(135)--第四章《线性方程组》习题册答案解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_03.基础定制_02.线代_课程讲义

第四章 线性方程组答案解析
4-1 基础过关
1.【答案】请参照详解
【解析】（1）① A 
 1
2
3

4
8
8 1 0
5
6
2


1
2


 1
0
0

4
0
8 1

0
3
0
2

0
1


 1
0
0
0
4
0

4
0
3
0

0
1

所以
 x
x
x
x
1
2
3
4




x
2
4 x
2


4 x
x
3 x
3
3
3
，所以基础解系为：
 0
1
0
4

,
 
0
1

4
3

（答案不唯一）；
x  x
1 1

x  x
 2 2

②同解方程组为： ，所以基础解系为：

x  x
 n1 n1
x nx (n1)x  2x

n 1 2 n1


1
0
0
n

,

 ( n
0
1
0
 1 )

, ,


0
0
1
2

.
（2）记 B  (
1
,
2
)   ，则, 为
1 2
A x  0 的解，
A 
 2
5


2
1
1
0
3
2


 

8
5
0
1
1
0


1
2

x  x
1 1

x 5x 2x
2 1 4 ，所以 ，所以
x 8x x
 3 1 4
x  x

4 4
1

 1
5
8
0

,
2

 0
2
1
1

  ，故 B 
 1
5
8
0
0
2
1
1

（答案不唯一）.1 1 0 0 5 1 0 1 0 8
   
（3）(A,b) 2 1 1 2 1  0 1 1 0 13 ，所以
   
    5 3 2 2 3 0 0 0 1 2
   
 x
x
x
x
1
2
3
4





x
x
2
x
3
3
3


1
8
3
，故
 
1
8
3
0
2

为一个特解，齐次方程的基础解系为
 
1
1
0
1 
.
（4）设方程组为 A x  b ，则 r ( A )  3 ，所以 4  r ( A )  1 ，因为
A [ 2
1
 (
2

3
) ]  A
 3
4
5
6

 0    ，所以
 3
4
5
6

是Ax0的基础解系，故 A x  b 的通解为：
k
 3
4
5
6


 2
3
4
5

，其中 k  R .
（5）因为 a
2
, a
3
, a
4
线性无关，所以 r ( a
2
, a
3
, a
4
)  3 ，又因为 a
1
 2 a
2
 a
3
，由初等列变
换可知： r ( A )  r ( 0 , a
2
, a
3
, a
4
)  3 ，所以 4  r ( A )  4  3  1 ，因为 a
1
 2 a
2
 a
3
 0 ，
所以 A


1
1
0
2

 ( a
1
, a
2
, a
3
, a
4
)


1
1
0
2

 a
1
 2 a
2
 a
3
 0 ，所以


1
1
0
2

为 A x  0 的一个基础
1 1 1
     
1 1 1
     
解系，因为A (a ,a ,a ,a ) a a a a b，故 是Axb的一个特
1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1
     
1 1 1
 1  1
   
2 1
   
解，故Axb的通解为k  ，其中kR.
 1  1
   
 0  1
2.【答案】请参照解析【解析】（1） A 
 1
2
2
1
1
2
2
1
1


2
1
1


 1
0
0
1

0
1 

2
3
3

1
4
1 


1
0
0
0
1
0
0
0
1


3
4
3
4
3

所以

x
x
x
x
1
2
3
4




4
3

4
3
x
x
3
x
4
4
x
4
4 ，故齐次线性方程组的通解为 x  k
 4
3

4
3
1
3

，其中 k  R .
（2） A 
 1
3
5 1
2
6
0
1

1
1



1
3
5


 1
0
0
2
0
0

1
0
4

0
0
1 

 1
0
0
2
0
0
0
1
0

0
0
1 
x 2x x 2 1
1 2 4
    
x  x 1 0
所以 2 2 ，所以方程组的通解为x k   k   ，其中
x 0 1 0  20
 3
   
  x  x  0  1
4 4
k
1
, k
2
 R .
（3） ( A , b ) 

1
4
3
1
2

3
1

2
0
1
1
2
0
8



1
1
3
1
3

3
1

2
0
3  8
1 0
8


 1
0
0

3
1
0
0
 3
1 1
0

3

8
4
6

由于 r ( A )  r ( A , b ) ，故该方程组无解.
（4） ( A , b ) 
 2
1
3
4
3

8

2
1

1
4
9
2

1

4
5
3
6


 1
0
0
0

7
0
0
2

4
0
0
7

1
5
4
0
0


 1
0
0
0
0
1
0
0
2

0
0
1

2
0
0
1 
x2z1 x 2 1
      
所以y  z2 ，故 y k 1  2 ，其中kR.
     
      
z  z  z   1   0 
3.【答案】请参照详解
1 1 2 1
 
【解析】（1）(A,b) 0 2 1 3
 
 
0 0 21 5
 ①当2且
1
2
   时，r(A)r(A,b)3，所以方程组有唯一解；
②当
1
2
  
 3 
1  2 1
 
2
 
时，(A,b)  5 1 ，此时
0  3
 2 2 
 
0 0 0 5
r ( A )  2 ， r ( A , b )  3 ，所以方程组
无解；
③当 2   时， ( A , b ) 
 1
0
0
1
0
0

1
0
2 1
1
0


 1
0
0
1
0
0
0
1
0
3
1
0

，所以
 x
x
x
1
2
3




x
x
2
2
 3
1
，故方程
组的通解为 x  k
 
1
0
1 

 3
0
1

，其中kR.
（2） ( , ) 1
1
1
1
1
1
1
2
1
0
0
1
0
1
(
1
2 ) ( 1 ) (1 )
2
(1
2
) 2
  
     
     
A b 
 



 

 



当 1   且 2    时， r ( A )  r ( A , b )  3 ，所以方程组有唯一解；
1 1 2 4 
 
当2时，(A,b) 0 3 3 6 ，由于
 
 
0 0 0 3 
r ( A )  2 ， r ( A , b )  3 ，所以方程组无
解；
当1时， ( A , b ) 
 1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0

，所以
 x
x
x
1
2
3



 x  x
2 3
x
2
x
3
 1
，所以
1 1 1
     
x k 1 k 0  0 ，其中k ,k R.
1  2    1 2
     
0 1 0
     
2 1 1 2 1 1 2 2 
   
（3）(A,b) 1 2 1   0 3 3 2 ，因为方程组有
   
  1 1 2 2    0 0 0 (2)(1)  
解，所以2或1.当 2    时， ( A , b ) 
 1
0
0
1

0
3

3
0
2

4
0
6


 1
0
0
0
1
0


0
1
1
2
2
0

，所以
 x
x
x
1
2
3



x
x
x
3
3
3


2
2 ，故
x  k
1
 1
1
1


 2
2
0

，其中k R.
1
当 1   时， ( A , b ) 
 1
0
0
1

0
3

3
0
2 1
0
0


 1
0
0
0
1
0


0
1
1
1
0
0

，所以
 x
x
x
1
2
3



x
x
x
3
3
3
 1
，故
x  k
2
 1
1
1


 1
0
0

，其中 k
2
 R .
4.【答案】（1）（I）：
1

 0
0
1
0

 ，
2

 
1
0
1
1 

（II）
3

 0
1
1
0

 ，
4

 

