(310)--周周清第十九周（7.14-7.20）_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

周周清 7.14-7.20 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设 f(x)为[a,)上的二阶可导函数， f(x)0，abc，若 f(b) f(a) f(c) f(a)  f()，  f() ba 1 ca 2 则____ . (A).  (B).  (C).  (D).无法确定 1 2 1 2 1 2 2.（数一二三）设函数 y  y(x)由方程ex tan(xy) ycosx确定，则 y(0) ____ n (n2 1)(n2 2)(n2 n2) 3.（数一二三）计算lim ____ n n2 1 4.（数一三）设随机变量X ,X ,X 相互独立且均服从二项分布B(2, )，随机变量 1 2 3 3 Y max  X ,X ,X  1 2 3 则P  Y 1  ____. 5.（数一二三）作变量替换 ，方程 简化为 2 ' 2d d 2 =e d + d + =0 _____________. 6.（数一二三）设 ， 在 上连续，并且当 时 ，则 >0 [0, ] 0≤ ≤2 + − =0 0 d . . . 不能确定符号. (A)>0 (B)<0 (C)=0 (D) 7.（数一二三）已知 ，则和矩阵 相似的对角矩阵是 1 0 0 = 0 1 3 ________. 0 4 2周周清 7.14-7.20 -by 可爱因子大橙子 可爱因子章鱼烧 1.（数一二三）设 f(x)为[a,+)上的二阶可导函数， f(x)0，abc，若 f(b)− f(a) f(c)− f(a) = f()， = f() b−a 1 c−a 2 则____. (A).  (B). = (C).  (D).无法确定 1 2 1 2 1 2 [知识点]：函数的分析 [解析]：答案：(A).  1 2 f(x)− f(a) f(x)(x−a)− f(x)+ f(a) 令(x)= ，则(x)= x−a (x−a)2 令g(x)= f(x)(x−a)− f(x)+ f(a)，则g(a)=0，且当xa时， g(x)= f(x)(x−a)+ f(x)− f(x)= f(x)(x−a)0 于是，g(x)单调递增，结合g(a)=0可知当xa时，g(x) g(a)=0，从而知当xa 时，(x)0，(x)单调递增，(b)(c) 注意到(b)= f()，(c)= f()，故由(b)(c)可得 f() f().又因为 1 2 1 2 f(x)0，故 f(x)单调递增，故  1 2 [易错点]：对于函数单调性的分析要有耐心，合理地构造函数。2.（数一二三）设函数y = y(x)由方程ex +tan(xy)= ycosx确定，则y(0)= ____ [知识点]：隐函数求导 [解析]：答案：6 将x=0代入ex +tan(xy)= ycosx可得y(0)=1 对方程两端同时关于x求导可得 ex +sec2(xy)(y+xy)= ycosx− ysinx. （1） 将x=0，y(0)=1代入（1）式可得y(0)=2 对（1）式两端同时关于x求导可得 ex +2sec2(xy)tan(xy)(y+xy)2 +sec2(xy)(2y+xy)= ycosx−2ysinx−ycosx. 将x=0，y(0)=1，y(0)=2代入上式可得y(0)=6 [易错点]：题目看似思路很简单，但想要算对并不简单，求导的过程中务必仔细，且注意到 由于最终需要算的是导数值，所以求导后不必费时间化简，直接带值进去即可，这样避免了 化简带来的出错。n (n2 +1)(n2 +2) (n2 +n2) 3.（数一二三）计算lim = ____ n→ n2 [知识点]：使用定积分定义求极限  −2 [解析]：答案：2e2 n (n2 +1)(n2 +2) (n2 +n2) 记a = ，则 n n2 1 n 1 n   k2   lna = ln(n2 +k2)−2lnn=  ln1+ +2lnn−2lnn n n k=1 n k=1  n2   1 n  k2  1 n  k2  = ln1+ +2lnn−2lnn= ln1+  n  n2  n  n2  k=1 k=1 由定积分定义， limlna =lim 1  n ln  1+ k2  =  1 ln(1+x2)dx= xln(1+x2) | 1 − 1 x 2x dx n→ n n→n  n2  0 0 0 1+x2 k=1 1 1  |  =ln2−2  1−  dx=ln2−2+2arctanx 1=ln2−2+ 0 1+x2  0 2 因此，   limlna ln2−2+ −2 lima =limelna n =en→ n =e 2 =2e2 n n→ n→ [易错点]：常规的定积分定义计算的套路，注意计算的时候小心一点。