(208)--第四章：常微分方程_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

dy y
【解】 
dx 1  x 2
ln y  arctan x  C
ln y  arctan x  ln

ln y  arctan1  ln   ln
4

y  e 4【解】 r 2  2r  1  0,
r  r  1,
1 2
(Ax  B)x 2 e x .【解】 r  1,1,1
(r  1) 2 (r  1)  r 3  r 2  r  1  0【解】 r 2  4r  8  0,
r  2  2i,
1,2
y   Ae 2x  xe 2x (B cos 2x  Asin 2x).【解】 y  C e x  C e 2x  xe x
1 2
r  1,r  2
1 2
(r  1)(r  2)  r 2  r  2  0【解】 y  C e x  C cos 2x  C sin 2x
1 2 3
r  1,r  2i
1 2,3
(r  1)(r 2  4)  r 3  r 2  4r  4  0,【解】 r 2  2  0,
r  ,
1,2
y

 x(ae
x
 be
x
).dy y 1
【解】  
dx x ln x x
1 1
y  (ln x  )
2 ln x2
y x
【解】 y   
2x 2
 1 
y  x x 2 x  C 
 5 
1
y  x 3  x
5
.x
 dx x
【解】 (1  e y )  (1  )  0
dy y
x
令  u,
y
du u  e u
y  
dy 1  e u
1  e u dy
 du 
u  e u y
 ln u  e u  lnC y
x
1
1
 Cy x  ye y 
u  e u
C【解】 y  C e x  C e x r  1,
1 2 1,2
r 2  1  0, a  0,b  1.
1
y   y  e x y   axe x , a  .
2
1
y  C e x  C e x  xe x .
1 2
2【解】 r 2  1  0, r  i.
1,2
y  C cos x  C sin x
1 2

y  ax  x[bcos x  c sin x]
1
a  1,b  0,c  .
2
1
y  C cos x  C sin x  x  x sin x
1 2
2y(x)  x y  (x)  1 f  (0)
【解】 lim  lim  ,
2
x0 x x0 2x 2
y   (x  1) y   x 2 y  e x
x  0 y  (0)  2. a  1.【解】 r 2  4r  3  0, r  1,r  3,
1 2
y   ae 2x . a  2,
y  C e 3x  C e x  2e 2x .
1 2【解】 r 3  2r 2  r  2  0
(r  2)(r 2  1)  0 r  2,i
y  C e 2x  C cos x  C sin x
1 2 25 1
【解】 y  C(5) t  (t  ).
t
12 6【解】
y  C2 t  (5t  t 2 )2 t ;
t【解】
Y  C e x  C e 2x
1 2
y   Axe x A  2
y(x)  C e x  C e 2x  2xe x
1 2
.
y  1, y   1 C  C  1, C  2C  1.
x0 x0
1 2 1 2
C  1, C  0 y  (1  2x)e x
1 2【解】 y  y  x 2 , y  y  e x
2 1 3 1
y  C x 2  C e x  3
1 2
y   2C x  C e x
1 2
y   2C  C e x
1 2
y   y   2C (1  x)
1
y  y   C (x 2  2x)  3
1
(2x  x 2 ) y   (x 2  2) y   2(1  x) y  6(1  x) 
1 x 1 x
【解】 y   y     
  2   3
x (x ) x (x )
x   x  e 2y
1
, x  C e y  C e y  e 2y
1 2
3x x
【解】 f (x)  x 2  f  (t)dt   t 2 f  (t)dt  x 2
0 0
，
x
f  (x)  2x  f  (t)dt  x 2 f  (t)  x 2 f  (x)  2x
0
 2x[ f (x)  f (0)]  2x
，
f  (x)  2xf (x)  2x
   
f (x)  e  2xdx  2xe  2xdx dx  C  e x 2  2xe x 2 dx  C
 e x 2 (e x 2  C)  1  Ce x 2【解】令 x  t  u,
x x x x
 tf (x  t)dt   (x  u) f (u)  x  f (u)du   uf (u)du
0 0 0 0
x x x
 f (t)dt  x  x  f (u)du   uf , (u)du
0 0 0
x
f (x)  1   f (u)du f  (x)  f (x)
0
f (0)  1 f (x)  e x .x
【解】令 f  (x)  e x  e x  [ f (t)] 2 dt  e x [ f (t)] 2 .
0
f  (x)  f (x)  e x [ f (x)] 2 ,

f (x) 1
  e x .
2
f (x) f (x)

1 f (x)
u  u  (x)  
2
f (x) f (x)
u   u  e x .x
【解】（1）由题设知 (x  1) f  (x)  (x  1) f (x)   f (t)dt  0
0
(x  1) f  (x)  (x  2) f  (x).
du x  2
设 u  f  (x) ,则有   u
dx x  1
x
Ce
解之得 f  (x)  u  .
x  1
由 f (0)  1 及 f  (0)  f (0)  0 ,知 f  (0)  1
.
x
e
从而 C  1, 故 f  (x)   .
x  1
.（2)【证1】当 x  0 时， f  (x)  0, 即 f (x) 单调减少,又 f (0)  1
所以 f (x)  f (0)  1.
设 (x)  f (x)  e
，x 则
x
(0)  0, (x)  f  (x)  e x  e x
x  1
当 x  0 时， (x)  0 ，即 (x) 单调增加，因而
(x)  (0)  0 即有 f (x)  e x .
x
【证2】 由于  f  (t)dt  f (x)  f (0)  f (x)  1
0
t
e
x x
所以
f (x)  1   f  (t)dt  1   dt.
0 0 t  1
t
e
x x
注意到当 x  0 时， 0   dt   e t dt  1  e x
0 t  1 0
因而
e
x
 f (x)  12 t
【解】
f (t)   ( x 2  y 2 ) f ( x 2  y 2 )dxdy  t 4   d r 3 f (r)dr  t 4
0 0
x
2
y
2t 2
t
 2 r 3 f (r)dr  t 4
0
f  (t)  2t 3 f (t)  4t 3 ,

