250212_103201-1.基础习题册线代第一章详解_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_00.配套书籍_2026考研数学习题册答案详解_基础

第一章 行列式答案解析 1-1 基础过关 1.【答案】（1）  4 ；（2）0；（3） 0 ；（4） 1 6 【解析】（1） 2 1  1  0 8 4 1  3 1 r1 r  2  2 r 3 r 3 0 0  1 1 6 4 8 7 2 3  (  1 ) 3  1 (  1 ) 1 6 4 7 2   (1 6  2  7  4 )   4 . （2） 4 1 2 4 1 2 0 2 1 0 5 2 0 0 1 1 7 r1 r 3 r1 r 2     4 r 2 1 0 r 2 7 r 3 1 5 r 3 0 1 0 0  0 0 1   7 2 1 5 1 9 1 7 1 2 0 2 1 4 5 8 5 7    2 2 7 4 0  9   ( 1  7 1 ) 0 0 1 2  1 1 1 1   7 1 5 1 5 5 7  2 2 1 0   4 2 0 7 （3） 2 1 4 1 3  1 2 1 1 2 3 2 5 0 6 2 r1 r 2 r 4 r1     2 3 5 r 2 r 3 r 3 r 3    0 0 1 0 1 7 1 0 0  3  7 2  1 0  9  7  9       3 2 7 9 8 5 8    2  0 3 5 8  (  1 ) 3  1    3 7 1 0    2 7 9    3 5 8 1 2 3 4 1 2 3 4 r r 1 1 3 1 1 3 1 3 4 1 2 1 0 1 1 3 r 2r （4） r r  2 2 2 2 1 0 4 4 16 3 1 1 4 1 2 0 2 2 2 r r r r 1 1 1 3 1 0 0 4 1 1 2 3 4 1 0 1 1 1 2.【答案】（1） 3 a b c  a 3  b 3  c 3 ；（2）2(x3 y3)；（3）0；（4） ( a  b ) 3 ；（5）0 【解析】（1）方法一：a b c b c a c a b    ( a 3  ( a 1 b b 1 ) c c  1   a a a c a 3 ) 3   a b b b ( 3  b  ( 2 c   3 1 a 1 ) c  2 ) b  b c c ( a b a b   c ( 2  ) 1 ) 1  3 c b c c a 方法二： a b c abc bca cab 1 1 1 r r r 1 2 3 b c a b c a (abc) b c a c a b c a b c a b 1 1 1 r br 2 1 (abc) 0 cb ab r cr 3 1 0 ac bc cb ab (abc) (abc)[(cb)(bc)(ab)(ac)] ac bc (abc)[bcc2 b2 bca2 acabbc] 3abca3b3c3 （2） x y x y 2(x y) 2(x y) 2(x y) 1 1 1 r r r 1 2 3 y x y x y x y x 2(x y) y x y x x y x y x y x y x y x y 1 1 1 r 2  yr 1 x x y 2(x y) 0 x x y 2(x y) r (x y)r y x 3 1 0 y x 2(x y)[x2 (y)(x y)]2(x y)(xyx2  y2) 2(x3  y3) 【注】立方和公式： x 3  y 3  ( x  y ) ( x 2  x y  y 2 ) . （3） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r r 3 2 a b c a b c (abc) a b c 0 bc ca ab abc abc abc 1 1 1 （4）2 a 2 a 1 a a b  1 b 2 b 2 b 1 r1 r 2    ( b a 2  2 a r 3 r 3 a ) 0 0 1 2 a 1 a b b a   1  2 a a b 2  b 2 ( b 2 ( b    1 a a a ) 2 ) 2 (  2 a ( b   a a  ) b 2 ) 0 0 1  ( a 1 1 a  b a )  2 1 3 b （5） a b c d 2 2 2 2 ( a ( b ( c ( d     2 1 ) 2 1 ) 2 1 ) 2 1 ) ( a ( b ( c ( d     