(412)--专题十三计算二重积分的方法和技巧笔记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26高等数学17堂课
专题13 计算二重积分的方法和技巧
（P147-155）
主讲 武忠祥 教授二重积分的计算
1. 利用直角坐标计算
1）先 y 后 x
b y (x)
 f (x, y)d   dx  2 f (x, y)dy
a y (x)
1
D
2）先 后
x y
d x ( y)
 f (x, y)d   dy  2 f (x, y)dx
c x ( y)
1
D
2. 利用极坐标计算
 r ()
 f (x, y)d   d 2 f (r cos, r sin)rdr
 r ()
1
D【注】i) 适合用极坐标计算的被积函数:
y x
f ( x 2  y 2 ), f ( ), f ( );
x y
ii)适合用极坐标的积分域:
x 2  y 2  R 2 ; r 2  x 2  y 2  R 2 ; x 2  y 2  2ax; x 2  y 2  2by;
3.利用对称性和奇偶性计算
①若积分域 关于 y 轴对称, 则:
D
 2  f (x, y)d; f ( x, y)  f (x, y)

 f (x, y)d  
D
x0
D   0; f ( x, y)   f (x, y)
② 若积分域关于 轴对称, 则
x
 2  f (x, y)d f (x, y)  f (x, y)

 f (x, y)d  
D
y0

D  0 f (x, y)   f (x, y)4.利用变量对称性计算
若 D 关于 y  x 对称, 则
1
 f (x, y)d   f ( y, x)d  [  f (x, y)d  f ( y, x)d]
2
D D D D
特别的：  f (x)d   f ( y)d
D D2
2 2 x sin y
【例1】积分
 dx  dy  ___________ .
2
0 x y
2 2
2 2 x sin y 2 y x sin y
【解】  dx  dy   dy  dx
2 2
0 x y 0 0 y
1 2
  sin 2 ydy
2 0


 2  2 sin 2 ydy 
0 2
为奇数，
 0, n

2 2
 cos n xdx   sin n xdx   
0 0 4  2 sin n xdx, n 为偶数 .

02
x
e
1 1
2
【例2】二次积分  dy  (  e y )dx  _________ .
0 y x
2 2
x x
e e
【解】  1 dy  1 (  e y 2 )dx   1 dy  1 dx   1 dy  1 e y 2 dx
0 y x 0 y x 0 y
2
x
e
1 x 1
2
  dx  dy   (1  y)e y dy
0 0 x 0
1 1
2 2
  e x dx   (1  y)e y dy
0 0
1
1
2
  ye y dy  (e  1)
0 2 
【例3】设 D  (x, y) x 2  y 2  1 , 则  (3x  4 y) 2 dxdy  _________ .
D
25
[ ]
4
【解】 (x  1) 2 ( y  2) 2 
【例4】设 ，则  (5x  3 y)dxdy  _________ .
D  (x, y)   1
9 4
 
D
[6]
【解1】
【解2】1 1
【例5】 dx  x 2  y 2 dy  ________ .
0 0
 1
【解】  x 2  y 2 dxdy  2  4 d cosr 2 dr
0 0
D 设 D 关于 y  x 对称

2 1
  4 d
3 0 cos
3 1)若 f (x, y)  f ( y, x) ，

1 则  f (x, y)dxdy  2  f (x, y)dxdy
 [sectan ln(sec tan)] 4
3 0
D D
yx
2)若 f (x, y)   f ( y, x) ，
1
 [ 2  ln(1  2)]
3 则  f (x, y)dxdy  0
D
【例6】设区域 由曲线 y  sin x, x   , y  1
D
2
围成，则  (xy 5  1)dxdy ( ) (D)
D
（A）
.
（B）2. （C）
2.
（D）.
【解】0 2x 2 1 2x 2
【例7】积分  dx  (1  xy)dy   dx  (1  xy)dy  ( )
1 x 0 x
5 5 7 7
(A ) (B ) (C ) (D)
, , , ,
3 6 3 6
0 2x 2 1 2x 2
【解】
 dx  (1  xy)dy   dx  (1  xy)dy
1 x 0 x
1 2x 2
 2  dx  dy
0 x
1
 2  [2  x 2  x]dx
0
7