2 4
x
f (0)  0, f (x)  (e 2  1).
f (x  x)  f (x)
【解】 f  (x)  lim
x0
x
e x f (x)  e x f (x)  f (x)
 lim
x0
x
f (x)
 e x lim  f (x)
x0
x
 e x f  (0)  f (x) ( f (0)  0)
 2e x  f (x) f (x)  2xe x .【解】令 x 2  y 2  t, 则 z  tf (t)  z(t)
z
2
z
 z  (t) 2x,  2z  (t)  4x 2 z  (t)
x x 2
2
z
 2z  (t)  4 y 2 z  (t)
y 2
 2 z  2 z
  4(x 2  y 2 )z  (t)  4z  (t)  0
x 2 y 2
tz  (t)  z  (t)  0, z(1)  0, z  (1)  1.
ln t 1
解得 z(t)  ln t, f (t)  , f (t) 在 [0,) 上的最大值， f (e)  .
t e【解】由题设 知
du  [e x  f  (x)]ydx  f (x)dy
[e x  f  (x)]  f  (x)
即 f   ( x )  f  (x)  e x
解方程得 f (x)  C  C e x  xe x ,
1 2
由 f (0)  4, f  (0)  3, 得 C  0,C  4.
1 2
则 f (x)  4e x  xe x .
du  [e x  f  (x)]ydx  f (x)dy  yf  (x)dx  f (x)dy
 ydf (x)  f (x)dy  d( yf (x))
故
u(x, y)  yf (x)  C  y(4  x)e x  C.1
【解】法线方程为
Y  y   (X  x),

y
Y  0, X  yy   x
 
yy y yy y
(  x, ) 2 y 2  x  x  2( ) 2 .
2 2 2 2
y 2  2x  1  e 2x .3
【解】1）解线性方程 x f  (x)  f (x)  ax 2
2
3
得 f ( x )  C x  a x 2
2
3
1
由 2   (Cx  ax 2 )dx 知， C  4  a
0 2
3
f (x)  (4  a)x  ax 2 .
2
3
1
2）
V (a)   [(4  a)x  ax 2 ] 2 dx
0 2
16 a 1
 π(   a 2 ). a  5 时， V 最小.
3 3 30【解】
Y  y  y  (X  x).
X  0 Y  y  xy 
MA  OA
y  xy   (x  0) 2  ( y  y  xy  ) 2
1
2 yy   y 2   x z  y 2
x
dz z
   x. y  3x  x 2 (0  x  3).
dx x1
【解】
Y  y   (X  x) ( y   0).

y
(x  yy  ,0)
1
( yy  ) 2  y 2  y(1  y 2 )2

y 1

(1  y 2 ) 3 2 y(1  y 2 ) 1 2
1
yy   1  y 2 y  (e x1  e (x1) )  ch(x  1).
2为
【解】(1) Y  y  y  (X  x) X  0 y  xy  x 2  y 2  y  xy 
1
du dx  1 
y   x 2
  y  x 2  y 2  C.  ,0
4
1  u 2 x  2 
 1 
1  1 
Y    x 2   2x(X  x) Y  2xX  x 2   0  x  .
 4 
4  2
 1 
 x 2   2
 1 
 4   1   x 2  
,0
 0, x 2  . 1  4  1  1 
 
2x
   4  S(x)     2  x 2 dx.
  2 2x 0  4    
dy dy x
【解】 k   1   . x 2  y 2  C. y    y  2  x 2 ,   x  0.
 2  2
dx dx y
0  x  
y  C cosx  C sin x  x
1 2
y   C sin x  C cos x  1.
1 2
 2  x 2 ,  x  0,
y(x)  
 cos x  sin x  x, 0  x .y   sin t sin t cos t
【解】 k  t  y  cos t   (x  f (t)). y  0 x  f  (t)  f (t).
   0
x f (t) f (t) sin t
t
，
2
 cos t 
f  (t)  cos 2 t  1.
 
，
 sin t 
2
sin t 1
f  (t)    cos t. f (t)  ln(sec t  tan t)  sin t.
cos t cos t
 
 1
f (0)  0 lim f (t)   S   ydx   2 cos t  f  (t)dt   2 sin 2 tdt  .
 0
0 0 4
t
21  1 
 dx  dx
【解】（I）y  e x   axe x dx  C   ax 2  Cx.
 
 
x  1, y  0 C  a y  ax 2  ax
(0,0) (2,2a)
4
2 2
S(a)   (ax  ax 2  ax)dx   (2ax  ax 2 )dx  a
0 0 3
4 8
a  a  2.
3 3