250211_154052-4.基础习题册线代第四章详解_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_00.配套书籍_2026考研数学习题册答案详解_基础

第四章 线性方程组答案解析 4-1 基础过关 1.【答案】请参照详解 【解析】（1）① A   1 2 3  4 8 8 1 0 5 6 2   1 2    1 0 0  4 0 8 1  0 3 0 2  0 1    1 0 0 0 4 0  4 0 3 0  0 1  所以  x x x x 1 2 3 4     x 2 4 x 2   4 x x 3 x 3 3 3 ，所以基础解系为：  0 1 0 4  ,   0 1  4 3  （答案不唯一）； x  x 1 1  x  x  2 2  ②同解方程组为： ，所以基础解系为：  x  x  n1 n1 x nx (n1)x  2x  n 1 2 n1   1 0 0 n  ,   ( n 0 1 0  1 )  , ,   0 0 1 2  . （2）记 B  ( 1 , 2 )   ，则, 为 1 2 A x  0 的解， A   2 5   2 1 1 0 3 2      8 5 0 1 1 0   1 2  x  x 1 1  x 5x 2x 2 1 4 ，所以 ，所以 x 8x x  3 1 4 x  x  4 4 1   1 5 8 0  , 2   0 2 1 1    ，故 B   1 5 8 0 0 2 1 1  （答案不唯一）.1 1 0 0 5 1 0 1 0 8     （3）(A,b) 2 1 1 2 1  0 1 1 0 13 ，所以         5 3 2 2 3 0 0 0 1 2      x x x x 1 2 3 4      x x 2 x 3 3 3   1 8 3 ，故   1 8 3 0 2  为一个特解，齐次方程的基础解系为   1 1 0 1  . （4）设方程组为 A x  b ，则 r ( A )  3 ，所以 4  r ( A )  1 ，因为 A [ 2 1  ( 2  3 ) ]  A  3 4 5 6   0    ，所以  3 4 5 6  是Ax0的基础解系，故 A x  b 的通解为： k  3 4 5 6    2 3 4 5  ，其中 k  R . （5）因为 a 2 , a 3 , a 4 线性无关，所以 r ( a 2 , a 3 , a 4 )  3 ，又因为 a 1  2 a 2  a 3 ，由初等列变 换可知： r ( A )  r ( 0 , a 2 , a 3 , a 4 )  3 ，所以 4  r ( A )  4  3  1 ，因为 a 1  2 a 2  a 3  0 ， 所以 A   1 1 0 2   ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 )   1 1 0 2   a 1  2 a 2  a 3  0 ，所以   1 1 0 2  为 A x  0 的一个基础 1 1 1       1 1 1       解系，因为A (a ,a ,a ,a ) a a a a b，故 是Axb的一个特 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1       1 1 1  1  1     2 1     解，故Axb的通解为k  ，其中kR.  1  1      0  1 2.【答案】请参照解析【解析】（1） A   1 2 2 1 1 2 2 1 1   2 1 1    1 0 0 1  0 1   2 3 3  1 4 1    1 0 0 0 1 0 0 0 1   3 4 3 4 3  所以  x x x x 1 2 3 4     4 3  4 3 x x 3 x 4 4 x 4 4 ，故齐次线性方程组的通解为 x  k  4 3  4 3 1 3  ，其中 k  R . （2） A   1 3 5 1 2 6 0 1  1 1    1 3 5    1 0 0 2 0 0  1 0 4  0 0 1    1 0 0 2 0 0 0 1 0  0 0 1  x 2x x 2 1 1 2 4      x  x 1 0 所以 2 2 ，所以方程组的通解为x k   k   ，其中 x 0 1 0  20  3       x  x  0  1 4 4 k 1 , k 2  R . （3） ( A , b )   1 4 3 1 2  3 1  2 0 1 1 2 0 8    1 1 3 1 3  3 1  2 0 3  8 1 0 8    1 0 0  3 1 0 0  3 1 1 0  3  8 4 6  由于 r ( A )  r ( A , b ) ，故该方程组无解. （4） ( A , b )   2 1 3 4 3  8  2 1  1 4 9 2  1  4 5 3 6    1 0 0 0  7 0 0 2  4 0 0 7  1 5 4 0 0    1 0 0 0 0 1 0 0 2  0 0 1  2 0 0 1  x2z1 x 2 1        所以y  z2 ，故 y k 1  2 ，其中kR.              z  z  z   1   0  3.【答案】请参照详解 1 1 2 1   【解析】（1）(A,b) 0 2 1 3     0 0 21 5  ①当2且 1 2    时，r(A)r(A,b)3，所以方程组有唯一解； ②当 1 2     3  1  2 1   2   时，(A,b)  5 1 ，此时 0  3  2 2    0 0 0 5 r ( A )  2 ， r ( A , b )  3 ，所以方程组 无解； ③当 2   时， ( A , b )   1 0 0 1 0 0  1 0 2 1 1 0    1 0 0 1 0 0 0 1 0 3 1 0  ，所以  x x x 1 2 3     x x 2 2  3 1 ，故方程 组的通解为 x  k   1 0 1    3 0 1  ，其中kR. （2） ( , ) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 0 1 0 1 ( 1 2 ) ( 1 ) (1 ) 2 (1 2 ) 2                A b               当 1   且 2    时， r ( A )  r ( A , b )  3 ，所以方程组有唯一解； 1 1 2 4    当2时，(A,b) 0 3 3 6 ，由于     0 0 0 3  r ( A )  2 ， r ( A , b )  3 ，所以方程组无 解； 当1时， ( A , b )   1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0  ，所以  x x x 1 2 3     x  x 2 3 x 2 x 3  1 ，所以 1 1 1       x k 1 k 0  0 ，其中k ,k R. 1  2    1 2       0 1 0       2 1 1 2 1 1 2 2      （3）(A,b) 1 2 1   0 3 3 2 ，因为方程组有       1 1 2 2    0 0 0 (2)(1)   解，所以2或1.