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1专题1 函数的基本性质及常见函数
【考点1】 函数的奇偶性
1.奇偶性的定义
设函数fx 的定义域D关于原点对称 若对于任意x D 恒有f x fx
() , ∈ , (- )= ( ),
则称fx 为偶函数 若恒有f x fx 则称fx 为奇函数.
() ; (- )=- (), ()
2.奇偶函数的重要性质
若函数fx 为偶函数 则fx 的图像关于y轴对称 若fx 为奇函数 则
(1) ( ) , ( ) ; ( ) ,
fx 的图像关于原点对称 且当fx 在x 处有定义时f .
() , () =0 ,(0)=0
设函数fx 在区间 ll 内有定义 则Fx fx f x 为偶函数
(2) ( ) (- ,) , ( )= ( )+ (- ) ,
Gx fx f x 为奇函数.
()= ()- (- )
x x
-
常见地 x x x x e-e x x2 均为奇函数
(3) ,sin ,arcsin ,tan ,arctan , ,ln( + 1+ ) ;
2
x x
-
xe+e 均为偶函数.
cos ,
2
奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数.
(4) × = ; × = ; × =
奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 偶函数无法确定.
(5) ± = ; ± = ; ±
【考点2】 函数的周期性
1.函数周期性的定义
设函数fx 的定义域为D 对于任意x D 若存在正数T 有x T D 且
() , ∈ , , + ∈ ,
fx T fx
(+ )= ()
则称函数fx 是以T为周期的周期函数.
()
2.周期函数的性质
x x的最小正周期均为 x x x x 2x 2x
(1)sin ,cos 2π;sin2 ,cos2 ,|sin |,|cos|,sin ,cos ,
x x的最小正周期均为 .
tan ,cot π
T
函数fx 是以T为周期的周期函数 则fax a 是以 为周期的周期函数.
(2) () , ( )(>0) a
设函数fx 在R上图形关于x ax b均对称a b 则fx 是以 b a
(3) () = ,= (< ), () 2(- )
为周期的周期函数.
2题型1 函数与原函数间奇偶性、周期性的关系
1.导函数的奇偶性、周期性性质
若函数fx 为可导的奇函数 则f'x 为偶函数
(1) () , () ;
若函数fx 为可导的偶函数 则f'x 为奇函数
(2) () , () ;
若函数fx 是以T为周期的可导函数 则f'x 也是以T为周期的周期
(3) () , ( )
函数.
【注】 连续的奇函数的所有原函数都是偶函数;但是,连续的偶函数的原函数中
仅有一个原函数是奇函数.
2.变上限函数与原函数之间的关系
x
若fx 连续 则Fx = ft t可导 且F'x fx
() , ( )
a
()d , ()= ();
∫
x
【注】 若f(x)连续,则F(x)= f(t)t是f(x)的一个原函数.
a d
∫
3.变上限函数的奇偶性、周期性性质
x
设fx 连续 对于Fx = ft t有
() , ( ) ()d :
∫0
x
若fx 为奇函数 则Fx = ft t为偶函数
(1) () , ( ) ()d ;
∫0
x
若fx 为偶函数 则Fx = ft t为奇函数.
(2) () , ( ) ()d
∫0
T x
若fx 是以T为周期的周期函数 且 ft t= 则Fx = ft t也
(3) () , ()d 0, ( ) ()d
∫0 ∫0
是以T为周期的周期函数.
【注】 上面我们提到过,连续的偶函数f(x)的原函数中仅有一个原函数是奇函
x
数,这个原函数就是F(x)= f(t)t.
d
∫0
强化1 设Fx 是连续函数fx 的一个原函数 M N 表示 M 的充分必要条
() () ,“ ⇔ ” “
件是N 给出以下四个结论
”, :
Fx 是偶函数 fx 是奇函数.
① () ⇔ ()
Fx 是奇函数 fx 是偶函数.
② () ⇔ ()
Fx 是周期函数 fx 是周期函数.
