(266)--第四章习题册答案解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第四章 常微分方程
4-1综合测试
1.【答案】D
【解析】由于（D）中的
y  C
1
y
1
 C
2
y
2
 ( 1  C
1
 C
2
) y
3
 C
1
( y
1
 y
3
)  C
2
( y
2
 y
3
)  y
3
其中 y
1
 y
3
和 y
2
 y
3
是对应的齐次方程的两个解，且 y
1
 y
3
与 y
2
 y
3
线性无关.
（此处作一简单说明：令 A ( y
1
 y
3
)  B ( y
2
 y
3
)  0 ，即 A y
1
 B y
2
 ( A  B ) y
3
 0 ，由
于 y
1
， y
2
， y
3
线性无关，则 A  0 ， B  0 ，  ( A  B )  0 . 因此 y
1
 y
3
与 y
2
 y
3
线性
无关）
又 y 是原方程的一个特解，故
3
y  C
1
y
1
 C
2
y
2
 ( 1  C
1
 C
2
) y
3
是原方程通解，应选
（D）.
2.【答案】 3    ， 2   ， 1    ，通解为 y  C
1
e x  C
2
e 2 x  x e x ， C
1
, C
2
为任意常
数.
【解析】由题设特解知原方程的特征根为 1 和 2 ，所以特征方程为 ( r  1 ) ( r  2 )  0 ，即
r 2  3 r  2  0 ，于是 3    ， 2   .
为确定，只需将y  xex代入方程，得
1
( x 2 ) e x 3 ( x 1 ) e x + 2 x e x e x      ，求得 1 .   
从而原方程的通解为 y  C
1
e x  C
2
e 2 x  x e x ，其中 C
1
, C
2
为任意常数.
3.【答案】 y   y   2 y  e x  2 x e x
【解析】由题设知， e 2 x 与ex是相应齐次方程两个线性无关的解，且 x e x 是非齐次方程的
一个特解，故此方程是
y y2y  f(x).将 y  x e x 代入上式，得
f(x)(xex)(xex)2xex 2ex xex ex xex 2xex ex 2xex
因此所求方程为yy2yex 2xex.
4.【答案】 y   2 y   2 y  0
【解析】由通解形式可看出所对应的特征根为 r1
,2
 1  i ，从而特征方程为
[r(1i)][r(1i)]r2 2r20
于是所求方程为 y   2 y   2 y  0 .
5.【答案】A
【解析】由 y 
l n
x
x
得 y  
l n
l n
x
2

x
1
，代入微分方程得
l n
l n
x
2 x
1
l
1
n x
x
y


 
 
，
则
x
y l n
1
2 x
l n
x
x
2
2
2
x y
x
2
2

 
      .
6.【答案】B
【解析】由线性微分方程的性质知，C[y (x)y (x)]是该微分方程对应的齐次方程的
1 2
解，且含有一个任意常数，故 C [ y
1
( x )  y
2
( x ) ] 是齐次方程的通解，而 y
1
( x ) 是原方程的
一个特解，由线性微分方程解的性质知（B）正确.
7.【答案】(1t2)[ln(1t2)1]
dx
【解析】由 2tex 0，得exdx 2tdt，积分并由条件
dt
x
t 0
 0 ，得
e x  1  t 2 ，即xln(1t2).dy
dy dt ln(1t2)2t
  (1t2)ln(1t2)，
dx dx 2t
dt 1t2
d
d
2
x
y
2


d
d
( 1
x


t
d
d
2
y
x
) [

l n

( 1
d
d

t
[ ( 1
2 t )


2 t )
d
d
1 ]
l
x
t
n ( 1  t 2 ) ]

2 t l n ( 1
1

2

t
t
t
2
2
)  2 t
8.【答案】（1） y ( x )  e  a x 
x
0
f ( t ) e a td t ；（2）证明略
【解析】（1）原方程的通解为
y ( x ) 

e
e



a
a d
x [
x
F
 
( x
f
)
(

x
C
) e
]
 a d x d x  C   e  a x   f ( x ) e a x d x  C 
其中 F ( x ) 是 f ( x ) e a x 的任一原函数. 由 y ( 0 )  0 ，得 C   F ( 0 ) ，故
y ( x )  e  a x [ F ( x )  F ( 0 ) ]  e  a x 
x
0
f ( t ) e a td t
（2） y ( x )  e  a x 
x
0
f ( t ) e a td t  k e  a x 
x
0
e a td t 
k
a
e  a x ( e a x  1 ) 
k
a
(1  e  a x ) ， x  0 .
9.【答案】 y ( x ) 
 e
(
2
1
x


