文档内容
威海市 2024 年初中学业考试
数 学
注意事项：
1．本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交
回．
2．答题前，请务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡和试卷
规定的位置上．
3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答
案一律无效．
4．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案标号、作图题用 2B铅笔（加黑加粗，描写清楚）或 0.5毫米的黑色签字笔作
答．其它题目用0.5毫米的黑色签字笔作答．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新
的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1. 一批食品，标准质量为每袋 ．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表
示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近
标准是哪一袋．
【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．
∴
∴最接近标准质量的是
故选：C．
2. 据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国
家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新
了光
量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九
章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机
花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为
，其中 ， 为整数．
【详解】解：百万分之一 ．
故选：B．
3. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解．
【详解】解： ，
∵
∴最小的数是
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，根据合并同类项、同底数幂的除法、积
的乘方的运算法则计算即可．
【详解】A、 ，运算错误，该选项不符合题意；
B、 ，运算错误，该选项不符合题意；
C、 ，运算正确，该选项符合题意；
D、 ，运算错误，该选项不符合题意．
故选：C
5. 下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】本题考查了三视图；分别画出四个选项中几何体的左视图与俯视图，通过比较即可得出答案．
【详解】解：A、主视图为 ，左视图为 ，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意；
B、主视图为 ，左视图为 ，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意；
C、主视图为 ，左视图为 ，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意；
D、主视图为 ，左视图为 ，主视图与左视图相同，故该选项符合题意；
故选：D．
6. 如图，在扇形 中， ，点 是 的中点．过点 作 交 于点 ，过点
作 ，垂足为点 ．在扇形内随机选取一点 ，则点 落在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形 的面积，即可
求解．
【详解】解： ， ，
∴四边形 ∵ 是矩形，
∴
∴
∵点 是 的中点
∴
∴
∴
∴ ， ，点 落在阴影部分的概率是
故选：B．
7. 定义新运算：
①在平面直角坐标系中， 表示动点从原点出发，沿着 轴正方向（ ）或负方向（ ）．
平移 个单位长度，再沿着 轴正方向（ ）或负方向（ ）平移 个单位长度．例如，动点从
原点出发，沿着 轴负方向平移 个单位长度，再沿着 轴正方向平移 个单位长度，记作 ．
②加法运算法则： ，其中 ， ， ， 为实数．
若 ，则下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出 ，即可求解．
【详解】解： ，
∴ ∵
解得： ，
故选：B．
8. 《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多
四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳
子折成三等份，一份绳长比井深多 尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多 尺．绳长、井深各
是多少尺？若设绳长 尺，井深 尺，则符合题意的方程组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折
测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键．
【详解】解：设绳长x尺，井深y尺，依题意，得： ．
故选：C．
9. 如图，在 中，对角线 ， 交于点 ，点 在 上，点 在 上，连接 ，
， ， 交 于点 ．下列结论错误的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性
质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A，根据题意可得四边形 是 的角平分线，
进而判断四边形 是菱形，证明 可得 则 垂直平分 ，即可判
断B选项，证明四边形 是菱形，即可判断C选项，D选项给的条件，若加上 ，则成
立，据此，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴
A. 若 ，即 ，又 ，
∴
∴
∴ ，故A选项正确，
B. 若 ， ， ，
∴ 是 的角平分线，
∴
∵
∴∴
∴
∴四边形 是菱形，
∴
在 中，
∴
∴
又∵
∴
∴ ，故B选项正确，
C. ∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∵
∴
∴四边形 是菱形，
又∵
∴ ，则
∴
∴
∴ ，故C选项正确；
D. 若 ，则四边形 是菱形，
由 ，且 时，
可得 垂直平分 ，
∵
∴ ，故D选项不正确
故选：D．
10. 同一条公路连接 ， ， 三地， 地在 ， 两地之间．甲、乙两车分别从 地、 地同时出发前
往 地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离
（ ）与时间 （ ）的函数关系．下列结论正确的是（ ）A. 甲车行驶 与乙车相遇 B. ， 两地相距
C. 甲车的速度是 D. 乙车中途休息 分钟
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象结合选项，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：根据函数图象可得 两地之间的距离为 （ ）
两车行驶了 小时，同时到达 地，
如图所示，在 小时时，两侧同向运动，在第2小时，即点 时，两者距离发生改变，此时乙车休
息，
点的意义是两车相遇， 点意义是乙车休息后再出发，
乙车休息了1小时，故D不正确，
