(412)--专题十三计算二重积分的方法和技巧笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课 专题13 计算二重积分的方法和技巧 （P147-155） 主讲 武忠祥 教授二重积分的计算 1. 利用直角坐标计算 1）先 y 后 x b y (x)  f (x, y)d   dx  2 f (x, y)dy a y (x) 1 D 2）先 后 x y d x ( y)  f (x, y)d   dy  2 f (x, y)dx c x ( y) 1 D 2. 利用极坐标计算  r ()  f (x, y)d   d 2 f (r cos, r sin)rdr  r () 1 D【注】i) 适合用极坐标计算的被积函数: y x f ( x 2  y 2 ), f ( ), f ( ); x y ii)适合用极坐标的积分域: x 2  y 2  R 2 ; r 2  x 2  y 2  R 2 ; x 2  y 2  2ax; x 2  y 2  2by; 3.利用对称性和奇偶性计算 ①若积分域 关于 y 轴对称, 则: D  2  f (x, y)d; f ( x, y)  f (x, y)   f (x, y)d   D x0 D   0; f ( x, y)   f (x, y) ② 若积分域关于 轴对称, 则 x  2  f (x, y)d f (x, y)  f (x, y)   f (x, y)d   D y0  D  0 f (x, y)   f (x, y)4.利用变量对称性计算 若 D 关于 y  x 对称, 则 1  f (x, y)d   f ( y, x)d  [  f (x, y)d  f ( y, x)d] 2 D D D D 特别的：  f (x)d   f ( y)d D D2 2 2 x sin y 【例1】积分  dx  dy  ___________ . 2 0 x y 2 2 2 2 x sin y 2 y x sin y 【解】  dx  dy   dy  dx 2 2 0 x y 0 0 y 1 2   sin 2 ydy 2 0    2  2 sin 2 ydy  0 2 为奇数，  0, n  2 2  cos n xdx   sin n xdx    0 0 4  2 sin n xdx, n 为偶数 .  02 x e 1 1 2 【例2】二次积分  dy  (  e y )dx  _________ . 0 y x 2 2 x x e e 【解】  1 dy  1 (  e y 2 )dx   1 dy  1 dx   1 dy  1 e y 2 dx 0 y x 0 y x 0 y 2 x e 1 x 1 2   dx  dy   (1  y)e y dy 0 0 x 0 1 1 2 2   e x dx   (1  y)e y dy 0 0 1 1 2   ye y dy  (e  1) 0 2  【例3】设 D  (x, y) x 2  y 2  1 , 则  (3x  4 y) 2 dxdy  _________ . D 25 [ ] 4 【解】 (x  1) 2 ( y  2) 2  【例4】设 ，则  (5x  3 y)dxdy  _________ . D  (x, y)   1 9 4   D [6] 【解1】 【解2】1 1 【例5】 dx  x 2  y 2 dy  ________ . 0 0  1 【解】  x 2  y 2 dxdy  2  4 d cosr 2 dr 0 0 D 设 D 关于 y  x 对称  2 1   4 d 3 0 cos 3 1)若 f (x, y)  f ( y, x) ，  1 则  f (x, y)dxdy  2  f (x, y)dxdy  [sectan ln(sec tan)] 4 3 0 D D yx 2)若 f (x, y)   f ( y, x) ， 1  [ 2  ln(1  2)] 3 则  f (x, y)dxdy  0 D 【例6】设区域 由曲线 y  sin x, x   , y  1 D 2 围成，则  (xy 5  1)dxdy ( ) (D) D （A） . （B）2. （C） 2. （D）. 【解】0 2x 2 1 2x 2 【例7】积分  dx  (1  xy)dy   dx  (1  xy)dy  ( ) 1 x 0 x 5 5 7 7 (A ) (B ) (C ) (D) , , , , 3 6 3 6 0 2x 2 1 2x 2 【解】  dx  (1  xy)dy   dx  (1  xy)dy 1 x 0 x 1 2x 2  2  dx  dy 0 x 1  2  [2  x 2  x]dx 0 7  3【例8】设 f (x, y) 连续，且 f (x, y)  xy   f (u,v)dud v ，其中 D D 是由 y  0, y  x 2 , x  1, 所围区域，则 f (x, y) 等于（ ）. 1 （A） xy （B） 2xy （C） xy  （D） xy  1 8 【解1】直接法  f (x, y)dxdy   xydxdy   1dxdy   f (u,v)dud v D D D D 1 1 1  f (x, y)dxdy    f (u,v)dud v  f (x, y)dxdy  12 3 8 D D D 【解2】排除法【例9】设区域 D 是由 0  x  y,0x 2  y 2  1 所确定的平面区域，计算积分 1  2x 2  xy 2  dxdy. 1  x 2  y 2 D 1  2x 2  xy 2 1  2x 2 xy 2 【解】  dxdy   dxdy   dxdy 1  x 2  y 2 1  x 2  y 2 1  x 2  y 2 D D D 1  x 2  y 2 xy 2   dxdy   dxdy 1  x 2  y 2 1  x 2  y 2 D D  xy 2    dxdy 2 1  x 2  y 2 D   r 4 sin 2cos 1   2  4 d dr 2 0 0 1  r 2  1  2   (  ) 2 3 2 4 3【例10】计算二重积分 I   r 2 sin 1  r 2 cos 2d r d, D   其中 D  (r,) | 0  r  sec,0  .  