(284)--周周清第一周（3.10-3.16）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 3.10-3.16 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 arctankx2 kx2f(x) 1 f(x) 1.（数一二三）设k 0，若lim 0 ，且lim 1，则k  ____. x0 x6 x0 x4  2.（数一二三）当0 x 时，limn sinn xcosn x  ____. 2 n 3.（数一二三）已知lim f(x)存在，且 f(x) x2 exlim f(x)，则 f(x) ____. x1 x1 n99 4.（数一二三）lim  ____ nn100 (n1)100 5.（数一二三）设 存在且有 则 2 −2 1− → 1 ( ) , ( )= e + → 1 ( ), ( )= _________. 6.（数一二三）设 则 。 1+2 −1 0 =0, = 1+ −1 =1,2,3,⋯ , → ∞ =________. 7.（数一二三）设 3 阶矩阵 其中 为 3 维列向量 若 = 1, 2, 3 , 1, 2, 3 , = ,则 1 2 ∣ 1+ 2, 2+ 3, 3+ 1∣=​ ​ ​ ________. ​ ​ ​ ​ ​ .周周清 3.10-3.16 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 arctankx2 +kx2f(x) 1+ f(x) 1.（数一二三）设k 0，若lim =0，且lim =1，则k = ____. x→0 x6 x→0 x4 [知识点]：泰勒公式在极限中的应用 [解析]：答案：k = 3 考虑arctankx2的六阶泰勒公式，有， (kx2)3 k3x6 arctankx2 =kx2 − +o(x6)=kx2 − +o(x6) 3 3 arctankx2 +kx2f(x) 代入到lim =0中可得， x→0 x6 k3x6 kx2 +kx2f(x)− +o(x6) arctankx2 +kx2f(x) 3 lim =lim x→0 x6 x→0 x6 k3x6 − +o(x6) 1+ f(x) 3 =klim +lim x→0 x4 x→0 x6 k3 =k− =0 3 k3 k2 由于k 0，故由k− =0可得 =1，即k2 =3，进一步可得k = 3. 3 3 [易错点]：本题需要通过给定的两个极限算出参数的值，在极限的处理上泰勒公式是非常便 捷的选择，同学们要熟练掌握常见函数的泰勒展开。 2.（数一二三）当0 x 时，limn sinn x+cosn x = ____. 2 n→ [知识点]：数列极限   cosx, x[0, )   4 [解析]：答案：    sinx, x[ , ]  4 2    由于当x[0, )时，cosxsinx；x[ , ]时，sinxcosx， 4 4 2   cosx, x[0, )   4 故limn sinn x+cosn x =  n→    sinx, x[ , ]  4 2 本题实际上涉及到一个常用结论： limn an +an ++an =max{a ,a ,,a }，其中(a 0,i=1,2,,k) 1 2 k 1 2 k i n→ 下面给出该结论的证明： 不妨设a=max{a ,a ,,a }，则有 1 2 k 1 a = n an  n an +an ++an  n kan =kna 1 2 k 1 两边取极限，可知limn an =limkna=a，由夹逼准则可知limn an +an ++an =a， 1 2 k n→ n→ n→ 证毕！ [易错点]：不熟悉一些常用结论导致无从下手。3.（数一二三）已知lim f(x)存在，且 f(x)= x2 +exlim f(x)，则 f(x)= ____. x→1 x→1 [知识点]：极限的计算 1 [解析]：答案： f(x)= x2 + ex 1−e 既然极限lim f(x)存在，那么它就是一个常数，不妨记A=lim f(x)， x→1 x→1 则方程可化为 f(x)= x2 +Aex. 对方程两边取极限，得到：lim f(x)=lim(x2 + Aex) x→1 x→1 1 1 也即A=1+ Alimex =1+ Ae，解得A= ，故 f(x)= x2 + ex. x→1 1−e 1−e [易错点]：未能把极限当成一个已知常数进行计算从而陷入死胡同里。n99 4.（数一二三）lim = ____ n→n100 −(n−1)100 [知识点]：数列极限 1 [解析]：答案： 100 分母属于指数相同的相减类型，通常可采用提出其中一项的做法， n99 n99 lim =lim n→n100 −(n−1)100 n→  n−1 100 n100 1−      n   1 =lim n→  n−1 100 n1−      n   1 n =lim 100 n→  1 1− 1−    n 1 由于当 →0时，(1+ )−1~ ，对应此处的 =− ，有 n 1 n =−lim 100 n→ 1 1− −1    n 1 n 1 =−lim = n→  1 100 100 −    n [易错点]：对常用的等价无穷小和等式的处理不熟练。