0
1
1
1


1
 
1
 
（2）x k ，其中kR
 2 
 
 1 
【解析】（1）求方程组（I）的基础解系：系数矩阵为
0 1
   
1 1 0 0 1 0 0 1 0 1
   
 


，其基础解系可取：  ， 
0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 2  0 
   
0  1 
1 1 1 0 1 0 0 1
求方程组（II）的基础解系：系数矩阵为    ，故可取其
0 1 1 1 0 1 1 1基础解系为：
3

 0
1
1
0

 ，
4

 

0
1
1
1


（2）设 x  ( x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) T 为（I），（II）的公共解，下面用两种方法求 x ：
方法一： x 是（I）与（II）的公共解  x 是方程组（Ⅲ）的解，这里方程组（Ⅲ）为
（I）与（II）合起来的方程组，即
x x 0,
1 2

x x 0,
2 4 （Ⅲ）: ，其系数矩阵
x x x 0,
 1 2 3
x x x 0

2 3 4
 1
0
1
0
1
1

1
1
0
0
1
 1
0

0
1
1


 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1


0
1
2

取其基础解系为(1,1,2,1)T，故（I）与（II）的非零公共解为 x  k
 
1
2
1
1 
，其中kR.
方法二：用（I）的通解 (  k
1
, k
1
, k
2
, k
1
) T 代入（II）得：
 
k
k
1
1


k
k
2
1


k
k
1
2


0
0
 k
2
 2 k
1
由此可说明，（I）的解中形如 (  k
1
, k
1
, 2 k
1
, k
1
) T 的解同时也是（II）的解，故也为（I）与
（II）的非零公共解，即 x  k
 
1
2
1
1 
，其中 k  R .4-2 基础真题
1.【答案】为不等于 1 的任意常数
【解析】方程组的系数行列式为
 1 1 1 0 0
D 1  1  0 1 0
12
.
1 1 1 1 1 1
由于该齐次方程组只有零解  D  0 , 故得 1 .  
2.【答案】 a
1
 a
2
 a
3
 a
4
 0
【解析】对方程组的增广矩阵A(A b) 作初等行变换：
1 1 0 0 a  1 1 0 0 a 
1 1
   
0 1 1 0 a 0 1 1 0 a
A  2    2 
0 0 1 1 a  0 0 1 1 a 
3 3
   
1 0 0 1 a 0 1 0 1 a a
   
4 1 4
.
1 1 0 0 a  1 1 0 0 a 
1 1
   
0 1 1 0 a 0 1 1 0 a
  2    2 
0 0 1 1 a  0 0 1 1 a 
3 3
   
0 0 1 1 a a a 0 0 0 0 a a a a
   
1 2 4 1 2 3 4
可见 r ( A )  3 . 由原方程有解，有 r ( A )  r ( A )  3 ，故a a a a 0.
1 2 3 4
3.【答案】当 a  1 时，方程组有唯一解；当 a  1 ， b   1 时，方程组无解；
当 a  1 ，b1时，方程组有无穷多解，其通解为 k
1


1
1
0
2

 k
2


1
0
1
2


 
1
0
0
1 
，其中 k
1
, k
2
为任意常数
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换，得B 

( A
r3r4 

r2r
 2
b )


1
0
0
0
 1
0
0
3
1
1
0
0
1
1

2
a
1
1
2

0
1
a
1
2

1
a
3
1
2
0
 1

1
2
a
2
b
0
1

0
0
1
b

1
1


 r4  3 r1 
 1
0
0
0
1
1


1
1
a

1
2

2
3
a

1
2

2
3
0
1
b
 1

①当 a  1 时， r ( A )  r ( B )  4 （未知量的个数），故方程组有唯一解.
②当 a  1 时，由（*）有 B 
 1
0
0
0
1
1
0
0
1
2
0
0
1
2
0
0
b
0
1

0
1

.
当 b   1 时，r(A)2r(B)3，无解；
当 b   1 时，r(A)r(B)24（未知量的个数），故方程组有无穷多解，易求得
x x x x 0,
1 2 3 4
原方程组的同解方程组为
x 2x 2x 1,

2 3 4
x   1   1  1
1
       
x 2 2 1
解得通解为
 2
k
 
k
 

 
，其中k ,k 为任意常数.
x  1 1  2 0   0  1 2
3
       
 x   0   1   0 
4
4.【答案】（1）1；（2）请参照解析
1 2 2
 
【解析】（1）由题设，齐次线性方程组AX O，其中A 2 1  .
 
 
3 1 1
 
设 B  (
1
,
2
,
3
)    ，则,,是
1 2 3
A X  O 的解向量，又因 B  O ，则由
1
,
2
,
3
  不全为零向量，可知AX O必有非零解，故 A 0，从而由
1 2 2
A  2 1  5(1)0，可得
3 1 1
1   .
（2）证明：由ABO，可得r(A)r(B)3. 根据（1）问，r(A)2，故r(B)1.又因BO，则r(B)1. 综上，故 r ( B )  1 ，因此 B  0 .
5.【答案】当 k   1 且 k  4 时，方程组有唯一解

k
k
2
2
1

1

1


2

2

2
k
k
k
k
k
k
 4

；
当
k   1
时，方程组无解；
0 3
   
当k 4时，方程组有无穷多解，其通解为 4 C 1 ，其中
   
   
0 1
   
C 为任意常数
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换
B 

( A
 1
0
0
b ) 
k

1
2

1

1
1
1
k
k
1
k

k


1
2
1
k
1
2
k 2
4
k

4
8

2
4
4






1
0
0
1
0
0
k

1
2
0
1

2
1
( k
k
2

k
 1
 k
k
k 
1 ) (
2
2
4  k )
k 2

4

8
4
k

( k
4
8
 4 )
 （**）
①当 k   1 且 k  4 时，有 r ( A )  r ( B )  3 ，故原方程组有唯一解，按如下方法求出；
B 
 1
0
0
1
1
0
k
k

2
1
2

1
4
4
2

k
k



1
0
0
0
1
0
0
0
1
k
k
2
2
1

1

1


2

2

2
k
k
k
k
k
k
 4

k2 2k k2 2k4 2k
即x  ,x  ,x  ；
1 1k 2 1k 3 1k
②当 k   1 时，r(A)2r(B)3，方程组无解；
③当k 4时，由（**）式，有
1 1 4 4 1 1 4 4 1 0 3 0
     
B 0 2 2 8  0 1 1 4  0 1 1 4
     
     
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
     知r(A)r(B)23（未知量个数），故原方程组有无穷多解. 此时，得同解方程组
x 3x ,
1 3

x x 4.