e
1

,
2 ) e 2 x ,
x
x


1
1
,
.
【解析】当 x  1 时，有y2y 2，其通解为
ye
2dx
2e
2dx
dxC

e2x

2e2xdxC

Ce2x 1
 1 1 1
由 y(0)0，得C 1，所以ye2x 1(x1).
1
当x1时，有y2y 0，其通解为 y  C
2
e  2 d x  C
2
e 2 x ( x  1 ) .
由limC e2x  lim(e2x 1)e2 1，得C e2 e2 1，即C 1e2.
x1 2 x1 2 2
所以y(1e2)e2x(x1).于是，若补充定义函数值y e2 1，则所求的在
x1
(   ,   ) 上的连续函数为
y ( x ) 
 e
(
2
1
x


e
1

,
2 ) e 2 x ,
x
x


1
1
,
.
显然， y ( x ) 满足题中所要求的全部条件.
10.【答案】 y 
2
3
x
32

1
3
【解析】令y p，则y p，原方程化为 p ( x  p 2 )  p .
两边同时除以 p p ，得
x
p
 p 
1
p 
，将 p  
d
d
p
x
dx x
带入上式，得   p，此为一
dp p
阶线性微分方程，故 x  e
 1p d p 
 p e
  1p d p
d p  C

 p ( p  C ) .
带入初始条件y(1)1，即 p(1)1，则 C  0 ，于是 p 2  x ，故 p  x ，即
d
d
y
x
 x . 解得 y 
2
3
x
32
 C
1
，代入初始条件 y ( 1 )  1
1
，可得C  ，故所求的特解为
1 3
y 
2
3
x
32

1
3
.
11.【答案】 y  C
1
 e  3 x ( C
2
c o s a x  C
3
s i n a x ) 
9 
x
a 2
，其中 C
1
， C
2
， C
3
为任意常
数.
【解析】特征方程r36r2 (9a2)r 0的三个根为r 0，
1
r
2 ,3
  3  a i .
对应齐次方程的通解为yC e3x(C cosaxC sinax)
1 2 3
设原方程的特解为 y *  A x
1
，代入原方程，得A . 因此，原方程通解为
9a2
x
y C e3x(C cosaxC sinax) ，其中
1 2 3 9a2
C
1
，C ，C 为任意常数．
2 312.【答案】 y 

(

C
C
1
1


C
C
x
2
x
2
) e

 2
1
2
x 
x 2
(

a
e
1

 2
2
x
2 )
,
e a x , a
a




2
2
,
.
【解析】特征方程为 r 2  4 r  4  0 ，特征根为r 2，对应齐次方程的通解为
1,2
y  ( C
1
 C
2
x ) e  2 x
当a2时，设非齐次方程的特解为 y   A e a x ，代入原方程，得
A 
( a
1
 2 ) 2
1
，y  eax；
(a2)2
当 a   2 时，设非齐次方程的特解为 y   A
1
x 2 e  2 x ，代入原方程，得
A
1

1
2
， y  
1
2
x 2 e  2 x ，故通解为 y 

(

C
C
1
1


C
C
x
2
x
2
) e

 2
1
2
x 
x 2
(

a
e
1

 2
2
x
2 )
,
e a x , a
a




2
2
,
.
其中 C
1
， C
2
为任意常数.
13.【答案】D
【解析】令 P 
(
x
x


a
y
y
) 2
， Q 
( x 
y
y ) 2
. 由于 P d x  Q d y 为某个函数的全微分，则
P Q
 ，即
y x
( a  2 ) x  a y   2 y  ( a  2 ) x  ( a  2 ) y . 所以仅当 a  2 时，上式恒成
立.
14.【答案】 y 
C
x
1 
C
x
22 ，C ，
1
C
2
为任意常数
【解析】本题是欧拉微分方程求解问题，主要考查欧拉方程的解法及简单的求导和积分运
算. 其求解过程如下：
d
令xet，记D  ，则原方程变为
dtD(D1)y4Dy2y 0，
即
d
d
2
t
y
2
 3
d
d
y
t
 2 y  0 . 此方程的特征根是1，2，其通解是 y  C
1
e  t  C
2
e  2 t . 所以
原方程的通解是 y 
C
x
1 
C
x
22 ，其中 C
1
， C
2
为任意常数.4-1拓展提升
1.【答案】 y   4 y  s i n 2 x
【解析】由二阶线性微分方程解的叠加原理可知， y
1
 y
2
 c o s 2 x  s i n 2 x 是该方程对应
的齐次方程（记为（*））的一个解，于是 c o s 2 x  ( c o s 2 x  s i n 2 x )  s i n 2 x 也是方程
（*）的解，即（*）有两个线性无关的解 c o s 2 x 和 s i n 2 x ，由此可见方程的特征根为
2i，特征方程为2 40，从而知原方程为 y   4 y  f ( x ) ；又注意到 
1
4
x c o s 2 x
是这个方程的一个解，从而 f ( x ) 