当 2    时， ( A , b )   1 0 0 1  0 3  3 0 2  4 0 6    1 0 0 0 1 0   0 1 1 2 2 0  ，所以  x x x 1 2 3    x x x 3 3 3   2 2 ，故 x  k 1  1 1 1    2 2 0  ，其中k R. 1 当 1   时， ( A , b )   1 0 0 1  0 3  3 0 2 1 0 0    1 0 0 0 1 0   0 1 1 1 0 0  ，所以  x x x 1 2 3    x x x 3 3 3  1 ，故 x  k 2  1 1 1    1 0 0  ，其中 k 2  R . 4.【答案】（1）（I）： 1   0 0 1 0   ， 2    1 0 1 1   （II） 3   0 1 1 0   ， 4     0 1 1 1   1   1   （2）x k ，其中kR  2     1  【解析】（1）求方程组（I）的基础解系：系数矩阵为 0 1     1 1 0 0 1 0 0 1 0 1         ，其基础解系可取：  ，  0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 2  0      0  1  1 1 1 0 1 0 0 1 求方程组（II）的基础解系：系数矩阵为    ，故可取其 0 1 1 1 0 1 1 1基础解系为： 3   0 1 1 0   ， 4     0 1 1 1   （2）设 x  ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) T 为（I），（II）的公共解，下面用两种方法求 x ： 方法一： x 是（I）与（II）的公共解  x 是方程组（Ⅲ）的解，这里方程组（Ⅲ）为 （I）与（II）合起来的方程组，即 x x 0, 1 2  x x 0, 2 4 （Ⅲ）: ，其系数矩阵 x x x 0,  1 2 3 x x x 0  2 3 4  1 0 1 0 1 1  1 1 0 0 1  1 0  0 1 1    1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1   0 1 2  取其基础解系为(1,1,2,1)T，故（I）与（II）的非零公共解为 x  k   1 2 1 1  ，其中kR. 方法二：用（I）的通解 (  k 1 , k 1 , k 2 , k 1 ) T 代入（II）得：   k k 1 1   k k 2 1   k k 1 2   0 0  k 2  2 k 1 由此可说明，（I）的解中形如 (  k 1 , k 1 , 2 k 1 , k 1 ) T 的解同时也是（II）的解，故也为（I）与 （II）的非零公共解，即 x  k   1 2 1 1  ，其中 k  R .4-2 基础真题 1.【答案】为不等于 1 的任意常数 【解析】方程组的系数行列式为  1 1 1 0 0 D 1  1  0 1 0 12 . 1 1 1 1 1 1 由于该齐次方程组只有零解  D  0 , 故得 1 .   2.【答案】 a 1  a 2  a 3  a 4  0 【解析】对方程组的增广矩阵A(A b) 作初等行变换： 1 1 0 0 a  1 1 0 0 a  1 1     0 1 1 0 a 0 1 1 0 a A  2    2  0 0 1 1 a  0 0 1 1 a  3 3     1 0 0 1 a 0 1 0 1 a a     4 1 4 . 1 1 0 0 a  1 1 0 0 a  1 1     0 1 1 0 a 0 1 1 0 a   2    2  0 0 1 1 a  0 0 1 1 a  3 3     0 0 1 1 a a a 0 0 0 0 a a a a     1 2 4 1 2 3 4 可见 r ( A )  3 . 由原方程有解，有 r ( A )  r ( A )  3 ，故a a a a 0. 1 2 3 4 3.【答案】当 a  1 时，方程组有唯一解；当 a  1 ， b   1 时，方程组无解； 当 a  1 ，b1时，方程组有无穷多解，其通解为 k 1   1 1 0 2   k 2   1 0 1 2     1 0 0 1  ，其中 k 1 , k 2 为任意常数 【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换，得B   ( A r3r4   r2r  2 b )   1 0 0 0  1 0 0 3 1 1 0 0 1 1  2 a 1 1 2  0 1 a 1 2  1 a 3 1 2 0  1  1 2 a 2 b 0 1  0 0 1 b  1 1    r4  3 r1   1 0 0 0 1 1   1 1 a  1 2  2 3 a  1 2  2 3 0 1 b  1  ①当 a  1 时， r ( A )  r ( B )  4 （未知量的个数），故方程组有唯一解. ②当 a  1 时，由（*）有 B   1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 b 0 1  0 1  . 当 b   1 时，r(A)2r(B)3，无解； 当 b   1 时，r(A)r(B)24（未知量的个数），故方程组有无穷多解，易求得 x x x x 0, 1 2 3 4 原方程组的同解方程组为 x 2x 2x 1,  2 3 4 x   1   1  1 1         x 2 2 1 解得通解为  2 k   k      ，其中k ,k 为任意常数. x  1 1  2 0   0  1 2 3          x   0   1   0  4 4.【答案】（1）1；（2）请参照解析 1 2 2   【解析】（1）由题设，齐次线性方程组AX O，其中A 2 1  .     3 1 1   设 B  ( 1 , 2 , 3 )    ，则,,是 1 2 3 A X  O 的解向量，又因 B  O ，则由 1 , 2 , 3   不全为零向量，可知AX O必有非零解，故 A 0，从而由 1 2 2 A  2 1  5(1)0，可得 3 1 1 1   . （2）证明：由ABO，可得r(A)r(B)3. 根据（1）问，r(A)2，故r(B)1.又因BO，则r(B)1. 综上，故 r ( B )  1 ，因此 B  0 . 5.【答案】当 k   1 且 k  4 时，方程组有唯一解  k k 2 2 1  1  1   2  2  2 k k k k k k  4  ； 当 k   1 时，方程组无解； 0 3     当k 4时，方程组有无穷多解，其通解为 4 C 1 ，其中         0 1     C 为任意常数 【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换 B   ( A  1 0 0 b )  k  1 2  1  1 1 1 k k 1 k  k   1 2 1 k 1 2 k 2 4 k  4 8  2 4 4       1 0 0 1 0 0 k  1 2 0 1  2 1 ( k k 2  k  1  k k k  1 ) ( 2 2 4  k ) k 2  4  8 4 k  ( k 4 8  4 )  （**） ①当 k   1 且 k  4 时，有 r ( A )  r ( B )  3 ，故原方程组有唯一解，按如下方法求出； B   1 0 0 1 1 0 k k  2 1 2  1 4 4 2  k k    1 0 0 0 1 0 0 0 1 k k 2 2 1  1  1   2  2  2 k k k k k k  4  k2 2k k2 2k4 2k 即x  ,x  ,x  ； 1 1k 2 1k 3 1k ②当 k   1 时，r(A)2r(B)3，方程组无解； ③当k 4时，由（**）式，有 1 1 4 4 1 1 4 4 1 0 3 0       B 0 2 2 8  0 1 1 4  0 1 1 4             0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      知r(A)r(B)23（未知量个数），故原方程组有无穷多解. 