(275)--第四章《线性方程组》习题册解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第四章 线性方程组
巩固练习
题型07 线性方程组的求解
1.【答案】C
【解析】（A）选项错误， m  n ，可以理解为方程组的个数小于未知数的个数，
r ( A )  m  n ，则 A x  0 有无穷多解，但 A x  b 有无穷多解的条件为
r ( A )  r ( A , b )  n ，无法确定r(A)与 r ( A , b ) 是否相等，所以（A）不对.
（可参考这种形式 ( A , b ) 
 1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1

， A x  b 无解）
（B）选项错误，若Ax0只有零解，则r(A)n，Axb有唯一解的条件是
r ( A )  r ( A , b )  n ，无法确定r(A)与 r ( A , b ) 是否相等，所以（B）选项不对.
（可参考这种形式 ( A , b ) 
 1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1

， A x  b 无解）
（C）选项正确，由 A 是 m  n 矩阵，故 r ( A )  n ，若 A 有 n 阶子式不为零，则
r ( A )  n ，即 r ( A )  n ，故Ax0只有零解. 答案选（C）
（D）选项错误，Axb有唯一解的充要条件应是 r ( A )  r ( A , b )  n .
2.【答案】D
【解析】 A x  b 有解的充要条件为 r ( A )  r ( A , b ) ，（A）（B）（C）选项均不能保证这个
条件，所以（A）（B）（C）选项均不对，再看（D）选项，齐次线性方程组一定有零解，
所以（D）选项正确.
（若本题（D）选项后半部分改为Axb一定有解，该命题也是正确的，因为
r(A)m，矩阵 A 行满秩，增加一列并不改变行秩，所以 r ( A )  r ( A , b )  m ，所以方程
组Axb一定有解）
3.【答案】B【解析】（A）选项错误，
(
1 2
,
2 3
,
3 4
,
4 1
) (
1
,
2
,
3
,
4
)
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
               
 
，由于
r
 1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1

 3
所以 r (
1

2
,
2

3
,
3

4
,
4

1
)  3         ，四个向量线性相关，不能作为基础解系.
（B）选项正确，因为
1
,
2
,
3
,
4
  是齐次方程组 A x  0 的基础解系，所以
1
,
2
,
3 4
,
3 4
       仍为 A x  0 的解.
(
1
,
2
,
3 4
,
3 4
) (
1
,
2
,
3
,
4
)
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
          



，由于
r
 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
 1

 4 ，所以 r (
1
,
2
,
3 4
,
3 4
) 4         ，且向量个数与基础解系中向
量个数一致，故可以作为基础解系，答案选择（B）.
（C）选项错误，与,,,等价的向量组中向量个数不一定是4个.
1 2 3 4
（D）选项错误，等秩的向量组之间不一定能相互表示，所以不一定是方程组的解，且向
量个数也无法确定.
4.【答案】C
【解析】由于 A x  0 的基础解系中向量个数是2个，即 4  r ( A )  2 ，故r(A)2，故
A的列向量组的极大线性无关组中向量个数为2个，排除（D）选项. 由于
1
 A  0 ，即
 2  0，由A 0，可得  0，联立可得：,线性相关，
1 2 3 4 2 2 4 2 4
,线性相关，排除（A）（B）选项. 故答案选（C）.
1 35.【答案】1
【解析】由题意，
1
,
2
, ,
t
  都是非齐次线性方程组 A x  b 的解，即
1
 A  b ，
2
 A  b ， ，
t
 A  b ，又因为cc  c是
1 1 2 2 t t
A x  b 的解，代入有
( c
1 1
c
2 2
c
t t
)    A     b ，即
c
1 1
c
2 2
c
t t
( c
1
c
2
c
t
)    A  A   A     b  b ，故 c
1
 c
2
  c
t
 1 .
2 3  2 
     
1 0 0
     
6.【答案】k  0 k  4 k 1，（其中k ,k ,k 为任意常数）
1 2 3 1 2 3
     
0 1 0
     
     
 0   0   1 
1 2 1 1 1 1 2 1 1 1
   
【解析】A 2 4 1 10 5  0 0 3 12 3
   
   
1 2 0 3 2 0 0 1 4 1
   

 1
0
0
2
0
0
1
1
0


0
1
4

1
0
1 

 1
0
0
2
0
0
0
1
0

3
0
4

1
0
2 
，
原方程组的同解方程组为
 x
x
1
3


2
4
x
x
2
4


3
x
x
5
4


0
2 x
5
 0
原方程组的所有解为
 x
x
x
x
x
1
2
3
4
5

 k
1
 
1
0
0
0
2 
 k
2
 
0
4
1
0
3 
 k
3
 2
0

0
1
1

（其中k ,k ,k 为任意常数）
1 2 3
7.【答案】3
【解析】方程组可写成Axb，由通解形式可知，(1,2,1,1)T为对应齐次的解，代入可
a2b20
 a 3
得12b120 .

