(208)--第四章：常微分方程_已解密_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{3}--全部课件

dy y 【解】  dx 1  x 2 ln y  arctan x  C ln y  arctan x  ln  ln y  arctan1  ln   ln 4  y  e 4【解】 r 2  2r  1  0, r  r  1, 1 2 (Ax  B)x 2 e x .【解】 r  1,1,1 (r  1) 2 (r  1)  r 3  r 2  r  1  0【解】 r 2  4r  8  0, r  2  2i, 1,2 y   Ae 2x  xe 2x (B cos 2x  Asin 2x).【解】 y  C e x  C e 2x  xe x 1 2 r  1,r  2 1 2 (r  1)(r  2)  r 2  r  2  0【解】 y  C e x  C cos 2x  C sin 2x 1 2 3 r  1,r  2i 1 2,3 (r  1)(r 2  4)  r 3  r 2  4r  4  0,【解】 r 2  2  0, r  , 1,2 y   x(ae x  be x ).dy y 1 【解】   dx x ln x x 1 1 y  (ln x  ) 2 ln x2 y x 【解】 y    2x 2  1  y  x x 2 x  C   5  1 y  x 3  x 5 .x  dx x 【解】 (1  e y )  (1  )  0 dy y x 令  u, y du u  e u y   dy 1  e u 1  e u dy  du  u  e u y  ln u  e u  lnC y x 1 1  Cy x  ye y  u  e u C【解】 y  C e x  C e x r  1, 1 2 1,2 r 2  1  0, a  0,b  1. 1 y   y  e x y   axe x , a  . 2 1 y  C e x  C e x  xe x . 1 2 2【解】 r 2  1  0, r  i. 1,2 y  C cos x  C sin x 1 2  y  ax  x[bcos x  c sin x] 1 a  1,b  0,c  . 2 1 y  C cos x  C sin x  x  x sin x 1 2 2y(x)  x y  (x)  1 f  (0) 【解】 lim  lim  , 2 x0 x x0 2x 2 y   (x  1) y   x 2 y  e x x  0 y  (0)  2. a  1.【解】 r 2  4r  3  0, r  1,r  3, 1 2 y   ae 2x . a  2, y  C e 3x  C e x  2e 2x . 1 2【解】 r 3  2r 2  r  2  0 (r  2)(r 2  1)  0 r  2,i y  C e 2x  C cos x  C sin x 1 2 25 1 【解】 y  C(5) t  (t  ). t 12 6【解】 y  C2 t  (5t  t 2 )2 t ; t【解】 Y  C e x  C e 2x 1 2 y   Axe x A  2 y(x)  C e x  C e 2x  2xe x 1 2 . y  1, y   1 C  C  1, C  2C  1. x0 x0 1 2 1 2 C  1, C  0 y  (1  2x)e x 1 2【解】 y  y  x 2 , y  y  e x 2 1 3 1 y  C x 2  C e x  3 1 2 y   2C x  C e x 1 2 y   2C  C e x 1 2 y   y   2C (1  x) 1 y  y   C (x 2  2x)  3 1 (2x  x 2 ) y   (x 2  2) y   2(1  x) y  6(1  x)  1 x 1 x 【解】 y   y        2   3 x (x ) x (x ) x   x  e 2y 1 , x  C e y  C e y  e 2y 1 2 3x x 【解】 f (x)  x 2  f  (t)dt   t 2 f  (t)dt  x 2 0 0 ， x f  (x)  2x  f  (t)dt  x 2 f  (t)  x 2 f  (x)  2x 0  2x[ f (x)  f (0)]  2x ， f  (x)  2xf (x)  2x     f (x)  e  2xdx  2xe  2xdx dx  C  e x 2  2xe x 2 dx  C  e x 2 (e x 2  C)  1  Ce x 2【解】令 x  t  u, x x x x  tf (x  t)dt   (x  u) f (u)  x  f (u)du   uf (u)du 0 0 0 0 x x x  f (t)dt  x  x  f (u)du   uf , (u)du 0 0 0 x f (x)  1   f (u)du f  (x)  f (x) 0 f (0)  1 f (x)  e x .x 【解】令 f  (x)  e x  e x  [ f (t)] 2 dt  e x [ f (t)] 2 . 0 f  (x)  f (x)  e x [ f (x)] 2 ,  f (x) 1   e x . 2 f (x) f (x)  1 f (x) u  u  (x)   2 f (x) f (x) u   u  e x .x 【解】（1）由题设知 (x  1) f  (x)  (x  1) f (x)   f (t)dt  0 0 (x  1) f  (x)  (x  2) f  (x). du x  2 设 u  f  (x) ,则有   u dx x  1 x Ce 解之得 f  (x)  u  . x  1 由 f (0)  1 及 f  (0)  f (0)  0 ,知 f  (0)  1 . x e 从而 C  1, 故 f  (x)   . x  1 .（2)【证1】当 x  0 时， f  (x)  0, 即 f (x) 单调减少,又 f (0)  1 所以 f (x)  f (0)  1. 