此时，得同解方程组 x 3x , 1 3  x x 4.  2 3  3C  0 3       令x C，得原方程组的全部解为x 4C  4 C 1 ，其中C为任意常数. 3             C 0 1       6.【答案】（1）请参照解析；（2）   1 1 1   C   2 0 2  ， C 为任意常数 【解析】（1）方程组（*）的增广矩阵的行列式为 B  A b  1 1 1 1 a a a a 1 2 3 4 a a a a 21222324 a a a a 31323334  ( a 4  a 3 ) ( a 4  a 2 ) ( a 4  a 1 ) ( a 3  a 2 ) ( a 3  a 1 ) ( a 2  a 1 ) （范德蒙德行列式） 由 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 两两不相等，知 B  0 即 r ( B )  4 ，而系数矩阵A的秩 r ( A )  3 ，故 r ( B )  r ( A ) 即方程组（*）无解. （2）当 a 1  a 3  k , a 2  a 4   k ( k  0 ) 时方程组（*）为  x kx k2x k3 1 2 3  x kx k2x k3  1 2 3 ，即 x kx k2x k3  1 2 3 x kx k2x k3  1 2 3  x x 1 1   k k x x 2 2   k k 2 2 x x 3 3    k k 3 3 . 因为 1 1  k k   2 k  0 ，故 r ( B )  r ( A )  2 ，方程组（*）有解，且其对应的其次方 程组的基础解析应含有321个解向量，且可求得  2  1   1 1  1     1 1 1     2 0 2   0    .于是方程组（*）的通解为 x  1  C    1 1 1   C   2 0 2    （ C 为任意常数）. 7.【答案】B 【解析】由于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为2，故方程组有无穷多解，即公共解 构成一条直线，故知选（B）. 8.【答案】 k  1 2 1     0 0 1 2  【解析】由题设得 A   1 2 1   1 , 1 2 , 0    1 2 1 1 2 1 1 2 0 0 0  ， B   1 , 1 2 , 0   1 2 1   2 又A2 TT (T)T 2A，A4 8A，代入原方程，得 16Ax 8Ax16x+ 即8(A2E)x （其中E 是 3 阶单位矩阵）. 令 x  ( x 1 , x 2 , x 3 ) T ，代入上式，得到非齐次线性方程组   2 x x x 1 1 1    1 2 1 2 x 2 x x 2   2  0 2 0 , x , 3  1 , 解其对应的齐次方程组，得通解  k  1 2 1   ，其中 k  R . 显然，非齐次线性方程组的一个   0    0  1     0     特解为 ，于是所求方程的解为x . 即 x k  2    0  ，其中  1      1    1  2      2 k  R .9.【答案】C 【解析】由题设条件： A B  O ，且 B  O 知方程组 A x  0 存在非零解，于是 A 0， 即 1 1 1 1 1 2 0      ，解得 1   . 于是 A   1 1 1 1 1 1 1 1 1  ，由 A B  O 知 B T A T  O . 故方程组 B T x  0 存在非零解，于是 B  B T  0 ，故答案选（C）. 10.【答案】  2 【解析】利用增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，且使其秩小于 3 的方法确定 a 的值.  a 1 1 1 a 1 1 1 a  1 1 2    a a 1  2 a 1 a  2 a 1 1  2 1 1 0  故当 a   2 时，增广矩阵的秩与系数矩阵的秩都等于2，从而原方程有无穷多解. 11.【答案】B 【解析】由 A *  O 以及 r ( A * )   0 1 n , r , r , r ( A ( A ( A ) ) )    n n n   , 1 1 , , ，知 r ( A )  n 或n1，又 1 , 2 , 3 , 4     是 A x  b 的互不相等的解，即解不唯一，从而 r ( A )  n  1 ，故基础解系仅含一个解向 量，答案选（B）. 12.【答案】C 【解析】由于4r(A)1，则 A X  0 的基础解系由一个解向量组成，故由 A[2( )]0 1 2 3 2 0 2       4 1 3       可知AX 0的基础解系为2 ( )   . 又因 1 2 3 6 2 4       8 3 5 A 1  b  ，则 2 1     3 2     AX b的通解为X c  ，即选项（C）为正确选项. 4 3     5 413.【答案】 s t1  (  1 ) s  1 t s2  0 【解析】由于(i1,2, ,s)为,, ,的线性组合，所以(i1,2, ,s)均为 i 1 2 s i A x  0 的解. 设 k 1 1  k 2 2   k s s  0    ，即 ( t1 k 1  t 2 k s ) 1  ( t 2 k 1  t1 k 2 ) 2   ( t 2 k s  1  t1 k s ) s  0    . 由于 1 , 2 , , s   线性无关，因此有  t k 1 t k 2 t k 2 1 1 s    1 t 2 t1  k s k 2 t k 1   s 0 0  , , 0 . 则其系数行列式 t1 t 2 0 0 0 t1 t 2 0 0 0 t1 0 0 0 0 t 2 t 2 0 0 t1  s t1  (  1 ) s  1 t s2 所以当 s t1  (  1 ) s  1 t s2  0 ，即当 s 为偶数， t1   t 2 ， s 为奇数， t1   t 2 时，方程组①只有 零解，即k k  k 0，从而,, , 线性无关，此时,, , 也为 1 2 s 1 2 s 1 2 s A x  0 的一个基础解系. 14.【答案】 t   1 【解析】设有常数 k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ，使得 k 1 1  k 2 2  k 3 3  k 4 4  0 ,     即 ( k 1  t k 4 ) 1 + ( k 2  t k 1 ) 2 + ( k 3  t k 2 ) 3 + ( k 4  t k 3 ) 4  0     因为 1 , 2 , 3 , 4     是方程组Ax0的一个基础解系，从而线性无关，故必有  k k k k 1 2 3 4     t k t k t k t k 4 1 2 3    = 0 0 0 0 , , , ,即  1 t 0 0 0 1 t 0 0 0 1 t t 0 0 1   k k k k 1 2 3 4   0 当且仅当 1 t 0 0 0 1 t 0 0 0 1 t t 0 0 1  1  t 4  0 时，即 t   1 时， 1 , 2 , 3 , 4     线性无关. 