b1
22150
8.【答案】 (  3 , 2 , 0 ) T  k (  1 , 1 , 1 ) T ，其中 k 为任意常数
【解析】方程组可写成 A x  b ，易知矩阵 A 中存在2阶非零子式，所以r(A)2，又因
为 (3,2,0)T，
1 2
( 1 , 0 , 2 ) T     是非齐次Axb的两个特解，故
1 2
( 2 , 2 , 2 ) T      是对应齐次 A x  0 的解，故 3  r ( A )  1 ，即 r ( A )  2 ，故 r ( A )  2 .
所以 A x  0 的基础解系中只有1个向量，而
1
( 3 , 2 , 0 ) T    是 A x  b 的一个特解，故此
方程组的通解是 (  3 , 2 , 0 ) T  k (  1 , 1 , 1 ) T ，其中k为任意常数.
9.【答案】 x  (1 , 1 , 0 , 1 ) T  k ( 3 , 3 , 1 ,  2 ) T 或 x  (  1 , 1 , 0 , 3 ) T  k (  3 , 3 , 1 , 4 ) T （ k 为任意常
数）
【解析】对增广矩阵作初等行变换，有
 1
2
1
3
 1
 1
0
 1
2
1
 1
0
1
2
1
3
1
3
2
5





1
0
0
0
1
0
0
0

1
1
2
0
1
0
0
1 2



 1
 3
0
0
3
3
6
1
0
0
0
1
0
0
0
2
1
0
0
1
1
1
2



 1
0
0
0

1
0
0
1 2

0
0
3
1
0
0
0
1
1
0
0

因此方程组的通解是：x (x ,x ,x ,x )T (2,1,0,0)T k (1,3,1,0)T k (1,0,0,1)T.
1 2 3 4 1 2
而其中满足 x 21  x 22 的解，
（1）令x  x
1 2
那么 2  k
1
 k
2
 1  3 k
1
，所以 k
2
 1  2 k
1
所以 x  (1 , 1 , 0 , 1 ) T  k ( 3 , 3 , 1 ,  2 ) T （k为任意常数）
（2）令x x
1 2
2  k
1
 k
2
  ( 1  3 k
1
) ，所以 k
2
 3  4 k
1
.
x(1,1,0,3)T k(3,3,1,4)T（ k 为任意常数）
综上 x  (1 , 1 , 0 , 1 ) T  k ( 3 , 3 , 1 ,  2 ) T 或 x  (  1 , 1 , 0 , 3 ) T  k (  3 , 3 , 1 , 4 ) T （k为任意常数）为
满足x2  x2的所有解.
1 210.【答案】请参照解析
【解析】对增广矩阵作初等行变换，有

2
a
0
a
2
2
2
3
b
3
4
2
6


 a
0
0 
2
2
2
3
b
 3 
4
2
2


 a
0
0
2
2
0 b
3
3
 3
4
2
0

.
（1）当 a  0 ，且 b  3
 2
1 0 0
 
a
时， A b 
0 1 0 1
 
0 0 1 0
T
2 
方程组有唯一解 ,1,0  .
a 
（2）当 a  0 时， b 为任意常数时，  A b  
 0
0
0
2
0
0 b
3
0
 3

4
0
2

方程组无解.
（3）当 a  0 ， b  3
 2
1 0 0
a 2 3 4  a 
   
时， A b  0 2 3 2   0 1 3 1 
 0 0 0 0    2 
 
0 0 0 0
方程组有无穷多解
 2
a
, 1 , 0

T
 k  0 ,  3 , 2  T .
11.【答案】（1） k (1 , 1 , , 1 ) T ，其中k为任意常数；
（2） k (1 , 5 ,  3 , 1 ) T  ( 2 , 1 ,  1 , 3 ) T ，其中 k 为任意常数
【解析】（1）因为 r ( A )  n  1 ，所以方程组 A x  0 的基础解系只含一个线性无关的解向
量，又因为 A 的各行元素之和为零，所以 A
 1
1
1

 0
1
 
1
 
，于是 为方程组
 
 
1
A x  0 的一个基
础解系，故方程组Ax0的通解为 x  k (1 , 1 , , 1 ) T ，其中k为任意常数.
（2）由r(A)3得方程组Axb对应齐次线性方程组的基础解系含一个线性无关的解向量，由线性方程组解的性质得Axb对应齐次线性方程组的基础解系为
2
1
 (
2

3
)  (1 , 5 ,  3 , 1 ) T    .
故方程组 A x  b 的通解为 x  k (1 , 5 ,  3 , 1 ) T  ( 2 , 1 ,  1 , 3 ) T ，其中k为任意常数.
12.【答案】 k
1
 1
2