2 2 ) 2 2 ) 2 2 ) 2 2 ) ( a ( b ( c ( d     2 3 ) 2 3 ) 2 3 ) 2 3 ) c 2 c 3 c 4 r 2 r 3 r 4  r 3 r 4        (   ( b b c 1 c 1 c 1 r1 r1 r1  r 2 r 2  a b c d b c d a ( b a 2 2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 d 2 a 2 2  a 2 2  a 2 2  a ) ( c  a  a ) ( c ) ( c  a     ) (  ) ( 1 1 1 1 2 2 ( 2 ( 2 ( d a d a b c d  )  ( 4 4 4 4     a d a a b c d 1 a a a )  )  4  4  4  4 ) ) ) 2 a b  c  d  a ) 2 a b  c  0 6 6 6 6 4 a 4 ( b 4 ( c 4 ( d a a a 2 a b  c  d  a b a b c d     2 a b b 2  9  9  9  9 4 a ) a ) a ) a  1 2 2 2 2 a a  1 2 0 0 2 0 0 6 6 6  6 a ( b ( c ( d 4 a 1 4 a  9  a )  a )  a )  4 4 4 4 4 a  4 0 0  4 4 0 0 6 4 6 a a  6 6 6 6  6 0 0 9 a 9 6 0 0   9 0 3.【答案】（1） a b c d  a b  c d  a d  1 ； （2）a a xa x2 a x3 ； 0 1 2 3 （3） a n  2 ( a 2  1 ) ； （4）[x(n1)a](xa)n1； （5）1a  a （或 1 n 1  n i 1 a i ）； （6） a 1 a 2 a n  1  n i 1 1 a i  【解析】（1）方法一：a  1 0 0 1 b  1 0 0 1 c  1 0 0 1 d      (  a a a a 1 1 ) b  1 0  b  ( b c b c d b  1 a  0 1 c  1 c  1 d  b  a b 1 1 d   0 1 d  d a 1 c  1   1 0 )  d  0 1 d c  1 c d c d 1 d    1 d  1 ( 1   1 c 1 ) d  2   0 0 1 1 1 c  1 0 1 d 方法二： a  1 0 0 1 b  1 0 0 1 c  1 0 0 1 d      (  a a a a 1 1 ) 0  1 0 (  1 ( b c b c d  1 a 1 2  1 ) d   a b 1  1 c 0  1  b c b c 1  1 d 1  (  1 )  d  b )  d  b c  0 1 d  b c 1 c d c d  c  1 b d  1  ( 1   1 1 d 1 ) ( c  d 2  1 0 0  1 ) 1 c  1 0 1 d （2）“么”型行列式按照“横”展开： x 1 0 0 1 0 0 x 0 0 0 x 1 0 (1)41a x 1 0 (1)42a 0 1 0 0 0 x 1 0 1 0 x 1 0 x 1 a a a a 0 1 2 3 x 1 0 x 1 0 (1)43a 0 x 0 (1)44a 0 x 1 2 3 0 0 1 0 0 x a a xa x2 a x3 0 1 2 3 （3）a 1 a D  n 1 a    a a a  n a a  n  ( 1   1 (  2 n ) a 1  1 n  1 1  n ) n  a   2 (  (   1  n 1 ) 1  n  1 ) n  2 a ( 1 1 a a 2  a 1 ) a n a  1 n  2 【注】未显示的元素均为0 （4） D n  x a a a x a a a x 全 部 列 累   [ [ 和 加 x x   相 到 ( ( 等 第 n n   一 1 1 ) ) 行 a a ] ] ( x 1 a a x   ( 1 x a a n a a n )   1 1 ) a 1 a x x   [ ( x n x a   ( 1 n )  a 1 ) a ] 1 0 0 x  x 1  0 ( n a x a  1 ) a x 1 0  a （5）先转化为“爪”型行列式 1  a a a 2 n 1 1 a  a 1 a n 2 1 a 1 a 2  a n