③ () ⇔ ()
Fx 是单调函数 fx 是单调函数.
④ () ⇔ ()
其中正确的结论个数为 .
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3【答案】 应选
A.
【解析】 对于 ,若F(x)为奇函数,则f(x)为偶函数;若f(x)为奇函数,则f(x)的
①
所有原函数均为偶函数, 正确.
①
对于 ,若F(x)为偶函数,则f(x)为奇函数,但当f(x)为偶函数时,f(x)的原函
②
数中仅有一个是奇函数, 错误.
②
对于 ,若F(x)是以T为周期的可导函数,则f(x)也是以T为周期的周期函数,
③
但当f(x)为周期函数时,并非所有原函数均为周期函数,例如f(x) x 是以
=sin +1 2π
为周期的周期函数,但原函数F(x) x x却不是周期函数, 错误.
=-cos + ③
对于 ,若取F(x)x3 ,显然F(x)是单调递增函数,但F'(x) f(x) x2 却不
④ = = =3
是单调函数, 错误.
④
应选
A.
强化2 设fx 连续 则下列函数中必为偶函数的是 .
() , ( )
x t- x
e 1 t+ +t2 t tft -f-t t
A. t+ ·ln( 1 )d B. [() ( )]d
∫0e 1 ∫0
x t u x t 2u
t arctan u t sin u
C. d +u4d D. d +u4d
∫0 ∫0 1 ∫1 ∫01
【答案】 应选
D.
t
【解析】 对于 ,记g(t) e-1,由
A = t
e+1
t t
-
g(t) e -1 1-e g(t),
- = - t = t=-
e +1 1+e
t t
知g(t) e-1为奇函数.又 (t t2 )为奇函数,则e-1· (t t2 )为偶
= t ln + 1+ t ln + 1+
e+1 e+1
x t-
函数,于是根据变上限函数奇偶性性质知, e 1· (t+ +t2 )t为奇函数,故
t+ ln 1 d A
∫0e 1
错误.
对于 ,由于f(t)f(t)为奇函数,则t[f(t)f(t)]为偶函数,于是根据变上
B - - - -
x
限函数奇偶性性质知, t[f(t)-f(-t)]t为奇函数,故 错误.
d B
∫0
u t u
对于 ,由于arctan 为奇函数,则 arctan u是关于t的偶函数.又
C u4 +u4d
1+ ∫0 1
x t u x t u
t arctan u= arctan u
d +u4d +u4d
∫0 ∫0 1 ∫0∫0 1
4
t,
d
x t u
根据变上限函数奇偶性性质知, t arctan u为奇函数,故 错误.
d +u4d C
∫0 ∫0 1
对于 ,由于sin
2u
为偶函数,则
t
sin
2u
u是关于t的奇函数.又
D u4 +u4d
1+ ∫01x t 2u x t 2u
t sin u= sin u
d +u4d +u4d
∫1 ∫01 ∫1∫01
5
t,
d
根据变上限函数奇偶性性质知,
x
t
t
sin
2u
u为偶函数,故 正确.
d +u4d D
∫1 ∫01
应选
D.
强化3 设奇函数fx 在 上有连续导数a为任意常数 则 .
() (-∞,+∞) , , ( )
x x
ft +f't t必为奇函数 ft +f't t必为奇函数
A. [cos () ()]d B. a [cos () ()]d
∫0 ∫
x x
f't +ft t必为偶函数 f't +f't t必为奇函数
C. [sin () ()]d D. a [sin () ()]d
∫0 ∫
x x
强化4 设函数fx = sin t3tgx = ft t 则 .
( ) sin d,( ) ()d, ( )
∫0 ∫0
fx 为奇函数gx 为奇函数 fx 为奇函数gx 为偶函数
A. () ,() B. () ,()
fx 为偶函数gx 为偶函数 fx 为偶函数gx 为奇函数
C. () ,() D. () ,()设函数fx 在 上有定义 且对于任意的xy恒有fx y
() (-∞,+∞) , , ( + )=
fx fy .若a 且a 则 .
