(287)--周周清第四周（3.31-4.06）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 3.31-4.6
-by 可爱因子小橘子 可爱因子章鱼烧
ax x 1
1.(数一二三)已知lim arctan b(0,)，则a ____,b ____.
x0 x x
1
2ex 1
2.(数一二三)设 f(x) arctan ，则x 0为 f(x)的____间断点.
1 x
1ex
f(32x) f(1sinx)
3.(数一二三)设 f(x)以2为周期且 f(1)，则lim  ____.
x0 x
4.(数一二三)设 f(x) x(x1)(x2)(x99)(x100)，则 f(0) ____.
5.（数一二三）设 则 的间断点为
2  +1
+1
2  +1 
(  )=    →  ∞  −  +  +4,  (  ) _________.
6. （数一二三）设 则 的所有原函数为
si n  +1 ,  >0,
(  )= 1  (  ) ________.
2
1+  ,  ⩽0 ,
7. （数一二三）设 均为 阶可逆矩阵，正确的是______.
,  
2 2 −1 −1 −1
+   −  =  −  . (B)(  +  ) =  +  .
2 2 2 ∗ ∗ ∗
(  )(  +  ) =  +2   +  . (D)(   ) =   .周周清 3.31-4.6
-by 可爱因子小橘子 可爱因子章鱼烧
ax x 1
1.(数一二三)已知lim arctan b(0,)，则a  ____,b ____.
x0 x x
[知识点]：已知极限反求参数

[解析]：答案：a0,b
2
本题给出的函数包含了绝对值函数和反正切函数，这都是在提醒我们要分左右两侧去求极
限，有
𝑎𝑥+|𝑥| 1 𝑎𝑥−𝑥 1 −𝜋
lim arctan⁡ = lim arctan⁡ =(𝑎−1)
𝑥→0− 𝑥 𝑥 𝑥→0− 𝑥 𝑥 2
𝑎𝑥+|𝑥| 1 𝑎𝑥+𝑥 1 𝜋
lim arctan⁡ = lim arctan⁡ =(𝑎+1)
𝑥→0+ 𝑥 𝑥 𝑥→0+ 𝑥 𝑥 2
 
由于极限存在，故左右极限相等，有：(a1) (a1) ，解得a 0，
2 2
 
进一步求得极限值为 ，故b .
2 2
[易错点]：对于常见的需要分左右极限的函数和对于极限存在的定义要熟练。
1
2ex 1
2.(数一二三)设 f(x) arctan ，则x 0为 f(x)的____间断点.
1 x
1ex[知识点]：函数间断点的判定
[解析]：答案：跳跃
间断点的类型可通过求函数的左右极限来判断，如下：
1
2ex 1 2e 20 
lim f(x) lim arctan  arctan()  
x0 x0 1 x 1e 10 2
1ex
2
1
1 1 1
2ex 1  2ex  ex 
lim f(x) lim arctan  lim  lim 
x0 x0 1 x 2 x0 1 2 x0 1 2
1ex 1ex 1
1
ex
可知，左右极限存在，说明是第一类间断点，而左右极限不相等，说明是跳跃间断点。
[易错点]：对于求极限的方法和间断点的定义不熟练。
f(32x) f(1sinx)
3.(数一二三)设 f(x)以2为周期且 f(1)，则lim  ____.
x0 x
[知识点]：导数定义[解析]：答案：3
本题要通过周期性这个条件和所给极限，往导数定义上去凑：
f(32x) f(1sinx) f(32x2) f(1sinx2)
lim lim
x0 x x0 x
f(12x) f(1sinx)
lim
x0 x
f(12x) f(1) f(1sinx) f(1)
lim lim
x0 x x0 x
f(12x) f(1) f(1sinx) f(1) sinx
2lim lim 
x0 2x x0 sinx x
2 f(1)[f(1)(1)]
3f(1) 3
[易错点]：对导数定义的凑法不规范不熟练。
4.(数一二三)设 f(x) x(x1)(x2)(x99)(x100)，则 f(0) ____.
[知识点]：一点处导数的求法[解析]：答案：100!