∴设甲车的速度为 ，乙车的速度为 ，
根据题意，乙车休息后两者同时到达 地，则甲车的速度比乙车的速度慢，
∵
即
在 时，乙车不动，则甲车的速度是 ，
∴乙车速度为 ，故C不正确，
∴ 的距离为 千米，故B不正确，
设 小时两辆车相遇，依题意得，
解得： 即 小时时，两车相遇，故A正确
故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）
11. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：
故答案为： ．
12. 因式分解： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公
式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为： ．
13. 如图，在正六边形 中， ， ，垂足为点 I．若 ，则
________．
【答案】 ##50度
【解析】
【分析】本题考查了正六边形的内角和、平行平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个
内角为 ，即 ，则可求得 的度数，根据平行线的性质可求得 的
度数，进而可求出 的度数，再根据三角形内角和定理即可求出 的度数．
【详解】解：∵正六边形的内角和 ，
每个内角为： ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
14. 计算： ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查分式的加减，根据同分母分式的加减法则解题即可．
【详解】
．
故答案为： ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 交于点 ，
．则满足 的 的取值范围______．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答
是解题的关键．【详解】解：由图象可得，当 或 时， ，
∴满足 的 的取值范围为 或 ，
故答案为： 或 ．
16. 将一张矩形纸片（四边形 ）按如图所示的方式对折，使点C落在 上的点 处，折痕为
，点D落在点 处， 交 于点E．若 ， ， ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出
，然后证明 ，得到 ， ，即可得到
， ，然后在 中，利用 解题即可．
【详解】解：在 中， ，
由折叠可得 ， ，
又∵ 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
故答案为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）17. 某公司为节能环保，安装了一批 型节能灯，一年用电 千瓦·时．后购进一批相同数量的 型节
能灯，一年用电 千瓦·时．一盏 型节能灯每年的用电量比一盏 型节能灯每年用电量的 倍少
千瓦·时．求一盏 型节能灯每年的用电量．
【答案】 千瓦·时，过程见详解
【解析】
【分析】本题考查分式方程，根据题意列方程是关键，并注意检验．
根据两种节能灯数量相等列式分式方程求解即可．
【详解】解：设一盏 型节能灯每年的用电量为 千瓦·时，
则一盏 型节能灯每年的用电量为 千瓦·时
整理得
解得
经检验： 是原分式方程的解．
答：一盏 型节能灯每年的用电量为 千瓦·时
18. 为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定 6个
及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2
月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完
整）．
2月份测试成绩统计表
个
数
人
数
表1
本学期测试成绩统计表
平 均 众 中 位
1 合格率
数/个 数/个 数/个2
月
3
月
4
月
5
月
6
月
表2
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）从多角度分析本次引体向上训练活动的效果；
（3）若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生训练成绩为
样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据总人数减去引体向上为其他个数 人数，进而补充条形统计图，根据题意求得合格率
，补充折线统计图，根据平均数，众数的定义，即可得出 的值；
（2）根据平均数，众数，中位数，合格率，分析；
（3）根据样本估计总体即可求解．
【小问1详解】
解： 月测试成绩中，引体向上 个的人数为根据表2可得，
；
【小问2详解】
解：本次引体向上训练活动的效果明显，
从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加，
从中位数看，引体向上个数逐月增加，
从众数看，引体向上的个数越来越大，（答案不唯一，合理即可）
【小问3详解】
解： （人）
答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数为 人
【点睛】本题考查了条形统计图，折线统计图，统计表，样本估计总体，以及求平均数，众数 ，中位数
的意义；掌握相关的统计量的意义是解题的关键．
19. 某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地
平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 竹竿，米尺说明： 是一根笔直的竹
竿．点 是竹竿上一点．线
测量示意图 段 的长度是点 到地面
的距离． 是要测量的倾
斜角．
测量数据
…… ……
（1）设 ， ， ， ， ， ， ， ，请根据表中
的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一
栏．
（2）根据（ ）中选择的数据，写出求 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设 ， ， ，根据（ ）中的推导结果，利用计算器求出
的度数，你选择的按键顺序为________．
【答案】（1） ， ， ， ；
（2） ，推导见解析；
（3） ．
【解析】
【分析】（ ）根据题意选择需要的数据即可；
（ ）过点 作 于点 ，可得 ，得到 ，即得 ，得到
，再根据正弦的定义即可求解；
（ ）根据（ ）的结果即可求解；
本题考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：需要的数据为： ， ， ， ；【小问2详解】
解：过点 作 于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
即
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴按键顺序为 ，
故答案为： ．
20. 感悟
如图1，在 中，点 ， 在边 上， ， ．求证： ．
应用
（1）如图2，用直尺和圆规在直线 上取点 ，点 （点 在点 的左侧），使得
，且 （不写作法，保留作图痕迹）；（2）如图3，用直尺和圆规在直线 上取一点 ，在直线 上取一点 ，使得 ，
且 （不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图：
证明 ，即可求得 ；
应用（1）：以点 为圆心，以 长度为半径作圆，交直线 于一点，该点即为点 ，以点 为圆