1
4
x c o s 2 x


 4


1
4
x c o s 2 x

 s i n 2 x ，因此该
方程为 y   4 y  s i n 2 x .
11 
2.【答案】ey   x3C ，其中
x3 
C 为任意常数
1 1
【解析】由yxey  0得eyyx ey 0，即
x x
d (
d
e
x
y )

1
x
e y  x ，令 z  e y ，则
dz 1
 z  x，这是
dx x
z 关于 x 的一阶线性微分方程，解得
z  e
  1x d x 
 x e
 1x d x
d x  C


1
x
 1
3
x 3  C
 11 
，所以原方程的通解为ey   x3C ，其
x3 
中 C 为任意常数.
 1 
3.【答案】x y21Cey ，其中
 
 
C 为任意常数.
dx  1 2
【解析】当y 0时方程可改写为     x1，这是以
dy  y2 y
y 为自变量，x为未知函
数的一阶线性微分方程，由求解公式可知x 

e
y
   
2 e
1 
2 y
1 
y 
2y

d y 
1
2 y


e

e
1y

d
 1  
2 y 
y 
2y
C
d y 

d y


y
C
2 e

1y


e
e

1y
1y
 2

ln
C
y 



e

y
1y
2


2 ln y
1 
d
C
y
e

1y
C


其中 C 为任意常数.
1 tan y
4.【答案】 arctan  xC，其中
2 2
C 为任意常数.
【解析】因为 t a n 2 y  s e c 2 y  1 ，所以 y  s e c 2 y  s e c 2 y  1  0 可化为
(tany)tan2 y20，令 t a n y  u ，则
d
d
u
x
 u 2  2 ，这是可分离变量的方程，化简
为
u
d
2
u
 2
 d x ，积分得
1
2
a r c t a n
u
2
 x  C ，即
1
2
a r c t a n
t a n
2
y
 x  C ，其中C为
任意常数.
5.【答案】xy2(x y)3
【解析】这是齐次微分方程，令 y  x u ，则 y   u  x u  代入可得
dy du x2(2uu2)
 x u  ，即
dx dx x2(12u)
x
d
d
u
x
 u 
2
1
u


2
u
u
2
整理得 x
d
d
u
x

u
1


u
2
2
u
，分离变量得
( 1
u

( 1
2 u

)
u
d
)
u

d x
x
，两边积分得 
(1
u

(1
2 u

)
u
d
)
u
 
 1
u

1
3
 u

d u  
d x
x
即
u
ln u 3ln1u ln Cx ，整理得 Cx，即xyC(x y)3；把
(1u)3
x  1 ，
y(1)2代入可确定常数 C  2 ，从而所求特解为 x y  2 ( x  y ) 3 .
6.【答案】A
【解析】因方程不显含自变量x，可令 p  y  并以 y 为自变量，于是
d dy d dp dy dp dp
y    (p)  p ，代入原方程得2yp 1 p2 ，分离变量得
dxdx dx dy dx dy dy2pdp dy
 ，积分得
1 p2 y
1  p 2  C y ，利用 y  1 时 p   1 可确定常数 C  2 ，因而有
p 2  2 y  1 ，即 p   2 y  1 （因为已知y(1)1），从而得方程
d
d
y
x
  2 y  1 ，用
分离变量法可得 2 y  1   x  C
1
，利用初值 y ( 1 )  1 可确定常数 C
1
 2 ，故所求特解为
2y12x，即 y 
1
2
( x 2  4 x  5 ) ，选（A）.
7.【答案】B
【解析】这是伯努利方程，方程两边同乘 y 得到 y
d
d
y
x
 x y 2 
1
2
x e  x 2 ，令 z  y 2 ，则
z2yy即 y y  
z
2

，代入上述方程得
z
2

 x z 
1
2
x e  x 2 ，整理得 z   2 x z  x e  x 2 ，此为
z关于x的一阶线性微分方程，由公式得
z e 2xdx  xex2 e 2xdx dxC  ex2 xex2 ex2 dxC
   