c  c 2 c  c n c  a 1 c  a 1  1  1 1 1 c 2 2 c n n a  1  a a 1 a 1 2 n  a 2 a  1  1 0  1 a  2 0 0  a n   0 1  1  1 a n n i 1  1 0 a i 1  0 1 1 （6）1a 1 1 1a 1 1 1 r r 1 2 1 1 1a 1 a a 0 2 1 2 r r 1 1 1a n 1 a 0 a n 1 n a a a c  1 c 1a  1   1 1 1 1 a 2 1 a a 2 2 n 0 a 0 2 a c  1 c 1 a n 0 0 a n n  a a  n 1a  1   1  a 1 a a i  2 n  i2  1 1 1  n  n 1  n 1     a 1  a a a a i a i  1 2 n  i1  i1 i  i1 4.【答案】（1） ( a  b  c ) ( c  b ) ( c  a ) ( b  a ) ；（2） 1  i j n  1 ( j  i ) n 或 k!； k1 （3）(abc)(cb)(ca)(ba) 【解析】（1）可转化为范德蒙德行列式 b  a 2 a c a  b 2 b c a  c 2 c b r1   ( b r 2  b c   c a a a  2 ) ( c a  a a )  ( c c b b  2  b b ) ( b a   a b c c ) 2  c  ( b  c  a ) 1 a a 2 1 b b 2 1 c c 2 （2）此行列式与范德蒙德行列式形式不同，将 D n 中第 n  1 行依次与上一行交换到第 1 行， 第n行依次与上一行交换到第 2 行， ， 经过 n  ( n  1 )  ( n  2 )   2  1  n ( n 2  1 ) 次行交换， 与范德蒙德行列式建立关系. D n  (  1 ) n (n 2 1 ) a 1 a n a  n 1 ( a ( a  a 1  1  1 n ) 1 )  n 1 ( a ( a  a 1  n  n ) n n )  n 1 ，再将第n1列依次与前一列交換到第1 列， 第n列依次与前一列交换到第 2 列， ， 经过 n(n1) n(n1)(n2) 21 次列交换，得 2D  n = = n (  1 ) 1 a  ( a  n ( a   0  i j n (n 2 n n ) n ) ( j 1 )  1 n   i ( )   1 1 a  n n (n  1 ) ) 2 n  1 ( a  n ) n ( a  n ) 1 1 a  1 a  n  1 n  1 ( a  1 ) a n n ( a  1 ) a n ! ( n  1 ) ! 2 ! 1 ! 0  ( a (  i j n k  1 a  a [ n k 1  1 n 1 )  1 ) ( a  !  n 1 i ) a  1 a n  1 n a ( a  j ) ] （3）直接利用范德蒙得行列式可得 D  1 a a a 2 3 1 b b b 2 3 1 c c c 2 3 1 x x x 2 3  ( x  a ) ( x  b ) ( x  c ) ( c  a ) ( c  b ) ( b  a ) ( x  a ) ( x  b ) ( x  c ) 中 x 2 的系数为  ( a  b  c ) ，故原行列式中 x 2 的系数为  ( a  b  c ) ( c  b ) ( c  a ) ( b  a ) . 5.【答案】（1）  3 或  3 ； （2） 0 、 2 、 6 【解析】（1） 2 1 1 2 1 1 1 1 1 c 1 ( c 2 3 3 ) 0 3 1 1 2 1 1 2 1 1 1 ( 1 r 2 3 ) r1 ( 2 0 0 3 3 ) 0 2 1 1 2 1 1                                        解得3或  3 . （2）2 0 2 0 2 2 2 2 4 c 1 ( ( c 2 2 2 2 ) ) 0 ( 2 2 2 2 6 0 2 ) 2 4 4 ( 2 2 4 ( r 2 2 ) 2 ( ) r1 [ ( 6 0 0 ) 2 2 ) ( 0 2 4 2 ) 8 ] 2 4 4                                                             解得  0 、 2 、 6 . 6.【答案】（1）  6 4 ；（2） 2 4 . 