由于 1 , 2 , 3 , 4    都是基础解系 1 , 2 , 3 , 4     的线性组合，从而它们也都是方程组 A x  0 的解，并且正好是4个向量，所以当 t   1 时， 1 , 2 , 3 , 4     为方程组 A x  0 的 基础解系. 15.【答案】当 k  9 时， x  c 1 ( 1 , 2 , 3 )   c 2 ( 3 , 6 , k )  ； 当k 9时，若 r ( A )  2 ，通解为 x  c 3 ( 1 , 2 , 3 )  ； 若r(A)1，通解为x c (b,a,0) c (c,0,a). 4 5 【解析】因为矩阵A的第一行元素 a ， b ， c 不全为零，所以A的秩 r ( A )  1 ；又因为 A B  O ，所以 r ( A )  r ( B )  3 ，且矩阵 B 的列向量 1  ( 1 , 2 , 3 )   与 2  ( 3 , 6 , k )   都是 齐次线性方程组Ax0的解，因而： 当k 9时， 1 与 2  线性无关，即 r ( B )  2 ，从而 r ( A )  1 . 此时Ax0的通解为 x  c 1 1  c 2 2  ，其中 c 1 ， c 2 为任意常数； 当k 9时，r(B)1，矩阵 A 的秩有两种可能：r(A)1或 r ( A )  2 . 以下分别进行讨论： 若 r ( A )  2 ，方程组 A x  0 的基础解系只包含一个解向量，即为 1  ( 1 , 2 , 3 )   ，所以通 解为xc，其中c 为任意常数. 3 1 3 若r(A)1，方程组 A x  0 的基础解系应包含两个线性无关的解向量. 此时方程组 A x  0 与 a x 1  b x 2  c x 3  0 同解. 因为 a ，b，c不全为零，不妨设a0，得两个线性 无关的解： 1  (  b , a , 0 )   ， 2  (  c , 0 , a )   ，于是，方程组Ax0的通解为 xcc，其中c ，c 为任意常数. 4 1 5 2 4 5综上，齐次方程组 A x  0 的通解为（以下 c 1 ， c 2 ， c 3 ， c 4 ， c 5 均为任意常数）： 当k 9时，x c (1,2,3) c (3,6,k)； 1 2 当k 9时，若 r ( A )  2 ，通解为 x  c 3 ( 1 , 2 , 3 )  ； 若 r ( A )  1 ，通解为 x  c 4 (  b , a , 0 )   c 5 (  c , 0 , a )  . 16.【答案】B 【解析】由于 A  1  2 2   1 2 ( A 1  A 2 )  1 2 ( b  b )  b     ，故 1 2 ( 1  2 )   是AX b的 一个特解. 同理可验证 A  1  2 2   0   ， 1  2 2   不是AX b的特解，由于非齐次线性 方程组 A X  b 的通解等于 A X  b 的任一特解与 A X  0 的通解之和，故排除（A）和 （C）. 由于 1 ， 2  是对应齐次线性方程组 A X  0 的基础解系，故 1 与均为 1 2 A X  0 的解且二者线性无关，可作为 A X  0 的通解，故知（B）正确. （D）选项无法 说明是否与 1 1  2   线性无关，故不可选. 17.【答案】 k ( 1 , 1 ,   , 1 ) T ， k 为任意常数． 【解析】因为AX 0的基础解系包含向量个数为 n  r ( A )  n  ( n  1 )  1 ，故AX 0 的任一非零解都可作为它的基础解系. 由已知，  ( 1 , 1 , , 1 )   是AX 0的一个非零解， 从而可作为AX 0的基础解系，故得通解为 x  k ( 1 , 1 , , 1 )  . 18.【答案】请参照解析 【解析】由于 1 , 2 , 3   都是 A x  0 的解，故 1  2 , 2  3 , 3  1      也都是 A x  0 的解. 再者，若存在数 k 1 , k 2 , k 3 使 k 1 ( 1  2 )  k 2 ( 2  3 )  k 3 ( 3  1 )  0       则有 (k k )(k k ) (k k ) 0 1 3 1 1 2 2 2 3 3 由于 1 , 2 , 3   线性无关，故得  k k k 1 1 2    k k k 3 2 3    0 0 0 1 0 1 ，其系数行列式 1 1 0 20，故有唯一 0 1 1 解 k 1  k 2  k 3  0 从而, , 线性无关. 由题设，Ax0的基础解系含 1 2 2 3 3 1 有三个向量，故, , 也是Ax0的基础解系. 1 2 2 3 3 119.【答案】  0 3 0 1   k   1 1 0 2  ，其中 k 为任意常数 x  1   x 【解析】方法一：令x   2 ，则由 x  3   x   4 A x  ( 1 , 2 , 3 , 4 )  x x x x 1 2 3 4       ，得 x 1 1  x 2 2  x 3 3  x 4 4  1  2  3  4        ， 将 2 代入上式，整理后得 1 2 3 ( 2 x 1  x 2  3 ) 2  (  x 1  x 3 ) 3  ( x 4  1 ) 4  0    . 由 2 , 3 , 4   线性无关，知  2  x x x 4 1 1    1 x x  2 3   0 . 3 0  , 0 , ，解此方程组得 x   0 3 0 1   k   1 1 0 2  ，其中 k 为 任意常数. 方法二：由于 2 , 3 , 4   线性无关， 1  2 2  3   ，则 r ( A )  r ( 1 , 2 , 3 , 4 )  3     ，故 A x  0 的基础解系中只有1个解向量，而 ( 1 , 2 , 3 , 4 )   1 1 0 2   1  2 2  3  0        ，所以 (1 ,  2 , 1 , 0 )  是 A x  0 1   1   的一个基础解系，而(,,,)     ， 1 2 3 4 1 1 2 3 4   1 所以 (1 , 1 , 1 , 1 )  是Ax 的通解是(1,1,1,1) k(1,2,1,0)，其中k是任意常数. 0   0   20.【答案】（1）  ， 1 1   0 2    1 0 1 1   ；（2）有非零公共解k(1,1,1,1)T，kR 1 1 0 0 1 0 0 1 【解析】（1）系数矩阵为    ，其基础解系可取： 0 1 0 1 0 1 0 11   0 0 1 0   ， 2    1 0 1 1   （2）有非零公共解. （II）的通解可以表示为 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) T  (  k 2 , k 1  2 k 2 , k 1  2 k 2 , k 2 ) T ，将其代入（I）可得   ( k k 1 2   2 ( k k 1 2  )  2 k k 2 2 )   0 0 ，解得 k 1   k 2 . 当 k 1   k 2  0 时，（II）的通解可化为： k 1 ( 0 , 1 , 1 , 0 ) T  k 2 (  1 , 2 , 2 , 1 ) T  k 2 [ ( 0 ,  1 ,  1 , 0 ) T  (  1 , 2 , 2 , 1 ) T ]  k 2 (  1 , 1 , 1 , 1 ) T 故方程组（I）和（II）的所有非零公共解是 k (  1 , 1 , 1 , 1 ) T （k是不为零的任意常数）. 