2
1

 k
2
 3
6

9
3


 1

0
2
1

，其中 k
1
, k
2
为任意常数
【解析】由非齐次线性方程组有解得 r ( A )  r ( A ) ，因为系数矩阵 A 存在2阶非0子式，
 1 
 
2
 
所以r(A)2. 因为   ，
2 1 1
 
 2 
3 1
3
6
9
3
   



为齐次线性方程组 A x  0 的两个线
性无关解，所以 4  r ( A )  2 ，即 r ( A )  2 ，于是 r ( A )  2 . 故方程组 A x  b 的通解为
x  k
1
 1
2

2
1

 k
2
 3
6

9
3


 1

0
2
1

，其中 k
1
, k
2
为任意常数.
13.【答案】k(1,3,1,0)T (1,2,0,1)T，其中 k 为任意常数
【解析】显然 r ( A )  3 ，则方程组Ax0的基础解系为含一个线性无关的解向量，因为
  即   0，所以(1,3,1,0)T为方程组
      
A x  0 的一个基础
解系.
 A x  等价于xx x x ，再由   
1 1 2 2 3 3 4 4


 



得方程组  A x 
的一个特解为(1,2,0,1)T，于是方程组  A x  的通解为xk(1,3,1,0)T (1,2,0,1)T，
其中 k 为任意常数.
 1   1   5  2
       
2 2 6 3
       
14.【答案】k  1 k  0 k  0  0 ，其中
1 2 3
       
0 1 0 0
       
       
 0   0   1   0 
k
1
, k
2
, k
3
为任意常数【解析】 A 
 1
3
0
5
1
2
1
4
1
1
2
3
1
1
2
3
1

6

3
1
a
0
b
2


 1
0
0
0
1

1

1
1


1
2
2
2


1
2
2
2


1
6
6
6 2


a
3
b
a
5 a


 1
0
0
0
1
1
0
0
1
2
0
0
1
2
0
0
1
6
0
0
b
2
3


a
a
3
2
a
a

.
b3a0,
因为原方程组有无数个解，所以 解得
22a0,
a  1 , b  3 .
A 
 1
0
0
0
0
1
0
0

2
0
0
1 
2
0
0
1 
6
0
0
5 
3
0
0
2 
，
通解为 x  k
1


1
1
0
0
2

 k
2


1
0
1
0
2

 k
3


5
0
0
1
6


 
3
0
0
0
2 
，其中 k
1
, k
2
, k
3
为任意常数.
15.【答案】略
【解析】（1）不妨设
1
,
2
, ,
n 1
  

，
1
,
2
  为列向量
因为
1
,
2
  与
1
,
2
, ,
n 1
  

正交，
所以 Ti β
j
 0 ,  其中i1,2, ,n1; j 1,2
    0
 
     
  0
令A    ，则A         ，
  j   j  
     


 



 

0
n n
所以
1
,
2
  为方程组Ax0的两个解
因为,, , 线性无关，所以
1 2 n1
r ( A )  n  1 ，所以方程组Ax0的基础解系只含一
个线性无关的解向量，于是, 线性相关，故, 成比例.
1 2 1 2
（2）因为, 为非零向量且成比例，所以存在非零常数k ，使得 k，代入得
1 2 2 12 k
1
T1  B  ，于是 r ( ) r (
1
T1 ) r (
1
) 1   B    .
16.【答案】（1）（Ⅰ） (0,0,1,0)T, (1,1,0,1)T；
1 2
（Ⅱ）
1
( 0 , 1 , 1 , 0 ) T ,
2
( 1 , 1 , 0 , 1 ) T      
（2） k (  1 , 1 , 2 , 1 ) T ，其中k为任意常数
【解析】（1） A
1

 1
0
1
1
0
0
0
 1


 1
0
0
1
0
0
1
 1

，方程组（Ⅰ）的基础解系为
1
( 0 , 0 , 1 , 0 ) T ,
2
( 1 , 1 , 0 , 1 ) T      ；
A
2

 1
0

1
1 1
 1
0
1


 1
0
0
1
0
 1
1
1

，方程组（Ⅱ）的基础解系为
1
( 0 , 1 , 1 , 0 ) T ,
2
( 1 , 1 , 0 , 1 ) T       ；
（2）方法一：两个方程组的公共解即为方程组
 A
A
1
2

x  0 的解.
 A
A
1
2


 1
0
1
0
1
1

1
1
0
0
1
 1
0

0
1
1


 1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
 1
0


2
1
2


 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1


0
1
2

，
公共解为 x  k (  1 , 1 , 2 , 1 ) T ，其中 k 为任意常数.
方法二：方程组（Ⅰ）的通解为x k (0,0,1,0)T k (1,1,0,1)T (k ,k ,k ,k )T，代
1 2 2 2 1 2
入方程组（Ⅱ）得
 
