ ，
△BPE
解得a＝﹣ 或 ，
∴点P（﹣ ，0）或（ ，0），
设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0），
①若直线过（ ，2），（﹣ ，0），
则 ，解得 ，
∴直线BP的解析式为y＝ x+1；
②若直线过（ ，2），（ ，0），则 ，解得 ，
∴直线BP的解析式为y＝﹣ x+3；
综上，直线BP的解析式是y＝ x+1或y＝﹣ x+3．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次
函数的解析式，求得B点的坐标是解题的关键．
五、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23. 如图， ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O
于点E，EF△∥AB交AG于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切．
（2）若EF＝2 ，AC＝4，求扇形OAC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）S ＝ .
扇形OAC
【解析】
【分析】
（1）连接OE，由条件知∠D＝∠OED，证出∠OED＝∠G，可得OE∥AG，证明∠OEF＝180°−∠AFE＝
90°，即OE⊥EF，则EF与⊙O相切．
（2）连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，求出CH，OH的长，再求出OC的长，得出△AOC是等边三角
形，则∠AOC＝60°，可求出扇形OAC的面积．
【详解】（1）证明：如图1，连接OE，∵OD＝OE，
∴∠D＝∠OED，
∵AD＝AG，
∴∠D＝∠G，
∴∠OED＝∠G，
∴OE∥AG，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵EF∥AB，
∴∠BAF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝90°，
∵OE∥AG，
∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，
∴OE⊥EF，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，
∵AC＝4，
∴CH＝ ，
∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFH是矩形，
∴ ，
在Rt△OHC中，
OC＝ ＝ ＝4，
∵OA＝AC＝OC＝4，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴S ＝ ＝ ．
扇形OAC
【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，扇形面积的
计算等知识，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握圆的有关性质．
六、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
24. 2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y
1
（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y
2
（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，
为9元，如图所示．
月份x … 3 4 5 6 …
售价y/元 … 12 14 16 18 …
1
（1）求y 与x之间的函数关系式．
1
（2）求y 与x之间的函数关系式．
2
（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉
所第获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y ＝2x+6；（2）y ＝ x2﹣ x+ ；（3）w＝﹣ x2+ x﹣ ，7月份销售每千克猪肉
1 2所第获得的利润最大，最大利润是77元7．
【解析】
【分析】
（1）设 与x之间 的函数关系式为 ，将（3，12）（4，14）代入 解方程组即可得到结论；
（2）由题意得到抛物线的顶点坐标为（3，9），设 与x之间的函数关系式为： ＝ ，将
（5，10）代入 ＝ 得 ＝10，解方程即可得到结论；
（3）由题意得到w＝ − ＝2x＋6− ＋ x− ＝− ＋ x− ，根据二次函数的性质即可得
到结论．
【详解】（1）设y 与x之间 的函数关系式为y＝kx+b，
1 1
将（3，12）（4，14）代入y 得， ，
1
解得： ，
∴y 与x之间的函数关系式为：y＝2x+6；
1 1
（2）由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9），
∴设y 与x之间的函数关系式为：y＝a（x﹣3）2+9，
2 2
将（5，10）代入y＝a（x﹣3）2+9得a（5﹣3）2+9＝10，
2
解得：a＝ ，
∴y＝ （x﹣3）2+9＝ x2﹣ x+ ；
2
（3）由题意得，w＝y﹣y＝2x+6﹣ x2+ x﹣ ＝﹣ x2+ x﹣ ，
1 2∵﹣ ＜0，
∴w由最大值，
∴当x＝﹣ ＝﹣ ＝7时，w ＝﹣ ×72+ ×7﹣ ＝7．
最大
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解
析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键．
七、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
25. 如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，点E在射线AC上（不包括点A和点C），过点E的直线
GH交直线AD于点G，交直线BC于点H，且GH∥DC，点F在BC的延长线上，CF＝AG，连接ED，
EF，DF．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，
①判断 AEG的形状，并说明理由．
②求证△： DEF是等边三角形．
（2）如图△2，当点E在AC的延长线上时， DEF是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，
请说明理由． △
【答案】（1）① AEG是等边三角形；理由见解析；②证明见解析；（2） DEF是等边三角形；理由见
解析； △ △
【解析】
【分析】
（1）①由菱形的性质得出AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠CAD＝ ∠BAD＝60°，由平行
线的性质得出∠BAD＋∠ADC＝180°，∠ADC＝60°，∠AGE＝∠ADC＝60°，得出∠AGE＝∠EAG＝
∠AEG＝60°，即可得出△AEG是等边三角形；
②由等边三角形的性质得出AG＝AE，由已知得出AE＝CF，由菱形的性质得出∠BCD＝∠BAD＝120°，
得出∠DCF＝60°＝∠CAD，证明△AED≌△CFD（SAS），得出 DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，再证出∠EDF＝60°，即可得出△DEF是等边三角形；
（2）同（1）①得：△AEG是等边三角形，得出 AG＝AE，由已知得出AE＝CF，由菱形的性质得出
∠BCD＝∠BAD＝120°，∠CAD＝ ∠BAD＝60°，得出∠FCD＝60°＝∠CAD，证明△AED≌△CFD
（SAS），得出DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，再证出∠EDF＝60°，即可得出△DEF是等边三角形．
【详解】（1）①解：△AEG是等边三角形；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠CAD＝ ∠BAD＝60°，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝60°，
∵GH∥DC，
∴∠AGE＝∠ADC＝60°，
∴∠AGE＝∠EAG＝∠AEG＝60°，
∴△AEG是等边三角形；
②证明：∵△AEG是等边三角形，
∴AG＝AE，
∵CF＝AG，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠DCF＝60°＝∠CAD，
在△AED和△CFD中， ，
∴△AED≌△CFD（SAS）
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝60°，
∴∠CDF+∠CDE＝60°，
即∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
（2）解：△DEF是等边三角形；理由如下：
同（1）①得：△AEG是等边三角形，∴AG＝AE，
∵CF＝AG，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，∠CAD＝ ∠BAD＝60°，
∴∠FCD＝60°＝∠CAD，
在△AED和△CFD中， ，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝60°，
∴∠CDF﹣∠CDE＝60°，
即∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性
质、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
八、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤）
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴
于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形
OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于
点H，设点E（a，0）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若 AOC与 FEB相似，求a的值．
（3）当△PH＝2时△，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）a＝ 或 ；（3）点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（ ，4）．
【解析】
【详解】（1）点C（0，4），则c＝4，
二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）tan∠ACO＝ ＝ ，
△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，
即：tan∠FEB＝ 或4，
∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，
EB＝4﹣a，
则 或 ，
解得：a＝ 或 ；
（3）令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；
分别延长CF、HP交于点N，
∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，
∴∠FPN＝∠NFB，
∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，
∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，
∴△PNF≌△BEF（AAS），
∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，
∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4），
∵PH＝2，即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，
解得：a＝1或 或 或 （舍去），
故：点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（ ，4）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