21.【答案】 a  2 , b  1 , c  2 【解析】方程 ( i i ) 的未知数个数大于方程的个数，故方程组 ( i i ) 有无穷多解. 因为 ( i ) 和 ( i i ) 同解，故方程组 ( i ) 的系数矩阵的秩小于 3 . 对方程组 ( i ) 的系数矩阵作初等行变换：  1 2 1 2 3 1 3 5 a    1 0 0 0 1 0 a 1 1  2  ，故 a  2 . 此时，方程组 ( i ) 1 2 3 1 0 1     的系数化为 2 3 5  0 1 1 ，可以看出         1 1 2 0 0 0     (  1 ,  1 , 1 ) T 是方程组 (i)的一个基础解系. 将 x 1  1 ， x 2   1 ， x 3  1 代入方程组 ( i i ) 可得 b  1 , c  2 或b0,c 1. 当b1,c 2时，对方程组 ( i i ) 1 1 2 1 0 1 的系数矩阵作初等行变换，有：     2 1 3 0 1 1 此时有 ( i ) 和 ( i i ) 同解，满足题意； 当b0,c 1时，对方程组(ii)的系数矩阵作初等行变换，有： 1 0 1 1 0 1     ，此时有(i)和(ii)的基础解系不同，不满足题意； 2 0 2 0 0 0 综上所述，当a 2,b1,c2时，方程组(i)和(ii)同解.4-3 拓展拔高 1.【答案】D r(A)m r(A)r(A,b)m 【解析】 （即行满秩），则 ，方程组一定有解. 故答案选 （D）. 2.【答案】 x  k (  1 , 2 , 1 , 0 ) T  ( 3 ,  8 , 0 , 6 ) T ，（ k 为任意常数） 【解析】对增广矩阵作初等行变换： 2 1 4 3 4 1 0 1 0 3      1 0 1 1 3 0 1 2 0 8     (A,b)  3 1 1 0 1  0 0 0 1 6      7 0 7 3 3  0 0 0 0 0  取 x 3 为自由变量，则基础解系为  (  1 , 2 , 1 , 0 ) T  ， 令x 0，求一个非齐次特解 3  ( 3 ,  8 , 0 , 6 ) T  ，通解为 x  k (  1 , 2 , 1 , 0 ) T  ( 3 ,  8 , 0 , 6 ) T ，（k为任意常数）. 3.【答案】 x  k 1 ( 0 , 1 , 2 , 0 , 0 ) T  k 2 ( 0 ,  1 , 0 , 2 , 0 ) T  k 3 ( 2 , 5 , 0 , 0 , 6 ) T   2 3 , 1 6 , 0 , 0 , 0  T ， （ k 1 , k 2 , k 3 为任意常数）. 【解析】对增广矩阵作初等行变换： ( A , b )   2 1 4 2    2 1 1 2 0 4 1  5 7 1  1   1 5 7  1 1 2 7 1 1 1 1  1    1 0 0 0 2 6 0 0   0 0 1 3 1 3 0 0   0 0 2 5 1 1 0 0  ， 取 x 3 , x 4 , x 5 为自由变量，则基础解系为  (0,1,2,0,0)T, (0,1,0,2,0)T, (2,5,0,0,6)T， 1 2 3 T 2 1  令x x x 0，求一个非齐次特解  , ,0,0,0  ，通解为 3 4 5 3 6  x  k 1 ( 0 , 1 , 2 , 0 , 0 ) T  k 2 ( 0 ,  1 , 0 , 2 , 0 ) T  k 3 ( 2 , 5 , 0 , 0 , 6 ) T   2 3 , 1 6 , 0 , 0 , 0  T ， （k ,k ,k 为任意常数）. 1 2 34.【答案】当 a  1 , b 任意时，方程组无解； 当a 1,b 1时，唯一解为x (3,1,0)T； 当a 1,b1时，通解为 x  k (  1 , 1 , 1 ) T  ( 3 , 1 , 0 ) T ，（ k 为任意常数）. 【解析】对增广矩阵作初等行变换： ( A , b )   1  2  1 1  4  2 3 1 b 4  3  5 2 0 a 5  1    1 0 0 0  1 0 0 3 b 4   0 1 1 a 0 1 0  1  当 a  1 , b 任意时， r ( A )  r ( A , b ) ，方程组无解； 当a 1,b 1时，r(A)r(A,b)3，方程组有唯一解； ( A , b )   1 0 0 0  1 0 0 3 4  1 0 1 0 1 0 0  ，则唯一解为 x  ( 3 , 1 , 0 ) T . 当a 1,b1时， r ( A )  r ( A , b )  2  3 ，方程组有无穷多解； ( A , b )   1 0 0 0 0 1 0 0 1  0 0 1 3 1 0 0  ，取 x 3 为自由变量，则基础解系为  (  1 , 1 , 0 ) T  ， 令 x 3  0 ，求一个非齐次特解  ( 3 , 1 , 0 ) T  ，通解为 x  k (  1 , 1 , 1 ) T  ( 3 , 1 , 0 ) T ，（k为任 意常数）. 5.【答案】（1）1，a2；（2）通解为 x  k  1 0 1     3 2 0 1 2  ， k 为任意常数． 【解析】（1）对增广矩阵进行初等行变换，得  1 1 a 1 1  1      (A b) 0 1 0 1  0 1 0 1 .      1 1  1   0 0 12 a1      当1时，r(A)1，r(A,b)2，方程组无解；当 1    且 a   2 时， r ( A )  r ( A , b )  2  3 ，方程组有无穷多解，满足 A x  b 存在两 个不同的解的条件． （2）当1，a2时，增广矩阵经初等变换得 ( A , b )   1 0 0  1 0 2  0 0 1 1 1 0    1 0 0 0 1 0  0 0 1  3 2 0 1 2  ， 通解为 x  k  1 0 1     3 2 0 1 2  ， k 为任意常数． 6.【答案】（1）略； （2） a  2 , b   3 ，通解为 x  k 1   1 1 0 2   k 2  4  0 1 5    2  0 0 3  ，k ,k 为任意常数． 1 2 【解析】（1）设,,是方程组的 1 2 3 3 个线性无关的解，则 2  1 , 3  1    是对应的齐次 方程组 A x  0 的两个线性无关的解．故基础解系中解的个数至少为2，得 4  r ( A )  2 ， 即r(A)2．又因为矩阵 A 中有一个 2 1 1 阶子式 0，所以r(A)2，故r(A)2. 3 5 （2）对方程组的增广矩阵作初等行变换  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1      (A,b) 4 3 5 1 1  0 1 1 5 3 .         a 1 3 b 1 0 0 42a 4ab5 42a     由于 r ( A )  2 42a0, ，得 解得 4ab50, a  2 , b   3 ． 当a 2,b3时，作初等行变换  1 0 2 4 2    (A,b) 0 1 1 5 3 ，所以方程组的通解为     0 0 0 0 0  x  k 1   1 1 0 2   k 2  4  0 1 5    2  0 0 3  ， k 1 , k 2 为任意常数. 7.【答案】 a  1 2 2 1       ，通解为x k 1 k 0  0 ， 1  2          0 1 0       k 1 , k 2 为任意常数． 