032.2026考研数学零基础提前学作业答案解析（2）_已解密_04.2026考研数学周洋鑫数学笑过_00.随课资料

2026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 2026 年考研数学零基础提前学同步作业 作业 4·七种未定式极限专题计算解析 1+xsinx − cos2x 【23】lim =________． x→0 tan2 x 2 1+xsinx − cos2x 【解析】lim x→0 tan2 x 2 1+xsinx−cos2x =lim （分子有理化） x→0 tan2 x ( 1+xsinx + cos2x) 2 1 1+xsinx−cos2x = lim （非零因子淡化） 2x→0 tan2 x 2 sinx(x+2sinx) =lim （二倍角公式化简） x→0 x 2 2  2 x+2sinx x 2sinx =lim =lim +lim =2+4=6. x→0 1 x→0 1 x→0 1 x x x 2 2 2 1 ex −1+x2arctan x 【24】求极限 lim ． x→0+ 1−cos x 1 ex −1+x2arctan x 【解析】 lim x→0+ 1−cos x 1 ex −1+x2arctan x = lim （等价无穷小代换） x→0+ 1 x 2 1 x2arctan ex −1 x = lim + lim （四则运算法则） x→0+ 1 x→0+ 1 x x 2 2 x 1 1 = lim + lim2xarctan （arctan 为有界函数） x→0+ 1 x→0+ x x x 2 =2+0=2． 12026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫   【25】求极限lim  −x  tanx．  2  x→ 2  −x   2 【解析】lim  −x  tanx=lim sinx  2   cosx x→ x→ 2 2  −x 2 =lim sinx （sinx为非零因子，可淡化）  cosx x→ 2  −x 2 −1 =lim =lim =1.  cosx −sinx x→ x→ 2 2 【26】 lim ln   1+ 1  ln ( 1+ex) ． x→+  x 【解析】 lim ln   1+ 1  ln ( 1+ex) = lim ln ( 1+ex) = lim ex =1． x→+  x x→+ x x→+ ex +1  x3 x2  【27】求极限lim − ． x→2x2 −1 2x−1  x3 x2  x2 −x3 抓大头 1 【解析】lim − =lim = − ． x→2x2 −1 2x−1 x→ ( 2x2 −1 ) (2x−1) 4 1 【28】求极限lim ( x+ex) x． x→0 【解析】先定型，本题为1型未定式极限，利用课程讲解的大招方法. lim x+ex−1 lim(1+ex) 原式=ex→0 x =ex→0 =2．  2 1 x 【29】求极限limsin +cos  ． x→ x x 【解析】先定型，本题为1型未定式极限，利用课程讲解的大招方法.  2 1 x limx  sin 2 +cos 1 −1   原式=limsin +cos  =ex→  x x ． x→ x x  2  1 2  1 其中 limx  sin −1−cos  =limxsin −limx1−cos  （四则运算法则） x→  x  x x→ x x→  x 22026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 2 11 2 =limx −limx   =2−0=2. x→ x x→ 2x  2 1 x 因此，limsin +cos  =e2． x→ x x 1+x 1 【30】求极限lim( − ). x→0 1−e−x x 1+x 1 x+x2 −1+e−x x+x2 −1+e−x 【解析】lim( − )=lim =lim x→0 1−e−x x x→0 x(1−e−x) x→0 x2 洛 1+2x−e−x 2+e−x 3 =lim =lim = ． x→0 2x x→0 2 2   1 【31】求极限lim  x−x2ln  1+  x→  x 1 t2 1   1 t−ln(1+t) 1 【解析】令x= ，则lim  x−x2ln  1+  = lim =lim 2 = . t x→  x t→0 t2 t→0 t2 2 x 2  【32】求极限 lim  arctanx  . x→+  【解析】先定型，本题为1型未定式极限，利用课程讲解的大招方法. 2  1 lim   arctanx−1  2 lim 1+x2 2  x lim x   2 arctanx−1   x→+ 1 洛 x→+− 1 lim arctanx = ex→+   =e x =e x2   x→+  2 x2 2 − lim − =e x→+1+x2 =e . 1 【小课堂】(arctanx) = . 1+x2 【33】求极限lim(sinx)tanx .  x→ 2 sinx(sinx−1) sinx−1 limtanx(sinx−1) lim lim 【解析】原式 =ex→  2 =ex→  2 cosx =ex→  2 cosx （limsinx=1非零因子）  x→ 2 32026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 cosx lim −sinx =ex→ 2 =e0 =1． 