 
1 
ex2 xdxC ex2 x2 C
   
2 
1  即 y2 ex2  x2 C ，由于
2 
y ( 0 )  1 ，可得 C  1 1 
x2
，故特解为y x2 1e 2 .
2
8.【答案】D
【解析】方法一：令P(x,y) y2 1， Q ( x , y )  2 x y  c o s y ，由


P
y
 2 y 


Q
x
可知该
方程为全微分方程，归结为求u(x,y)使得du  PdxQdy.
原方程改写为(y2 1)dxxd(y2 1)dsiny0即d((y2 1)xsiny)0，因此通解
为(y2 1)xsinyC，故答案选（D）.
P Q
方法二：令P(x,y) y2 1，Q(x,y)2xycosy，由 2y 可知该方程为全
y x微分方程，归结为求 u ( x , y ) 使得du  PdxQdy.
u
由  P(x,y) y2 1，
x


u
y
 Q ( x , y )  2 x y  c o s y ，将


u
x
对 x 积分得
u(y2 1)xC(y)，再对 y 求偏导得


u
y
 2 x y  C ( y )  2 x y  c o s y ，故
C(y)cosy，积分得 C ( y )   s i n y  C ，故u(x,y)(y2 1)xsinyC，通解为
(y2 1)xsinyC，选（D）.
方法三：令P(x,y) y2 1， Q ( x , y )  2 x y  c o s y ，由


P
y
 2 y 


Q
x
可知该方程为全
微分方程，归结为求 u ( x , y ) 使得du  PdxQdy.
取特殊路径如下图折线路径
(x,y) x y
u(x,y) PdxQdy  P(x,0)dx Q(x,y)dy
(0,0) 0 0
x y
 (1)dx (2xycosy)dy
0 0
xxy2 sin y  x(y2 1)sin y
通解为 ( y 2  1 ) x  s i n y  C ，选（D）.
9.【答案】D
d2y dy
【解析】对于欧拉方程x2  px qy 0（
dx2 dx
p , q 为常数），令xet ，则
d
d
y
x

d
d
y
t

d
d
t
x

1
x

d
d
y
t
，d
d
2
x
y
2


d
d


d
d
d
d
x
d
d
t
y
x
y
t




d
d
d
t
x


1
x
d
1
x

x

d y
d t
1
2 x



d
d
y
t
1
x


d
1
x

d
2
d
d
x

y
t
d
d

2
t
y
2


1
2 x
1
x

2
d
d

y
t
d
d
y
t
d2y dy
代入原方程得到二阶线性常系数方程 (p1) qy0，对于本题即化为
dt2 dt
d2y dy
 2y 0，特征方程为2 20，解得2, 1，故通解为
dt2 dt 1 2
y C e2tC et，即
1 2
y 
C
x
12  C
2
x ，故选（D）.
10.【答案】 y
t
 C (  5 ) t 
1
2
t 2 
1
3
t 
3
1
6
，其中 C 为任意常数
【解析】原方程的一般形式为y 5y 3t2 t，其对应的齐次差分方程为
t1 t
y
t 1
 5 y
t
 0 ，其通解为 y
c
( t )  C (  5 ) t ，（C为任意常数）. 因为 f(t)3t2 t是 t 的
二次多项式，且 a   5  1 ，故设原方程的特解为y* t2 t，其中,,为待定
t
常数，于是 y *t
1
( t 1 ) 2 ( t 1 )   

     ，代入原方程得
(t1)2 (t1)5(t2t)3t2t即
6t2 (26)t63t2 t，于是有 6 3   ， 6 2 1      ，
1
60，解出 ，
2
1
3
   ，
3
1
6
   ，故差分方程的通解为
1 1 1
y C(5)t  t2  t ，其中C为任意常数.
t 2 3 364-2综合测试
1.【答案】 f(x)e2x xex
【解析】因为 x 
1
0
f ( t x ) d t  
1
0
f ( t x ) d t x
u  t x

x
0
f ( u ) d u ，
x 1
所以 f(x)3 f(t)dt2x f(tx)dtex 0.
0 0
可化为 f ( x )  3 
x
0
f ( t ) d t  2 
x
0
f ( t ) d t  e  x  0 .
两边对 x 求导得 f ( x )  3 f ( x )  2 f ( x )  e  x .
由 2 3 2 0      得
1
1    ，
2
2    ，则方程 f ( x )  3 f ( x )  2 f ( x )  0
的通解为Cex C e2x. 令
1 2
f ( x )  3 f ( x )  2 f ( x )  e  x 的一个特解为y axex，代
0
入得 a  1 ，则原方程的通解为 f ( x )  C
1
e  x  C
2
e  2 x  x e  x .
由 f ( 0 )  1 ， f ( 0 )   1 得 C
1
 0 ， C
2
 1 ，故原方程的解为 f ( x )  e  2 x  x e  x .
2.【答案】 f ( x )  e