对于这种复杂的函数，要计算某一点的导数值，可以把原式看成两个函数的相乘，而分割函
数的原则就是使得其中一个函数容易求导，且容易出现为0的情况。
不妨令u(x)(x1)(x2)(x99)(x100)
则 f(x) xu(x)， f(x)u(x)xu(x)
代入x 0可得， f(0)u(0)0u(0)(1)2(3)(99)100
(1)50100!100!
[易错点]：对函数不会正确处理导致没法求导。实际上，本题使用导数定义也不失为一种好办法，
同学们可以自己尝试。5.（数一二三）设⁡𝑓(𝑥)= 𝑙𝑖𝑚
𝑥2𝑛+1+1
,则⁡𝑓(𝑥)的间断点为_________.
𝑛→∞𝑥2𝑛+1−𝑥𝑛+𝑥+4
[知识点]：函数极限的计算以及函数间断点的判定。
[答案]：𝑥 =±1.
[解析]：我们需要根据x的取值来分情况讨论：
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当∣𝑥 ∣<1时，根据指数函数性质，当𝑛 →∞，指数(2𝑛+1)和𝑛都趋于无穷大，此时
𝑥的无穷幂次的极限为0，所以：
𝑙𝑖𝑚 𝑥2𝑛+1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥𝑛 =0,所以此时𝑓(𝑥)= 1 .
𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑥+4
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当∣𝑥 ∣>1 时，𝑛→∞ 时，𝑥2𝑛+1、𝑥𝑛都趋于无穷大。为了求极限，分子分母同时除以
𝑥2𝑛+1，将式子变形为便于求极限的形式，即：
1
𝑓(𝑥)= 𝑙𝑖𝑚 𝑥2𝑛+1+1 = 𝑙𝑖𝑚 1+ 𝑥2𝑛+1 =1.
𝑛→∞𝑥2𝑛+1−𝑥𝑛+𝑥+4 𝑛→∞1−
𝑥𝑛
1
+1
+
𝑥2
1
𝑛
+
𝑥2𝑛
4
+1
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当 𝑥 =−1时：
𝑥2𝑛+1+1
𝑓(𝑥)= 𝑙𝑖𝑚 =0.
𝑛→∞𝑥2𝑛+1−𝑥𝑛+𝑥+4
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当 𝑥 =1 时：
𝑥2𝑛+1+1 2
𝑓(𝑥)= 𝑙𝑖𝑚 = .
𝑛→∞𝑥2𝑛+1−𝑥𝑛+𝑥+4 5
1, 𝑥 <−1
0, 𝑥 =−1
1
, −1<𝑥 <1
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡综上,𝑓(𝑥)= 𝑥+4 .
2
, 𝑥 =1
5
{1 𝑥 >1
间断点是函数不连续的点，𝑓(𝑥)在𝑥 =±1处，函数值在𝑥趋近于该点时的极限情况与该点
函数值存在差异（极限值与函数值不相等或者极限不存在等不连续情况），所以𝑓(𝑥)的间断点为
𝑥 =±1。
[易错点]：容易忽略对𝑥不同取值范围(∣𝑥 ∣<1)、(∣𝑥 ∣>1)、(𝑥 =±1) 分别讨论求极限，可能会
直接对原式求极限，导致结果错误。sin⁡𝑥+1, 𝑥 >0,
6. （数一二三）设𝑓(𝑥)={ 1 则𝑓(𝑥)的所有原函数为________.
, 𝑥 ⩽0,
1+𝑥2
[知识点]：分段函数原函数的求解。
−cos⁡𝑥+𝑥+1+𝐶, 𝑥>0,
[答案]：𝐹(𝑥)={ 其中𝐶⁡为任意常数.
arctan⁡𝑥+𝐶, 𝑥 ⩽0,
[解析]：本题有两种思路：
方法一：⁡记⁡𝑓(𝑥)⁡的原函数为⁡𝐹(𝑥)，则
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当⁡𝑥 >0时,𝐹(𝑥)=∫(sin⁡𝑥+1)d𝑥 =−cos⁡𝑥+𝑥+𝐶 ,
2
1
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当⁡𝑥 ⩽0时,𝐹(𝑥)=∫ d𝑥 =arctan⁡𝑥+𝐶 ,
1+𝑥2 1
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡因为⁡𝐹(𝑥)⁡为⁡𝑓(𝑥)⁡的原函数，所以⁡𝐹(𝑥)⁡在⁡𝑥 =0⁡点连续，即：
𝑙𝑖𝑚 (arctan⁡𝑥+𝐶 )= 𝑙𝑖𝑚 (−cos⁡𝑥+𝑥+𝐶 ), ⁡𝐶 =𝐶 −1.