k
k
2
2


k
k
1
2


k
k
2
1


0
0
,
,
即k 2k ，取k k ，则两方程组的公共解为
1 2 2
x  k (  1 , 1 , 2 , 1 ) T ，其中k为任意常数.
方法三：方程组（Ⅰ）的通解为 x  k
1
( 0 , 0 , 1 , 0 ) T  k
2
(  1 , 1 , 0 , 1 ) T  (  k
2
, k
2
, k
1
, k
2
) T ，方
程组（Ⅱ）的通解为 x  l1 ( 0 , 1 , 1 , 0 ) T  l
2
(  1 ,  1 , 0 , 1 ) T  (  l
2
, l1  l
2
, l1 , l
2
) T ，令
(  k
2
, k
2
, k
1
, k
2
) T  (  l
2
, l1  l
2
, l1 , l
2
) T ，得l k 2k ，l k ，取k k ，两方程组的
1 1 2 2 2 2
公共解为 x  k (  1 , 1 , 2 , 1 ) T ，其中k为任意常数.
1
 
17.【答案】当a1时，公共解为x C 0 ，其中C为任意常数；
 
 
1
 当a2时，公共解为 x  ( 0 , 1 ,  1 ) T
【解析】方程组（Ⅰ），（Ⅱ）的公共解即为方程组（Ⅲ）
 x
x
x
x
1
1
1
1




x
2
4
2
2
x
x
x

2
2
2



x
3
a
a
x

x
2
3
3
x

0

3
,

a
0 ,
0

,
1
的解.
A 
 1
1
1
1
1
2
4
2
1
a
a
1
2
a
0
0
0
 1


 1
0
0
0
1
1
3
1
a
a
1

2 
0
1
1
a
0
0
0
 1


 1
0
0
0
1
1
0
0
a
a
1
0
2 

1
1


0
a 
3 ( a
( a
1


1 )
1 )

当a1时， A 
 1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0

，方程组的公共解为 x  C
 
0
1
1 
；
当 a  1 时， A 
 1
0
0
0
1
1
0
0
a
1
0

1
1
a
0

 3
 1
1


 1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
a
a
0

 1

1
2

，
因为两个方程组有公共解，所以 a  2 ，由
A 
 1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1

0
1


 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1

0
1

，
故两个方程组的公共解为 x  ( 0 , 1 ,  1 ) T .
18.【答案】
 a
b
c



2
0
1
,
, 或
 a
b
c



2 ,
1 ,
2 ,
1
 
，公共非零解为x C 1 （C为非零常数）
 
 
1
 
1 2 3 1 2 3
【解析】因为方程组（Ⅰ）有非零解，所以D 2 3 5  0 1 1 0得
1 1 a 0 1 a3
a  2 .方程组（Ⅰ），（Ⅱ）的公共解即为方程组（Ⅲ）
 x
2
x
x
2
1
x
1
1
x

1


1
2

x
b

x
3
2
x
b
2
x

2
2
 3 x 
3
 5 x
2 3
2 x 
3
 c x 
3
x  ( c
2
0 ,
 0
0 ,
0 ,
 1 )
,
x
3
 0
的解.
A 
 1
2
1
1
2
2
3
1
b
b 2 c
3
5
2
c
 1


 1
0
0
0
0
b
b
2
 1
 1

2 
2
4
c
c
3




1
1
3
5


 1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
c
c


1
1
0
b
b 2


1
1

，
因为两个方程组有公共的非零解，所以 r ( A )  3 ，于是
 c
c


b
b

2
1


1 
0 ,
0 ,
解得 b  0 , c  1 或
b  1 , c  2 ，故所求常数为
 a
b
c



2
0
1
,
, 或
 a
b
c



2 ,
1 ,
2 ,
方程组（Ⅲ）与
 x
x
1
2




x
x
3
3
,
同解，于是公共
非零解为 x  C
 

1
1
1

（C为非零常数）.
19.【答案】略
【解析】（1）令 k
0 0
k
1 1
k
2 2
k
n r n r
       
 
 0 ，即
( k
0
k
1
k
n r
) k
1 1
k
2 2
k
n r n r
      

   
 
 0 ，
上式左乘A得
( k
0
k
1
k
n r
) k
1 1
k
2 2
k
n r n r
      

A  A  A  

A

 0 ，
因为A  A   A 0,Ab，所以
1 2 nr
( k
0
 k
1
  k
n  r
) b  0 ，而b0，所
以k k  k 0， （*）
0 1 nr
又因为
1
,
2
, ,
n r
  

线性无关，对于kk  k  0，
1 1 2 2 nr nr
所以 k
1
 k
2
  k
n  r
 0 ，带入（*）可得 k
0
 0 ，所以 k
0
 k
1
 k
2
  k
n  r
 0 ，
故,,, , 线性无关.
0 1 2 nr（2）非齐次线性方程组Axb的通解为xkk  k  ，
1 1 2 2 nr nr
所以
k
k
0
1 1
0
k
k
2
1
2
1
k
2 2
k
n r n r
k
n
(
r
k
0
n r
k
1
k
n r
)
   
   
x 
 









 
  