1x
【解析】设 y 
 f ( x
f

( x
h
)
x ) 
1h
，则 l n y 
1
h
l n
f ( x
f

( x
h
)
x )
，于是有
1 f(xhx) ln f(xhx)ln f(x)
limln y lim ln lim
h0 h0 h f(x) h0 h
ln f(xhx)ln f(x)
 xlim  x[ln f(x)]
h0 hx
1
 f(xhx)h
从而lim   ex[lnf(x)] ，代入题目所给等式得
h0 f(x) 
e x ln f ( x )  e
1x
，故有
1 1 1 x[lnf(x)]  ，即[lnf(x)]  . 两边积分得，ln f(x) C ，即
x x2 x 1
f ( x )  C e  1x .
1

再由条件 lim f(x)1，得C 1，即 f(x)e x.
x+3.【答案】（1） F ( x )  2 F ( x )  4 e 2 x ；（2） F ( x )  e 2 x  e  2 x
【解析】（1）由
F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) g2(x) f 2(x)
[f(x)g(x)]2 2f(x)g(x)
(2ex)2 2F(x)
可见 F ( x ) 所满足的一阶微分方程为 F ( x )  2 F ( x )  4 e 2 x .
（2）该微分方程式一阶非齐次线性微分方程，其通解为
F ( x )  e   2 d x   4 e 2 x e  2 d x d x  C   e  2 x   4 e 4 x d x  C   e 2 x  C e  2 x .
将 F ( 0 )  f ( 0 ) g ( 0 )  0 代入上式得 C   1 ，于是 F ( x )  e 2 x  e  2 x .
4.【答案】 u   4 u  e x ；通解为 y  C
1
c o
c
s
o s
2
x
x
 2 C
2
s i n x 
5 c
e
o
x
s x
， C
1
, C
2
为任意常数.
【解析】由题意可知， y  u s e c x ， y   u  s e c x  u t a n x s e c x
y   u  s e c x  2 u  t a n x s e c x  u s e c 3 x  u t a n 2 x s e c x .
代入原方程，将原方程化为
u   2 u  t a n x  u s e c 2 x  u t a n 2 x  2 u  t a n x  2 u t a n 2 x  3 u  e x
即 u   4 u  e x .
解得通解 u  C
1
c o s 2 x  C
2
s i n 2 x 
1
5
e x ，还原成y ，得原方程的通解
cos2x ex
yC 2C sinx ，
1 cosx 2 5cosx
其中 C
1
, C
2
为任意常数.
5.【答案】（1） y   y  s i n x
1
；（2）y ex ex  sinx
2dx 1 1
【解析】（1）   ，
dy dy y
dx
d
d
2
y
x
2

d
d y
 d
d
x
y


d
d x
 d
d
x
y


d
d
x
y
 
(
y
y

) 2

1
y 
 
(
y
y

) 3
代入微分方程，化简得y y sinx.
（2）方程 y   y  s i n x 对应的齐次方程 y   y  0 的通解为 Y  C
1
e x  C
2
e  x .
设方程 y   y  s i n x 的特解为 y   A c o s x  B s i n x ，可得A0， B  
1
2
.
1 1
故 y  sinx，从而y y sinx的通解为y Cex C ex  sinx.
2 1 2 2
由 y ( 0 )  0 ， y ( 0 ) 
3
2
，得 C
1
 1 ， C
2
  1 ，故所求初值问题的解为
y  e x  e  x 
1
2
s i n x .
6.【答案】 y  2 x  1  x 2
dy dy 1 1 dy
【解析】y    ，
dx dt dx sint dt
dt
y  

d
d
s
2 y
2 x
1
2 i n

t
d
d t
2 d y
2 d t
 d
d

y
x
c
s

o
i n

s
3
1
d
d
t
t
x
t
d
d

y
t
 c o
s i n
s
2
t
t
d
d
y
t

s
1
i n t
d
d
2
t
y
2
 

s
1
i n t

 1 d2y cost dy cost dy
将 y,y代入原方程，得(1cos2t)    y 0
sin2t dt2 sin3t dt  sint dt
即
d
d
2
t
y
2
 y  0 ，其特征方程为r2 10，解得r  i，于是此方程的通解为
y  C
1
c o s t  C
2
s i n t ，从而原方程的通解为 y  C
1
x  C
2
1  x 2 . 由y 1，
x0
y 2，得C 2，C 1，故所求方程的特解为y2x 1x2.
x0 1 27.【答案】 f ( u )  C
1
e u  C
2
e  u ， C
1
， C
2
为任意常数
【解析】


