(286)--周周清第三周（3.24-3.30）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 3.24-3.30 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 x 1.(数一二三)已知当 x0 时， ax3 与 1x2 xln(1 )b 为等价无穷小，则 2 ab____. x  1 12 2.(数一二三)计算limcos sin   ____ . x x x 3.(数一二三)计算limn1 x 3n ____ n 1 4.(数一二三)计算 lim(x 1x2)x  ____. x 5.（数一二三）设 ，则 1−2 ''' =ln1+3 (0)= . 6. （数一二三）设 表示 的最大整数部分，则 2 → 0 =_____. 7（. 数一二三）设3阶矩阵 ，其中 为3维列向量，若 ，则 1 = , , , , =2 1+ 2, 2+ 3, 3+ 1 =周周清 3.24-3.30 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 x 1.(数一二三)已知当 x→0 时， ax3 与 1+x2 −xln(1+ )+b 为等价无穷小，则 2 ab= ____. [知识点]：泰勒公式 1 [解析]：答案：− 8 本题考查了等价无穷小，可以直接对函数进行泰勒展开后消去一些项，最后留下来的最 低阶数的项就是整个多项式的等价无穷小。 当x→0时， 1 1+x2 =1+ x2 +(x3)； 2 x x 1 x ln(1+ )= − ( )2 +(x2)； 2 2 2 2 x 1 x 1 x 所以 1+x2 −xln(1+ )+b=1+ x2 +(x3)−x[ − ( )2 +(x2)]+b 2 2 2 2 2 1 =1+b+ x3+(x3) (x→0) 8 x 由于x→0时，ax3与 1+x2 −xln(1+ )+b为等价无穷小，故 2 1 ax3 =1+b+ x3 8 1 对比系数可知：a= ，b=−1； 8 1 故ab=− 8 [易错点]：不会使用复合函数的泰勒展开解决等价无穷小的问题。x  1 12 2.(数一二三)计算lim cos +sin = ____ .   x→ x x [知识点]：极限的求法 [解析]：答案： e 本题的函数类型为 f(x)g(x)幂指函数型，一般做法为“抬起法”，即取指对数，以降低 运算等级，然后结合等价无穷小等方法得到正确答案。 x  1 12 x ln  cos 1 +sin 1  lim x ln  cos 1 +sin 1  lim cos +sin =lime2  x x =ex→2  x x   x→ x x x→ 其中， x  1 1 lim ln  cos +sin  x→2  x x 由于当 →1时，ln ~ −1， 故， x  1 1 x 1 1  lim ln  cos +sin  =lim  cos +sin −1  x→2  x x x→2 x x  1 x  1 1 x 1 1  令t = →0，lim ln  cos +sin  =lim  cos +sin −1  x x→2  x x x→2 x x  cost+sint−1 =lim t→0 2t cost−sint 1 直接洛必达，可得原式=lim = t→0 2 2 [易错点]：不会正确处理幂指函数类型的极限，并在合适的时候使用倒代换进行形式的化简。3n 3.(数一二三)计算limn1+ x = ____ n→ [知识点]：数列极限的计算 x3,x1  [解析]：答案：1,−1 x1  −x3,x−1  由常用结论： limn an +an ++an =max{a ,a ,,a }，其中(a 0,i=1,2,,k) 1 2 k 1 2 k i n→ 3.10-3.16的周周清已给出过上述结论的证明，此处不再赘述。 当x1时， x 3 = x3 1； 3 当 x 1时， x 1； 当x−1时， x 3 =−x3 1， x3,x1  3n 故limn1+ x = 1,−1 x1 n→  −x3,x−1  [易错点]：对上述典型的结论不了解导致无从下手。1 4.