(287)--周周清第四周（3.31-4.06）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 3.31-4.6 -by 可爱因子小橘子 可爱因子章鱼烧 ax x 1 1.(数一二三)已知lim arctan b(0,)，则a ____,b ____. x0 x x 1 2ex 1 2.(数一二三)设 f(x) arctan ，则x 0为 f(x)的____间断点. 1 x 1ex f(32x) f(1sinx) 3.(数一二三)设 f(x)以2为周期且 f(1)，则lim  ____. x0 x 4.(数一二三)设 f(x) x(x1)(x2)(x99)(x100)，则 f(0) ____. 5.（数一二三）设 则 的间断点为 2 +1 +1 2 +1 ( )= → ∞ − + +4, ( ) _________. 6. （数一二三）设 则 的所有原函数为 si n +1 , >0, ( )= 1 ( ) ________. 2 1+ , ⩽0 , 7. （数一二三）设 均为 阶可逆矩阵，正确的是______. , 2 2 −1 −1 −1 + − = − . (B)( + ) = + . 2 2 2 ∗ ∗ ∗ ( )( + ) = +2 + . (D)( ) = .周周清 3.31-4.6 -by 可爱因子小橘子 可爱因子章鱼烧 ax x 1 1.(数一二三)已知lim arctan b(0,)，则a  ____,b ____. x0 x x [知识点]：已知极限反求参数  [解析]：答案：a0,b 2 本题给出的函数包含了绝对值函数和反正切函数，这都是在提醒我们要分左右两侧去求极 限，有 𝑎𝑥+|𝑥| 1 𝑎𝑥−𝑥 1 −𝜋 lim arctan⁡ = lim arctan⁡ =(𝑎−1) 𝑥→0− 𝑥 𝑥 𝑥→0− 𝑥 𝑥 2 𝑎𝑥+|𝑥| 1 𝑎𝑥+𝑥 1 𝜋 lim arctan⁡ = lim arctan⁡ =(𝑎+1) 𝑥→0+ 𝑥 𝑥 𝑥→0+ 𝑥 𝑥 2   由于极限存在，故左右极限相等，有：(a1) (a1) ，解得a 0， 2 2   进一步求得极限值为 ，故b . 2 2 [易错点]：对于常见的需要分左右极限的函数和对于极限存在的定义要熟练。 1 2ex 1 2.(数一二三)设 f(x) arctan ，则x 0为 f(x)的____间断点. 1 x 1ex[知识点]：函数间断点的判定 [解析]：答案：跳跃 间断点的类型可通过求函数的左右极限来判断，如下： 1 2ex 1 2e 20  lim f(x) lim arctan  arctan()   x0 x0 1 x 1e 10 2 1ex 2 1 1 1 1 2ex 1  2ex  ex  lim f(x) lim arctan  lim  lim  x0 x0 1 x 2 x0 1 2 x0 1 2 1ex 1ex 1 1 ex 可知，左右极限存在，说明是第一类间断点，而左右极限不相等，说明是跳跃间断点。 [易错点]：对于求极限的方法和间断点的定义不熟练。 f(32x) f(1sinx) 3.(数一二三)设 f(x)以2为周期且 f(1)，则lim  ____. x0 x [知识点]：导数定义[解析]：答案：3 本题要通过周期性这个条件和所给极限，往导数定义上去凑： f(32x) f(1sinx) f(32x2) f(1sinx2) lim lim x0 x x0 x f(12x) f(1sinx) lim x0 x f(12x) f(1) f(1sinx) f(1) lim lim x0 x x0 x f(12x) f(1) f(1sinx) f(1) sinx 2lim lim  x0 2x x0 sinx x 2 f(1)[f(1)(1)] 3f(1) 3 [易错点]：对导数定义的凑法不规范不熟练。 4.(数一二三)设 f(x) x(x1)(x2)(x99)(x100)，则 f(0) ____. [知识点]：一点处导数的求法[解析]：答案：100! 