z
x
 f ( u ) e x s i n y ，


z
y
 f ( u ) e x c o s y ，


2
x
z
2
 f ( u ) e x s i n y  f ( u ) e 2 x s i n 2 y ，


2
y
z
2
  f ( u ) e x s i n y  f ( u ) e 2 x c o s 2 y ，
代入原方程，得 f ( u )  f ( u )  0 ，由此解得， f ( u )  C
1
e u  C
2
e  u （ C
1
， C
2
为任意常
数）.
8.【答案】（1）验证略；（2） f ( u )  l n u , u  0
【解析】（1）记 u  x 2  y 2 ，由复合函数求导公式，有


z
x
 f ( u )


u
x
 f ( u )
x 2
x
 y 2
 f ( u )
x
u
，


2
x
z
2
 f ( u )
x
u
2
2
 f ( u )
u 
u
x
2


u
x
 f ( u )
x
u
2
2
 f ( u )
u 2 
u 3
x 2
由对称性可得


2
y
z
2
 f ( u )
y
u
2
2
 f ( u )
u 2 
u 3
y 2
，从而得所需验证的方程
f ( u ) 
f (
u
u )
 0 （*）
（2）降阶法：令 f ( u )  p ， f ( u ) 
d
d
p
u
dp p
，方程（*）成为  0，分离变量，积
du u
分得 p 
C
u
1 .
df C
再由  p  1 ，积分得
du u
f ( u )  C
1
l n u  C
2
，（这里不写成ln u 的原因是
u  x2  y2 0）. 再由初始条件 f(1)0， f(1)1得C 0，C 1，故得
2 1f ( u )  l n u ， u  0 .
9.【答案】 f(x)2cosxsinxx2 2，通解是
x2y2
2ysinx ycosx 2xy C ，
2
C 为任意常数．
P Q
【解析】由全微分方程的充要条件  知，
y x
f ( x )  2 x y  x 2  2 x y  f ( x ) ，即
f(x) f(x) x2.
解得， f ( x )  C
1
c o s x  C
2
s i n x  x 2  2 . 由 f ( 0 )  0 ， f ( 0 )  1 求得 C
1
 2 ，
C 1，从而得
2
f ( x )  2 c o s x  s i n x  x 2  2 .
于是原方程为 [ x y 2  ( 2 c o s x  s i n x ) y  2 y ] d x  (  2 s i n x  c o s x  2 x  x 2 y ) d y  0
其通解是  2 y s i n x  y c o s x 
x 2
2
y 2
 2 x y  C ，其中C为任意常数.4-2拓展提升
1.【答案】
1
n 2
( 2 m a  b )
【解析】y2myn2y0的特征方程 2 2 m n 2 0      的特征根是
1
m m 2 n 2 ( m m 2 n 2 ) 0           ，
2
m m 2 n 2 0      
由此可见微分方程的任何一个解 y C
1
e x1 C
2
e 2 x     都满足 l i
x 
m

y  0 ，
又因 y C
1 1
e x1 C
2 2
e 2 x        ，从而又有 l i
x 
m

y   0 ；故对于特解 y  y ( x ) 满足
y ( 0 )  a ， y ( 0 )  b ，有
0  y(x)2my(x)n2y(x)dx y(x)  2my(x)  n2  y(x)dx
 
0 0 0 0
 
y(0)2my(0)n2 y(x)dx(2mab)n2 y(x)dx
0 0
即 

0

y ( x ) d x 
1
n 2
( 2 m a  b ) .
2.【答案】
b
a
， 0
【解析】以y(x)为因变量，这是一阶线性微分方程，
y ( x )  e  a x   e a x f ( x ) d x  C   e  a x   x
0
e a t f ( t ) d t  C
0
 ，其中 C
0
 y ( 0 ) ，
于是 l i
x 
m

y ( x )  l i
x 
m

C
0
e  a x  l i
x 
m


x
0
e a t
e
f
a
(
x
t ) d t
 0  l i
x 
m

e a x
a
f
e
( x
a x
)