【解析】非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是 r ( A )  r ( A , b )  3 ，故 A  0 ． A   2 2  2   2 0 2 a a 5 9 2   4  0 4 a a 5 1       2 4 2 4 a a   ( 2 a  2 0  a 1 ) 2 5 1 (1 2   0 a a  a )   1   2 4 0 a 得 a  1 , a  1 0 ． 当 a  1 0 时，对增广矩阵 ( A , b ) 作初等行变换 ( A , b )     2 8 2   2 5 4    2 4 5 1 1 2 1    2 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1  ， r ( A )  r ( A , b ) ，方程组无解，故 a  1 0 不合题意，舍去． 当a1时，对增广矩阵 ( A , b ) 作初等行变换 ( A , b )    1 2 2  2 4 4   4 2 4  1 2 2    1 0 0 2 0 0  0 0 2 1 0 0  ， r(A)r(A,b)13，方程组有无穷多解，通解为： 2 2 1       x k 1 k 0  0 ，k ,k 为任意常数． 1  2    1 2       0 1 0        1  0     8.【答案】当a任意，b0时，通解为：x k  a    1  ，k为任意常数；     0 0    当a 0， b  4 时，通解为： x  k  1 0 0     0 4 3 1 3  ，k为任意常数； 当a 0， b  0 且 b   2 时， x    a (  b b b b 2    2  b 2 4 2 2 )  ． 【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换： a b1 2 1  a b1 2 1      (A,b) a 2b1 3 1  0 b 1 0         a b1 b4 2b1 0 0 b2 2b     当a任意， b  0 时， ( A , b )   a 0 0 1 0 0 2 1 2 1 0 0    a 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0  ， r ( A )  r ( A , b )  2  3 ，方程组有无穷多解，通解为： x  k   1 0 a    0 1 0  ， k 为任意常 数； 当a 0， b  4  1 0 1 0  a 5 2 1  3      时，(A,b)  0 4 1 0   0 0 1 4   0 0 6 8   3      0 0 0 0  r ( A )  r ( A , b )  2  3 ，方程组有无穷多解，通解为： x  k  1 0 0     0 4 3 1 3  ， k 为任意常 数； 当a 0，b0且b2时，( A , b )   a 0 0 b  b 0 1 b 2 1  2 1 0 2 b    1 0 0 0 1 0 0 0 1  a (  b b b b 2    2  b 2 4 2 2 )  ， r ( A )  r ( A , b )  3  b4    a(b2)    2  ，方程组有唯一解，x   ．   b2   2b     b2   9.【答案】 （1）a,b,c互不相等； （2）当 a  b 时， x  k (  1 , 1 , 0 ) T ，（ k 为任意常数）； 当 a  c 时， x  k (  1 , 0 , 1 ) T ，（ k 为任意常数）； 当 b  c 时， x  k ( 0 ,  1 , 1 ) T ，（ k 为任意常数）； 当 a  b  c 时，x k (1,1,0)T k (1,0,1)T，（ 1 2 k 1 , k 2 为任意常数）. 【解析】（1）系数行列式是3阶范德蒙行列式，有 A  1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2  ( b  a ) ( c  a ) ( c  b ) ， 由克拉默法则，当 A  0 ，即 a , b , c 互不相等时，方程组仅有零解； （2）当ab时， A   1 a a 2 1 a a 2 1 c c 2    1 0 0 1 0 0 0 1 0  ，基础解系为  (  1 , 1 , 0 ) T  ， 此时通解为 k 1 (  1 , 1 , 0 ) T ，k 为任意常数； 1  1 1 1  1 0 1     当ac时，A a b a  0 1 0 ，基础解系为      a2 b2 a2  0 0 0       (  1 , 0 , 1 ) T  ， 此时通解为k (1,0,1)T，k 为任意常数； 2 2当 b  c 时， A   1 a a 2 1 b b 2 1 b b 2    0 1 0 1 0 0 1 0 0  ，基础解系为  ( 0 ,  1 , 1 ) T  ， 此时通解为 k 3 ( 0 ,  1 , 1 ) T ， k 3 为任意常数； 当 a  b  c 时， A   1 a a 2 1 a a 2 1 a a 2    1 0 0 1 0 0 1 0 0  ，基础解系为 1  (  1 , 1 , 0 ) T , 2  (  1 , 0 , 1 ) T   ， x k (1,1,0)T k (1,0,1)T k ,k 此时通解为 4 5 ， 4 5为任意常数. 10.【答案】 （1） a  1 , b  3 ； （2） 1  ( 1 ,  2 , 1 , 0 , 0 ) T , 2  ( 1 ,  2 , 0 , 1 , 0 ) T , 3  ( 5 ,  6 , 0 , 0 , 1 ) T    ； （3）x k (1,2,1,0,0)T k (1,2,0,1,0)T k (5,6,0,0,1)T (2,3,0,0,0)T， 1 2 3 （ k 1 , k 2 , k 3 为任意常数） 【解析】对增广矩阵作初等行变换： 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a      3 2 1 1 3 0 0 1 2 2 6 3a     (A,b)  ， 0 1 2 2 6 b 0 0 0 0 0 b3a     5 4 3 3 1 2 0 0 0 0 0 22a （1）当 a  1 , b  3 时，r(A)r(A,b)，方程组有解； （2） ( A , b )   1 0 0 0 0 1 0 0  2 0 0 1  2 0 0 1  6 0 0 5  3 0 0 2  ，取 x 3 , x 4 , x 5 为自由变量， 则基础解系为 (1,2,1,0,0)T, (1,2,0,1,0)T, (5,6,0,0,1)T. 1 2 3 （3）令 x 3  x 4  x 5  0 ，求一个非齐次特解  (  2 , 3 , 0 , 0 , 0 ) T  ，通解为 x  k 1 ( 1 ,  2 , 1 , 0 , 0 ) T  k 2 ( 1 ,  2 , 0 , 1 , 0 ) T  k 3 ( 5 ,  6 , 0 , 0 , 1 ) T  (  2 , 3 , 0 , 0 , 0 ) T ，（k ,k ,k 为 1 2 3 任意常数）.11.