【解析】（1） 3 1 1 2 0 2 4 1 r 3r 2 4 1 1 3 5 1 3 4 0 6 8 1 A  A  A  A  r 5r  6 8 1 31 32 33 34 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 r r 6 2 4 1 5 3 3 4 3 0 6 2 4 2 4 1 2 4 1 0 14 1 12 6 8 1 2 0 4 2 2 0 4 2 64 3 1 2 1 9 0 1 9 0 （2） M  M  M  M 1 4 2 4 3 4 4 4  = =  A 1 4  6 3 1 (  1 4 )  A  4 6  5  5 3  2 ( 2  4 2  2 0 4 3 ) A  4 3 4 0 0 0 1 6   A 2 0 4 4 4  6 3   2 4 3  2 1  6  5 4 5 1 1 0  2 0 4 5   1 3 1 3 4  6 3  1  1 0 0  1 1 2 2 0 41-2 基础真题 1.【答案】  3 【解析】根据行和相等加列，列和相等加行，把行列式的各行都加到第 1 行得: D   3 1 1 0 3  ( 3 1 0 1  1 ) 3 0 1 1 4 2 3  3 1 1 1 (   1 3 ) 3 1 1 1 0  1 1 1 0 1   1 0 1 1 3 1 1 1 1  3 1 0 0  1 1 0  0 1 1  0 0 1 1 0 0 0 2.【答案】 x 4 【解析】方法一：根据行和相等加列，列和相等加行，把行列式的各列都加到第 1 列得： 原式   x x x x x  (    x  1 1 1  1 1 4  ) 2 3  x x 1  1 1 3 1  x 4 x     1 1 1 1  x 1 1 1 1 x    1 1  1 1 x 1  1 1 1 x     1 1 1 1  x 1 1 1 1 0 0 x 0 0 x 0 0 x 0 0 0 方法二：第一行的  1 1 1 1 x1 0 0 x x 倍分别加到第二、三、四行，得爪型行列式： . 0 x 0 x x 0 0 x 第一列、第二列和第三列依此加到第四列上消去一个侧爪得： 1 1 1 x 0 0 x 0 43 (1) 2 x4  x4. 0 x 0 0 x 0 0 0 3.【答案】B 【解析】将第一列的1倍依次加到第二、三、四列得：f ( x )   x  2 x  3 x  4 x x  2 x  2 2 3 2 2 1 1 1  1 1 3  x x x x   0 0   2 7 2 7       1 6 1 1 2 3   5 x x  2 x  3 x  4 x ( x  2 2 3 1 ) 1 1 1  3 x x 0 0   2 7 0 0   1 6 由此可知 f ( x ) 是2次多项式，故应选（B）. 4.【答案】D 【解析】方法一：依次对换第二、四行，第二、四列化为分块行列式： 原 式   ( a b 0 0 a 1 4 1 a 4 0 0 b a  3 2 b 1 b 0 0 a 3 b 2 ) ( 4 a 2 b a 0 0 a 1 4 3   b a 1 b 4 0 0 b 2 3 ) b a 0 0 1 4 0 0 a b 3 2 0 0 b a 3 2  a b 1 4 b a 1 4  a b 3 2 b a 3 2 方法二：按第 1 行展开，得 a b 0 0 a b 2 2 2 2 a b a b D a b a 0 b 0 b a 按第3行展开aa 2 2 bb 2 2 n 1 3 3 1 3 3 1 4 b a 1 4 b a 0 0 a b 0 0 3 3 3 3 4 4 (a a b b )(aa bb ) 2 3 2 3 1 4 1 4 5.【答案】 a n  (  1 ) n  1 b n 【解析】属于么型行列式，按第1列展开，有 a b 0 0 0 b 0 a b 0 0 a b D a b(1)n1 an (1)n1bn 0 0 0 a b b 0 0 0 0 a a b 所以Dan (1)n1bn. 6.【答案】 1  a  a 2  a 3  a 4  a 5 【解析】梭型行列式，按第一行展开D 5  (1  a ) D 4  a  0 0 0 1 1 a   0 1 a 1 0 a   1 a 1 0 0 a  a  (1  a ) D 4  a D 3 . 得到递推公式 D 5  D 4   a ( D 4  D 3 )    a 3 ( D 2  D 1 ) . 