(289)--周周清第六周（4.14-4.20）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 4.14-4.20 -by 可爱因子小橘子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设 ，则 4 e 4 = e +1 d = . 2.（数一二三）设 并设 在 处可导，则常数 2 1 sin +cos , <0; ， = =0 ln 1+ + + , ≥ 0. =________ =_________. 3.（数一二三）设 是 阶矩阵， 是 的转置矩阵 的伴随矩阵， 是 阶单位矩阵， ， 都是 阶对角矩阵，在下列运T 算中： ∗ , 1 2 ， ∗ ∗ m t t m ，= , 1 ，2 = 2 1, = T T 交换律肯定成立 的 共=有 I = I + − = − + 个 个 个 个 2 . 3 . C 4 . 5 .  1 1  4.（数一二三）计算lim    ____ x0 xarctan2x 2sin2 x xe nx 2nsinx 5.（数一二三）设函数 f(x)lim ，试判断 f(x)的间断点类型. n nx1  1  6.（数一二三）设函数y y(x)由方程xy2sinxln y确定，则limn y( )1  ____ .   n  n  1 7.（数一三）设随机变量X 服从均值为 的指数分布，DX 为X 的方差，记随机变量  X Y eDX ，则 p  Y 2  ____.周周清 4.14-4.20 -by 可爱因子小橘子 可爱因子章鱼烧 e4𝑥 1.（数一二三）设 𝑦 =√ ，则 d𝑦= . e4𝑥+1 [知识点]：一元函数微分学的计算 2e2𝑥 [解析]：答案： d𝑥. (e4𝑥+1)3/2 直接对 y 求导，有 1 1 e4𝑥 − 2 e4𝑥 d𝑦= ( ) d( ) 2 e4𝑥+1 e4𝑥+1 1 1 e4𝑥 − 2(e4𝑥+1)4e4𝑥−e4𝑥⋅4e4𝑥 = ( ) d𝑥 2 e4𝑥+1 (e4𝑥+1)2 2e2𝑥 = d𝑥. (e4𝑥+1)3/2 有的同学可能考虑先在等式两侧取对数，变形为 𝑒4𝑥 ln 𝑦 =ln √ 𝑒4𝑥+1 求导后，有 1 2𝑒4𝑥 ⋅𝑦′ =2− 𝑦 𝑒4𝑥+1 最终计算，得 2𝑒4𝑥 𝑦′ =𝑦(2− ) 𝑒4𝑥+1 𝑒4𝑥 2𝑒4𝑥 =√ (2− ) 𝑒4𝑥+1 𝑒4𝑥+1 𝑒4𝑥 2(𝑒4𝑥+1)−2𝑒4𝑥 =√ × 𝑒4𝑥+1 𝑒4𝑥+1 𝑒4𝑥 2𝑒4𝑥+2−2𝑒4𝑥 =√ × 𝑒4𝑥+1 𝑒4𝑥+1 2√𝑒4𝑥 = 3 (𝑒4𝑥+1)2 2𝑒2𝑥 = 3 (𝑒4𝑥+1)2 这个方法也可以得到结果，但可能稍显复杂，对于类似习题保证不出错就是成功。 [易错点]：计算过程中出现失误，导致最终结果错误。𝑥2sin 1 +cos𝑥, 𝑥 <0; 2.（数一二三）设 𝑓(𝑥)={ 𝑥 并设 𝑓(𝑥) 在 𝑥 =0 处可导， ln(1+𝑥)+𝑎𝑥+𝑏𝑒𝑥, 𝑥 ≥0. 则常数 𝑎 =________，𝑏=_________. [知识点]：函数在某点可导的必要条件。 [答案]：𝑎 =−2，𝑏=1. [解析]：𝑓(𝑥)在𝑥 =0处可导，𝑓(𝑥)在𝑥 =0处必连续，从而𝑓(0−)=𝑓(0+)=𝑓(0). 于是由 𝑓(0)=𝑏及 𝑓(0−)= lim𝑓(𝑥)=0+1=1，𝑓(0+)= lim𝑓(𝑥)=𝑏， 𝑥→0− 𝑥→0+ 推知𝑏 =1. 又𝑓′(0)存在，所以𝑓 ′(0)=𝑓 ′(0). − + 1 𝑓(𝑥)−𝑓(0) 𝑥2sin +cos𝑥−1 𝑥 𝑓 ′(0)= lim = lim =0， − 𝑥→0− 𝑥−0 𝑥→0− 𝑥 𝑓(𝑥)−𝑓(0) ln(1+𝑥)+𝑎𝑥+𝑒𝑥−1 𝑓 ′(0)= lim = lim + 𝑥→0+ 𝑥−0 𝑥→0+ 𝑥 ln(1+𝑥) 𝑒𝑥−1 = lim +𝑎+ lim 𝑥→0+ 𝑥 𝑥→0+ 𝑥 =1+𝑎+1， 由𝑓 ′(0)=𝑓 ′(0)推知0=1+𝑎+1，所以𝑎 =−2. − + [易错点]：在求左右导数时，极限计算容易出错，且易忽略函数在分段点处连续是可导的前 提条件。3.（数一二三）设𝐴是𝑛阶矩阵，𝐴T是𝐴的转置矩阵，𝐴∗是𝐴的伴随矩阵，𝐸是𝑛阶单位矩 阵，𝚲 ，𝚲 都是 𝑛 阶对角矩阵，在下列运算中： 1 2 𝐀𝐀∗ =𝐀∗𝐀, 𝚲 𝚲 =𝚲 𝚲 , 𝐀m𝐀t =𝐀t𝐀m， 1 2 2 1 𝐀𝐀T =𝐀T𝐀，𝐀𝚲 =𝚲 𝐀，(𝐀+𝐄)(𝐀−𝐄)=(𝐀−𝐄)(𝐀+𝐄) I I 交换律肯定成立的共有 (𝐴)2个. (𝐵)3个. (C)4个. (𝐷)5个. [知识点]：涉及矩阵的转置、伴随矩阵、单位矩阵、对角矩阵的运算性质。 [答案]：𝐶. [解析]： 利用行列式代数余子式的定理有AA∗ =A∗A=|A|E， 按矩阵乘法定义，有 𝑎 0 0 𝑏 0 0 𝑎 𝑏 0 0 𝑏 0 0 𝑎 0 0 1 1 1 1 1 1 [0 𝑎 0 ][0 𝑏 0 ]=[0 𝑎 𝑏 0 ]=[0 𝑏 0 ][0 𝑎 0 ] 2 2 2 2 2 2 0 0 𝑎 0 0 𝑏 0 0 𝑎 𝑏 0 0 𝑏 0 0 𝑎 3 3 3 3 3 3 因此𝚲 𝚲 =𝚲 𝚲 成立； 1 2 2 1 因为矩阵乘法有结合律: AmAt =Am+t =At⋅Am. 又 (A+E)(A−E)=A2−E2 =(A−E)(A+E). 0 1 0 0 对于AAT与ATA，设A=[ ]，AT =[ ]： 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 AAT =[ ][ ]=[ ]，ATA=[ ][ ]=[ ]， 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 此时AAT ≠ATA. 0 1 1 0 对于AΛ 与Λ A，设A=[ ]，Λ =[ ]， 1 1 0 0 1 0 2 0 1 1 0 0 2 1 0 0 1 0 1 AΛ =[ ][ ]=[ ]，Λ A=[ ][ ]=[ ]， 1 0 0 0 2 0 0 1 0 2 0 0 0 0 此时AΛ ≠Λ A. 1 1 [易错点]：容易混淆不同矩阵运算的性质，错误认为所有给出的矩阵乘法形式都满足交换 律，忽略部分矩阵乘法交换律不成立的情况。 1 1  4.（数一二三）计算lim   ____   x0 xarctan2x 2sin2 x [知识点]：极限的计算 1 [解析]：答案： 2 0 先通分将原极限化为 型未定式. 0  1 1  2sin2 xxarctan2x lim  lim   x0 xarctan2x 2sin2 x x0 xarctan2x2sin2 x 1cos2x 由于x0时，arctan2x ~ 2x，sinx~ x，且sin2 x ，有 2 1cos2xxarctan2x lim x0 x2x2x2 此时，可以考虑使用泰勒展开，由于分母是四次方，故根据展开原则可知，分子的每一 (2x)2 (2x)4 项展开到四次方即可，有cos2x1  (x4)，由于arctan2x前面出现了x， 2 24 (2x)3 即一次方，故它只需要展开到三次方即可，有arctan2x2x (x3).代入原极限 3 可得， 2x4 8x4 2x2  2x2  (x4) 1cos2xxarctan2x 3 3 原极限lim lim x0 x2x2x2 x0 4x4 2x4 (x4) 1 lim  x0 4x4 2 [易错点]：对泰勒公式的展开记忆不熟练且不知道展开原则等。xenx 2nsinx 5.（数一二三）设函数 f(x)lim ，试判断 f(x)的间断点类型. n nx1 [知识点]：数列极限的计算，间断点的判断 [解析]：答案：x 0是 f(x)的可去间断点 当x 0时， f(x)0. xenx 当x 0时，由于limenx 0，故lim 0，从而 n n nx1 xenx 2nsinx f(x)lim lim n nx1 n nx1 2sinx 2sinx 0lim  n 1 x x n 2sinx 可见，x 0是 f(x)的唯一可能间断点，又lim f(x)lim 20 f(0)，故 x0 x0 x x 0是 f(x)的可去间断点. [易错点]：进行数列极限的计算时要回合理分类，以及从定义上判断间断点的类型。 1  6.（数一二三）设函数y  y(x)由方程xy2sinxln y确定，则limn y( )1 ____ .   n  n  [知识点]：隐函数求导与导数定义 [解析]：答案：1 将x 0代入原方程中得到ln y(0)0，解得y(0)1. 对方程xy2sinxln y两端关于x求导，可得 y yxy2cosx y 代入x 0，y(0)1可得，y(0)1. y 对yxy2cosx 两端继续求导，可得 y yy(y)2 2yxy2sinx y2 代入x 0，y(0)1，y(0)1，可得y(0)1， 根据导数定义， 1 y( )1 y(x) y(0) y(x)1 n  1  y(0)lim  lim lim limn y( )1 x0 x0 x0 x n 1 n   n   n  1  因此，limn y( )1  y(0)1.   n  n  [易错点]：隐函数求导没有掌握，对导数的定义掌握不清晰以致于看不出本题就是导数定义。1 7.（数一三）设随机变量 X 服从均值为 的指数分布，DX 为 X 的方差，记随机变量  X Y eDX ，则 pY 2 ____. [知识点]：随机变量与概率的计算 1 [解析]：答案： 2 1 由于随机变量X 服从均值为 的指数分布，故X 的概率密度为  e, x0 f (x) X  0, x0 1 X 则DX  ， 2X ，Y e2X ，因此 2 DX pY 2 p  e2X 2   p  X  ln2   exdxex| e  ln  2  1  2  ln2 ln2 2 2 2 [易错点]：将随机变量进行合理转化，然后利用积分算出概率。