2 3
 3C  0 3
     
令x C，得原方程组的全部解为x 4C  4 C 1 ，其中C为任意常数.
3      
     
C 0 1
     
6.【答案】（1）请参照解析；（2）
 
1
1
1 
 C


2
0
2

， C 为任意常数
【解析】（1）方程组（*）的增广矩阵的行列式为
B  A b 
1
1
1
1
a
a
a
a
1
2
3
4
a
a
a
a
21222324 a
a
a
a
31323334
 ( a
4
 a
3
) ( a
4
 a
2
) ( a
4
 a
1
) ( a
3
 a
2
) ( a
3
 a
1
) ( a
2
 a
1
)
（范德蒙德行列式）
由 a
1
, a
2
, a
3
, a
4
两两不相等，知 B  0 即 r ( B )  4 ，而系数矩阵A的秩 r ( A )  3 ，故
r ( B )  r ( A ) 即方程组（*）无解.
（2）当 a
1
 a
3
 k , a
2
 a
4
  k ( k  0 ) 时方程组（*）为
 x kx k2x k3
1 2 3

x kx k2x k3
 1 2 3 ，即
x kx k2x k3

1 2 3
x kx k2x k3

1 2 3

x
x
1
1


k
k
x
x
2
2


k
k
2
2
x
x
3
3



k
k
3
3 .
因为
1
1 
k
k
  2 k  0 ，故 r ( B )  r ( A )  2 ，方程组（*）有解，且其对应的其次方
程组的基础解析应含有321个解向量，且可求得

2

1

 1
1
 1


 
1
1
1 



2
0
2

 0    .于是方程组（*）的通解为 x 
1
 C 
 
1
1
1 
 C


2
0
2

  （ C 为任意常数）.
7.【答案】B
【解析】由于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为2，故方程组有无穷多解，即公共解
构成一条直线，故知选（B）.
8.【答案】 k
 1
2
1




0
0
1
2

【解析】由题设得 A 
 1
2
1


1 ,
1
2
, 0



1
2
1
1
2
1
1
2
0
0
0

， B 

1 ,
1
2
, 0

 1
2
1

 2
又A2 TT (T)T 2A，A4 8A，代入原方程，得
16Ax 8Ax16x+
即8(A2E)x （其中E 是 3 阶单位矩阵）.
令 x  ( x
1
, x
2
, x
3
) T ，代入上式，得到非齐次线性方程组


2
x
x
x
1
1
1



1
2
1
2
x
2
x
x
2


2

0
2
0
,
x
,
3
 1 ,
解其对应的齐次方程组，得通解  k
 1
2
1

 ，其中 k  R . 显然，非齐次线性方程组的一个
 
0
 
 0 
1  
 
0    
特解为 ，于是所求方程的解为x . 即 x k  2    0  ，其中
 1  
   1   
1
 2  
 
 2
k  R .9.【答案】C
【解析】由题设条件： A B  O ，且 B  O 知方程组 A x  0 存在非零解，于是 A 0，
即 1
1
1
1
1
2
0
 


 ，解得 1   . 于是 A 
 1
1
1
1
1
1
1
1
1

，由 A B  O 知 B T A T  O .
故方程组 B T x  0 存在非零解，于是 B  B T  0 ，故答案选（C）.
10.【答案】  2
【解析】利用增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，且使其秩小于 3 的方法确定 a 的值.
 a
1
1
1
a
1
1
1
a 
1
1
2



a
a
1
 2 a
1
a
 2 a
1
1
 2
1
1
0

故当 a   2 时，增广矩阵的秩与系数矩阵的秩都等于2，从而原方程有无穷多解.
11.【答案】B
【解析】由 A *  O 以及 r ( A * ) 
 0
1
n
, r
, r
, r
( A
( A
( A
)
)
)



n
n
n


,
1
1
,
, ，知 r ( A )  n 或n1，又
1
,
2
,
3
,
4
   
是 A x  b 的互不相等的解，即解不唯一，从而 r ( A )  n  1 ，故基础解系仅含一个解向
量，答案选（B）.
12.【答案】C
【解析】由于4r(A)1，则 A X  0 的基础解系由一个解向量组成，故由
A[2( )]0
1 2 3
2 0 2
     
4 1 3
     
可知AX 0的基础解系为2 ( )   . 又因
1 2 3 6 2 4
     
8 3 5
A
1
 b  ，则
2 1
   
3 2
   
AX b的通解为X c  ，即选项（C）为正确选项.
4 3
   
5 413.【答案】 s t1  (  1 ) s  1 t s2  0
【解析】由于(i1,2, ,s)为,, ,的线性组合，所以(i1,2, ,s)均为
i 1 2 s i
A x  0 的解.
设 k
1 1
 k
2 2
  k
s s
 0    ，即
( t1 k
1
 t
2
k
s
)
1
 ( t
2
k
1
 t1 k
2
)
2
  ( t
2
k
s  1
 t1 k
s
)
s
 0    .
由于
1
,
2
, ,
s
  线性无关，因此有
 t k
1
t k
2
t k
2
1
1
s


 1
t
2
t1

k
s
k
2
t k
1


s
0
0

,
,
0 .
则其系数行列式
t1
t
2
0
0
0
t1
t
2
0
0
0
t1
0
0
0
0
t
2
t
2
0
0
t1
 s t1  (  1 ) s  1 t s2
所以当 s t1  (  1 ) s  1 t s2  0 ，即当 s 为偶数， t1   t
2
， s 为奇数， t1   t
2
时，方程组①只有
零解，即k k  k 0，从而,, , 线性无关，此时,, , 也为
1 2 s 1 2 s 1 2 s
A x  0 的一个基础解系.
14.【答案】 t   1
【解析】设有常数 k
1
, k
2
, k
3
, k
4
，使得
k
1 1
 k
2 2
 k
3 3
 k
4 4
 0 ,    
即 ( k
1
 t k
4
)
1
+ ( k
2
 t k
1
)
2
+ ( k
3
 t k
2
)
3
+ ( k
4
 t k
3
)
4
 0    
因为
1
,
2
,
3
,
4
    是方程组Ax0的一个基础解系，从而线性无关，故必有
 k
k
k
k
1
2
3
4