【答案】请参照解析 【解析】方法一：由 1 , 2 , , m    线性无关  , 1 , 2 , , m    线性无关， 令k k ()k () k ( )0 0 1 1 2 2 m m 即 ( k 0  k 1   k m )  k 1 1   k m m  0    因为 , 1 , 2 , , m    线性无关，所以 k 0  k 1   k m  k 1   k m  k 0  k 1   k m  0 所以 ,  1 ,  2 , ,  m       线性无关 方法二：令 k 0  k 1 (  1 )  k 2 (  2 )   k m (  m )  0        (k k  k )k k  0 1 m 1 1 m m  ( k 0  k 1   k m )   k 1 1   k m m  0    A A A 因为 A  0  ，所以 k 0  k 1   k m  0 ，所以 k 1 1   k m m  0  k 0  k 1   k m  0   故,,, , 线性无关 1 2 m 12.【答案】请参照解析 【解析】方法一：从定义式出发推导，设存在一组数 k 1 , k 2 k s , k 使得 k 1 1  k 2 2   k s s  k  0     （1） 因为是线性方程组  a a a 1 1 2 1 s1 x x x 1 1 1    a a a 1 2 2 2 s 2 x x x 2 2 2       a a a 1 n 2 n sn x x x n n n    0 0 0 的非零解，所以T(i1,2, ,s)，则有T (i1,2, ,s),于是在（1）式两端 i i 在左乘 T  ，得 kTk T  k T kT0 1 1 2 2 s s 从而有 k T  0   ，但 T  0  ，故k 0，进而得k  k 0，因此，向量组 1 s ,, ,,线性无关. 1 2 s方法二：若 1 , 2 , , s ,    线性相关，已知 1 , 2 , , s   线性无关，则可以被 ,, ,线性表示，记 1 2 s  k 1 1  k 2 2   k s s     于是， ( , )  k 1 ( , 1 )  k 2 ( , 2 )   k s ( , s )  0     与  0  矛盾，所以向量组 1 , 2 , , s ,    线性无关. 13.【答案】D 【解析】因为通解中必有任意常数，显然（A）不正确，由nr(A)1知， A x  0 的基 础解系由一个非零向量构成，但 1 , 1  2 , 1  2     中哪一个一定是非零向量呢？ 已知条件只是说, 是两个不同的解，那么 1 2 1 可以是零解，因而k有可能不是通解， 1 如果 1   2  0   ，虽然 1 , 2   是两个不同的解，但 1  2  0   ，即两个不同的解不能保证  0，因此可以排除（B），（C）. 由于 1 2 1  2   ，必有 0，可见（D）正确. 1 2 14.【答案】A 【解析】由Ax 的通解为 5 k (1 ,  1 , 2 , 0 ) T  ( 2 ,1 , 0 ,1 ) T 知， 5  可由 1 , 2 , 3 , 4     线性表示为 5  ( k  2 ) 1  (  k  1 ) 2  2 k 3  4     ， 即(k2) (k1) 2k   0，取k 0得 1 2 3 4 5 ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )  2 1 0 1  1   0      由 A x  5 的通解为 k (1 ,  1 , 2 , 0 ) T  ( 2 ,1 , 0 ,1 ) T 知 k (1 ,  1 , 2 , 0 ) T 是 A x  0 的解，得 ( 1 , 2 , 3 , 4 )  1  2 0 1   0     可得 ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )  1  2 0 0 1   0      ，所以(2,1,0,1,1)T,(1,1,2,0,0)T为 B x  0 的两个线性无关的解，又因为r(B)r(A)3，所以 B x  0 的通解为 k (2,1,0,1,1)T k (1,1,2,0,0)T，其中k ,k 为任意常数. （A）不能由通解表示，所以 1 2 1 2（A）不是解. 15.【答案】当ab,a(1n)b时，方程组只有零解； 当ab时，有无穷多个解， x  k 1 (  1 , 1 , 0 , , 0 ) T  k 2 (  1 , 0 , 1 , , 0 ) T   k n  1 (  1 , 0 , , 0 , 1 ) T ，其中 k 1 , k 2 , , k n  1 为任意常数； 当a (1n)b时，有无穷多个解，方程组的通解为 k (1 , 1 , , 1 ) T ， k 为任意常数. 【解析】 D  a b b b a b b b a  [ a  ( n  1 ) b ] ( a  b ) n  1 当a b,a (1n)b时，方程组只有零解； 当ab时，求方程组的解等价于求方程 x 1  x 2   x n  0 的解，其通解为 x  k 1 (  1 , 1 , 0 , , 0 ) T  k 2 (  1 , 0 , 1 , , 0 ) T   k n  1 (  1 , 0 , , 0 , 1 ) T ，其中 k 1 , k 2 , , k n  1 为任意常数 令 A   a b b b a b b b a  ，当a (1n)b时，r(A)n1，显然(1,1, ,1)T为方程组的一 个解，故方程组的通解为 k (1 , 1 , , 1 ) T ，k为任意常数. 16.【答案】D 【解析】因 1 , 2 是Ax0的基础解系，有nr(A)2，又 A 是 4 阶矩阵，故 r ( A )  2  2 3  0 ，于是（A），（C）均不正确，由A 0，A 0得， 1 2 3 4 1 2  2 2 4 0 如,线性相关，不妨设 k ，则 (33k)， 2， k 与 3 4 3 4 1 4 2 4 3 4 r(,,,)2相矛盾，所以 1 2 3 4 3 , 4   线性无关，故选（D）. 17.【答案】 (1 ,1 , 2 , 3 ) T 【解析】设Ax 有特解* (x ,x ,x ,x )T，则 1 2 3 4x  1   x A* ( 2 3,,,)  2 1 2 1 1 2 3 x   3 x  4 ( 2 3)x x x x 1 2 3 1 1 2 2 3 3 4 x (x x ) (x 2x ) (x 3x )  1 2 1 1 3 1 2 4 1 3 取 x 1  x 2  1 ， x 3  2 x 1  2 ， x 4  3 x 1  3 时等式恒成立，故 A x  有一个特解为 (1 ,1 , 2 , 3 ) T . 18.【答案】C 【解析】方程组解的判别，关键是讨论其秩，由已知，对任意 n 维列向量，有 A*0，故A*0的基础解系中有n个线性无关的解向量，即 n  r ( A * )  n ，故 r ( A * )  0 ，由r(A)与r(A*)的关系，知 r ( A )  n  1 ，所以Ax0的基础解系中有 k  n  r ( A )  n  ( n  1 )  1 个线性无关的解向量，故（C）正确. 19.