由于 D 2  1   1 a 1 a  a  1  a  a 2 ， D 1  1  a 于是得 D 5  D 4   a 5 ，D D a4， 4 3 D 3  D 2   a 3 ，容易推出 D 5   a 5 + a 4  a 3  D 2   a 5  a 4  a 3  a 2  a  1 . 1-3 拓展拔高 1.【答案】 k 2 ( k 2  4 ) 【解析】观察行列式的性质，可以看出，行列式的每一列和相等. 因此可将第 2 , 3 , 4 行加 到第 1 行，提取 k ，再用行列式性质，有 k0 1 1 0k1 1 1k0 1 1 1 0k   k k 2 10 1 1 k20 1k1 1 1 k 1 1 11k0 11 1 10k 1   k 2 k k20 1000 2k0 1k20 k  1 11 11k  1 k 2 1 1 1k ( k 2  4 ) 2.【答案】 a  1 或 a  2 【解析】 原式 a1 a1 0 a1 0 0  1 a 1  1 a1 1 1 1 a 1 2 a (a1)[(a)2 (a)2](把(a)当成整体) (a1)[(a2)(a1)] (a1)2(a2)0 3.【答案】请参照解析【解析】方法一：用数学归纳法. 当 n  1 时，D  xa ；当 1 1 n  2 时， D 2  xa 2 a  1 1 x  x 2  a 1 x  a 2 ，结论成立； 假设当 n  k  1 时，结论成立，有D  xk1a x(k1)1a x(k1)2  a xa k1 1 2 k2 k1 则当 n  k 时，将 D k 按第1列展开，得 D  xD a  xk a xk1 a x2 a xa k k1 k 1 k2 k1 k 故对任意正整数 n ，有 D n  x n  a 1 x n  1   a n  1 x  a n ，结论成立. 方法二：用递推法，将 D n 按第1列展开，得 D n  x D n  1  (  1 ) n  1 a n  (  1 ) n  1  x D n  1  a n 故D  xD a , ,D  xD a ,D  xD a  x2 a xa x1 x2 x1 3 2 3 2 1 2 1 2 将其依次代入，得 D n    x x D 2 n  ( x  1 D x  x n a  3  n  a  a x 1 x ( x  2 n  1 x D )   x  x 2 a   x a  1 a n x  1  a x  1 ) n    a a n 3 x , n  D x x  2 3 D  x  x 2 2  a x x  a 2 x   1 x  a a x  n 1  a n 4.【答案】 n  1 【解析】 D n 为三对角行列式，用递推法，将 D n 按第1行展开. D D D n n n    2 D D D n  1  n  1  n  1  D 1 (  n   1 1 ( )  D  (  D n n  2 1  2  ) 1 1   ) 2 D  00 00 n 1 1   2  D  1 2 1 00 D n  n 2  3  02 00  2 1   D  000 2 2 D 1  1 D  000  1 2  1 ( n   2 2 1 1 ) D  n  1  1 2 2    ( n D 2  n   1 2 1 ) , ,  n  1 . 5.【答案】B 【解析】4 i 1 4 j 1 A ij       1100  A A 1  1 1  3 1 1010  1  A 1 A 1001 1 2 3 2    1000 1 A  1 3 A 3    3 0100 4  A 1 A 0110 4 3  4    0101  A  2 A 1100 1 4  1   A 0110 A 2 2 4  2 0010  A 2 A 0011 3 4  3  1010 A 2 A  4 4  4 0101  0011 0001 1001 6.【答案】 b n  1 ( b  n i 1 a 2i ) 【解析】 D n 除主对角线外，第i行(i 1,2, )元素分别是 a 1 , a 2 , , a i 1 , a i 1 , , a n 的倍 数，即： (  a i ) a 1 , (  a i ) a 2 , , (  a i ) a i 1 , (  a i ) a i 1 , , (  a i ) a n . 