t k
t k
t k
t k
4
1
2
3



= 0
0
0
0
,
,
,
,即
 1
t
0
0
0
1
t
0
0
0
1
t
t
0
0
1
  k
k
k
k
1
2
3
4

 0
当且仅当
1
t
0
0
0
1
t
0
0
0
1
t
t
0
0
1
 1  t 4  0 时，即 t   1 时，
1
,
2
,
3
,
4
    线性无关.
由于
1
,
2
,
3
,
4
   都是基础解系
1
,
2
,
3
,
4
    的线性组合，从而它们也都是方程组
A x  0 的解，并且正好是4个向量，所以当 t   1 时，
1
,
2
,
3
,
4
    为方程组 A x  0 的
基础解系.
15.【答案】当 k  9 时， x  c
1
( 1 , 2 , 3 )   c
2
( 3 , 6 , k )  ；
当k 9时，若 r ( A )  2 ，通解为 x  c
3
( 1 , 2 , 3 )  ；
若r(A)1，通解为x c (b,a,0) c (c,0,a).
4 5
【解析】因为矩阵A的第一行元素 a ， b ， c 不全为零，所以A的秩 r ( A )  1 ；又因为
A B  O ，所以 r ( A )  r ( B )  3 ，且矩阵 B 的列向量
1
 ( 1 , 2 , 3 )   与
2
 ( 3 , 6 , k )   都是
齐次线性方程组Ax0的解，因而：
当k 9时，
1
与
2
 线性无关，即 r ( B )  2 ，从而 r ( A )  1 . 此时Ax0的通解为
x  c
1 1
 c
2 2
 ，其中 c
1
， c
2
为任意常数；
当k 9时，r(B)1，矩阵 A 的秩有两种可能：r(A)1或 r ( A )  2 .
以下分别进行讨论：
若 r ( A )  2 ，方程组 A x  0 的基础解系只包含一个解向量，即为
1
 ( 1 , 2 , 3 )   ，所以通
解为xc，其中c 为任意常数.
3 1 3
若r(A)1，方程组 A x  0 的基础解系应包含两个线性无关的解向量. 此时方程组
A x  0 与 a x
1
 b x
2
 c x
3
 0 同解. 因为 a ，b，c不全为零，不妨设a0，得两个线性
无关的解：
1
 (  b , a , 0 )   ，
2
 (  c , 0 , a )   ，于是，方程组Ax0的通解为
xcc，其中c ，c 为任意常数.
4 1 5 2 4 5综上，齐次方程组 A x  0 的通解为（以下 c
1
， c
2
， c
3
， c
4
， c
5
均为任意常数）：
当k 9时，x c (1,2,3) c (3,6,k)；
1 2
当k 9时，若 r ( A )  2 ，通解为 x  c
3
( 1 , 2 , 3 )  ；
若 r ( A )  1 ，通解为 x  c
4
(  b , a , 0 )   c
5
(  c , 0 , a )  .
16.【答案】B
【解析】由于 A

1

2
2


1
2
( A
1
 A
2
) 
1
2
( b  b )  b
 
  ，故
1
2
(
1

2
)   是AX b的
一个特解. 同理可验证 A

1

2
2

 0
 
， 1

2
2
 
不是AX b的特解，由于非齐次线性
方程组 A X  b 的通解等于 A X  b 的任一特解与 A X  0 的通解之和，故排除（A）和
（C）. 由于
1
，
2
 是对应齐次线性方程组 A X  0 的基础解系，故
1
与均为
1 2
A X  0 的解且二者线性无关，可作为 A X  0 的通解，故知（B）正确. （D）选项无法
说明是否与
1 1

2
  线性无关，故不可选.
17.【答案】 k ( 1 , 1 ,   , 1 ) T ， k 为任意常数．
【解析】因为AX 0的基础解系包含向量个数为 n  r ( A )  n  ( n  1 )  1 ，故AX 0
的任一非零解都可作为它的基础解系. 由已知，  ( 1 , 1 , , 1 )   是AX 0的一个非零解，
从而可作为AX 0的基础解系，故得通解为 x  k ( 1 , 1 , , 1 )  .
18.【答案】请参照解析
【解析】由于
1
,
2
,
3
  都是 A x  0 的解，故
1

2
,
2

3
,
3

1
     也都是 A x  0 的解.
再者，若存在数 k
1
, k
2
, k
3
使 k
1
(
1

2
)  k
2
(
2

3
)  k
3
(
3

1
)  0       则有
(k k )(k k ) (k k ) 0
1 3 1 1 2 2 2 3 3
由于
1
,
2
,
3
  线性无关，故得
 k
k
k
1
1
2



k
k
k
3
2
3



0
0
0
1 0 1
，其系数行列式 1 1 0 20，故有唯一
0 1 1
解 k
1
 k
2
 k
3
 0 从而, , 线性无关. 由题设，Ax0的基础解系含
1 2 2 3 3 1
有三个向量，故, , 也是Ax0的基础解系.
1 2 2 3 3 119.【答案】
 0
3
0
1

 k


1
1
0
2

，其中 k 为任意常数
x 
1
 
x
【解析】方法一：令x   2 ，则由
x 
3
 
x
 
4
A x  (
1
,
2
,
3
,
4
)
 x
x
x
x
1
2
3
4

     ，得
x
1 1
 x
2 2
 x
3 3
 x
4 4

1

2

3

4
       ，
将 2 代入上式，整理后得
1 2 3
( 2 x
1
 x
2
 3 )
2
 (  x
1
 x
3
)
3
 ( x
4
 1 )
4
 0    .
由
2
,
3
,
4
  线性无关，知
 2

x
x
x
4
1
1



1
x
x

2
3


0 .
3
0

,
0 ,
，解此方程组得 x 
 0
3
0
1

 k


1
1
0
2

，其中 k 为
任意常数.
方法二：由于
2
,
3
,
4
  线性无关，
1
 2
2

3
  ，则 r ( A )  r (
1
,
2
,
3
,
4
)  3     ，故
A x  0 的基础解系中只有1个解向量，而 (
1
,
2
,
3
,
4
)


1
1
0
2


1
 2
2

3
 0        ，所以
(1 ,  2 , 1 , 0 )  是 A x  0
1
 
1
  的一个基础解系，而(,,,)     ，
1 2 3 4 1 1 2 3 4
 
1
所以 (1 , 1 , 1 , 1 )  是Ax 的通解是(1,1,1,1) k(1,2,1,0)，其中k是任意常数.
0
 
0
  20.【答案】（1）  ，
1 1
 
0
2

 
1
0
1
1 
 ；（2）有非零公共解k(1,1,1,1)T，kR
1 1 0 0 1 0 0 1
【解析】（1）系数矩阵为    ，其基础解系可取：
0 1 0 1 0 1 0 11

 0
0
1
0

 ，
2

 
1
0
1
1 

（2）有非零公共解. （II）的通解可以表示为
( x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) T  (  k
2
, k
1
 2 k
2
, k
1
 2 k
2
, k
2
) T ，将其代入（I）可得
 
(
k
k
1
2


2
( k
k
1
2

) 
2
k
k
2
2
)


0
0
，解得 k
1
  k
2
.
当 k
1
  k
2
 0 时，（II）的通解可化为：
k
1
( 0 , 1 , 1 , 0 ) T  k
2
(  1 , 2 , 2 , 1 ) T  k
2
[ ( 0 ,  1 ,  1 , 0 ) T  (  1 , 2 , 2 , 1 ) T ]  k
2
(  1 , 1 , 1 , 1 ) T
故方程组（I）和（II）的所有非零公共解是 k (  1 , 1 , 1 , 1 ) T （k是不为零的任意常数）.
21.【答案】 a  2 , b  1 , c  2
【解析】方程 ( i i ) 的未知数个数大于方程的个数，故方程组 ( i i ) 有无穷多解. 因为 ( i ) 和
( i i ) 同解，故方程组 ( i ) 的系数矩阵的秩小于 3 .
对方程组 ( i ) 的系数矩阵作初等行变换：
 1
2
1
2
3
1
3
5
a