对于这种复杂的函数，要计算某一点的导数值，可以把原式看成两个函数的相乘，而分割函 数的原则就是使得其中一个函数容易求导，且容易出现为0的情况。 不妨令u(x)(x1)(x2)(x99)(x100) 则 f(x) xu(x)， f(x)u(x)xu(x) 代入x 0可得， f(0)u(0)0u(0)(1)2(3)(99)100 (1)50100!100! [易错点]：对函数不会正确处理导致没法求导。实际上，本题使用导数定义也不失为一种好办法， 同学们可以自己尝试。5.（数一二三）设⁡𝑓(𝑥)= 𝑙𝑖𝑚 𝑥2𝑛+1+1 ,则⁡𝑓(𝑥)的间断点为_________. 𝑛→∞𝑥2𝑛+1−𝑥𝑛+𝑥+4 [知识点]：函数极限的计算以及函数间断点的判定。 [答案]：𝑥 =±1. [解析]：我们需要根据x的取值来分情况讨论： ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当∣𝑥 ∣<1时，根据指数函数性质，当𝑛 →∞，指数(2𝑛+1)和𝑛都趋于无穷大，此时 𝑥的无穷幂次的极限为0，所以： 𝑙𝑖𝑚 𝑥2𝑛+1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥𝑛 =0,所以此时𝑓(𝑥)= 1 . 𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑥+4 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当∣𝑥 ∣>1 时，𝑛→∞ 时，𝑥2𝑛+1、𝑥𝑛都趋于无穷大。为了求极限，分子分母同时除以 𝑥2𝑛+1，将式子变形为便于求极限的形式，即： 1 𝑓(𝑥)= 𝑙𝑖𝑚 𝑥2𝑛+1+1 = 𝑙𝑖𝑚 1+ 𝑥2𝑛+1 =1. 𝑛→∞𝑥2𝑛+1−𝑥𝑛+𝑥+4 𝑛→∞1− 𝑥𝑛 1 +1 + 𝑥2 1 𝑛 + 𝑥2𝑛 4 +1 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当 𝑥 =−1时： 𝑥2𝑛+1+1 𝑓(𝑥)= 𝑙𝑖𝑚 =0. 𝑛→∞𝑥2𝑛+1−𝑥𝑛+𝑥+4 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当 𝑥 =1 时： 𝑥2𝑛+1+1 2 𝑓(𝑥)= 𝑙𝑖𝑚 = . 𝑛→∞𝑥2𝑛+1−𝑥𝑛+𝑥+4 5 1, 𝑥 <−1 0, 𝑥 =−1 1 , −1<𝑥 <1 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡综上,𝑓(𝑥)= 𝑥+4 . 2 , 𝑥 =1 5 {1 𝑥 >1 间断点是函数不连续的点，𝑓(𝑥)在𝑥 =±1处，函数值在𝑥趋近于该点时的极限情况与该点 函数值存在差异（极限值与函数值不相等或者极限不存在等不连续情况），所以𝑓(𝑥)的间断点为 𝑥 =±1。 [易错点]：容易忽略对𝑥不同取值范围(∣𝑥 ∣<1)、(∣𝑥 ∣>1)、(𝑥 =±1) 分别讨论求极限，可能会 直接对原式求极限，导致结果错误。sin⁡𝑥+1, 𝑥 >0, 6. （数一二三）设𝑓(𝑥)={ 1 则𝑓(𝑥)的所有原函数为________. , 𝑥 ⩽0, 1+𝑥2 [知识点]：分段函数原函数的求解。 −cos⁡𝑥+𝑥+1+𝐶, 𝑥>0, [答案]：𝐹(𝑥)={ 其中𝐶⁡为任意常数. arctan⁡𝑥+𝐶, 𝑥 ⩽0, [解析]：本题有两种思路： 方法一：⁡记⁡𝑓(𝑥)⁡的原函数为⁡𝐹(𝑥)，则 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当⁡𝑥 >0时,𝐹(𝑥)=∫(sin⁡𝑥+1)d𝑥 =−cos⁡𝑥+𝑥+𝐶 , 2 1 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当⁡𝑥 ⩽0时,𝐹(𝑥)=∫ d𝑥 =arctan⁡𝑥+𝐶 , 1+𝑥2 1 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡因为⁡𝐹(𝑥)⁡为⁡𝑓(𝑥)⁡的原函数，所以⁡𝐹(𝑥)⁡在⁡𝑥 =0⁡点连续，即： 𝑙𝑖𝑚 (arctan⁡𝑥+𝐶 )= 𝑙𝑖𝑚 (−cos⁡𝑥+𝑥+𝐶 ), ⁡𝐶 =𝐶 −1. 