可考虑加边法， D  n 1   D ( a n  1 2 ) 1 b   1 0 0 0 ( a 2 baa a b   2 ) 1 2 n a 1  a a a 2 a a n  21 1 1   b  ( a a  a a 2a 1 a a n ) n b 222 2 2 0 b0 0 0 0b 0   b a a a  na 1 a 2 a n n 2n  0 00 b 1aa a  1 2 n b n ab0 0  1 1  a 2 0b 0 n i 1 ( a i b ) 2  a n 00 b  b n  1 ( b  n i 1 a 2i ) 7.【答案】  1  n i 1 a b i   n j 1 b j 【解析】方法一： D n 中除主对角线外，各列元素分别相同，用加边法. 1 0 0 0 1 a a a 1 ab a a 1 b 0 0 1 1 D  D  1 a ab a  1 0 b 0 n n1 2 2 1 a a ab 1 0 0 b n n a a a 1    a a a b b b  1 2 0 n b 1 0 0   1 n a    n b . 0 0 b 0 b j 2  i1 i  j1 0 0 0 b n方法二： D n        a b 1 0 a a b a b a b  1  a a b 1 b 1 b 1   b 1 0b 2 a 2 2 2 a b n i 1 a b n b n b n b 1 2 b a b i a a  1  1  1 n    b 2 00  a  b ( a n  a b b 1  a b b 1 b n  n b . j j 1 a b 2 2 a 1 b a  b a 0 b 2 b b b 1 2 b n aa  1 n  n   1 b n a b n  b 2 n b 2 n b n  a 0 2    a b 2  b b n b n  b 1 a a D n  1 b D  1 n b ( n  1 a  n a b a a  a aa b n )  2 n  2 b b1 2 b 1 2 b 2 b  2 b a b n b 1 n   b 3 b 2  n b aa a b b n  n  1  n 2  1 D a  n b  b a 0 b n )  3 ( a 2 1 D  n  b a 1 1 a 0 ) b 2 aa b n 8.【答案】 ( a 2  b 2 ) n 【解析】方法一： D 2 n    a b ( a ( a   a b b b ) ) n n 1 1 ( a  ab 1 1 b ) n ba  ( a 11 2  ba b b a 2 ) n b a = a b b a   b a b a  a b (   a b a  b ) n 1 0 ab 1 0  ba ba 10 ba  b a b b a b a  b b a  b 方法二：D 2 n     a b a a b0 2 a 2 ( a a b a b  b 2 ) D ab 2 ab n ab  2 ba ba ba b a b a b a 0 a  ( b a   ( 1  ) 1 (1  ) 2 (2 n  1 ) n  1 ) b b 2 0 b a b a b ab ab ba ba b a b a D 2 n  ( a 2  b 2 ) D 2 n  2  ( a 2  b 2 ) 2 D 2 n  4   ( a 2  b 2 ) n 9.【答案】C 【解析】 由于 x a a a 1 a a a 1 2 n 1 2 n a x a a 1 x a a 1 2 n  n  2 n f(x) a a x a  xa 1 a x a   1 2 n i 2 n   i1 a a a x 1 a a x 1 2 3 2 3 1 0 0 0 1 xa 0 0 n 1 (xa )1 a a xa 0 i 2 1 2 i1 1 a a a a xa 2 1 3 2 n  n  n   xa  (xa ) i i  i1  i1 所以 f ( x )  0 有 n  1 个实根，故 f(x)0至少有 n 个实根，又因为 f(x)0是关于 x 的 一元n次方程，所以 f(x)0最多有n个实根，综上， f(x)0恰有n个实根，答案应选（C）. 10.【答案】请参照解析 1 1 1 a a a n 【解析】不失一般性，设| A| 21 22 2n A . 又因 1j j1 a a a n1 n2 nn n j 1 A ij  a a 1 2 1 n 1 1 a a 1 2 1 n 2 2 a a 1 2 1 n n n  0 , i  2 , , n . n n n n n n 故| A|A A A  A A . 1j 1j 2j nj ij j1 j1 j1 j1 i1 j1