设 (x)  f (x)  e ，x 则 x (0)  0, (x)  f  (x)  e x  e x x  1 当 x  0 时， (x)  0 ，即 (x) 单调增加，因而 (x)  (0)  0 即有 f (x)  e x . x 【证2】 由于  f  (t)dt  f (x)  f (0)  f (x)  1 0 t e x x 所以 f (x)  1   f  (t)dt  1   dt. 0 0 t  1 t e x x 注意到当 x  0 时， 0   dt   e t dt  1  e x 0 t  1 0 因而 e x  f (x)  12 t 【解】 f (t)   ( x 2  y 2 ) f ( x 2  y 2 )dxdy  t 4   d r 3 f (r)dr  t 4 0 0 x 2 y 2t 2 t  2 r 3 f (r)dr  t 4 0 f  (t)  2t 3 f (t)  4t 3 ,  2 4 x f (0)  0, f (x)  (e 2  1). f (x  x)  f (x) 【解】 f  (x)  lim x0 x e x f (x)  e x f (x)  f (x)  lim x0 x f (x)  e x lim  f (x) x0 x  e x f  (0)  f (x) ( f (0)  0)  2e x  f (x) f (x)  2xe x .【解】令 x 2  y 2  t, 则 z  tf (t)  z(t) z 2 z  z  (t) 2x,  2z  (t)  4x 2 z  (t) x x 2 2 z  2z  (t)  4 y 2 z  (t) y 2  2 z  2 z   4(x 2  y 2 )z  (t)  4z  (t)  0 x 2 y 2 tz  (t)  z  (t)  0, z(1)  0, z  (1)  1. ln t 1 解得 z(t)  ln t, f (t)  , f (t) 在 [0,) 上的最大值， f (e)  . t e【解】由题设 知 du  [e x  f  (x)]ydx  f (x)dy [e x  f  (x)]  f  (x) 即 f   ( x )  f  (x)  e x 解方程得 f (x)  C  C e x  xe x , 1 2 由 f (0)  4, f  (0)  3, 得 C  0,C  4. 1 2 则 f (x)  4e x  xe x . du  [e x  f  (x)]ydx  f (x)dy  yf  (x)dx  f (x)dy  ydf (x)  f (x)dy  d( yf (x)) 故 u(x, y)  yf (x)  C  y(4  x)e x  C.1 【解】法线方程为 Y  y   (X  x),  y Y  0, X  yy   x   yy y yy y (  x, ) 2 y 2  x  x  2( ) 2 . 2 2 2 2 y 2  2x  1  e 2x .3 【解】1）解线性方程 x f  (x)  f (x)  ax 2 2 3 得 f ( x )  C x  a x 2 2 3 1 由 2   (Cx  ax 2 )dx 知， C  4  a 0 2 3 f (x)  (4  a)x  ax 2 . 2 3 1 2） V (a)   [(4  a)x  ax 2 ] 2 dx 0 2 16 a 1  π(   a 2 ). a  5 时， V 最小. 3 3 30【解】 Y  y  y  (X  x). X  0 Y  y  xy  MA  OA y  xy   (x  0) 2  ( y  y  xy  ) 2 1 2 yy   y 2   x z  y 2 x dz z    x. y  3x  x 2 (0  x  3). dx x1 【解】 Y  y   (X  x) ( y   0).  y (x  yy  ,0) 1 ( yy  ) 2  y 2  y(1  y 2 )2  y 1  (1  y 2 ) 3 2 y(1  y 2 ) 1 2 1 yy   1  y 2 y  (e x1  e (x1) )  ch(x  1). 2为 【解】(1) Y  y  y  (X  x) X  0 y  xy  x 2  y 2  y  xy  1 du dx  1  y   x 2   y  x 2  y 2  C.  ,0 4 1  u 2 x  2   1  1  1  Y    x 2   2x(X  x) Y  2xX  x 2   0  x  .  4  4  2  1   x 2   2  1   4   1   x 2   ,0  0, x 2  . 1  4  1  1    2x    4  S(x)     2  x 2 dx.   2 2x 0  4     dy dy x 【解】 k   1   . x 2  y 2  C. y    y  2  x 2 ,   x  0.  2  2 dx dx y 0  x   y  C cosx  C sin x  x 1 2 y   C sin x  C cos x  1. 1 2  2  x 2 ,  x  0, y(x)    cos x  sin x  x, 0  x .y   sin t sin t cos t 【解】 k  t  y  cos t   (x  f (t)). y  0 x  f  (t)  f (t).    0 x f (t) f (t) sin t t ， 2  cos t  f  (t)  cos 2 t  1.   ，  sin t  2 sin t 1 f  (t)    cos t. f (t)  ln(sec t  tan t)  sin t. cos t cos t    1 f (0)  0 lim f (t)   S   ydx   2 cos t  f  (t)dt   2 sin 2 tdt  .  0 0 0 4 t 21  1   dx  dx 【解】（I）y  e x   axe x dx  C   ax 2  Cx.     x  1, y  0 C  a y  ax 2  ax (0,0) (2,2a) 4 2 2 S(a)   (ax  ax 2  ax)dx   (2ax  ax 2 )dx  a 0 0 3 4 8 a  a  2. 3 3