 1
0
0
0
1
0 a
1
1
 2

，故 a  2 .
此时，方程组 ( i )
1 2 3 1 0 1
   
的系数化为 2 3 5  0 1 1 ，可以看出
   
   
1 1 2 0 0 0
   
(  1 ,  1 , 1 ) T 是方程组
(i)的一个基础解系.
将 x
1
 1 ， x
2
  1 ， x
3
 1 代入方程组 ( i i ) 可得 b  1 , c  2 或b0,c 1.
当b1,c 2时，对方程组 ( i i )
1 1 2 1 0 1
的系数矩阵作初等行变换，有：    
2 1 3 0 1 1
此时有 ( i ) 和 ( i i ) 同解，满足题意；
当b0,c 1时，对方程组(ii)的系数矩阵作初等行变换，有：
1 0 1 1 0 1
 


，此时有(i)和(ii)的基础解系不同，不满足题意；
2 0 2 0 0 0
综上所述，当a 2,b1,c2时，方程组(i)和(ii)同解.4-3 拓展拔高
1.【答案】D
r(A)m r(A)r(A,b)m
【解析】 （即行满秩），则 ，方程组一定有解. 故答案选
（D）.
2.【答案】 x  k (  1 , 2 , 1 , 0 ) T  ( 3 ,  8 , 0 , 6 ) T ，（ k 为任意常数）
【解析】对增广矩阵作初等行变换：
2 1 4 3 4 1 0 1 0 3 
   
1 0 1 1 3 0 1 2 0 8
   
(A,b) 
3 1 1 0 1  0 0 0 1 6 
   
7 0 7 3 3  0 0 0 0 0 
取 x
3
为自由变量，则基础解系为  (  1 , 2 , 1 , 0 ) T  ，
令x 0，求一个非齐次特解
3
 ( 3 ,  8 , 0 , 6 ) T  ，通解为
x  k (  1 , 2 , 1 , 0 ) T  ( 3 ,  8 , 0 , 6 ) T ，（k为任意常数）.
3.【答案】 x  k
1
( 0 , 1 , 2 , 0 , 0 ) T  k
2
( 0 ,  1 , 0 , 2 , 0 ) T  k
3
( 2 , 5 , 0 , 0 , 6 ) T 
 2
3
,
1
6
, 0 , 0 , 0

T
，
（ k
1
, k
2
, k
3
为任意常数）.
【解析】对增广矩阵作初等行变换：
( A , b ) 
 2
1
4
2



2
1
1
2
0
4
1

5
7
1

1


1
5
7

1
1
2
7
1
1
1
1
 1


 1
0
0
0
2
6
0
0


0
0
1
3
1
3
0
0


0
0
2
5
1
1
0
0

，
取 x
3
, x
4
, x
5
为自由变量，则基础解系为
 (0,1,2,0,0)T, (0,1,0,2,0)T, (2,5,0,0,6)T，
1 2 3
T
2 1 
令x x x 0，求一个非齐次特解  , ,0,0,0  ，通解为
3 4 5 3 6 
x  k
1
( 0 , 1 , 2 , 0 , 0 ) T  k
2
( 0 ,  1 , 0 , 2 , 0 ) T  k
3
( 2 , 5 , 0 , 0 , 6 ) T 
 2
3
,
1
6
, 0 , 0 , 0

T
，
（k ,k ,k 为任意常数）.
1 2 34.【答案】当 a  1 , b 任意时，方程组无解；
当a 1,b 1时，唯一解为x (3,1,0)T；
当a 1,b1时，通解为 x  k (  1 , 1 , 1 ) T  ( 3 , 1 , 0 ) T ，（ k 为任意常数）.
【解析】对增广矩阵作初等行变换：
( A , b ) 
 1

2

1
1

4

2
3
1
b
4

3

5
2
0
a
5
 1


 1
0
0
0

1
0
0
3
b
4


0
1
1
a
0
1
0
 1

当 a  1 , b 任意时， r ( A )  r ( A , b ) ，方程组无解；
当a 1,b 1时，r(A)r(A,b)3，方程组有唯一解；
( A , b ) 
 1
0
0
0

1
0
0
3 4

1
0
1
0
1
0
0

，则唯一解为 x  ( 3 , 1 , 0 ) T .
当a 1,b1时， r ( A )  r ( A , b )  2  3 ，方程组有无穷多解；
( A , b ) 
 1
0
0
0
0
1
0
0
1

0
0
1
3
1
0
0

，取 x
3
为自由变量，则基础解系为  (  1 , 1 , 0 ) T  ，
令 x
3
 0 ，求一个非齐次特解  ( 3 , 1 , 0 ) T  ，通解为 x  k (  1 , 1 , 1 ) T  ( 3 , 1 , 0 ) T ，（k为任
意常数）.
5.【答案】（1）1，a2；（2）通解为 x  k
 1
0
1




3
2
0
1
2

， k 为任意常数．
【解析】（1）对增广矩阵进行初等行变换，得
 1 1 a 1 1  1 
   
(A b) 0 1 0 1  0 1 0 1 .
   
 1 1  1   0 0 12 a1 
   
当1时，r(A)1，r(A,b)2，方程组无解；当 1    且 a   2 时， r ( A )  r ( A , b )  2  3 ，方程组有无穷多解，满足 A x  b 存在两
个不同的解的条件．
（2）当1，a2时，增广矩阵经初等变换得
( A , b ) 
 1
0
0

1
0
2

0
0
1 1
1
0



1
0
0
0
1
0

0
0
1

3
2
0
1
2

，
通解为 x  k
 1
0
1




3
2
0
1
2

， k 为任意常数．
6.【答案】（1）略；
（2） a  2 , b   3 ，通解为 x  k
1
 
1
1
0
2 
 k
2
 4

0
1
5


 2

0
0
3

，k ,k 为任意常数．
1 2
【解析】（1）设,,是方程组的
1 2 3
3 个线性无关的解，则
2

1
,
3

1
   是对应的齐次
方程组 A x  0 的两个线性无关的解．故基础解系中解的个数至少为2，得 4  r ( A )  2 ，
即r(A)2．又因为矩阵 A 中有一个 2
1 1
阶子式 0，所以r(A)2，故r(A)2.
3 5
（2）对方程组的增广矩阵作初等行变换
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
   
(A,b) 4 3 5 1 1  0 1 1 5 3 .
   
   
a 1 3 b 1 0 0 42a 4ab5 42a
   
由于 r ( A )  2
42a0,
，得 解得
4ab50,
a  2 , b   3 ．
当a 2,b3时，作初等行变换
 1 0 2 4 2 
 
(A,b) 0 1 1 5 3 ，所以方程组的通解为
 
 
0 0 0 0 0
 x  k
1
 
1
1
0
2 
 k
2
 4

0
1
5


 2

0
0
3

， k
1
, k
2
为任意常数.
7.【答案】 a  1
2 2 1
     
，通解为x k 1 k 0  0 ，
1  2   
     
0 1 0
     
k
1
, k
2
为任意常数．
【解析】非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是 r ( A )  r ( A , b )  3 ，故 A  0 ．
A 