1 2 1 2 𝑥→0− 𝑥→0+ −cos⁡𝑥+𝑥+1+𝐶, 𝑥 >0, ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡故⁡𝑓(𝑥)的所有原函数为⁡𝐹(𝑥)={ 其中⁡𝐶为任意常数 arctan⁡𝑥+𝐶, 𝑥 ⩽0, . . 𝑥 方法二：先求⁡𝑓(𝑥)⁡的一个原函数⁡𝐹 (𝑥)=∫ 𝑓(𝑡)d𝑡. 0 0 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当 𝑥 >0 时 ,𝐹 (𝑥)=∫ 𝑥 (sin⁡𝑡+1)d𝑡 =−cos⁡𝑡|𝑥+𝑥 =1−cos⁡𝑥+𝑥, 0 0 0 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当 𝑥 ⩽0 时 ,𝐹 (𝑥)=∫ 𝑥 d𝑡 =arctan⁡𝑡|𝑥 =arctan⁡𝑥, 0 0 1+𝑡2 0 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡于是 𝑓(𝑥) 的全体原函数为： 1−cos⁡𝑥+𝑥+𝐶, 𝑥 >0, 𝐹(𝑥)=𝐹 (𝑥)+𝐶 ={ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡其中 𝐶⁡为任意常数. 0 arctan⁡𝑥+𝐶, 𝑥 ⩽0, [易错点]：容易忽略原函数在分段点处的连续性，直接将各分段区间的原函数简单组合，未根据 连续性条件确定积分常数之间的关系，导致结果错误。7. （数一二三）设 𝐴,𝐵 均为 𝑛 阶可逆矩阵，正确的是______. (𝐴)(𝐴+𝐵)(𝐴−𝐵)=𝐴2−𝐵2. (B)(𝐴+𝐵)−1 =𝐴−1+𝐵−1. (𝐶)(𝐴+𝐵)2 =𝐴2+2𝐴𝐵+𝐵2. (D)(𝐴𝐵)∗ =𝐵∗𝐴∗. [知识点]：𝑛⁡阶可逆矩阵的运算性质。 [答案]：𝐷. [解析]： 矩阵的乘法不满足交换律,𝐴,𝐵可逆不能保证𝐴𝐵 =𝐵𝐴，例如 1 1 1 0 𝐴=[ ],𝐵 =[ ] 0 1 0 2 1 2 1 1 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡有 𝐴𝐵 =[ ]而 𝐵𝐴 =[ ]，可知(𝐴)(𝐶)均不正确. 0 2 0 2 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝐴,𝐵可逆时，𝐴+𝐵不一定可逆，即使𝐴+𝐵可逆，其逆一般也不等于𝐴−1+𝐵−1. 例如 1 1 1 0 𝐴=[ ],𝐵 =[ ] 0 1 0 2 2 1 −1 1 3 −1 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡有(𝐴+𝐵)−1 =[ ] = [ ]， 0 3 6 0 2 1 0 2 −1 1 −1 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡而𝐴−1+𝐵−1 =[ ]+[ 1]=[ 3 ]，所以(B)不正确. 0 1 0 0 2 2 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡因为 𝐴 可逆时 ,𝐴∗ =∣𝐴∣𝐴−1，故 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(𝐴𝐵)∗ =∣𝐴𝐵 ∣(𝐴𝐵)−1 =∣𝐴∣∣𝐵 ∣𝐵−1𝐴−1 =(∣𝐵 ∣𝐵−1)(∣𝐴∣𝐴−1)=𝐵∗𝐴∗, ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡所以(𝐷)正确. [易错点]：易混淆矩阵运算与普通数的运算规则，错误地认为矩阵乘法满足交换律，在计算逆 矩阵和伴随矩阵时，未依据正确的运算性质进行推导，凭直觉判断选项。