()+ () >0, ≠1, ( )
x x
1 +1 ftt为奇函数 1 +1 ftt为偶函数
A. at- ()d B. at- ()d
∫1 1 2 ∫1 1 2
x x
t 1 +1 ftt为奇函数 t 1 +1 ftt为偶函数
C. at- ()d D. at- ()d
∫0 1 2 ∫0 1 2
【解析】 注意到,当x y 时,f()f()f(),解得f() .
= =0 0 = 0 + 0 0 =0
若取y x,则f()f(x)f(x),又f() ,则f(x) f( x),即
=- 0 = + - 0 =0 =- -
f(x)为奇函数.
ax
令g(x) 1 1 +1 ,由于
=ax + = (ax )
-1 2 2 -1
a- x ax
g(x) +1 1+ g(x),
- = (a- x )= ( ax)=-
2 -1 21-
则g(x) 1 1为奇函数.
=ax +
-1 2
根据函数奇偶性性质,知 1 1 f(x)为偶函数,于是再根据变上限函数
ax +
-1 2
x x
奇偶性性质知, 1 +1 f(t)t为奇函数,因此 1 +1 f(t)t不
at- d at- d
∫0 1 2 ∫1 1 2
一定是奇函数,故 、 错误.
AB
同理,x 1 1 f(x)为奇函数,根据变上限函数奇偶性性质知,
ax +
-1 2
x
t 1 +1 f(t)t为偶函数,应选
at- d D.
∫0 1 2
【答案】 应选
D.
专题2 无穷小量及其阶的比较问题
【考点1】 无穷小量比阶
设 fx gx 且gx 则
lxim ()=0,lxim ()=0, ()≠0,
→□ →□
6fx
若 () 则称fx 为gx 的高阶无穷小 记为fx ogx
(1) lxi
→
m
□
g
(
x
)
=0, () () , ()= [()];
fx
若 () 则称fx 为gx 的低阶无穷小
(2) lxi
→
m
□
g
(
x
)
=∞, () () ;
fx
若 () A 则称fx 与gx 互为同阶无穷小 特别地 当A 时
(3) lxi
→
m
□
g
(
x
)
= ≠0, ( ) ( ) , , =1 ,
fx 与gx 互为等价无穷小.
() ()
fx
若 () A k 则称fx 为gx 的k阶无穷小.
(4) lxim gx k= ≠0,>0, () ()
→□ [()]
【注】 通常可以通过确定一个无穷小量的等价无穷小来确定无穷小量的阶,有如下
结论:“当x 时,若f(x)Axk(A ,k ),则f(x)为x 时x的k阶无穷小量”.
→0 ~ ≠0 >0 →0
【考点2】 利用等价无穷小的替换确定无穷小量的等价无穷小
1.常用的等价无穷小公式
当x 时 有
→0 ,
x x x x x x x x
sin ~ arcsin ~ tan ~ arctan ~
ln(1+
x
)~
x
e
x
-1~
x ax
-1~
x
ln
a
(
a
>0,
a
≠1) 1-cos
x
~
1x2
2
xα αx x x 1x3 x x 1x3 x x 1x3
(1+ )-1~ -sin ~ -arcsin ~- -tan ~-
6 6 3
x x 1x3 x x 1x2 x x 1x2 x x 1x3
-arctan ~ -ln(1+ )~ e-1- ~ tan -sin ~
3 2 2 2
2.等价无穷小的替换原则
乘除法因式可进行等价无穷小的替换
(1)
设αx βx α x β x 是自变量同一变化过程中的无穷小 且αx α x
(),(),1(),1() , ()~ 1( ),
βx β x 则
()~ 1(),
αx α x
αxβx α xβ x () 1().
()()~ 1()1(),βx ~β x
() 1()
【注】 整个式子中的乘、除法因式,可使用等价无穷小替换;部分式子中的乘、除
法因式,不可使用等价无穷小替换.