2
2

2


2
0
2
a
a
5
9
2


4

0
4
a
a
5
1






2
4
2
4
a
a

 (
2
a

2
0

a
1 ) 2
5
1
(1
2


0
a
a
 a )


1 

2
4
0
a
得 a  1 , a  1 0 ．
当 a  1 0 时，对增广矩阵 ( A , b ) 作初等行变换
( A , b ) 
 

2
8
2


2
5
4



2
4
5 1
1
2
1


 2
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1

，
r ( A )  r ( A , b ) ，方程组无解，故 a  1 0 不合题意，舍去．
当a1时，对增广矩阵 ( A , b ) 作初等行变换
( A , b ) 


1
2
2 
2
4
4


4
2
4

1
2
2


 1
0
0
2
0
0

0
0
2 1
0
0

，
r(A)r(A,b)13，方程组有无穷多解，通解为：
2 2 1
     
x k 1 k 0  0 ，k ,k 为任意常数．
1  2    1 2
     
0 1 0
     
 1  0
   
8.【答案】当a任意，b0时，通解为：x k

a



1

，k为任意常数；
   
0 0
   当a 0， b  4 时，通解为： x  k
 1
0
0




0
4
3
1
3

，k为任意常数；
当a 0， b  0 且 b   2 时， x 
 
a (

b
b
b
b
2



2

b
2
4
2
2
)

．
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换：
a b1 2 1  a b1 2 1 
   
(A,b) a 2b1 3 1  0 b 1 0
   
   
a b1 b4 2b1 0 0 b2 2b
   
当a任意， b  0 时， ( A , b ) 
 a
0
0
1
0
0
2
1
2
1
0
0


 a
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0

，
r ( A )  r ( A , b )  2  3 ，方程组有无穷多解，通解为： x  k


1
0
a


 0
1
0

， k 为任意常
数；
当a 0， b  4
 1
0 1 0 
a 5 2 1  3 
   
时，(A,b)  0 4 1 0   0 0 1 4 
 0 0 6 8   3 
 
 
0 0 0 0 
r ( A )  r ( A , b )  2  3 ，方程组有无穷多解，通解为： x  k
 1
0
0




0
4
3
1
3

， k 为任意常
数；
当a 0，b0且b2时，( A , b ) 
 a
0
0
b 
b
0
1
b
2
1
 2
1
0
2 b



1
0
0
0
1
0
0
0
1

a (

b
b
b
b
2



2

b
2
4
2
2
)

，
r ( A )  r ( A , b )  3
 b4 
 
a(b2)
 
 2 
，方程组有唯一解，x   ．
 
b2
 
2b
 
 
b2
 
9.【答案】
（1）a,b,c互不相等；
（2）当 a  b 时， x  k (  1 , 1 , 0 ) T ，（ k 为任意常数）；
当 a  c 时， x  k (  1 , 0 , 1 ) T ，（ k 为任意常数）；
当 b  c 时， x  k ( 0 ,  1 , 1 ) T ，（ k 为任意常数）；
当 a  b  c 时，x k (1,1,0)T k (1,0,1)T，（
1 2
k
1
, k
2
为任意常数）.
【解析】（1）系数行列式是3阶范德蒙行列式，有
A 
1
a
a 2
1
b
b 2
1
c
c 2
 ( b  a ) ( c  a ) ( c  b ) ，
由克拉默法则，当 A  0 ，即 a , b , c 互不相等时，方程组仅有零解；
（2）当ab时， A 
 1
a
a 2
1
a
a 2
1
c
c 2


 1
0
0
1
0
0
0
1
0

，基础解系为  (  1 , 1 , 0 ) T  ，
此时通解为 k
1
(  1 , 1 , 0 ) T ，k 为任意常数；
1
 1 1 1  1 0 1
   
当ac时，A a b a  0 1 0 ，基础解系为
   
 a2 b2 a2  0 0 0 
   
 (  1 , 0 , 1 ) T  ，
此时通解为k (1,0,1)T，k 为任意常数；
2 2当 b  c 时， A 
 1
a
a 2
1
b
b 2
1
b
b 2


 0
1
0
1
0
0
1
0
0

，基础解系为  ( 0 ,  1 , 1 ) T  ，
此时通解为 k
3
( 0 ,  1 , 1 ) T ， k
3
为任意常数；
当 a  b  c 时， A 
 1
a
a 2
1
a
a 2
1
a
a 2


 1
0
0
1
0
0
1
0
0

，基础解系为
1
 (  1 , 1 , 0 ) T ,
2
 (  1 , 0 , 1 ) T   ，
x k (1,1,0)T k (1,0,1)T k ,k
此时通解为 4 5 ， 4 5为任意常数.
10.【答案】
（1） a  1 , b  3 ；
（2）
1
 ( 1 ,  2 , 1 , 0 , 0 ) T ,
2
 ( 1 ,  2 , 0 , 1 , 0 ) T ,
3
 ( 5 ,  6 , 0 , 0 , 1 ) T    ；
（3）x k (1,2,1,0,0)T k (1,2,0,1,0)T k (5,6,0,0,1)T (2,3,0,0,0)T，
1 2 3
（ k
1
, k
2
, k
3
为任意常数）
【解析】对增广矩阵作初等行变换：
1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a 
   
3 2 1 1 3 0 0 1 2 2 6 3a
   
(A,b)  ，
0 1 2 2 6 b 0 0 0 0 0 b3a
   
5 4 3 3 1 2 0 0 0 0 0 22a
（1）当 a  1 , b  3 时，r(A)r(A,b)，方程组有解；
（2） ( A , b ) 
 1
0
0
0
0
1
0
0

2
0
0
1 
2
0
0
1 
6
0
0
5 
3
0
0
2 
，取 x
3
, x
4
, x
5
为自由变量，
则基础解系为 (1,2,1,0,0)T, (1,2,0,1,0)T, (5,6,0,0,1)T.
1 2 3
（3）令 x
3
 x
4
 x
5
 0 ，求一个非齐次特解  (  2 , 3 , 0 , 0 , 0 ) T  ，通解为
x  k
1
( 1 ,  2 , 1 , 0 , 0 ) T  k
2
( 1 ,  2 , 0 , 1 , 0 ) T  k
3
( 5 ,  6 , 0 , 0 , 1 ) T  (  2 , 3 , 0 , 0 , 0 ) T ，（k ,k ,k 为
1 2 3
任意常数）.11.【答案】请参照解析
【解析】方法一：由
1
,
2
, ,
m
   线性无关  ,
1
,
2
, ,
m
   线性无关，
令k k ()k () k ( )0
0 1 1 2 2 m m
即 ( k
0
 k
1
  k
m
)  k
1 1
  k
m m
 0   
因为 ,
1
,
2
, ,
m
   线性无关，所以
k
0
 k
1
  k
m
 k
1
  k
m
 k
0
 k
1
  k
m
 0
所以 , 
1
, 
2
, , 
m
      线性无关
方法二：令 k
0
 k
1
( 
1
)  k
2
( 
2
)   k
m
( 
m
)  0       
(k k  k )k k 
0 1 m 1 1 m m
 ( k
0
 k
1
  k
m
)   k
1 1
  k
m m
 0    A A A
因为 A  0  ，所以 k
0
 k
1
  k
m
 0 ，所以
k
1 1
  k
m m
 0  k
0
 k
1
  k
m
 0  
故,,, , 线性无关
1 2 m
12.【答案】请参照解析
【解析】方法一：从定义式出发推导，设存在一组数 k
1
, k
2
k
s
, k 使得
k
1 1
 k
2 2
  k
s s
 k  0     （1）
因为是线性方程组
 a
a
a
1 1
2 1
s1
x
x
x
1
1
1



