(288)--周周清第五周（4.07-4.13）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 4.7-4.13 -by 可爱因子小橘子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设 g(x)在 x 0 的某领域内连续， f(x)具有一阶连续导数，且满足 g(x) 1 lim 3， f(x)ln(1x2)x g(xt)dt，则（） x0 x 0 (A). x 0是 f(x)的极大值点. (B). x 0是 f(x)的极小值点. (C). (0, f(0))是曲线 y  f(x)的拐点. (D).以上结论均不正确. 2 2.（数一二三）设[x]表示x的最大取整部分，则limx  ____.   x0 x 3.（数一二三）设0， f(x)在[,]上有定义， f(0)1，且满足 ln(12x)2xf(x) lim 0 x0 x2 证明： f(x)在x0处可导，并求出 f(0).    4.（数一三）设u 是正项级数，若 u u 收敛，且 u 单调减少，证明：u 收 n n n1 n n n1 n1 n1 敛. 5.（数一二三）设 在点 处连续 且 其中 为常 , − − − 2 2 , 0,0 , , →0 ,0 ln 1+ + =1, , , 数,则 ________. d ( , )|(0,0) = 6. （数一二三）设 则 = 1 2 − ar 1 cta n , ≤1 , ' ( )= ________. 2(e − )+4, >1 7. （数一二三）已知 则秩 ______. 1 2 3 4 0 1 −1 2 2 3 4 5 0 −1 2 3 = , = , ( +2 )= 3 4 5 6 0 0 1 4 4 5 6 7 0 0 0 2周周清 4.7-4.13 -by 可爱因子小橘子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设 g(x) 在 x 0 的某邻域内连续， f(x) 具有一阶连续导数，且满足 g(x) 1 lim 3， f(x)ln(1x2)x g(xt)dt ，则（） x0 x 0 (A). x 0是 f(x)的极大值点. (B). x 0是 f(x)的极小值点. (C). (0, f(0))是曲线y  f(x)的拐点. (D).以上结论均不正确. [知识点]：一元函数微分学的几何应用 [解析]：答案(C). (0, f(0))是曲线y  f(x)的拐点. g(x) 由lim 3，极限存在，分母趋近于0，故分子也一定趋于0，有 x0 x limg(x)0，又g(x)在 x 0的某邻域内连续，故g(x)在x 0这点必连续，则 x0 g(x) g(x)g(0) limg(x) g(0)0，进一步有lim lim  g(0)3 x0 x0 x x0 x0 1 1 对于 f(x)ln(1x2)x g(xt)dt 中的 g(xt)dt，可令u  xt，于是 0 0 1 x 1 1 x  g(xt)dt  g(u) du   g(u)du 0 0 x x 0 x 0 故 f(x)ln(1x2) g(u)du，易得 f(0)ln(10) g(u)du 0，下面探究二 0 0 阶导数， 2x f(x) g(x) 1x2 易得 f(x)0g(0)0，然而，导数为零仍然不能做出任何判断，下面不可继续求 导，只能通过导数定义去计算 f(0)，因为题目中没有告知g(x)是否可导，有 2x g(x) f(x) f(0) 1x2 2 g(x) f(0)lim lim lim lim 2g(0)5 x0 x0 x0 x x01x2 x0 x 故由拐点判定的第二充分条件可知(0, f(0))是曲线y  f(x)的拐点。 [易错点]：对极值点，拐点的判定和微分学的概念理解不清晰。2 2.（数一二三）设[x]表示x的最大取整部分，则limx  ____.   x0 x [知识点]：取整函数，极限计算 [解析]：答案：2 2 2 2 由取整函数的不等式性质x1x x，可知， 1  ，   x x x 2 因此，当x 0时，2x x 2；   x 2 x0时，2 x 2x   x 又lim(2x)2. x0 2 故由夹逼准则知，limx 2   x0 x [易错点]：取整函数天生自带的不等式要熟练掌握。3.（数一二三）设0， f(x)在[,]上有定义， f(0)1，且满足 ln(12x)2xf(x) lim 0 x0 x2 证明： f(x)在x0处可导，并求出 f(0). [知识点]：一元函数微分学的计算 [解析]：答案：1 ln(12x)2xf(x) 本题的关键在于处理lim ，要把他凑成导数定义的形式的关键在于 x0 x2 处理分子上的对数函数，但我们不能直接将ln(12x)等价成2x，因为等价后的2x与分 母之比的极限不存在，换句话说，这属于局部等价，可通过加一项减一项的方式凑出二阶无 穷小， ln(12x)2xf(x) ln(12x)(2x)(2x)2xf(x) lim lim x0 x2 x0 x2 ln(12x)(2x) 2x2xf(x) lim lim x0 x2 x0 x2 1  (2x)2 2x2xf(x) 2 lim lim x0 x2 x0 x2 f(x)1 22lim 0 x0 x f(x)1 f(x)1 f(x) f(0) 故lim 1，又 f(0)1，则lim 1lim  f(0)，证 x0 x x0 x x0 x0 毕！ [易错点]：对于分子上非幂函数的正确处理，不可违背极限运算法则直接等价。   4.（数一三）设u 是正项级数，若 u u 收敛，且u 单调减少，证明：u 收 n n n1 n n n1 n1 n1 敛. [知识点]：正项级数的比较审敛法 [解析]：答案：证明如下：  由于u 是正项级数，那一定要考虑使用正项级数的判别法，题目告诉我们u 单调 n n n1 减少，也就是说u u ，由于u 0，故可考虑在u u 两侧同时乘以u ，得到 n n1 n n n1 n u 2 u u ，开根号可得u  u u ，显然小的收敛没法判断大的是否收敛，得换一个 n n n1 n n n1 思路，既然要凑出u u ，那我们可以在u u 两侧同时乘以u ，得到u u u2 ， n n1 n n1 n1 n n1 n1  开根号后有 u u u ，则根据大的收敛小的必收敛可得u 收敛，两者只相差了一 n n1 n1 n1 n1  个有限项，那也就说明u 收敛. n n1 [易错点]：对正项级数的收敛法的一些处理技巧不熟练。𝑓(𝑥,𝑦)−𝑎−𝑏𝑥−𝑐𝑦 5.（数一二三）设 𝑓(𝑥,𝑦) 在点(0,0) 处连续, 且 𝑙𝑖𝑚 =1, 其中 𝑎,𝑏,𝑐 为常 (𝑥,𝑦)→0,0 ln(1+𝑥2+𝑦2) 数, 则d𝑓(𝑥,𝑦)| =________. (0,0) [知识点]：极限与无穷小的关系以及可微性概念。 [答案]：𝑏d𝑥+𝑐d𝑦. [解析]：当(𝑥,𝑦)→(0,0)时，ln(1+𝑥2+𝑦2)∼𝑥2+𝑦2，由求极限中等价无穷小因子得 𝑓(𝑥,𝑦)−𝑎−𝑏𝑥−𝑐𝑦 𝑙𝑖𝑚 =1 (𝑥,𝑦)→0,0 𝑥2+𝑦2 ⇒ 𝑙𝑖𝑚 [𝑓(𝑥,𝑦)−𝑎−𝑏𝑥−𝑐𝑦]=0, 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑎 (𝑥,𝑦)→0,0 (𝑥,𝑦)→0,0 又由𝑓(𝑥,𝑦)在(0,0)处连续即得𝑓(0,0)=𝑎. 再由极限与无穷小的关系可知 𝑓(𝑥,𝑦)−𝑓(0,0)−𝑏𝑥−𝑐𝑦 =1+𝑜(1) (∀(𝑥,𝑦)→(0,0)), 𝑥2+𝑦2 (𝑜(1)为当(𝑥,𝑦)→(0,0)时的无穷小量) ⇒ 𝑓(𝑥,𝑦)−𝑓(0,0)−𝑏𝑥−𝑐𝑦 =𝑥2+𝑦2+(𝑥2+𝑦2)⋅𝑜(1)=𝑜(𝜌), (𝜌=√𝑥2+𝑦2 →0) 即 𝑓(𝑥,𝑦)−𝑓(0,0)=𝑏𝑥+𝑐𝑦+𝑜(𝜌) (𝜌→0), 由可微性概念 ⇒› 𝑑𝑓(𝑥,𝑦)| =𝑏𝑑𝑥+𝑐𝑑𝑦. (0,0) [易错点]：可能忽略函数连续性条件对函数在某点取值的确定作用，在运用等价无穷小替换 时未注意适用条件，以及对可微性概念中高阶无穷小的处理和理解出现偏差。arctan 𝑥, 𝑥 ≤1 6. （数一二三）设𝑓(𝑥)={1 (e𝑥2−1−𝑥)+ 𝜋 , 𝑥 >1 , 则𝑓′(𝑥)=________. 2 4 [知识点]：分段函数求导。 1 , 𝑥 ≤1 [答案]：{1+𝑥2 . 1 (2𝑥e𝑥2−1−1), 𝑥 >1 2 [解析]：注意在 𝑥 =1 处 arctan𝑥 = 1 (𝑒𝑥2−1−𝑥)+ 𝜋 . 易得 2 4 1 𝑓′(𝑥)=(arctan𝑥)′= ,𝑥 ≤1, 1+𝑥2 1 1 其中 𝑥 =1 左侧, 𝑓′ (1)= | = . − 1+𝑥2 𝑥=1 2 1 𝜋 ′ 1 𝑓′(𝑥) =[ (𝑒𝑥2−1−𝑥)+ ] = (2𝑥𝑒𝑥2−1−1), 𝑥 >1 2 4 2 其中 𝑥 =1 右侧, 𝑓′ (1)= 1 (2𝑥𝑒𝑥2−1−1)| = 1 . + 2 𝑥=1 2 1 1 因为 𝑓′ (1)=𝑓′ (1)= ⇒𝑓′(1)= . + − 2 2 1 , 𝑥 ≤1 因此 𝑓′(𝑥)={1+𝑥2 . 1 (2𝑥𝑒𝑥2−1−1), 𝑥 >1 2 [易错点]：容易遗漏对分段点处导数的讨论，或在计算左右导数时出现求导公式运用错误、 计算失误等问题，以及对分段点两侧函数在该点取值相等这一条件忽视。1 2 3 4 0 1 −1 2 2 3 4 5 0 −1 2 3 7. （数一二三）已知𝐴=[ ],𝐵 =[ ],则秩 𝑟(𝐴𝐵+2𝐴)=______. 3 4 5 6 0 0 1 4 4 5 6 7 0 0 0 2 [知识点]：矩阵乘法分配律及可逆矩阵性质。 [答案]：2. [解析]： 由 𝐴𝐵+2𝐴=𝐴(𝐵+2𝐸),而 2 1 −1 2 0 1 2 3 𝐵+2𝐸 =[ ] 0 0 3 4 0 0 0 4 是可逆矩阵,故 𝑟(𝐴𝐵+2𝐴)=𝑟(𝐴(𝐵+2𝐸))=𝑟(𝐴). 经初等变换矩阵的秩不变，易见 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 5 1 1 1 1 0 −1 −2 −3 A=[ ]→[ ]→[ ] 3 4 5 6 1 1 1 1 0 0 0 0 4 5 6 7 1 1 1 1 0 0 0 0 所以 𝑟(𝐴𝐵+2𝐴)=2. [易错点]：可能无法想到对(𝐴𝐵+2𝐴)进行合理变形，在判断(𝐵+2𝐸)是否可逆时出错，或 者在对矩阵𝐴进行初等行变换求秩过程中出现计算错误。