为 A x  b 的通解  k
0
 k
1
  k
n  r
 1 .
1 1
   
20.【答案】x k 1  2 （
   
   
1 0
   
k 为任意常数）
【解析】方法一：
A 


(

,
1

2
,

 
3
)



1
0
 1



1
0
1


0
1
 1


      
  
B =
 1
0
 1

1
0
1 0
1
 1


 1
0
0

1
0
1 0
1
0

所以 r ( B ) = 2 ,因为
1
,
2
,
3
  线性无关，所以r(,,)3
1 2 3
所以r(A)r(B)=2，所以 3  r ( A ) = 1
1 1
   
因为A 1    1 0，所以
         
   
1 1
   
 

1
1
1

为 A x  0 的一个基础解
系.
1 1 1
     
A 2   2 α ，所以 2 为
          4  
     
0 0 0
     
A x  α
4
的一个特解，
所以 A x  α
4
的通解为 x  k
 

1
1
1


 

0
1
2

（ k 为任意常数）.
方法二：由 x ，得
      (
1
,
2
,
3
)
1
0
1
1
0
1 0
1
1
(
1
,
2
,
3
)
1
1
2      





x 



，
因为
1
,
2
,
3
  线性无关，所以 (
1
,
2
,
3
)    可逆，于是
 1
0
 1

1
0
1 0
1
 1

x 


1
1
2

，
由
 1
0
 1

1
0
1 0
1
 1

1
1
2


 1
0
0

1

1
1
0
1
 1

1
2
2


 1
0
0
0
1
0
1
1
0


0
1
2

得
x  k
 

1
1
1


 

0
1
2

（k为任意常数）.综合测试
1.【答案】 2
【解析】 r ( A T )  r ( A ) ，又齐次方程组 A x  0 的基础解系中，解向量的个数为 n  r ( A ) .
因nr(A)4r(A)2知r(A)2，故 r ( A T )  2 .
2.【答案】 2
【解析】注意对于 n 阶矩阵 A ，我们有 r ( A * ) 
 n
1
0
, r
, r
, r
( A
( A
( A
)
)
)



n
n
n
,


1
1
,
.
由于 3 阶矩阵 A 的秩为2，则 A * 的秩为 1 ，从而方程组 A * x  0 基础解系中解向量的
个数为 3  1  2 .
3.【答案】 ( 1 , 0 , 1 ) T  k ( 1 , 1 , 0 ) T ，其中 k 为任意常数
【解析】因方程组 A x  b 有两个不同的解，有 r ( A )  r ( A )  3 ，又 A 中存在
5 1

2
4
 0 ，知 r ( A )  2 ，故必有 r ( A )  2 , n  r ( A )  3  2  1 ，由解的性质可知
2

1
 (1 , 1 , 0 ) T   是 A x  0 的解，也为Ax0的一个基础解系，故通解为
( 1 , 0 , 1 ) T  k ( 1 , 1 , 0 ) T ，其中 k 为任意常数.
4.【答案】D
【解析】由 r ( A * )  1 ，得 r ( A )  n  1 ，从而齐次线性方程组 A x  0 的基础解系中所含
解向量的个数为nr(A)n(n1)1.
因为
1
,
2
 是非齐次线性方程组Axb的两个不同解，所以是对应齐次线性
1 2
方程组Ax0的非零解，从而
1

2
 是Ax0的一个基础解系. 于是，方程组Axb
的通解为 k (
1

2
) 
1
 ( k  1 )
1
 k
2
    ，其中k为任意常数.
5.【答案】B
【解析】A经过初等行变换得到B ，对应的齐次线性方程组 A x  0 和 B x  0 是同解方程
组，且对应的任何部分列向量组构成的线性方程组也是同解方程组，故 A , B 中对应的任何
部分列向量组有相同的线性相关性，故应选（B）.  1 1 0
1
而（A）（C）（D）均不成立， 例如取A 0 1 0 ，则
 2  
    1 0 0 
3
A 
 101 110 000 

 001 010 000 

 123 
 B

 ，

1
,
2
  线性无关，但 ,
1
2   线性相关，故
（A）不成立；
A
3 3

10 11
 1  B
3 3

00 01
 0 ，其对应的余子式也不相等，（C）不成立；
取 b =
 211 
, 则 A x  b 有解，但 B x  b 无解，故（D）不成立.
6.【答案】C
【解析】
方法一：由于
1
,
2
,
3
  与
1
,
2
,
3
  等价，故
r 
1
,
2
,
3
)  r 
1
,
2
,
3
)  r 
1
,
2
,
3
,
1
,
2
,
3
)             ，
AT
即rA)rB)rA|B)，从而rAT)rBT)r
 ，故②④正确.
BT