3【例8】设 f (x, y) 连续，且 f (x, y)  xy   f (u,v)dud v ，其中
D
D 是由 y  0, y  x 2 , x  1, 所围区域，则 f (x, y) 等于（ ）.
1
（A） xy （B） 2xy （C） xy  （D） xy  1
8
【解1】直接法  f (x, y)dxdy   xydxdy   1dxdy   f (u,v)dud v
D D D D
1 1 1
 f (x, y)dxdy    f (u,v)dud v  f (x, y)dxdy 
12 3 8
D D D
【解2】排除法【例9】设区域 D 是由 0  x  y,0x 2  y 2  1 所确定的平面区域，计算积分
1  2x 2  xy 2

dxdy.
1  x 2  y 2
D
1  2x 2  xy 2 1  2x 2 xy 2
【解】  dxdy   dxdy   dxdy
1  x 2  y 2 1  x 2  y 2 1  x 2  y 2
D D D
1  x 2  y 2 xy 2
  dxdy   dxdy
1  x 2  y 2 1  x 2  y 2
D D
 xy 2
   dxdy
2 1  x 2  y 2
D
  r 4 sin 2cos
1
  2  4 d dr
2 0 0 1  r 2
 1  2
  (  )
2 3 2 4 3【例10】计算二重积分 I   r 2 sin 1  r 2 cos 2d r d,
D
 
其中
D  (r,) | 0  r  sec,0  .
 4 
【解】 I   y 1  x 2  y 2 d x d y
D
1
1 x
  d x  1  x 2  y 2 d(1  x 2  y 2 )
2 0 0
x
3 3
1 1
1 1
  (1  x 2  y 2 )2 d x   [1  (1  x 2 )2 ]d x.
3 0 3 0
0
设 x  sin t ，则

1 1 1 1 3 1  1 
I    2 cos 4 t d t        .
3 3 0 3 3 4 2 2 3 16 
【例11】已知平面域
D  (x, y) | x 2  y 2  2 y
计算二重积分 I   (x  1) 2 d xdy.
D
【解】 I   (x 2  2x  1)d x d y
D
 2x d x d y  0
D

2sin
I   (x 2  1)d x d y  2  2 d r 2 cos 2rdr 
0 0
D

 8  2 sin 4cos 2d
0

3 1  5 3 1  5
 8  2 sin 4(1  sin 2)d  8(       )   
0 4 2 2 6 4 2 2 4【例12】计算二重积分  (x  y)d x d y ，其中
D
D  {(x, y) | (x  1) 2  ( y  1) 2  2, y  x}.
【解1】如图 所示，区域 的极坐标表示为
D
 3
0  r  2(sin cos),  .
4 4
3
2(sincos)
 (x  y)d x d y   4 d r 2 (cos sin)d r

0
D 4
3 3
8 8
  4 (sin cos) 3 (cos sin)d   4 (sin cos) 3 d(sin cos)
 
3 3
4 4
3 3
2 8  8
4 4
 (sin cos) 4  sin 4 ( )   .
3  3 4  3
4 4【例12】计算二重积分  (x  y)d x d y ，其中
D
D  {(x, y) | (x  1) 2  ( y  1) 2  2, y  x}.
【解2】极坐标平移，令
x  1  r cos, y  1  r sin,
5
2
 (x  y)d x d y   4 d r 2 (cos sin)d r

0
D 4
5
2 2
  4 (cos sin)d

3
4
5 5
2 2 4 4  4 8
 (sin cos)  sin( )   .
3  3 4  3
4 4【例13】计算二重积分  x 2  y 2  1d,
D
其中
D  {(x, y)0  x  1,0  y  1}.
【解】 如图所示，将 分成 与 两部分.
D D D
1 2
 | x 2  y 2  1| d   (1  x 2  y 2 )d   (x 2  y 2  1)d.
D D D
1 2
  (1  x 2  y 2 )d [  (x 2  y 2  1)d  (x 2  y 2  1)d]
D D D
1 1
 2  (1  x 2  y 2 )d  (x 2  y 2  1)d]
D D
1


1
 (1  x 2  y 2 )d   2 d (1  r 2 )r d r 
0 0 8
D
11 1
 (x 2  y 2  1)d   d x  (x 2  y 2  1)d y
0 0
D
 2 1
1
   x 2  d x  
0 3 3
 1
因此  | x 2  y 2  1| d   .
4 3
D【例14】计算 
max{xy,1}d x d y
D
其中 D  {(x, y) | 0  x  2,0  y  2}.
【解】  max{xy,1}d x d y   xy d x d y   d x d y
D D D
1 2
1 1
2 2 2 2
  d x  xy d y   2 d x  d y   d x  x d y
1 1 1
0 0 0
2 x 2
15 19
  ln 2  1  2ln 2   ln 2.
4 4【例15】设 D  {(x, y) | x 2  y 2  2, x  0, y  0}, [1  x 2  y 2 ]
表示不超过 1  x 2  y 2 的最大整数，计算二重积分  xy[1  x 2  y 2 ]d x d y.
D
【解1】   xy[1  x 2  y 2 ]d x d y.
D