(数一二三)计算 lim(x+ 1+x2)x = ____. x→+ [知识点]：极限计算 [解析]：答案：1 同样的，本题仍然属于幂指函数，需要进行取指对数处理，即 由 f(x)g(x) =eg(x)lnf(x)可知， 1 ln(x+ 1+x2) (x+ 1+x2)x =e x ； 1 ln(x+ 1+x2) ln(x+ 1+x2) lim lim(x+ 1+x2)x = lim e x =ex→+ x x→+ x→+ ln(x+ 1+x2) 对于极限 lim ，可直接使用洛必达法则，其中，函数 x→+ x y=ln(x+ 1+x2) 1 2x 的导数求法如下：y=[ln(x+ 1+x2)]= (1+ ) x+ 1+x2 2 1+x2 1 x+ 1+x2 =  x+ 1+x2 1+x2 1 = 1+x2 1 1 ln(x+ 1+x2) 1+x2 lim lim 故 lim(x+ 1+x2)x =ex→+ x =ex→+ 1 =e0 =1 x→+ [易错点]：对于函数y=ln(x+ 1+x2)的导数性质不熟悉，以致于想不到使用洛必达法则。5.（数一二三）设 𝑓(𝑥)=ln 1−2𝑥 ，则 𝑓′′′(0)= . 1+3𝑥 [知识点]：极限的计算（包括分子有理化、等价无穷小计算）。 [答案]：-70. [解析]：方法1：显然函数𝑓(𝑥)至少三阶可导，暴力求解得出结果. 1−2𝑥 𝑓(𝑥)=ln =ln(1−2𝑥)−ln(1+3𝑥)， 1+3𝑥 2 3 𝑓′(𝑥)=− − ， 1−2𝑥 1+3𝑥 4 9 𝑓′′(𝑥)=− + ， (1−2𝑥)2 (1+3𝑥)2 16 54 𝑓′′′(𝑥)=− − ， (1−2𝑥)3 (1+3𝑥)3 方法2：利用泰勒公式展开多项求解. 当𝑥 →0时， 𝑓(𝑥)=ln(1−2𝑥)−ln(1+3𝑥) 1 1 1 1 =(−2𝑥)− (−2𝑥)2+ (−2𝑥)3−3𝑥+ (3𝑥)2− (3𝑥)3+𝑜(𝑥3) 2 3 2 3 根据泰勒展开式，𝑥3项的系数为 𝑓′′′(0) . 3! 所以， 𝑓′′′(0) =− 23 − 33 ，𝑓′′′(0)=−70. 3! 3 3 [易错点]：直接计算三阶导数可能引起更多的就散复杂度，合理使用泰勒展开式可以简化 这个计算过程。2 6. （数一二三）设[𝑥]表示𝑥的最大整数部分，则𝑙𝑖𝑚 𝑥[ ]=_____. 𝑥→0 𝑥 [知识点]：极限的计算。 [答案]：2. [解析]：根据取整函数的性质，有 2 2 2 −1<[ ]⩽ 𝑥 𝑥 𝑥 2 因此，当 𝑥 >0时，2−𝑥 <𝑥[ ]⩽2 𝑥 2 当 𝑥 <0时，2⩽𝑥[ ]<2−𝑥. 𝑥 又因为𝑙𝑖𝑚 (2−𝑥)=2，于是利用夹逼准则，得 𝑥→0 2 lim 𝑥[ ]=2. 𝑥→0 𝑥 [易错点]：学会使用基础的放缩形式，利用夹逼准则计算简单极限。1 7.（数一二三）设3阶矩阵𝐴=(𝒂 ,𝒂 ,𝒂 )，其中𝒂 ,𝒂 ,𝒂 为3维列向量，若|𝐴|= ，则 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 2 |𝑎 +𝑎 ,𝑎 +𝑎 ,𝑎 +𝑎 |= 1 2 2 3 3 1 [知识点]：矩阵的分解，行列式的计算。 [答案]：1. 1 0 1 [解析]：由于(𝒂 +𝒂 ,𝒂 +𝒂 ,𝒂 +𝒂 )=(𝒂 ,𝒂 ,𝒂 )[1 1 0]，所以 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 0 1 1 1 0 1 1 |𝒂 +𝒂 ,𝒂 +𝒂 ,𝒂 +𝒂 |=|𝒂 ,𝒂 ,𝒂 |[1 1 0]= ⋅2=1. 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 2 0 1 1 这个题的解法就是将目标矩阵分解成原矩阵𝐴和一个变换矩阵相乘的形式，属于比较基础 的技巧. 另外，也可以使用行列式的性质求解，将第2列的(−1)倍加到第1列，再将第3列的 1倍加到第1列得 |𝒂 +𝒂 ,𝒂 +𝒂 ,𝒂 +𝒂 |=|𝒂 −𝒂 ,𝒂 +𝒂 ,𝒂 +𝒂 |=|𝟐𝒂 ,𝒂 +𝒂 ,𝒂 +𝒂 | 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 −1 将第1列的( )倍加到第3列，再将第3列的(−1)倍加到第2列得 2 |𝟐𝒂 ,𝒂 +𝒂 ,𝒂 +𝒂 |=|𝟐𝒂 ,𝒂 +𝒂 ,𝒂 |=|𝟐𝒂 ,𝒂 ,𝒂 |=𝟐|𝒂 ,𝒂 ,𝒂 |=𝟏. 𝟏 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑 [易错点]： 学会基本的矩阵分解技巧。