a
a
a
1 2
2 2
s 2
x
x
x
2
2
2






a
a
a
1 n
2 n
sn
x
x
x
n
n
n



0
0
0
的非零解，所以T(i1,2, ,s)，则有T (i1,2, ,s),于是在（1）式两端
i i
在左乘 T  ，得
kTk T  k T kT0
1 1 2 2 s s
从而有 k T  0   ，但 T  0  ，故k 0，进而得k  k 0，因此，向量组
1 s
,, ,,线性无关.
1 2 s方法二：若
1
,
2
, ,
s
,    线性相关，已知
1
,
2
, ,
s
  线性无关，则可以被
,, ,线性表示，记
1 2 s
 k
1 1
 k
2 2
  k
s s
   
于是，
( , )  k
1
( ,
1
)  k
2
( ,
2
)   k
s
( ,
s
)  0    
与  0  矛盾，所以向量组
1
,
2
, ,
s
,    线性无关.
13.【答案】D
【解析】因为通解中必有任意常数，显然（A）不正确，由nr(A)1知， A x  0 的基
础解系由一个非零向量构成，但
1
,
1

2
,
1

2
    中哪一个一定是非零向量呢？
已知条件只是说, 是两个不同的解，那么
1 2 1
可以是零解，因而k有可能不是通解，
1
如果
1
 
2
 0   ，虽然
1
,
2
  是两个不同的解，但
1

2
 0   ，即两个不同的解不能保证
 0，因此可以排除（B），（C）. 由于
1 2 1

2
  ，必有 0，可见（D）正确.
1 2
14.【答案】A
【解析】由Ax 的通解为
5
k (1 ,  1 , 2 , 0 ) T  ( 2 ,1 , 0 ,1 ) T 知，
5
 可由
1
,
2
,
3
,
4
    线性表示为
5
 ( k  2 )
1
 (  k  1 )
2
 2 k
3

4
    ，
即(k2) (k1) 2k   0，取k 0得
1 2 3 4 5
(
1
,
2
,
3
,
4
,
5
)
 2
1
0
1
 1

 0     
由 A x 
5
的通解为 k (1 ,  1 , 2 , 0 ) T  ( 2 ,1 , 0 ,1 ) T 知 k (1 ,  1 , 2 , 0 ) T 是 A x  0 的解，得
(
1
,
2
,
3
,
4
)
 1

2
0
1

 0     可得 (
1
,
2
,
3
,
4
,
5
)
 1

2
0
0
1

 0      ，所以(2,1,0,1,1)T,(1,1,2,0,0)T为
B x  0 的两个线性无关的解，又因为r(B)r(A)3，所以 B x  0 的通解为
k (2,1,0,1,1)T k (1,1,2,0,0)T，其中k ,k 为任意常数. （A）不能由通解表示，所以
1 2 1 2（A）不是解.
15.【答案】当ab,a(1n)b时，方程组只有零解；
当ab时，有无穷多个解，
x  k
1
(  1 , 1 , 0 , , 0 ) T  k
2
(  1 , 0 , 1 , , 0 ) T   k
n  1
(  1 , 0 , , 0 , 1 ) T ，其中 k
1
, k
2
, , k
n  1
为任意常数；
当a (1n)b时，有无穷多个解，方程组的通解为 k (1 , 1 , , 1 ) T ， k 为任意常数.
【解析】 D 
a
b
b
b
a
b
b
b
a
 [ a  ( n  1 ) b ] ( a  b ) n  1
当a b,a (1n)b时，方程组只有零解；
当ab时，求方程组的解等价于求方程 x
1
 x
2
  x
n
 0 的解，其通解为
x  k
1
(  1 , 1 , 0 , , 0 ) T  k
2
(  1 , 0 , 1 , , 0 ) T   k
n  1
(  1 , 0 , , 0 , 1 ) T ，其中 k
1
, k
2
, , k
n  1
为任意常数
令 A 
 a
b
b
b
a
b
b
b
a

，当a (1n)b时，r(A)n1，显然(1,1, ,1)T为方程组的一
个解，故方程组的通解为 k (1 , 1 , , 1 ) T ，k为任意常数.
16.【答案】D
【解析】因
1
,
2
是Ax0的基础解系，有nr(A)2，又 A 是 4 阶矩阵，故
r ( A )  2
 2 3  0
，于是（A），（C）均不正确，由A 0，A 0得， 1 2 3 4
1 2 
2
2
4
0
如,线性相关，不妨设 k ，则 (33k)， 2， k 与
3 4 3 4 1 4 2 4 3 4
r(,,,)2相矛盾，所以
1 2 3 4 3
,
4
  线性无关，故选（D）.
17.【答案】 (1 ,1 , 2 , 3 ) T
【解析】设Ax 有特解* (x ,x ,x ,x )T，则
1 2 3 4x 
1
 
x
A* ( 2 3,,,)  2
1 2 1 1 2 3 x 
 3
x 
4
( 2 3)x x x x
1 2 3 1 1 2 2 3 3 4
x (x x ) (x 2x ) (x 3x ) 
1 2 1 1 3 1 2 4 1 3
取 x
1
 x
2
 1 ， x
3
 2 x
1
 2 ， x
4
 3 x
1
 3 时等式恒成立，故 A x  有一个特解为
(1 ,1 , 2 , 3 ) T .
18.【答案】C
【解析】方程组解的判别，关键是讨论其秩，由已知，对任意 n 维列向量，有
A*0，故A*0的基础解系中有n个线性无关的解向量，即 n  r ( A * )  n ，故
r ( A * )  0 ，由r(A)与r(A*)的关系，知 r ( A )  n  1 ，所以Ax0的基础解系中有
k  n  r ( A )  n  ( n  1 )  1 个线性无关的解向量，故（C）正确.
19.【答案】 k
1
( 7 , 4 ,  1 , 6 ) T  k
2
(1 2 , 2 ,  1 4 , 0 ) T 
 1
2
,1 ,
3
2
, 2
 T
， k
1
, k
2
为任意常数
【解析】依题意设，找出Ax0的基础解析及 A x  b 的一个特解
由解的性质， A
1
 b
  1 1 3  T
 ，A b，故A  1 2  b，取*  ( ) ,1, ,2
2  2  2 1 2 2 2 
为 A x  b 的特解，又
A
A
A
η
η
(
[
[
1
2
1
3 (
( 2
 3
 (