2 5.（数一二三）设𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) 存在,且有 𝑓(𝑥)=e−2𝑥+𝑥1−𝑥𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥),则 𝑓(𝑥)=_________. 𝑥→1 𝑥→1 [知识点]：指数与幂函数极限计算、洛必达法则应用以及极限值方程求解。 [答案]：e−2𝑥+ 1 𝑥1− 2 𝑥. e2−1 [解析]：题目中给出𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)存在这一关键条件，由于函数𝑓(𝑥)的表达式中包含𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)这 𝑥→1 𝑥→1 一未知量，所以我们先记𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)=𝐴,这样做的目的是将未知的极限值用一个字母表示， 𝑥→1 以便后续在等式中进行运算和求解. 2 于是有 𝑓(𝑥)=𝑒−2𝑥+𝑥1−𝑥𝐴 , 𝐴 = lim𝑓(𝑥) 𝑥→1 2 =𝑒−2+𝐴lim𝑥1−𝑥 𝑥→1 2ln𝑥 =𝑒−2+𝐴lim𝑒 ( 1−𝑥 ) 𝑥→1 而 2 2ln𝑥 𝑥 lim = lim =−2, 𝑥→11−𝑥 𝑥→1−1 所以 𝐴=𝑒−2+𝐴𝑒−2, 𝑒−2 1 解得 𝐴= = . 1−𝑒−2 𝑒2−1 故 𝑓(𝑥)=𝑒−2𝑥+ 1 𝑥1− 2 𝑥. 𝑒2−1 2 [易错点]：计算lim𝑥1−𝑥 时，取对数转化及洛必达法则应用易出错，求解关于极限值𝐴的方程 𝑥→1 𝐴 =𝑒−2+𝐴𝑒−2时，移项和化简可能出现计算错误。6.（数一二三）设 𝑥 =0,𝑥 = 1+2𝑥𝑛−1(𝑛 =1,2,3,⋯),则𝑙𝑖𝑚 𝑥 =________.。 0 𝑛 𝑛 1+𝑥𝑛−1 𝑛→∞ [知识点]：数列极限的求解，涉及数列的有界性与单调性判断。 [答案]： 1+√5 . 2 [解析]：要求数列{𝑥 }的极限lim𝑥 ，首先要判断数列是否收敛. 如果数列收敛，才能通 𝑛 𝑛 𝑛→∞ 过对递推公式取极限来求解极限值. 而判断数列收敛，常从数列的有界性和单调性入手. 显然0<𝑥 = 2(1+𝑥𝑛−1 )−1 =2− 1 <2 (𝑛=1,2,3,⋯) 𝑛 1+𝑥𝑛−1 1+𝑥𝑛−1 即{𝑥 }有界. 𝑛 1 令𝑓(𝑥)=2− 可知, 𝑓(𝑥)在𝑥 ≥0时单调上升, 从而 𝑥 =𝑓(𝑥 )(𝑛=1,2,3,⋯) 𝑛+1 𝑛 1+𝑥 单调. 因此{𝑥 } 收敛,记lim𝑥 =𝑎. 𝑛 𝑛 𝑛→∞ 对递归方程 𝑥 = 1+2𝑥𝑛−1两边取极限得 𝑎= 1+2𝑎 ,即 𝑎2−𝑎−1=0 𝑛 1+𝑥𝑛−1 1+𝑎 1+√5 解得 𝑎 = . 2 1 [易错点]：在判断𝑓(𝑥)=2− 单调性及由此得出数列{𝑥 }单调性时，可能因对函数求导或 𝑛 1+𝑥 分析错误导致结论错误；在推导数列有界性时，对{𝑥 }表达式变形和范围推导不准确。 𝑛7.（数一二三）设 3 阶矩阵𝐴=(𝛼 ,𝛼 ,𝛼 ), 其中 𝛼 ,𝛼 ,𝛼 为 3 维列向量, 若 |𝐴|= 1 2 3 1 2 3 1 ,则∣𝛼 +𝛼 ,𝛼 +𝛼 ,𝛼 +𝛼 ∣ = ________. 1 2 2 3 3 1 2 . [知识点]：行列式的计算，涉及利用矩阵乘法将向量组的变换转化为矩阵形式来计算行列式。 [答案]：1. [解析]： 已知3阶矩阵𝐴=(𝛼 ,𝛼 ,𝛼 )的行列式|𝐴|的值，要求∣𝛼 +𝛼 ,𝛼 +𝛼 ,𝛼 + 1 2 3 1 2 2 3 3 𝛼 ∣，需要找到两者之间的联系。可以通过矩阵乘法将(α +α ,α +α ,α +α )表示成 1 1 2 2 3 3 1 (𝛼 ,𝛼 ,𝛼 )与某个矩阵相乘的形式，或者利用行列式的性质对(α +α ,α +α ,α +α )进 1 2 3 1 2 2 3 3 1 行化简. 1 0 1 由于(α +α ,α +α ,α +α )=(α ,α ,α )[1 1 0], 所以： 1 2 2 3 3 1 1 2 3 0 1 1 ∣1 0 1∣ 1 ∣α 1 +α 2 ,α 2 +α 3 ,α 3 +α 1 ∣=∣α 1 ,α 2 ,α 3 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 0 ∣ ∣ ∣ = 2 ⋅2=1. 0 1 1 也可以用行列式的性质来求解: 将第2列的(−1)倍加到第1列,再将第3列的1倍加到第1列得 ∣α +α ,α +α ,α +α ∣ = ∣α −α ,α +α ,α +α ∣ = ∣2α ,α +α ,α +α ∣. 1 2 2 3 3 1 1 3 2 3 3 1 1 2 3 3 1 1 将第1列的(− )倍加到第3列,再将第3列的(−1)倍加到第2列得 2 ∣𝛼 +𝛼 ,𝛼 +𝛼 ,𝛼 +𝛼 ∣=∣2𝛼 ,𝛼 +𝛼 ,𝛼 ∣=∣2𝛼 ,𝛼 ,𝛼 ∣=2∣𝛼 ,𝛼 ,𝛼 ∣=1. 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 [易错点]： 在使用行列式的性质进行化简时，如行（列）的倍加操作，可能出现符号错误或 操作顺序错误，导致计算结果出错。