1 ax +bx +cx x 【34】求极限lim  (a,b,c0). x→0 3  【解析】lim   ax +bx +cx   1 x =ex li → m 0 1 x    ax+b 3 x+cx −1    =ex li → m 0 ax+b 3 x+ x cx−3 x→0 3  洛 lim axlna+bxlnb+cxlnc lna+lnb+lnc 1 lnabc =ex→0 3 =e 3 =e3 = 3 abc． 1 【35】求极限lim(tanx) cosx−sinx .  x→ 4 1 lim (tanx−1) 1 cosx−sinx 【解析】lim(tanx) cosx−sinx =ex→ 4 .  x→ 4 因为 1 tanx−1 洛 sec2 x lim (tanx−1) =lim =lim =− 2 , cosx−sinx cosx−sinx −sinx−cosx x→ x→ x→ 4 4 4 所以，原式=e− 2． x  x2  【36】求极限lim  . x→ (x−a)(x−b)  x  x2  lim (a+b)x2−abx 【解析】lim   x2   =ex l → im  x  (x−a)(x−b) −1  =ex→x2−(a+b)x+ab =ea+b ． x→ (x−a)(x−b)  2026 年考研数学零基础提前学同步作业 作业 5·连续与间断解析 2 x  sin ,x0, 【37】设 f (x)=x  在x=0处连续，则a=_______．  a,x=0. 42026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 【解析】由题意可知，lim f(x)= f (0)=a，因为 x→0 2 x 2 x 2 lim f(x)=lim sin =lim  = ， x→0 x→0 x  x→0 x   2 所以a= ．  1−cos x  , x0 【38】若函数 f(x)= ax 在x=0处连续，则a,b需满足________.  b, x 0 【解析】因为 f(x)在x=0连续，所以lim f(x)= lim f(x)= f(0). 又因为 x→0+ x→0− 1 ( x)2 1−cos x 1 2 lim f(x)= lim = lim = , x→0+ x→0+ ax x→0+ ax 2a lim f(x)= f(0)=b， x→0− 1 1 所以 =b，即ab= ． 2a 2 sin2x+e2ax −1  ,x0 【39】若 f(x)= x ，在x=0处连续，则a=_________.  a,x=0 【解析】因为 f (x)在x=0处连续，所以lim f (x)= f (0)=a. x→0 又因为 sin2x+e2ax −1拆 sin2x e2ax −1 lim f (x)=lim =lim +lim =2+2a=a x→0 x→0 x x→0 x x→0 x 所以a =−2.  − 1 1 e x2 arctan ,x0且x1 x−1   【40】函数 f (x)=0, x=0 间断点为________，类型为________．    , x=1  2 【答案】x=0, 跳跃间断点（或第一类间断点） 【解析】因为 − 1 1  − 1 lim f (x)=lime x2 arctan =− lime x2 =0， x→0 x→0 x−1 4 x→0 52026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 所以lim f (x)= f (0)，即函数在x=0处连续. x→0 又因为 − 1 1 1  lim f (x)=lime x2 arctan =e−1limarctan =e−1 , x→1+ x→1+ x−1 x→1+ x−1 2 − 1 1 1  lim f (x)=lime x2 arctan =e−1limarctan =−e−1 , x→1− x→1− x−1 x→1− x−1 2 所以x=0为函数的跳跃间断点. 1 ex −1 【41】设 f(x)= ，则x=0是 f(x)的（ ）. 1 ex +1 （A）可去间断点 （B）跳跃间断点 （C）第二类间断点 （D）连续点 【解析】因为 1 1 ex −1 ex −1 lim f(x)= lim =1，lim f(x)= lim =−1， x→0+ x→0+ 1 x→0− x→0− 1 ex +1 ex +1 所以 lim f(x) lim f(x),故x=0是跳跃间断点，应选（B）. x→0+ x→0− 62026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 2026 年考研数学零基础提前学同步作业 作业 6·导数定义 【42】设 f(x)= x(x+1)(x+2) (x+n)，则 f(0)=_________. 【解析】由导数定义可知， f (x)− f (0) x(x+1) (x+n) f(0)=lim =lim x→0 x−0 x→0 x =lim(x+1)(x+2) (x+n)=n!. x→0 【43】判断 y =e−x在x=0处的连续性与可导性. ? 