1 2 0 2 1 0
   
对于①③，取A(,,) 1 2 0 ,B (,,) 2 1 0 ，
1 2 3   1 2 3  
   
0 0 0 0 0 0
   
向量组,,与,,等价，但是
1 2 3 1 2 3
A x  0 与 B x  0 不同解，
 AB 
x  0 与 A x  0
不同解，故①③错误，选（C）.
方法二：由矩阵 A , B 列向量组等价，知存在可逆矩阵 P ，使得 A P = B ，则
P T A T = B T ，故 B T x  0  P T A T x  0  A T x  0 ，所以②正确. 由矩阵A,B列向量
组等价，可得矩阵 A T , B T 行向量组等价，
AT
故ATx 0
 
x 0,所以④正确.
BT

7.【答案】A【解析】 ( A | b ) 
 112 a23
a

1
2
2
013 

 100 20
1
( a  3
1a)
( a  1 ) a
11
3

,
由于 A x  b 无解，故r(A)1r(A,b)，因此 a   1 ，
又因为 A T A x  A T b 必有解，所以不必再运算.
【注1】 A T A x  A T b 必有解的证明：
由于 r ( A T A , A T b )  r [ A T ( A , b ) ] ，可得r(ATA,ATb)r(AT)r(A)
又 r ( A T A , A T b )  r ( A T A )  r ( A ) ，可知 r ( A T A , A T b )  r ( A )  r ( A T A ) ，系数矩阵的秩
等于增广矩阵的秩. 因此非齐次方程组必有解.
【注2】若考生去求解ATAx  ATb，在讨论时发现此方程组必有解，会消耗大量时间.
8.【答案】A
【解析】显然方程组 B x  0 的解一定是方程组ABx0的解.
反之，若ABx0，只有当 r ( A )  s 时，方程组 A y  0 只有零解，故 B x  0 ，即方
程组Bx0与ABx0同解，答案选（A）.
9.【答案】B
【解析】若方程组 A x  0 的解都是方程组 B x  0 的解，则 n  r ( A )  n  r ( B ) ，从而
r ( A )  r ( B ) ，（1）为正确的命题；显然（2）不正确；
同解的方程组系数矩阵的秩相等，但反之不正确. 因此（3）对，（4）错误，答案选（B）.拓展提升
1.【答案】D
【解析】由 , 为n维单位列向量，得 T  T  1   . 令 E  T  D  .
方法一: ( T ) 2  T , ( D  E ) 2  D  E , D 2  3 D  D ( D  3 E )   2 E   ，从而D可
逆，故方程组 ( E  T ) x = 0  只有零解，应选（D）.
方法二 ：由特征值的性质知 T  的特征值为
1
T 1 ,
2 n
0           ，从而
E  T  的特征值为 2 , 1 , , 1 ，从而方程组(ET)x=0只有零解，应选（D）.
方法三：（特值法）令==(1,0,0)T,P  E，可排除（A）（B）（C），故应选（D）.
2.【答案】（1） a  2 , b   3 ；
x   2  2  4 
1
x  3  1  5
（2） x 2   0  k 1  1  k 2  0 （k 1 ,k 2 为任意常数）；
 3      
 x   0   0   1 
4
（3）
 xxxx
1
2
3
4

 k
1
 
110
2 
 k
2
 4

01
5

（ k
1
, k
2
为任意常数）
【解析】（1）设
1
,
2
,
3
  是原方程组的 3 个线性无关的解，则与为原方程
1 2 1 3
组对应的齐次方程组 A x = 0 的解，且易证
1

2
,
1

3
   线性无关，故 4  r ( A )  2 ，即
r(A)2. 又 A
1 1
有一个2阶子式 10，得r(A)2，故r(A)2.
4 3
对 A 的增广矩阵 A 作初等行变换
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
A4 3 5 1 10 1 1 5 3 
   
a 1 3 b 1 0 1a 3a ba 1a
   
1 1 1 1 1 
0 1 1 5 3 .
 
0 0 42a b4a5 42a
 
由此可得，42ab4a50，即 a  2 , b   3 .
1 0 2 4 2 
 
（2）将a2,b3代入A中继续作初等行变换得A 0 1 1 5 3 .
 
 
0 0 0 0 0
 故原方程组等价于
 x
x
x
x
1
2
3
4




2

x
x

3
,
3
,
4
2

x
x
3
3


4
5
x
x
4
4
,
,
，原方程组的通解为
 xxxx
1
2
3
4




2
00
3

 k
1
 
110
2 
 k
2
 4

01
5

（k ,k 为任意常数）.
1 2
（3）方程组 A T A x = 0 与方程组 A x = 0 同解.
证明如下：若 x = ξ 是Ax=0的解，则 A ξ = 0 ，从而 A T A ξ = A T ( A ξ   A T 0  0 ，故
方程组 A x = 0 的解也是方程组 A T A x = 0 的解；
若 x = ξ 是 A T A x = 0 的解，则 A T A ξ = 0 ，从而
( A ξ ) T A ξ  ξ T A T A ξ  ξ T ( A T A ξ )  ξ T 0   . 由于 A ξ 为列向量，故 A ξ = 0 ，从而方
程组 A T A x = 0 的解也是方程组 A x = 0 的解；
因此，方程组 A T A x = 0 与方程组 A x = 0 同解.
由（2）知，方程组 A x = 0 的通解为
 xxxx
1
2
3
4