b
a
，再利用方程得
b
lim y(x) lim f(x)ay(x)ba 0.
x x a
3.【答案】C
【解析】先求题设一阶线性微分方程的全部解，
x x
y e P(x)dx 0dxCCe P(x)dx Ce  0 P(t)dtC 1 Ce  0 P(t)dt ，C为任意常数；
 方程的解y(x) 0，且以T 为周期
x
 P(t)dt
 y Ce 0 且C0，
  xT P(t)dt  x P(t)dt   x P(t)dt   xT P(t)dt 
y(xT) y(x)C  e 0 e 0  Ce 0  e x 1 
   
 x P(t)dt   T P(t)dt 
Ce 0  e 0 1  0
 
 
T
0
P ( t ) d t  0
故答案选（C）.
1 1
4.【答案】xC eyC ey yey  sin y，其中
1 2 2 2
C
1
, C
2
为任意常数.
【解析】
dy 1 1
y   ，
dx dx x(y)
dy
y  
d
d x
 d
d
y
x


d
d y
 d
d
y
x


d
d
y
x

d
d y

x
1
( y )


d
d
y
x
 
[ x
1
( y ) ] 2
 x ( y ) 
x
1
( y )
 
[
x
x
(
( y
y
)
)
] 3
则原方程可化为 
(
x
x

) 3
 ( x  e y  s i n y )
(
1
 x ) 3
 0 ，即 x   x  e y  s i n y （*）
方程（*）为二阶常系数非齐次线性方程，与方程（*）相应的齐次方程的特征方程为
r2 10，特征根为 r1
,2
  1 ，故与方程（*）相应的齐次方程的通解为
xC eyC ey ，其中
1 2
C
1
, C
2
为任意常数；
可设方程（*）的一个特解为x*  Ayey BcosyCsiny，代入方程（*），得
1 1 1 1
A ,B 0,C  ，于是，x*  yey  sin y，故方程（*）的通解（即原方程的
2 2 2 2
1 1
通解）为xC eyC ey yey  sin y，其中C ,C 为任意常数.
1 2 2 2 1 25.【答案】 f ( x )  ( 1  x ) e  2 x  ( 1  x ) e 2 x
【解析】
2 x
 f(x u2 v2)dudv d rf(xr)dr
0 0
u2v2x2
x
2 rf(xr)dr
0
xr u  x x 
2 x f(u)du uf(u)du

0 0

原式化为 f ( x )  4  x  x
0
f ( u ) d u   x
0
u f ( u ) d u   e 2 x  e  2 x ，
由于 x 
x
0
f ( u ) d u ， 
x
0
u f ( u ) d u ，e2x， e  2 x 均可导，故 f(x)可导，
x
方程两边求导得 f(x)4 f(u)du 2e2x 2e2x ，
0
再求导得 f ( x )  4 f ( x )  4 e 2 x  4 e  2 x ；
f ( x )  4 f ( x )  0 的通解为 f(x)Ce2x C e2x ；
1 2
令 f(x)4f(x)4e2x 的特解为 f (x)axe2x ，代入得
1
a  1 ，即 f (x) xe2x ；
1
令 f(x)4f(x)4e2x 的特解为 f
2
( x )  b x e  2 x ，代入得 b   1 ，即 f
2
( x )   x e  2 x ，
则原方程的通解为 f ( x )  C
1
e  2 x  C
2
e 2 x  x e 2 x  x e  2 x ，因为 f ( 0 )  2 ， f ( 0 )  0 ，所
以
 C

1
2

C
C
1

2

2 C
2
2
,
 0 ,
解得 C
1
 C
2
 1 ，故 f ( x )  ( 1  x ) e  2 x  ( 1  x ) e 2 x .
6.【答案】C
【解析】设子弹在时刻 t
ds d2s
进入的深度为s(t)，则其速度与加速度分别为 与 ，根据
dt dt2
牛顿第二定律可得子弹在沙箱中运动时满足 m
d
d
2
t
s
2
  k
d
d
s
t
（记为方程①），其中 m 为子
ds d2s dv
弹的质量，k 0是阻力与子弹速度成正比的比例系数，记v ，则  ，代入
dt dt2 dtdv
方程①可得m kv（记为方程②），初值为v(t) v ，为了求出
dt t0 0
v  v ( s ) ，由
d
d
v
t