加减法中需要满足要求才可使用等价无穷小替换
(2)
设αx βx α x β x 是自变量同一变化过程中的无穷小 且αx α x
(),(),1(),1() , ()~ 1( ),
αx α x
βx β x 若 () 1() 则
()~ 1(), limβx =limβ x ≠-1,
() 1()
αx βx α x β x .
()+ ()~ 1()+ 1()
7非零因子可在等价无穷小的替换中先算出
(3)
若 fx gx A 则
lim ()=0,lim ()= ≠0,
fx fx
fxgx A fx () ()
()()~ · (),gx ~ A ,
()
即在等价无穷小的替换中非零因子可以先算出.
加减法中的和取低阶原则
(4)
设αx βx 是自变量同一变化过程中的无穷小 若 βx oαx 则
(),() , ()= [()],
αx βx αx .
()± ()~ ()
【注】 等价无穷小的充分必要条件.
当x 时,f(x)g(x)f(x)g(x)o[g(x)].
→□ ~ ⇔ = +
3.三个常考的等价无穷小量替换形式
当 fx gx 时 有
(1) lim ()=lim () ,
f(x) g(x) g(x) f(x)- g(x) g(x)fx gx .
e -e =e [e -1]~e [()- ()]
当fx 时 fx fx
(2) ()→1 ,ln ()~ ()-1;
当fx 时fαx αfx .
(3) ()→1 , ()-1~ [()-1]
【注】 当x 时, (x x2 )x, x 1x2 , n x 1x2.
→0 ln + 1+ ~ lncos ~- 1- cos ~n
2 2
【考点3】 利用泰勒公式确定无穷小量的等价无穷小
1.泰勒公式
定理1:设函数fx 在x 处具有n阶导数 则当x x 时有
() 0 , → 0
f″x
fx fx f'x x x (0)x x 2
()= (0)+ (0)(- 0)+ (- 0)+…
2!
f(n)x
(0)x x n o x x n .
+ n (- 0)+ [(- 0)]
!
定理2:若取x 则称此时的泰勒公式为麦克劳林 公式.
0=0, (Maclaurin)
设函数fx 在x 处具有n阶导数 则当x 时有
() =0 , →0
f″ f(n)
fx f f' x (0)x2 (0)xn oxn .
()= (0)+ (0)+ +…+ n + ( )
2! !
2.常用的麦克劳林公式(需熟记)
当x 时 有
→0 ,
x3 x5 x2 n +1
x x n ox2 n +1 .
(1)sin = - + -…+(-1) n + ( )
3! 5! (2 +1)!
x3
x x ox3 .该公式后面的项无规律
(2)arcsin = + + ( )( )
3!
8x3
x x ox3 .该公式后面的项无规律
(3)tan = + + ( )( )
3
x3 x5 x2 n +1
x x n ox2 n +1 .
(4)arctan = - + -…+(-1) n + ( )
3 5 2 +1
x2 xn
x x oxn .
(5)e=1+ + +…+n + ( )
2! !
x2 x3 xn
x x n -1 oxn .
(6)ln(1+ )= - + -…+(-1) n+ ( )
2 3
x2 x4 x2 n
x n ox2 n .
(7)cos =1- + -…+(-1) n + ( )
2! 4! (2 )!
mm mm m n
xm mx ( -1)x2 ( -1)…( - +1)xn oxn .
(8)(1+ )=1+ + +…+ n + ( )
2! !
1 x x2 xn oxn .
(9) x=1+ + +…+ + ( )
1-
1 x x2 nxn oxn .
(10) x=1- + +…+(-1) + ( )
1+
题型1 无穷小比阶问题
方法一:利用定义法比阶
方法二:通过确定无穷小量的等价无穷小来定阶
当x 时 若fx AxkA k 则fx 为x 时x的k阶无穷小量.
→0 , ()~ ( ≠0,>0), () →0
【注】 等价无穷小替换准则的完美总结:
()乘除法因式可使用等价无穷小替换.