【分析】连续性判定的核心在于“看lim f (x)= f (0)”， x→0 f (x)− f (0) 可导性判定的核心在于“看 f(0)=lim 是否存在”. x→0 x−0 【解析】（连续性）因为 limy(x)=lime−x =e0 =1，且y(0)=e0 =1， x→0 x→0 所以limy(x)= y(0)，故y(x)在x=0处连续. x→0 （可导性）因为 y(x)− y(0) e−x −1 e−x −1 −x y (0)= lim = lim = lim = lim =−1， + x→0+ x−0 x→0+ x−0 x→0+ x−0 x→0+ x y(x)− y(0) e−x −1 ex −1 x y (0)= lim = lim = lim = lim =1， − x→0− x−0 x→0− x−0 x→0− x−0 x→0− x 所以 y (0) y (0)，于是y(x)在x=0处不可导. + − 【44】若 f (x)在x = x 处可导，判断下列说法的正确性. 0 （1） f(x )存在； （ ） 0 （2） f (x)在x = x 处连续； （ ） 0 （3） f(x)在x = x 处连续. （ ） 0 【解析】（1）对，（2）对，（3）错 72026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 【45】若 f(x )存在，判断下列说法的正确性. 0 （1） f(x)在x = x 处连续； （ ） 0 （2） f(x)在x = x 处连续； （ ） 0 （3） f (x)在x = x 处连续. （ ） 0 【解析】（1）错，（2）对，（3）对 【46】已知 f(x)在x=a的某个领域内有定义，则 1 （1） lim h[f(a+ )− f(a)]=________. h→+ h f(a)− f(a−h) （2）lim =________. h→0 h f (a+5x)− f (a) （3）lim =________. x→0 x f(a+sinx2)− f(a) （4）lim =________. x→0 x2 f(a+x3)− f(a) （5）lim =________. x→0 x3 【分析】本题重点考察导数的推广定义，核心：一凑结构、二看零，重点回顾课程内容.  1 f a+ − f (a)     1   h 【解析】（1） lim h  f  a+  − f (a)  = lim = f(a)； h→+   h  h→+ 1 + h f (a)− f (a−h) f ( a+(−h)) − f (a) （2）lim =lim = f(a)； h→0 h h→0 −h f (a+5x)− f (a) f (a+5x)− f (a) （3）lim =5lim =5f(a)； x→0 x x→0 5x f ( a+sinx2) − f (a) f ( a+sinx2) − f (a) sinx2 （4）lim =lim  x→0 x2 x→0 sinx2 x2 f ( a+sinx2) − f (a) =lim = f(a)； x→0 sinx2 + 82026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 f ( a+x3) − f (a) （5）lim = f(a) . x→0 x3 f(3−h)− f(3) 【47】已知 f(3)=2，则 lim =_______. h→0 2h f (3−h)− f (3) f ( 3+(−h)) − f (3) 1 【解析】lim =lim =− f(3)=−1. h→0 2h h→0 (−h)(−2) 2 f (x) 【48】已知 f (x)在x=0处连续，且lim =2026，则 f (0)=_______， x→0 x2 f(0)=_______. f (x) 【解析】因为lim =2026，且limx2 =0，所以lim f (x)=0. x→0 x2 x→0 x→0 又因为 f (x)在x=0处连续，所以lim f (x)= f (0)=0. x→0 于是，由导数定义知 f (x)− f (0) f (x) f (x) f(0)=lim =lim =lim x=20260=0. x→0 x−0 x→0 x x→0 x2  x ,x0, 【49】设 f (x)=  1+e 1 x 则函数 f (x)在x=0处（ ）.   0,x=0, （A）不连续，且为第一类间断点. （B）不连续，且为第二类间断点. （C）连续，且 f(0)存在. （D）连续，但 f(0)不存在. 【解析】因为 0 0     x  x 1 lim = 0（已定式），lim = 0（已定式）， x→0+ 1 x→0− 1 1+ex 1+ex 所以lim f (x)= f (0)=0，故函数 f (x)在x=0处连续. x→0 又因为 92026周洋鑫考研数学全程班零基础提前学作业 新浪微博@考研数学周洋鑫 x 1 f(0)= lim f (0)− f (0) = lim 1+ex = lim 1 =0； + x→0+ x−0 x→0+ x x→0+ 1 1+ex x 1 f(0)= lim f (0)− f (0) = lim 1+ex = lim 1 =1， − x→0− x−0 x→0− x x→0− 1 1+ex 所以 f (x)在x=0处不可导. 10