4  【解】 I   y 1  x 2  y 2 d x d y D 1 1 x   d x  1  x 2  y 2 d(1  x 2  y 2 ) 2 0 0 x 3 3 1 1 1 1   (1  x 2  y 2 )2 d x   [1  (1  x 2 )2 ]d x. 3 0 3 0 0 设 x  sin t ，则  1 1 1 1 3 1  1  I    2 cos 4 t d t        . 3 3 0 3 3 4 2 2 3 16  【例11】已知平面域 D  (x, y) | x 2  y 2  2 y 计算二重积分 I   (x  1) 2 d xdy. D 【解】 I   (x 2  2x  1)d x d y D  2x d x d y  0 D  2sin I   (x 2  1)d x d y  2  2 d r 2 cos 2rdr  0 0 D   8  2 sin 4cos 2d 0  3 1  5 3 1  5  8  2 sin 4(1  sin 2)d  8(       )    0 4 2 2 6 4 2 2 4【例12】计算二重积分  (x  y)d x d y ，其中 D D  {(x, y) | (x  1) 2  ( y  1) 2  2, y  x}. 【解1】如图 所示，区域 的极坐标表示为 D  3 0  r  2(sin cos),  . 4 4 3 2(sincos)  (x  y)d x d y   4 d r 2 (cos sin)d r  0 D 4 3 3 8 8   4 (sin cos) 3 (cos sin)d   4 (sin cos) 3 d(sin cos)   3 3 4 4 3 3 2 8  8 4 4  (sin cos) 4  sin 4 ( )   . 3  3 4  3 4 4【例12】计算二重积分  (x  y)d x d y ，其中 D D  {(x, y) | (x  1) 2  ( y  1) 2  2, y  x}. 【解2】极坐标平移，令 x  1  r cos, y  1  r sin, 5 2  (x  y)d x d y   4 d r 2 (cos sin)d r  0 D 4 5 2 2   4 (cos sin)d  3 4 5 5 2 2 4 4  4 8  (sin cos)  sin( )   . 3  3 4  3 4 4【例13】计算二重积分  x 2  y 2  1d, D 其中 D  {(x, y)0  x  1,0  y  1}. 【解】 如图所示，将 分成 与 两部分. D D D 1 2  | x 2  y 2  1| d   (1  x 2  y 2 )d   (x 2  y 2  1)d. D D D 1 2   (1  x 2  y 2 )d [  (x 2  y 2  1)d  (x 2  y 2  1)d] D D D 1 1  2  (1  x 2  y 2 )d  (x 2  y 2  1)d] D D 1   1  (1  x 2  y 2 )d   2 d (1  r 2 )r d r  0 0 8 D 11 1  (x 2  y 2  1)d   d x  (x 2  y 2  1)d y 0 0 D  2 1 1    x 2  d x   0 3 3  1 因此  | x 2  y 2  1| d   . 4 3 D【例14】计算  max{xy,1}d x d y D 其中 D  {(x, y) | 0  x  2,0  y  2}. 【解】  max{xy,1}d x d y   xy d x d y   d x d y D D D 1 2 1 1 2 2 2 2   d x  xy d y   2 d x  d y   d x  x d y 1 1 1 0 0 0 2 x 2 15 19   ln 2  1  2ln 2   ln 2. 4 4【例15】设 D  {(x, y) | x 2  y 2  2, x  0, y  0}, [1  x 2  y 2 ] 表示不超过 1  x 2  y 2 的最大整数，计算二重积分  xy[1  x 2  y 2 ]d x d y. D 【解1】   xy[1  x 2  y 2 ]d x d y. D  4 2   2 d r 3 sincos[1  r 2 ]d r 0 0  4 2   2 sincosd r 3 [1  r 2 ]d r 0 0 1  1 4 2  3    r 3 d r   2r 3 d r   . 2  0 1  8【例15】设 D  {(x, y) | x 2  y 2  2, x  0, y  0}, [1  x 2  y 2 ] 表示不超过 1  x 2  y 2 的最大整数，计算二重积分  xy[1  x 2  y 2 ]d x d y. D 【解2】记 D  {(x, y) | x 2  y 2  1, x  0, y  0}, 1 D  {(x, y) |1  x 2  y 2  2, x  0, y  0}, 2  xy[1  x 2  y 2 ]d x d y   xy d x d y   2xy d x d y D D D 1 2   1 4 2   2 d r 3 sincosd r   2 d 2r 3 sincosd r 0 0 0 1 1 1 3    . 