1
3
(
2
)
2

 3

1

1

)
2
1
3
2 b , A
 2 (
)  (
)  2
2
) 
2
(
2
1
(
(
2


2
1

2
2


2
1
)
2
)

2
)
3
] 
(
)
3
) 

6
2

(
3 b
b 
 2
( 7 ,

2
,
6
4
A (
b
)
3
, 
2
2
 0
] 
1 , 6
)
3
3
,
5
)


b
T
(
3

1 2
5
,
)
1
b
2 ,



5
0
1
b
4 , 0 ) T
     
   
     
   
     
为 A x  0 的解，且线性无关，又r(A)n2，故,是
1 2
A x  0 的基础解系，故
A x  b 的通解为 k
1
( 7 , 4 ,  1 , 6 ) T  k
2
(1 2 , 2 ,  1 4 , 0 ) T 
 1
2
,1 ,
3
2
, 2
 T
，k ,k 为任意常数.
1 2
20.【答案】当 a   3 时Ax0的通解为
k (1,2,0,2)T k (1,1,1,3)T k (2,3,3,5)T，k ,k ,k 为任意常数
1 2 3 1 2 3
当a1或a4时，Ax0的通解为k
1
( 1 , 2 , 0 , 2 ) T  k
2
(  1 ,  1 , 1 , 4 ) T  k
3
( 1 ,  1 , 4 , 5 ) T ， k
1
, k
2
, k
3
为任意常数
【解析】由
1
,
2
,
3
,
4
    与 A x  0 的基础解系等价，知
1
,
2
,
3
,
4
    必是Ax0的解，
又 r ( A )  1 ，知 A x  0 的基础解系中有 n  r ( A )  4  1  3 个线性无关的解向量，故
r ( 1 , 2 , 3 , 4 )  3     ，其极大线性无关组是 A x  0 的基础解系，对 ( 1 , 2 , 3 , 4 )     作初等
行变换，有
(
1
,
2
,
3
,
4
) 
 1
2
0
2


1
a
1
1
1

a
5
1
2
a


3
5


 1
0
0
0

1
0
0
1
a
1


0
3
3
(1 
a
1
a
2


) (
4
a
a  4 )

   
当a3时，,, 是一个极大线性无关组，故Ax0的通解为
1 2 4
k
1
( 1 , 2 , 0 , 2 ) T  k
2
( 1 , 1 ,  1 , 3 ) T  k
3
( 2 ,  3 ,  3 ,  5 ) T ， k
1
, k
2
, k
3
为任意常数
当 a  1 时，,,是一个极大线性无关组，故
1 2 3
A x  0 的通解为
k
1
(1 , 2 , 0 , 2 ) T  k
2
(  1 ,  1 , 1 , 1 ) T  k
3
(1 ,  1 , 1 , 5 ) T ， k
1
, k
2
, k
3
为任意常数
当a4时，
1
,
2
,
3
  是一个极大线性无关组，故 A x  0 的通解为
k
1
( 1 , 2 , 0 , 2 ) T  k
2
(  1 ,  1 , 1 , 4 ) T  k
3
( 1 ,  1 , 4 , 5 ) T ， k
1
, k
2
, k
3
为任意常数
综上：当 a   3 时 A x  0 的通解为
k
1
( 1 , 2 , 0 , 2 ) T  k
2
( 1 , 1 ,  1 , 3 ) T  k
3
( 2 ,  3 ,  3 ,  5 ) T ， k
1
, k
2
, k
3
为任意常数
当 a  1 或 a  4 时， A x  0 的通解为
k
1
( 1 , 2 , 0 , 2 ) T  k
2
(  1 ,  1 , 1 , 4 ) T  k
3
( 1 ,  1 , 4 , 5 ) T ， k
1
, k
2
, k
3
为任意常数
21.【答案】 k
1
 0
1


2
1

 k
2
 0

0

2
1


 1
2

0
1

，其中k ,k 为任意常数
1 2
【解析】由2     3  2
1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4
 1  1 1
     
2 1 3
      可知  ,  ,  均为
1 1 2 1 3 1
     
 0  1 2
A x 
 0   0 
   
1 2
的解，故     ，     均为
1 2 2 2 3  0 
   
1 1A x  0 的解，由于
1
,
2
 线性无关，可知 r ( A )  2 ，又由于 A x  0 有两个线性无关的解
, 可知
1 2 2 3
A x  0 的基础解系中至少含有两个向量，也即4r(A)2，即
r ( A )  2 . 综上， r ( A )  2 ，则 A x  0 的基础解系中含有两个线性无关的解向量，故
1

2
,
2

3
   即为 A x  0 的基础解系，故Ax的通解为 k
1
 0
1


2
1

 k
2
 0

0

2
1


 1
2

0
1

其中
k
1
, k
2
为任意常数
22.【答案】D
【解析】判断两个方程组解的问题，可从两系数矩阵的秩判断.
显然方程组（II）的解都是方程组（I）的解. 由Ay e，知r(A)r([A,e])，于是
r ( A T )  r ( [ A , e ] T )  r
  Ae T
T
 
，于是方程组（I）与方程组（II）同解.
 1 0 0 1
23.【答案】（1）A （答案不唯一）
7 1 3 0 
（2） a  3 ，所有非零公共解为 k (1 , 4 , 1 , 1 ) T ， k 是任意非零常数.
【解析】（1）记 C = (
1
,
2
)   ，则有 A C = A (
1
,
2
) = O   ，得 C T A T = O ，即 A T 的列向
量（即 A 的行向量）是 C T x = 0 的解向量. 由 C T 
 10 1
3
21 10 
解得 C T x = 0 的基础
解系为
1
 ( 1 , 0 , 0 ,  1 ) T ,
2
 (  7 , 1 , 3 , 0 ) T   . 故 A 


1
7
01 03 0 1 
.
【注】此时矩阵 A 不唯一，不同的基础解系对应不同的矩阵.
（2）若 A x = 0 和Bx=0有非零公共解，则非零公共解既可由
1
,
2
  线性表示，也可由
1

2
  线性表示，设非零公共解为  x
1 1
 x
2 2
 x
3 1
 x
4 2
     ，于是
xx xx 0.
1 1 2 2 3 1 4 2
对 (
1
,
2
, 
1
, 
2
)     作初等行变换，(
1
,
2
, 
1
, 
2
) 


1121
 1000
010
3
0100
 1
 3
0
 2
24 1
1
 1
 2
1
 a


38
a

1
 1


1000


010
1000
3
0100

2
12
1
210 1

 1
 1
3
a 

1
32
a

1
 3

   

 1000 0100 0010

12
a
1
 3

当 a  3 ，方程组有非零解 k (  1 , 1 ,  2 , 1 ) T （ k 是任意非零常数），此时 A x = 0 和
Bx=0的非零公共解为  k ( 
1

2
)  k (  1 ,  4 ,  1 ,  1 ) T  k
1
( 1 , 4 , 1 , 1 )    T
其中 k
1
是任意非零常数.
或  k (  2
1

2
)  k ( 1 , 4 , 1 , 1 ) T    ，其中 k 是任意非零常数.