d
d
v
s
d
d
s
t
 v
d
d
v
s
可把方程②转化为求 m v
d
d
v
s
  k v 即 d v  
k
m
d s ，并利用v v 积
s0 0
分得 v  
k
m
s  v
0
，由 v  0 得 s 
m
k
v
0
，因此能打进的深度是
m
k
v
0
，答案选（C）.
7.【答案】D
【解析】微分方程 y   a y   b y  0 的特征方程为 r 2  a r  b  0 ，其判别式
  a 2  4 b ；
当   0 时，特征方程有两个不同的解，设为 r1 , r
2
，则 y  C
1
e r x1  C
2
e r2 x （ C
1
, C
2
为任意
常数），当且仅当 C
1
 C
2
 0 时y 才具有周期性；
当   0 时，特征方程有两个相同的解，设为r r r，则
1 2
y  ( C
1
 C
2
x ) e rx （ C
1
, C
2
为任意常数），当且仅当 C
1
 C
2
 0 时 y 才具有周期性；
当0，设特征方程的解为r i，r i，则
1 2
y ex(C cosxC sinx)，
1 2
当 0   时， y 才具有周期性，由 r1 r
2
a 2 0       得 a  0 ，又   a 2  4 b  0 ，
故b0.
综上，当a0， b  0 时， y   a y   b y  0 的解在 (   ,   ) 上均有周期性，故答案选
（D）.
8.【答案】 1 1 h
【解析】记V V(t)为冰块的体积， m ( t ) 为冰块边长，按题意，冰块的融化速度为
d
d
V
t
  k ( 6 m 2 )
dV dm dm
，又V m3 得到 3m2 ，即有3m2 k(6m2)化简得
dt dt dt
dm
2k，分离变量得dm2kdt，两边积分得m2ktm(0)（记为方程（*）），
dt令 t  1 ，得 m (1 )  m ( 0 )   2 k .
当冰块完全融化时，m(T)0，由（*）式得02kT m(0)
m(0) m(0) 1 m(1) V(1) 3
即T    ，又  3  3 0.91，
2k m(0)m(1) m(1) m(0) V(0) 4
1
m(0)
1
故T  11(h)，因此，冰块完全融化需要的时间约为
m(1)
1
m(0)
1 1 h .
9.【答案】（1） y ( t ) 
2 0 0
3
0
(1  e
 t4
0 ) ；（2） 4 0 l n 2 ( m i n )
【解析】
（1）在 [ t , t  d t ] 内，池中污染物的微元dy等于进入的污染物量减去流出的污染物量，再
减处理的污染物量，即 d y 
1
3
 5 0 d t 
1
y
0
(
0
t
0
)
0
 5 0 d t  0 .0 2  y ( t ) d t 即
d
d
y
t

1
4 0
y 
5 0
3
，此
为一阶线性微分方程，用公式法求得 y ( t )  e
  14
0
d t 

5 0
3
e
 14
0
d td
t  C

 C e
 14
0
t

2 0
3
0 0
，
又 y ( 0 )  0 ，得 C  
2 0 0
3
0
，于是 y ( t ) 
2 0 0
3
0
(1  e
 t4
0 ) .
（2）从池中流出的污染物的质量浓度为
1
y
0
(
0
t
0
)
0

1 
1
e
5

t4
0
( k g / m 3 ) ，令
1 
1
e
5

t4
0

1
3 0
，
解得 t  4 0 l n 2 ( m i n ) ，故经过40ln2(min)，从池中流出的污染物的质量浓度为
1
kg /m3 .
30
10.【答案】4(y1)(x1)2
y
【解析】由曲率计算公式及曲线为凹曲线知，k  ，因为为该曲线在相应
3/2
1(y)2
 点处的切线的倾斜角（ c o s 0   ），所以 c o s
s e
1
c 1 (
1
t a n ) 2 1
1
( y ) 2

 
 


 
，
于是由 k
2 y 2
1
c o s 
 知
[ 1  (
y
y

) 2 ] 3 /2

1 
2
(
y
y
2
) 2
，整理得微分方程
2 y 2 y   [1  ( y ) 2 ] 2 ，此为不显含 x 的二阶可降阶微分方程，令 p 
d
d
y
x
，
d2y dp dp dy dp
    p ，代入上述微分方程化简为
dx2 dx dy dx dy
2 y 2 p
d
d
p
y
 (1  p 2 ) 2 ，分离变量
得
(1
2

p d
p
p
2 ) 2

d
y
y
2
，解得y (p2 1) y(p2 1)C . 由于曲线在点
1
(1 , 1 ) 处的切线水平，
故 y(1)1，y(1)0，于是有 1  1  C
1
， C
1
 0 ，故得到y p2 1，即
dy
 y1，分离变量后积分得
dx
 2 y  1  x  C
2
，由y(1)1得 C
2
  1 ，于是
2 y1 x1，化简为 4 ( y  1 )  ( x  1 ) 2 .