1
()当多个不同阶的无穷小量相加减时,可直接使用等价无穷小替换,且等价于
2
其中最低阶的那一项.(和取低阶原则).
()当多个同阶的无穷小量相加减,且每一个无穷小量均等价至最简形式(即
3
axk型,其中a ,k )不可抵消时,每一项可直接使用等价无穷小替换.
≠0 >0
()当多个同阶的无穷小量相加减,且每一个无穷小量均等价至最简形式(即
4
axk型,其中a ,k )可抵消时,此时需要借助泰勒公式展开.
≠0 >0
方法三:利用泰勒公式定阶
方法四:利用导数定阶法
设fx 为x 时的无穷小量 即 fx 有
() →0 ,lxim ()=0,
→0
若f'x xkk为大于 的常数 则fx 1 xk +1
(1) ()~ ( 0 ), ()~k ;
+1
若 f'x C 则fx Cx.
(2)lxim ()= ≠0, ()~
→0
9强化5 当x + 时 下列无穷小量中阶数最高的是 .
→0 , ( )
x 3 x x x
A.lncos - cos +1 B.cos · 1-cos
x x 1x x x x
C. -ln(1+ )- sin D. -ln(1+sin )
2
【答案】 应选
C.
【解析】 对于 ,注意到当x + 时, x 1x2 , 3 x 1·1x2 1x2 ,则
A →0 lncos ~- 1- cos ~ =
2 3 2 6
x 3 x 1x2 1x2 1x2 ,
lncos - cos +1~- + =
2 6 3
即 x 3 x 为x的 阶无穷小量.
lncos - cos +1 2
对于 ,注意到当x
+
时, x为非零因子,于是
B →0 cos
1
x· x x 1x 2,
cos 1-cos ~ 1-cos ~
2
即 x· x为x的1阶无穷小量.
cos 1-cos
2
对于 ,由于当x
+
时
C →0
x ( x) 1x x x x 1x2 1x3 o(x3 )
-ln1+ - sin = - - + +
2 2 3
10
1x[x o(x2 )]
- +
2
x x 1x2 1x3 o(x3 )
= - - + +
2 3
1x2 o(x3 )
- +
2
1x3 o(x3 ) 1x3 ,
=- + ~-
3 3
即x ( x) 1x x为x的 阶无穷小量.
-ln1+ - sin 3
2
对于 ,由于当x
+
时
D →0
x ( x) x ( x)x x
-ln1+sin =sin -ln1+sin + -sin
x ( x) 1 2x 1x2 ,
~sin -ln1+sin ~ sin ~
2 2
即x ( x)为x的 阶无穷小量.
-ln1+sin 2
应选
C.强化6 ( 年真题)当x + 下列无穷小量中阶数最高的是 .
2020 →0 , ( )
x x
t2- t + t3 t
A. (e 1)d B. ln(1 )d
∫0 ∫0
x - x
sin 1cos
t2t 3tt
C. sin d D. sin d
∫0 ∫0
已知fx 与gx 在x 的某邻域内连续 当x 时 fx 与gx 分别为
() () =0 , →0 , ( ) ( )
x的m阶和n阶无穷小量 则
g(x)
ft t为x 时的nm 阶无穷小量.
, ()d →0 ( +1)
∫0
题型2 乘法中泰勒展开阶数的确定方法
切勿缺项 展开技巧为 头看尾 尾看头 可参考下列例题.
, “ , ”,
强化7 试确定常数ABC的值 使得
, , ,
x Bx Cx2 Ax ox3
e(1+ + )=1+ + ( ),
其中ox3 是当x 时比x3 高阶的无穷小.