1 4.（数一三）设随机变量X ,X ,X 相互独立且均服从二项分布B(2, )，随机变量 1 2 3 3 Y =maxX ,X ,X  1 2 3 则PY =1= ____. [知识点]：概率的计算 448 [解析]：答案： 729 Y 为离散型随机变量，记Y 的分布函数为F (y)，则PY =1= F (1)−F (0). Y Y Y 1 由于X ,X ,X 相互独立且均服从二项分布B(2, )，故 1 2 3 3 独立性 F (y)=P{Y  y}=P{X  y,X  y,X  y}====P{X  y}P{X  y}P{X  y} Y 1 2 3 1 2 3 = ( PX  y)3 1 下面分别计算PX 0和PX 1.由于X ~ B(2, )，故 3 2  1 4 P{X 0}= P{X =0}=C0  1−  = 2  3 9 2  1 1  1 4 4 8 P{X 1}= P{X =0}+P{X =1}=C0  1−  +C1   1−  = + = 2  3 2 3  3 9 9 9 3 3 8 512 4 64 由此可知，F (1)=   = ,F (0)=   = . Y 9 729 Y 9 729 512 64 448 因此，P{Y =1}= − = . 729 729 729 [易错点]：计算量较大，结果显得比较古怪，计算时谨慎一点。5.（数一二三）作变量替换 𝑥 =e′，方程 𝑎𝑥2d2𝑦 +𝑏𝑥 d𝑦 +𝑐𝑦 =0简化为_____________. d𝑥2 d𝑥 [知识点]：变量替换与复合函数求导法则。 d2𝑦 d𝑦 [答案]： 𝑎 +(𝑏−𝑎) +𝑐𝑦 =0. d𝑡2 d𝑡 [解析]：由 𝑥 =𝑒𝑡，得𝑡=ln𝑥，于是 d𝑦 d𝑦d𝑡 1d𝑦 = = ， d𝑥 d𝑡d𝑥 𝑥d𝑡 d2𝑦 d 1d𝑦 1 d𝑦 1 d d𝑦 d𝑡 = ( )=− + ( ) d𝑥2 d𝑥 𝑥d𝑡 𝑥2d𝑡 𝑥d𝑡 d𝑡 d𝑥 1 d𝑦 1 d2𝑦 =− + ， 𝑥2d𝑡 𝑥2d𝑡2 代入原方程得 𝑎𝑥2(− 1 d𝑦 + 1 d2𝑦 )+𝑏𝑥( 1d𝑦 )+𝑐𝑦 =0， 𝑥2d𝑡 𝑥2d𝑡2 𝑥d𝑡 即 d2𝑦 d𝑦 𝑎 +(𝑏−𝑎) +𝑐𝑦 =0. d𝑡2 d𝑡 [易错点]：复合函数求导（尤其是二阶导数）时，对链式法则运用不熟练，求导过程中符 号、系数计算出错，导致方程转化错误。6.（数一二三）设𝑎 >0，𝑓(𝑥)在[0,𝑎]上连续，并且当0≤𝑥 ≤ 𝑎 时𝑓(𝑥)+𝑓(𝑎−𝑥)=0， 2 𝑎 则∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 0 (A) >0. (B) <0. (C) =0. (D) 不能确定符号. [知识点]：定积分分段和变量替换。 [答案]：C. 𝑎 𝑎 [解析]：为了用 0≤𝑥 ≤ 时 𝑓(𝑥) 的条件，将积分 ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 分段积分: 2 0 𝑎 𝑎 𝑎 2 𝐼 =∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 =∫ 𝑓(𝑥)d𝑥+∫ 𝑓(𝑥)d𝑥， 𝑎 0 0 2 对第二个定积分作变量替换 𝑡 =𝑎−𝑥 (𝑥 =𝑎−𝑡) 𝑎 𝑎 0 2 ∫ 𝑓(𝑥)d𝑥 =−∫ 𝑓(𝑎−𝑡)d𝑡 =∫ 𝑓(𝑎−𝑡)d𝑡 𝑎 𝑎 0 2 2 𝑎 2 =∫ 𝑓(𝑎−𝑥)d𝑥， 0 因此 𝑎 2 𝐼 =∫ [𝑓(𝑥)+𝑓(𝑎−𝑥)]d𝑥 =0. 0 即应选(C). [易错点]：分段积分时区间划分错误，变量替换后积分上下限、被积函数转换出错，导致 无法正确化简定积分。1 0 0 7.（数一二三）已知𝐀=[0 1 3]，则和矩阵 𝐀 相似的对角矩阵是________. 0 4 2 [知识点]：求矩阵特征多项式。 1 [答案]：[ 5 ]. −2 [解析]：由特征多项式 𝜆−1 0 0 ∣𝜆𝐄−𝐀∣=| 0 𝜆−1 −3 |=(𝜆−1)(𝜆2−3𝜆−10)， 0 −4 𝜆−2 知矩阵𝐀有 3 个不同的特征值 1,5 ,-2. 1 故𝐀必与对角矩阵[ 5 ]相似. 另外，本题答案不唯一，交换三个特征值位置的对角 −2 矩阵同样正确. [易错点]：计算特征多项式时行列式展开出错，求解特征方程（因式分解等）求特征值失 误，导致相似对角矩阵错误 。