心，以 长度为半径作圆，交直线 于一点，该点即为点 ，连接 ， ；
应用（2）：以点 为圆心，以 长为半径作圆，交 的延长线于一点，该点即为点 ，以点 为圆
心，以 长为半径作圆，交直线 于一点，该点即为点 ，连接 ．
【详解】∵ ，
∴ ．
在 和 中
∴ ．
∴ ．
应用（1）：以点 为圆心，以 长度为半径作圆，交直线 于一点，该点即为点 ，以点 为圆
心，以 长度为半径作圆，交直线 于一点，该点即为点 ，连接 ， ，图形如图所示．
应用（2）：以点 为圆心，以 长为半径作圆，交 的延长线于一点，该点即为点 ，以点 为圆
心，以 长为半径作圆，交直线 于一点，该点即为点 ，连接 ，图形如图所示．21. 定义
我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离
．特别的，当 时，表示数a的点与原点的距离等于 ．当 时，表示数a
的点与原点的距离等于 ．
应用
如图，在数轴上，动点A从表示 的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点
B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．
【答案】（1）过4秒或6秒
（2）3
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：
（1）设经过x秒，则A表示的数为 ，B表示的数为 ，根据“点A，B之间的距离等于3个
单位长度”列方程求解即可；
（2）先求出点A，B到原点距离之和为 ，然后分 ， ， 三种情况讨
论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设经过x秒，则A表示的数为 ，B表示的数为 ，
根据题意，得 ，
解得 或6，
答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；
【小问2详解】
解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，即 ，综上， ，
∴点A，B到原点距离之和的最小值为3．
22. 如图，已知 是 的直径，点C，D在 上，且 ．点E是线段 延长线上一点，
连接 并延长交射线 于点F． 的平分线 交射线 于点H， ．
（1）求证： 是 切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义
得到 是解题的关键．
（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ，即可得到 ，然后根据角
平分线的定义得到 ，然后得到 即可证明
切线；
（2）设 的半径为 ，根据 ，可以求出 ，然后根据 ，即可得到结
果．
【小问1详解】
证明：连接 ，
则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ 是半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：设 的半径为 ，则 ，
∵ ，即 ，
解得 ，
∴ ， ，
又∵
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ．
23. 如图，在菱形 中， ， ， 为对角线 上一动点，以 为一边作
， 交射线 于点 ，连接 ．点 从点 出发，沿 方向以每秒 的
速度运动至点 处停止．设 的面积为 ，点 的运动时间为 秒．
（1）求证： ；
（2）求 与 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围；
（3）求 为何值时，线段 长度最短．
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（ ）设 与 相交于点 ，证明 ，可得 ，
，利用三角形外角性质可得 ，即得 ，即可求证；（ ）过点 作 于 ，解直角三角形得到 ，
，可得 ，由等腰三角形三线合一可得
，即可由三角形面积公式得到 与 的函数表达式，最后由 ，可得自变量
的取值范围；
（ ）证明 为等边三角形，可得 ，可知线段 的长度最短，即 的长度最短，当
时， 取最短，又由菱形的性质可得 为等边三角形，利用三线合一求出 即可求
解；
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解直角三角形，求二次函数解析
式，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握菱形的性质及等边三角形的判定和
性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：设 与 相交于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ， ，
∵
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：过点 作 于 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∵四边形 为菱形， ，
∴ ， ，
即 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴线段 的长度最短，即 的长度最短，当 时， 取最短，如图，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴当 时，线段 的长度最短．
24. 已知抛物线 与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ．
（1）若抛物线 与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ．试判断
下列每组数据的大小（填写 、 或 ）：
① ________ ；② ________ ；③ ________ ．
（2）若 ， ，求b的取值范围；
（3）当 时， 最大值与最小值的差为 ，求b的值．
【答案】（1） ； ； ；
（2）
（3）b的值为 或 或 或 ．
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键
在于熟练掌握二次函数图像与性质．
（1）根据根与系数 关系得到 ，以及 ，即可判断①，利用二次函数的图像与性
质得到 ，进而得到 ，利用不等式性质变形，即可判断②③．
（2）根据题意得到 ，结合 进行求解，即可解题；
（3）根据题意得到抛物线 顶点坐标为 ，对称轴为 ；当
时， ，当 时， ，由 最大值与最小值的差为 ，分以
下情况①当在 取得最大值，在 取得最小值时，②当在 取得最大值，在顶点取得最小值
时，③当在 取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．
【小问1详解】
解： 与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ，
，且抛物线开口向上，与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ．
即 向上平移1个单位，
，且 ，
① ；
，
，即② ；
，即③ ．
故答案为； ； ； ；
【小问2详解】
解： ， ，
，
，
；
【小问3详解】
解：抛物线 顶点坐标为 ，
对称轴为 ；
当 时， ，
当 时， ，
①当在 取得最大值，在 取得最小值时，
有 ，解得 ；
②当在 取得最大值，在顶点取得最小值时，
有 ，解得 （舍去）或 ，
③当在 取得最大值，在顶点取得最小值时，
有 ，解得 或 ；
综上所述，b 值为 或 或 或 ．