 k
1
 
110
2 
 k
2
 4

01
5

（ k
1
, k
2
为任意常数），所
以方程组 A T A x = 0
x  2  4 
1
x   1  5
的通解为 x 2 k 1  1  k 2  0 （
 3    
 x   0   1 
4
k 1 , k 2 为任意常数）.
3.【答案】（1） A 


1
7
01 03 0 1 
（答案不唯一）；
（2） a  3 ，所有非零公共解为 k (1 , 4 , 1 , 1 ) T ，k是任意非零常数
【解析】（1）记C =(,)，则有AC = A(,)=O，得CTAT =O，即
1 2 1 2
A T 的列向
量（即A的行向量）是CTx =0的解向量. 由 C T 
 10 1
3
21 10 
，解得CTx =0的基
础解系为 ξ
1
 ( 1 , 0 , 0 ,  1 ) T , ξ
2
 (  7 , 1 , 3 , 0 ) T . 故 A 


1
7
01 03 0 1 
.
【注】此时矩阵A不唯一，不同的基础解系对应不同的矩阵.（2）若 A x = 0 和Bx=0有非零公共解，则非零公共解既可由
1
,
2
  线性表示，也可由
 线性表示，设非零公共解为 xx  xx 
1 2 1 1 2 2 3 1 4 2
于是 x
1 1
 x
2 2
 x
3 1
 x
4 2
 0     .
对 (
1
,
2
, 
1
, 
2
)     作初等行变换，
(

1
,
 1000
2
, 
0100
1
, 
 1
24
1
2
)


38
a

1

1121
1


010
3
 1000

0

13
2
0100
 1
 2
1
 a
 1
210




32
a
1000
1
 3
0
3
10





2
1000
12
1
0100

 1
 1
3
a 
0010
1


12
a
1
 3

.
   
当 a  3 ，方程组有非零解 k (  1 , 1 ,  2 , 1 ) T （k是任意非零常数），此时 A x = 0 和
Bx=0的非零公共解为  k ( 
1

2
)  k (  1 ,  4 ,  1 ,  1 ) T  k
1
(1 , 4 , 1 , 1 ) T ,   
其中 k
1
是任意非零常数. 或 k ( 2
1 2
) k ( 1 , 4 , 1 , 1 ) T        ，其中 k 是任意非零常数.
4.【答案】（1） a  0 ；（2） b  3 , c  4 , d  1
【解析】
（1）由
2
,
3
,
4
  线性无关，知
2
,
3
 线性无关. 又
1
,
2
,
3
  线性相关，故
1
可由
2
,
3
 
唯一线性表示.
由 (
1
,
2
,
3
,
4
)
 1
2
3
a

 0     ，得
1
 2
2
 3
3
 a
4
 0     ， 故 a  0 .
因为若a0，则
1
由,唯一线性表示，可以得出,,线性相关，与题设矛盾.
2 3 2 3 4
（2）由r(A)3，知Ax=0的基础解系中解的个数为 4  r ( A )  1
1
 
2
 
，故ξ  为其基
3
 
0
础解系.又 A
 1
1
1
1

 ，故Ax =的通解为 k
 1
2
3
0


 1
1
1
1
 1 1 2
     
2 1 b
     
，从而k   ，
3 1 c
     
0 1 d
可得 k  1 , b  3 , c  4 , d  1 .
5.【答案】 k
1
 a
1 1
a
1 2
a
1 ,2 n

 k
2

a
aa
2
2 1
2 2
,2 n

  k
n
 a
n 1
a
n 2
a
n ,2 n

（k ,k , k 为任意常数）
1 2 n
【解析】令 A 
 aa
a
1
2
n
1
1
1
aa
a
1
2
n
2
2
2
aa
a
1
2
n
,2
,2
,2
n
n
n