8 4 8  【例16】设平面域 D  (x, y)1  x 2  y 2  4, x  0, y  0 , x 2 y 2 sin( x  y)  x 2 ln( x 2  y 2 ) 计算  dxdy. x 2  y 2 D 【解】由于积分域 关于直线 y  x 对称，则 D x 2 y 2 sin( x  y) x 2 y 2 sin( y  x) x 2 y 2 sin( x  y)  dxdy   dxdy   dxdy x 2  y 2 x 2  y 2 x 2  y 2 D D D x 2 ln( x 2  y 2 ) y 2 ln( x 2  y 2 )  dxdy   dxdy x 2  y 2 x 2  y 2 D D 1 x 2 ln( x 2  y 2 ) y 2 ln( x 2  y 2 )  [  dxdy   dxdy] 2 x 2  y 2 x 2  y 2 D D  1 1 2  7   x 2  y 2 ln( x 2  y 2 )dxdy   2 d r 2 ln r 2 dr  (8ln 2  ) 2 2 0 1 6 3 D x  t  sin t, 【例17】设平面区域 D 由曲线  (0  t  2) 与 x  y  1  cos t, 轴围成，计算二重积分  (x  2 y)dxdy. D 【解】  (x )dxdy  0. D  (x  2 y)dxdy   (x )dxdy   (2 y )dxdy D D D 2 y(x) 2   dx  (2 y )dy   [ y 2 (x) y(x)]dx 0 0 0 2 2 2   [(1  cos t) 3 (1  cos t) 2 ]dt  cos n xdx   sin n xdx  0 0 0 2 t t   [(2sin 2 ) 3 (2sin 2 ) 2 ]dt 为奇数，  0, n 0 2 2     2   [(2sin 2 u) 3 (2sin 2 u) 2 ]du 4  2 sin n xdx, n 为偶数 .  0 0    32  2 sin 6 udu  16 2 sin 4 udu  5 32 0 0【例18】已知函数 具有二阶连续偏导数,且 f (x, y) f (1, y)  0, f (x,1)  0,  f (x, y)d x d y  a, 其中 D D  {(x, y) | 0  x  1,0  y  1}, 计算积分 I   xyf  (x, y)d x d y. xy D 【解1】因为 f (1, y)  0, f (x,1)  0 ，所以 f  (1, y)  0, f  (x,1)  0. y x I   1 x d x  1 yf  (x, y)d y   1 x  yf  (x, y) y1   1 f  (x, y)dy  d x xy x y0 x 0 0 0 0   1 d y  1 xf  (x, y)d x   1 xf (x, y) x1   1 f (x, y)d x  d y x x0 0 0 0 0 1 1   d y  f (x, y)d x  a. 0 0【例18】已知函数 具有二阶连续偏导数,且 f (x, y) f (1, y)  0, f (x,1)  0,  f (x, y)d x d y  a, 其中 D D  {(x, y) | 0  x  1,0  y  1}, 计算积分 I   xyf  (x, y)d x d y. xy D 1 1 【【解解22】】  f (x, y)d x d y   dy  f (x, y)dx 0 0 D 1 x1 1    xf (x, y)   xf  (x, y)d x d y x0 x 0 0 1 1 1 1   d y  xf  (x, y)d x   x d x  f  (x, y)d y x x 0 0 0 0   1 x  yf  (x, y) y1   1 yf  (x, y)dy  d x x y0 xy 0 0 1 1   x d x  yf  (x, y)d y   xyf  (x, y)d x d y xy xy 0 0 D  【例1】(2025年2）已知平面有界域 D  (x, y) x 2  y 2  4x, x 2  y 2  4 y , 计算二重积分  (x  y) 2 dxdy. D  4sin 【解】  (x  y) 2 dxdy  2  4 d (r 3  2r 3 sincos)dr 0 0 D   128  4 (sin 4 2sin 5cos)d 0  1  cos 2 16  128  4 ( ) 2 d 0 2 3  1  cos4 16 112  32  4 [( )  2cos 2 1]d  12 0 2 3 3   4 sin 4d   4 sin 3d cos 0 0    sin 3cos 4  3  4 sin 2cos 2d 0 0  1 3 1 3     4 sin 2 2d 2    4 8 0 4 32    4 sin 4d   4 sin 2(1  cos 2)d 0 0   1  cos 2 1  1  1 3   4 d  4 sin 2 2d 2       0 2 8 0 8 4 32 4 32   3  4 sin 4d  4 cos 4d   2 sin 4d  0 0 0 16     4 sin 4d  4 cos 4d   4 (sin 2 cos 2)d 0 0 0  1   4 cos 2d   0 2  1 3  4 sin 4d    0 4 32  【例2】(2025年3）已知平面有界域 D  (x, y) y 2  x, x 2  y , 计算二重积分  (x  y  1) 2 dxdy. D 【解】  (x  y  1) 2 dxdy   [(x  y) 2  2(x  y)  1]dxdy D D   (x  y) 2 dxdy   dxdy D D 1 x 1 x  2  dx  ( y  x) 2 dy   dx  dy 2 2 0 x 0 x 2 1 71 1   (x  x 2 ) 3 dx   3 0 3 210祝同学们 考研路上一路顺利！