【答案】 k 1 ( 7 , 4 ,  1 , 6 ) T  k 2 (1 2 , 2 ,  1 4 , 0 ) T   1 2 ,1 , 3 2 , 2  T ， k 1 , k 2 为任意常数 【解析】依题意设，找出Ax0的基础解析及 A x  b 的一个特解 由解的性质， A 1  b   1 1 3  T  ，A b，故A  1 2  b，取*  ( ) ,1, ,2 2  2  2 1 2 2 2  为 A x  b 的特解，又 A A A η η ( [ [ 1 2 1 3 ( ( 2  3  (  1 3 ( 2 ) 2   3  1  1  ) 2 1 3 2 b , A  2 ( )  ( )  2 2 )  2 ( 2 1 ( ( 2   2 1  2 2   2 1 ) 2 )  2 ) 3 ]  ( ) 3 )   6 2  ( 3 b b   2 ( 7 ,  2 , 6 4 A ( b ) 3 ,  2 2  0 ]  1 , 6 ) 3 3 , 5 )   b T ( 3  1 2 5 , ) 1 b 2 ,    5 0 1 b 4 , 0 ) T                           为 A x  0 的解，且线性无关，又r(A)n2，故,是 1 2 A x  0 的基础解系，故 A x  b 的通解为 k 1 ( 7 , 4 ,  1 , 6 ) T  k 2 (1 2 , 2 ,  1 4 , 0 ) T   1 2 ,1 , 3 2 , 2  T ，k ,k 为任意常数. 1 2 20.【答案】当 a   3 时Ax0的通解为 k (1,2,0,2)T k (1,1,1,3)T k (2,3,3,5)T，k ,k ,k 为任意常数 1 2 3 1 2 3 当a1或a4时，Ax0的通解为k 1 ( 1 , 2 , 0 , 2 ) T  k 2 (  1 ,  1 , 1 , 4 ) T  k 3 ( 1 ,  1 , 4 , 5 ) T ， k 1 , k 2 , k 3 为任意常数 【解析】由 1 , 2 , 3 , 4     与 A x  0 的基础解系等价，知 1 , 2 , 3 , 4     必是Ax0的解， 又 r ( A )  1 ，知 A x  0 的基础解系中有 n  r ( A )  4  1  3 个线性无关的解向量，故 r ( 1 , 2 , 3 , 4 )  3     ，其极大线性无关组是 A x  0 的基础解系，对 ( 1 , 2 , 3 , 4 )     作初等 行变换，有 ( 1 , 2 , 3 , 4 )   1 2 0 2   1 a 1 1 1  a 5 1 2 a   3 5    1 0 0 0  1 0 0 1 a 1   0 3 3 (1  a 1 a 2   ) ( 4 a a  4 )      当a3时，,, 是一个极大线性无关组，故Ax0的通解为 1 2 4 k 1 ( 1 , 2 , 0 , 2 ) T  k 2 ( 1 , 1 ,  1 , 3 ) T  k 3 ( 2 ,  3 ,  3 ,  5 ) T ， k 1 , k 2 , k 3 为任意常数 当 a  1 时，,,是一个极大线性无关组，故 1 2 3 A x  0 的通解为 k 1 (1 , 2 , 0 , 2 ) T  k 2 (  1 ,  1 , 1 , 1 ) T  k 3 (1 ,  1 , 1 , 5 ) T ， k 1 , k 2 , k 3 为任意常数 当a4时， 1 , 2 , 3   是一个极大线性无关组，故 A x  0 的通解为 k 1 ( 1 , 2 , 0 , 2 ) T  k 2 (  1 ,  1 , 1 , 4 ) T  k 3 ( 1 ,  1 , 4 , 5 ) T ， k 1 , k 2 , k 3 为任意常数 综上：当 a   3 时 A x  0 的通解为 k 1 ( 1 , 2 , 0 , 2 ) T  k 2 ( 1 , 1 ,  1 , 3 ) T  k 3 ( 2 ,  3 ,  3 ,  5 ) T ， k 1 , k 2 , k 3 为任意常数 当 a  1 或 a  4 时， A x  0 的通解为 k 1 ( 1 , 2 , 0 , 2 ) T  k 2 (  1 ,  1 , 1 , 4 ) T  k 3 ( 1 ,  1 , 4 , 5 ) T ， k 1 , k 2 , k 3 为任意常数 21.【答案】 k 1  0 1   2 1   k 2  0  0  2 1    1 2  0 1  ，其中k ,k 为任意常数 1 2 【解析】由2     3  2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4  1  1 1       2 1 3       可知  ,  ,  均为 1 1 2 1 3 1        0  1 2 A x   0   0      1 2 的解，故     ，     均为 1 2 2 2 3  0      1 1A x  0 的解，由于 1 , 2  线性无关，可知 r ( A )  2 ，又由于 A x  0 有两个线性无关的解 , 可知 1 2 2 3 A x  0 的基础解系中至少含有两个向量，也即4r(A)2，即 r ( A )  2 . 综上， r ( A )  2 ，则 A x  0 的基础解系中含有两个线性无关的解向量，故 1  2 , 2  3    即为 A x  0 的基础解系，故Ax的通解为 k 1  0 1   2 1   k 2  0  0  2 1    1 2  0 1  其中 k 1 , k 2 为任意常数 22.【答案】D 【解析】判断两个方程组解的问题，可从两系数矩阵的秩判断. 显然方程组（II）的解都是方程组（I）的解. 由Ay e，知r(A)r([A,e])，于是 r ( A T )  r ( [ A , e ] T )  r   Ae T T   ，于是方程组（I）与方程组（II）同解.  1 0 0 1 23.【答案】（1）A （答案不唯一） 7 1 3 0  （2） a  3 ，所有非零公共解为 k (1 , 4 , 1 , 1 ) T ， k 是任意非零常数. 【解析】（1）记 C = ( 1 , 2 )   ，则有 A C = A ( 1 , 2 ) = O   ，得 C T A T = O ，即 A T 的列向 量（即 A 的行向量）是 C T x = 0 的解向量. 由 C T   10 1 3 21 10  解得 C T x = 0 的基础 解系为 1  ( 1 , 0 , 0 ,  1 ) T , 2  (  7 , 1 , 3 , 0 ) T   . 故 A    1 7 01 03 0 1  . 【注】此时矩阵 A 不唯一，不同的基础解系对应不同的矩阵. （2）若 A x = 0 和Bx=0有非零公共解，则非零公共解既可由 1 , 2   线性表示，也可由 1  2   线性表示，设非零公共解为  x 1 1  x 2 2  x 3 1  x 4 2      ，于是 xx xx 0. 1 1 2 2 3 1 4 2 对 ( 1 , 2 ,  1 ,  2 )     作初等行变换，( 1 , 2 ,  1 ,  2 )    1121  1000 010 3 0100  1  3 0  2 24 1 1  1  2 1  a   38 a  1  1   1000   010 1000 3 0100  2 12 1 210 1   1  1 3 a   1 32 a  1  3        1000 0100 0010  12 a 1  3  当 a  3 ，方程组有非零解 k (  1 , 1 ,  2 , 1 ) T （ k 是任意非零常数），此时 A x = 0 和 Bx=0的非零公共解为  k (  1  2 )  k (  1 ,  4 ,  1 ,  1 ) T  k 1 ( 1 , 4 , 1 , 1 )    T 其中 k 1 是任意非零常数. 或  k (  2 1  2 )  k ( 1 , 4 , 1 , 1 ) T    ，其中 k 是任意非零常数.