( ) →0
【解析】 本题需将 x 泰勒展开至 次方项,即
e 3
e
x
=1+
x
+
1
!
x2
+
1
!
x3
+
o(x3 ),
2 3
于是
11e
x(
1+
Bx
+
Cx2 )
=
1+
x
+
1
!
x2
+
1
!
x3
+
o(x3 )
2 3
12
( Bx Cx2 )
1+ +
Bx Cx2 x Bx2 Cx3 1x2 1Bx3 1x3 o(x3 )
=1+ + + + + + + + +
2 2 6
(B )x C B 1 x2 C 1B 1 x3 o(x3 ),
=1+ +1 + + + + + + +
2 2 6
B A,
+1=
B C 1 ,
又 x( Bx Cx2 ) Ax o(x3 ),于是 + + =0
e 1+ + =1+ + 2
1B C 1 ,
+ + =0
2 6
解得A 1,B 2,C 1.
= =- =
3 3 6
x
强化8 ( 年真题)设函数fx sin 在x 处的 次泰勒多项式为ax
2021 ()= x2 =0 3 +
1+
bx2 cx3 则 .
+ , ( )
a b c 7 a b c 7
A. =1,=0,=- B. =1,=0,=
6 6
a b c 7 a b c 7
C. =-1,=-1,=- D. =-1,=-1,=
6 6
【答案】 应选
A.
【解析】 方法一:由于在x 处有泰勒公式
=0
x3
x x o(x3 ), 1 x2 o(x3 ),
sin = - + x2=1- +
6 1+
所以
x x3
f(x) sin x o(x3 )
= x2= - +
1+ 6
·[ x2 o(x3 )]x 7x3 o(x3 ),
1- + = - +
6
则a ,b ,c 7,应选
=1 =0 =- A.
6
x
方法二:因为f(x) sin 为奇函数,所以b .
= x2 =0
1+
因为在x 处有
=0
x ( x2 )[ax bx2 cx3 o(x3 )],
sin = 1+ + + +
所以
x ( x2 )[ax bx2 cx3 o(x3 )]
sin 1+ + + + [a bx cx2 o(x2 )],
lxim x =lxim x =lxim + + +
→0 →0 →0
故a ,故 x ( x2 )[x cx3 o(x3 )],于是
=1 sin = 1+ + +
x x( x2 ) x x
c sin - 1+ sin - 7,
=lxim x3 =lxim x3 -1=-
→0 →0 6
应选
A.当x 时 函数fx x x x 1x2 与gx k x x
→0 , ()=eln(1+ )- - ()= (1- cos )ln(+
2
x2 是等价无穷小 则k .
1+ ) , =
【解析】 当x 时,有
→0
x 1·1x2 1x2 , (x x2 )x,
1- cos ~ = ln + 1+ ~
2 2 4
则g(x)k·1x2 ·x 1kx3.
= =
4 4
根据泰勒公式,知
f(x) x ( x)x 1x2
=eln1+ - -
2
=
1+
x
+
1
!
x2
+
o(x2 )
2
13
x 1x2 1x3 o(x3 )
- + +
2 3
x 1x2
- -
2
x 1x2 1x3 x2 1x3 1x3 o(x3 )x 1x2
= - + + - + + - -
2 3 2 2 2
1x3 o(x3 ) 1x3 ,
= + ~
3 3
由于当x 时,函数f(x)与g(x)是等价无穷小,则1k 1,解得k 4.
→0 = =
4 3 3
【答案】 应填4.
3
x x x2
求极限 ln(1+ )ln(1- )-ln(1- ).
lxim x4
→0
【解析】 根据泰勒公式,知
x 1x2 1x3 o(x3) x 1x2 1x3 o(x3) x2 1x4 o(x4)
- + + - - - + - - - +
原式 2 3 2 3 2
=lxim x4
→0
x2 1x3 1x4 1x3 1x4 1x4 o(x4) x2 1x4 o(x4)
- - - + + - + - - - +
2 3 2 4 3 2
=lxim x4
→0
x2 5x4 o(x4) x2 1x4 o(x4) 1x4 o(x4)
- - + - - - + +
12 2 12 1.
=lxim x4 =lxim x4 =
→0 →0 12
【答案】 应填1.
12