1
2
n

, x 
 x
1
x
2
x
2 n
 

，则（Ⅰ）可写为Ax=0，

令 B 
 bb
b
1
2
n
1
1
1
bb
b
1
2
n
2
2
2
bb
b
1 2，
2 2，
n 2，
n
n
n


 T1T2
Tn

, y 
 y
1
y
2
y
2 n

,



 b   b   b 
11 21 n1
 b   b   b 
其中  12 ,  22 , ,  n2 .
1 2 n
     
b b b
 1，2n   2，2n   n，2n 
则（Ⅱ）可写为 B y = 0 ，因为
1
,
2
,
n
   为（Ⅰ）的基础解系，因此 r ( A )  n ，
,,  线性无关，
1 2 n
A
1
 A
2
  A
n
=  A (
1
,
2
,
n
)  O  A B T  O  B A T  O       0 .
故T,T, T为
1 2 n
B y = 0 的一组解，而 r ( B )  n ， T1 , T2 , Tn    线性无关，因此
T1 , T2 , Tn
 a   a   a 
11 21 n1
 a   a   a 
   为By =0的一个基础解系，通解为k  12 k  22  k  n2 
1 2 n
     
     
a a a
 1,2n  2,2n  n,2n
（k ,k , k 为任意常数）.
1 2 n
6.【答案】略
【解析】方程组Bx=0的解一定是方程组ABx=0的解. 令r(B)r 且ξ ,ξ , ξ 是
1 2 nr
方程组Bx=0的基础解系，现设方程组ABx=0有一个解 ，但不是方程组Bx=0的
0解，即 B
0
 0  ，显然 ξ
1
, ξ
2
, ξ
n  r
,
0
线性无关. 因为若 ξ
1
, ξ
2
, ξ
n  r
,
0
相关，则存在不
全为零的常数k ,k , ,k ,k ,使得kξ k ξ  k ξ k 0.
1 2 nr 0 1 1 2 2 nr nr 0 0
若 k
0
 0 ，则 k
1
ξ
1
 k
2
ξ
2
  k
n  r
ξ
n  r
 0 , 因为 ξ
1
, ξ
2
, ξ
n  r
线性无关，所以
k k  k 0，从而
1 2 nr 1
,
2
,
n  r
,
0
   线性无关.
若 k
0
 0 ，故
0
 可由 ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n  r
线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有
B
0
 0  ，与假设矛盾.
综上所述， ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n  r
,
0
线性无关，且为方程组ABx=0的解，从而
n  r ( A B )  n  r  1 ， r ( A B )  r  1 ，这有r(B)r(AB)矛盾，故方程组 B x = 0 与
ABx=0同解.
7.【答案】略
【解析】因为 r ( A )  r  n ，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有nr个线性无
关的解向量，设为ξ ,ξ , ,ξ .
1 2 nr
设
0
 为方程组 A x = b 的一个特解，令
0

0
,    ξ , ξ ,
1 1 0 2 2 0
n  r
 ξ
n  r

0
,   显然
0
,
1
,
2
,
n  r
    为方程组 A x = b 的一组解.
令k  k k  0,即
0 0 1 1 nr nr
( k
0
 k
1
  k
n  r
)
0
 k
1
ξ
1
 k
2
ξ
2
  k
n  r
ξ
n  r
 ,  0
上式两边左乘 A 得(k k  k )b0. 因为
0 1 nr
b 是非零列向量，所以
k
0
 k
1
  k
n  r
 0 ，于是 k
1
ξ
1
 k
2
ξ
2
  k
n  r
ξ
n  r
 0 ，注意到 ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n  r
线性无
关，所以 k
1
 k
2
  k
n  r
 0 ， k
0
 0 . 故
0
,
1
,
2
,
n  r
    线性无关，即方程组
Ax=b存在 n  r  1 个线性无关的解向量.
设,,  为方程组Ax=b的一组线性无关解，
1 2 nr2
令  ,  , ,  ，根据定义，易证
1 2 1 2 3 1 nr1 nr2 1 1
,
2
,
n  r  1
   线性
无关，又, ,  为齐次线性方程组Ax=0的一组解，即方程组Ax=0含有
1 2 nr1
nr1个线性无关的解，矛盾，所以Axb的任意nr2个解向量都是线性相关的，
所以Axb的线性无关的解向量的个数最多为nr1.8.【答案】略
【解析】 A 
 1
0
0
1
1
0
0
1
1


 1
0
0
0
1
0
0
0
1


 0
0
0
1
0
0
0
1
0

 E  B
x x x 
11 12 13
设X x x x  与
 21 22 23
x x x
 
31 32 33
A 可交换，则 A X  X A  B X  X B . 其中
B X 
 000 100 010   xxx
1
2
3
1
1
1
xxx
1
2
3
2
2
2
xxx
1
2
3
3
3
3


 xx
2
30
1
1
xx
2
30
2
2
xx
2
30
3
3

,
X B 
 xxx
1
2
3
1
1
1
xxx
1
2
3
2
2
2
xxx
1
2
3
3
3
3
  000 100 010 

 000 xxx
1
2
3
1
1
1
xxx
1
2
3
2
2
2

.
由 B X  X B ，得x 0,
21
x
3 1
 0 , x
3 2
 0 , x
1 1
 x
2 2
 x
3 3
， x
1 2
 x
2 3
，
故 X 
 k00
1
kk0
2
1
kkk
3
2
1

, 其中 k
1
, k
2
, k
3
为任意常数.