(285)--周周清第二周（3.17-3.23）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 3.17-3.23 —by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.(数一二三)当x0时，eecosx是31x2 1的( ) (A).高阶无穷小 (B).低阶无穷小 (C).同阶非等价无穷小 (D).等阶无穷小 sin2xxf(x) 2cosx f(x) 2.(数一二三)设lim 1，则lim ____ . x0 x3 x0 x2 tan(x2 1) 3.(数一二三)计算lim  ____ x1 x31 1 1 4.(数一二三)设 f(x ) x2 ，则lim f(x) ____. x x2 x3 5（数一二三） 1+ta n − 1−si n 6. （数一二三） → 设0 e −1 =___ 则 ______. ( ) ln 1+ + ( ) 2 → 0 =3, → 0 =________. 7. （数一二三） 0 2 2 2 2 0 2 2 = . 2 2 0 2 2 2 2 0周周清 3.17-3.23 —by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.(数一二三)当x→0时，e−ecosx是31+x2 −1的( ) (A).高阶无穷小 (B).低阶无穷小 (C).同阶非等价无穷小 (D).等阶无穷小 [知识点]：无穷小比阶 [解析]：答案：(C).同阶非等价无穷小 本题考查了两个无穷小的阶数比较，相关定义为，将两个无穷小(x)和(x)作比求极 限，其中(x)0。 (x) 若lim =1，则称(x)和(x)为等价无穷小； (x) (x) 若lim =0，则称(x)为(x)的高阶无穷小； (x) (x) 若lim =c1，则称(x)为(x)的同阶非等价无穷小； (x) (x) 若lim =，则称(x)为(x)的低阶无穷小； (x) 对本题的两个无穷小作比可得， 1 e x2 e−ecosx ecosx(e1−cosx −1) e(1−cosx) 3 2 lim =lim =lim =lim = e1 x→0 31+x2 −1 x→0 1 x2 x→0 1 x2 x→0 1 x2 2 3 3 3 故由定义可知，应选择(C).同阶非等价无穷小。 [易错点]：对于无穷小比较的定义不熟练，对于常见的极限类型的处理方式不熟。sin2x+xf(x) 2cosx+ f(x) 2.(数一二三)设lim =1，则lim = ____. x→0 x3 x→0 x2 [知识点]：函数极限的计算 4 [解析]：答案： 3 本题给了我们一个极限，要我们去计算另一个极限，通常的做法是将要求的极限进行变 形，构造与所给极限相同的形式后求出。 2cosx+ f(x) 2xcosx+xf(x) lim =lim x→0 x2 x→0 x3 2xcosx−sin2x+sin2x+xf(x) =lim x→0 x3 这样就相当于凑出了给出极限的那一部分，这一部分极限存在，因此可以拆开计算. 2xcosx−sin2x sin2x+xf(x) =lim +lim x→0 x3 x→0 x3 2xcosx−sin2x =lim +1 x→0 x3 2xcosx−sin2x 下面计算lim ，由sin2x=2sinxcosx，得 x→0 x3 1 x3 2xcosx−sin2x 2xcosx−2sinxcosx x−sinx 6 1 lim =lim =lim2cosx =lim21 = x→0 x3 x→0 x3 x→0 x3 x→0 x3 3 2cosx+ f(x) 1 4 故lim = +1= x→0 x2 3 3 [易错点]：找到两个极限之间的关联后进行转换很关键。另外，三角函数的基本变形公式， 常见的等价无穷小都是基本功需要牢牢掌握。tan(x2 −1) 3.(数一二三)计算lim = ____ x→1 x3−1 [知识点]：极限的计算 2 [解析]：答案： 3 在x→1时，x2 −1→0，由于 →0时，tan ~ ，因此，将x2 −1→0当成一个整 体，有， tan(x2 −1) x2 −1 lim =lim x→1 x3−1 x→1 x3−1 遇到此类高次多项式，利用因式分解进行化简： a2 −b2 =(a+b)(a−b) a3−b3 =(a−b)(a2 +ab+b2) tan(x2 −1) x2 −1 (x−1)(x+1) lim =lim =lim x→1 x3−1 x→1 x3−1 x→1 (x−1)(x2 +x+1) 由于x→1但x1，因此x−10，因此可以进行约分. tan(x2 −1) x2 −1 (x−1)(x+1) x+1 2 lim =lim =lim =lim = x→1 x3−1 x→1 x3−1 x→1 (x−1)(x2 +x+1) x→1 x2 +x+1 3 [易错点]：利用初等数学的因式分解进行化简，当然本题直接使用洛必达也非常方便。1 1 4.(数一二三)设 f(x+ )= x2 + ，则lim f(x)= ____. x x2 x→3 [知识点]：函数解析式的计算 [解析]：答案：7 1 1 通过 f(x+ )= x2 + ，计算出 f(x)的表达式， x x2 1 1 1 1 由于 f(x+ )= x2 + =(x+ )2 −2，因此，令t = x+ ，可得， x x2 x x f(t)=t2 −2 由于函数与用什么字母表示无关，故 f(x)= x2 −2， lim f(x)=lim(x2 −2)=7 x→3 x→3 [易错点]：通过给定的复合嵌套函数的形态将函数的原始解析式解出来。5.（数一二三）𝑙𝑖𝑚 √1+tan⁡𝑥−√1−sin⁡𝑥 =_________. 𝑥→0 e𝑥−1 [知识点]：极限的计算（包括分子有理化、等价无穷小计算）。 [答案]：1. [解析]：第一种思路是分子有理化： √1+tan⁡𝑥−√1−sin⁡𝑥 √1+tan⁡𝑥−√1−sin⁡𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑙𝑖𝑚⁡ =𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 e𝑥−1 𝑥→0 𝑥 (1+tan⁡𝑥)−(1−sin⁡𝑥) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡=𝑙𝑖𝑚 𝑥→0𝑥(√1+tan⁡𝑥+√1−sin⁡𝑥) 1 tan⁡𝑥+sin⁡𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= 𝑙𝑖𝑚 =1. 2𝑥→0 𝑥 第二种思路是等价无穷小替换，当 𝑥 →0 时有： 1 1 √1+tan𝑥−1∼ tan𝑥,⁡⁡⁡⁡⁡√1−sin𝑥−1∼− sin⁡𝑥,⁡⁡⁡⁡⁡⁡e𝑥−1∼𝑥, 2 2 所以： √1+tan⁡𝑥−√1−sin⁡𝑥 (√1+tan⁡𝑥−1)−(√1−sin⁡𝑥−1) ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑙𝑖𝑚 =𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 e𝑥−1 𝑥→0 𝑥 √1+tan⁡𝑥−1 √1−sin⁡𝑥−1 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡=𝑙𝑖𝑚 −𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥 1 1 tan𝑥 − sin𝑥 2 2 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡=𝑙𝑖𝑚 −𝑙𝑖𝑚 =1. 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥 [易错点]：不要轻易拆分部分多项式计算等价无穷小。𝑓(𝑥) ln(1+𝑥+ ) 𝑓(𝑥) 6. （数一二三）设𝑙𝑖𝑚 𝑥 =3,⁡⁡则𝑙𝑖𝑚 =________. 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥2 [知识点]：极限的运算法则、无穷小的性质以及等价无穷小替换公式。 [答案]：2. 𝑓(𝑥) ln(1+𝑥+ ) [解析]：记⁡⁡𝑙𝑖𝑚 𝑥 =3⁡为⁡(1)式 𝑥→0 𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡当⁡𝑥 →0⁡时,其分母为无穷小,⁡所以为了极限存在可知,⁡分子也为无穷小,⁡⁡进一步有: 𝑓(𝑥) 𝑙𝑖𝑚 (𝑥+ )=0. 𝑥→0 𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡因此当𝑥 →0时有： 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) ln⁡(1+𝑥+ )∼𝑥+ 𝑥 𝑥 𝑓(𝑥) 𝑥+ 𝑓(𝑥) 𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡所以⁡(1)⁡式可写为⁡𝑙𝑖𝑚 =3,⁡⁡因此⁡⁡𝑙𝑖𝑚 =2. 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥2 [易错点]：对极限式子进行化简和变形的过程中，可能会出现计算错误，或者忽略极限存在 的条件而盲目进行运算。0 2 2 2 2 0 2 2 7. （数一二三）| |=⁡⁡⁡⁡⁡⁡. 2 2 0 2 2 2 2 0 [知识点]：行列式的计算。 [答案]：−48. [解析]： 第一步，我们先找规律。我们观察发现行列式每一列元素和均为6，且每一行元 素和同样均为6. 这是一种非常常见的行列式类型，我们将各行加到第一行上，再用行列 式的性质计算. 于是有， 6 6 6 6 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 2 2 2 0 2 2 0 −2 0 0 | |=6| |=6| |=−48. 2 2 0 2 2 2 0 2 0 0 −2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 0 0 0 −2 这道习题是有相应总结的，这里也给出一种关于类似习题的解法： 𝑎 𝑏 ⋯ 𝑏 𝑎 𝑎 ⋯ 𝑏 对于任意类似的𝑛阶行列式𝐷 = 𝑏 𝑎 ⋯ 𝑏 ，这个行列式每一列均有一个𝑎，(𝑛− 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑎 [𝑏 𝑏 ⋯ 𝑎] 1)个𝑏. 首先供各行加到第一行，第一行元素均变为𝑎+(𝑛−1)𝑏，之后用行列式的性质计 算： 𝑎 𝑏 … 𝑏 𝑎+(𝑛−1)𝑏 𝑎+(𝑛−1)𝑏 … 𝑎+(𝑛−1)𝑏 𝑏 𝑎 … 𝑏 𝑏 𝑎 … 𝑏 𝐷 =| |=| | ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑏 𝑏 … 𝑎 𝑏 𝑏 … 𝑎 1 1 ⋯ 1 𝑏 𝑎 ⋯ 𝑏 =[𝑎+(𝑛−1)𝑏]]| | ⋮ ⋮ ⋮ 𝑏 𝑏 ⋯ 𝑎 1 1 ⋯ 1 0 𝑎−𝑏 ⋯ 0 =[𝑎+(𝑛−1)𝑏]| | ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 𝑎−𝑏 =[𝑎+(𝑛−1)𝑏](𝑎−𝑏)𝑛−1. [易错点]： 注意找到类似简单行列式的规律，利用对应解法求解即可。