1 2 1 2
𝑥→0− 𝑥→0+
−cos⁡𝑥+𝑥+1+𝐶, 𝑥 >0,
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡故⁡𝑓(𝑥)的所有原函数为⁡𝐹(𝑥)={ 其中⁡𝐶为任意常数
arctan⁡𝑥+𝐶, 𝑥 ⩽0,
.
.
𝑥
方法二：先求⁡𝑓(𝑥)⁡的一个原函数⁡𝐹 (𝑥)=∫ 𝑓(𝑡)d𝑡.
0 0
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当 𝑥 >0 时 ,𝐹 (𝑥)=∫ 𝑥 (sin⁡𝑡+1)d𝑡 =−cos⁡𝑡|𝑥+𝑥 =1−cos⁡𝑥+𝑥,
0 0 0
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当 𝑥 ⩽0 时 ,𝐹 (𝑥)=∫ 𝑥 d𝑡 =arctan⁡𝑡|𝑥 =arctan⁡𝑥,
0 0 1+𝑡2 0
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡于是 𝑓(𝑥) 的全体原函数为：
1−cos⁡𝑥+𝑥+𝐶, 𝑥 >0,
𝐹(𝑥)=𝐹 (𝑥)+𝐶 ={ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡其中 𝐶⁡为任意常数.
0 arctan⁡𝑥+𝐶, 𝑥 ⩽0,
[易错点]：容易忽略原函数在分段点处的连续性，直接将各分段区间的原函数简单组合，未根据
连续性条件确定积分常数之间的关系，导致结果错误。7. （数一二三）设 𝐴,𝐵 均为 𝑛 阶可逆矩阵，正确的是______.
(𝐴)(𝐴+𝐵)(𝐴−𝐵)=𝐴2−𝐵2. (B)(𝐴+𝐵)−1 =𝐴−1+𝐵−1.
(𝐶)(𝐴+𝐵)2 =𝐴2+2𝐴𝐵+𝐵2. (D)(𝐴𝐵)∗ =𝐵∗𝐴∗.
[知识点]：𝑛⁡阶可逆矩阵的运算性质。
[答案]：𝐷.
[解析]： 矩阵的乘法不满足交换律,𝐴,𝐵可逆不能保证𝐴𝐵 =𝐵𝐴，例如
1 1 1 0
𝐴=[ ],𝐵 =[ ]
0 1 0 2
1 2 1 1
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡有 𝐴𝐵 =[ ]而 𝐵𝐴 =[ ]，可知(𝐴)(𝐶)均不正确.
0 2 0 2
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐴,𝐵可逆时，𝐴+𝐵不一定可逆，即使𝐴+𝐵可逆，其逆一般也不等于𝐴−1+𝐵−1. 例如
1 1 1 0
𝐴=[ ],𝐵 =[ ]
0 1 0 2
2 1 −1 1 3 −1
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡有(𝐴+𝐵)−1 =[ ] = [ ]，
0 3 6 0 2
1 0 2 −1
1 −1
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡而𝐴−1+𝐵−1 =[ ]+[ 1]=[ 3 ]，所以(B)不正确.
0 1 0 0
2 2
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡因为 𝐴 可逆时 ,𝐴∗ =∣𝐴∣𝐴−1，故
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(𝐴𝐵)∗ =∣𝐴𝐵 ∣(𝐴𝐵)−1 =∣𝐴∣∣𝐵 ∣𝐵−1𝐴−1 =(∣𝐵 ∣𝐵−1)(∣𝐴∣𝐴−1)=𝐵∗𝐴∗,
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡所以(𝐷)正确.
[易错点]：易混淆矩阵运算与普通数的运算规则，错误地认为矩阵乘法满足交换律，在计算逆
矩阵和伴随矩阵时，未依据正确的运算性质进行推导，凭直觉判断选项。