4 2
  2 d r 3 sincos[1  r 2 ]d r
0 0

4 2
  2 sincosd r 3 [1  r 2 ]d r
0 0
1  1 4 2  3
   r 3 d r   2r 3 d r   .
2  0 1  8【例15】设 D  {(x, y) | x 2  y 2  2, x  0, y  0}, [1  x 2  y 2 ]
表示不超过 1  x 2  y 2 的最大整数，计算二重积分  xy[1  x 2  y 2 ]d x d y.
D
【解2】记 D  {(x, y) | x 2  y 2  1, x  0, y  0},
1
D  {(x, y) |1  x 2  y 2  2, x  0, y  0},
2
 xy[1  x 2  y 2 ]d x d y   xy d x d y   2xy d x d y
D D D
1 2
 
1 4 2
  2 d r 3 sincosd r   2 d 2r 3 sincosd r
0 0 0 1
1 1 3
   .
8 4 8 
【例16】设平面域
D  (x, y)1  x 2  y 2  4, x  0, y  0 ,
x 2 y 2 sin( x  y)  x 2 ln( x 2  y 2 )
计算 
dxdy.
x 2  y 2
D
【解】由于积分域 关于直线 y  x 对称，则
D
x 2 y 2 sin( x  y) x 2 y 2 sin( y  x) x 2 y 2 sin( x  y)
 dxdy   dxdy   dxdy
x 2  y 2 x 2  y 2 x 2  y 2
D D D
x 2 ln( x 2  y 2 ) y 2 ln( x 2  y 2 )
 dxdy   dxdy
x 2  y 2 x 2  y 2
D D
1 x 2 ln( x 2  y 2 ) y 2 ln( x 2  y 2 )
 [  dxdy   dxdy]
2 x 2  y 2 x 2  y 2
D D

1 1 2  7
  x 2  y 2 ln( x 2  y 2 )dxdy   2 d r 2 ln r 2 dr  (8ln 2  )
2
2 0 1 6 3
D x  t  sin t,
【例17】设平面区域 D 由曲线  (0  t  2) 与 x
 y  1  cos t,
轴围成，计算二重积分
 (x  2 y)dxdy.
D
【解】
 (x )dxdy  0.
D
 (x  2 y)dxdy   (x )dxdy   (2 y )dxdy
D D D
2 y(x) 2
  dx  (2 y )dy   [ y 2 (x) y(x)]dx
0 0 0
2 2 2
  [(1  cos t) 3 (1  cos t) 2 ]dt  cos n xdx   sin n xdx 
0 0 0
2 t t
  [(2sin 2 ) 3 (2sin 2 ) 2 ]dt 为奇数，
 0, n
0 2 2 


 2   [(2sin 2 u) 3 (2sin 2 u) 2 ]du 4  2 sin n xdx, n 为偶数 .

0
0
 
 32  2 sin 6 udu  16 2 sin 4 udu  5 32
0 0【例18】已知函数 具有二阶连续偏导数,且
f (x, y)
f (1, y)  0, f (x,1)  0,  f (x, y)d x d y  a, 其中
D
D  {(x, y) | 0  x  1,0  y  1}, 计算积分 I   xyf  (x, y)d x d y.
xy
D
【解1】因为 f (1, y)  0, f (x,1)  0 ，所以 f  (1, y)  0, f  (x,1)  0.
y x
I  
1
x d x 
1
yf  (x, y)d y  
1
x

yf  (x, y)
y1
 
1
f  (x, y)dy

d x
xy x y0 x
0 0 0 0
 
1
d y 
1
xf  (x, y)d x  
1
xf (x, y)
x1
 
1
f (x, y)d x

d y
x x0
0 0 0 0
1 1
  d y  f (x, y)d x  a.
0 0【例18】已知函数 具有二阶连续偏导数,且
f (x, y)
f (1, y)  0, f (x,1)  0,  f (x, y)d x d y  a, 其中
D
D  {(x, y) | 0  x  1,0  y  1}, 计算积分 I   xyf  (x, y)d x d y.
xy
D
1 1
【【解解22】】  f (x, y)d x d y   dy  f (x, y)dx
0 0
D
1
x1
1

  xf (x, y)   xf  (x, y)d x d y
x0 x
0 0
1 1 1 1
  d y  xf  (x, y)d x   x d x  f  (x, y)d y
x x
0 0 0 0
 
1
x

yf  (x, y)
y1
 
1
yf  (x, y)dy

d x
x y0 xy
0 0
1 1
  x d x  yf  (x, y)d y   xyf  (x, y)d x d y
xy xy
0 0
D 
【例1】(2025年2）已知平面有界域
D  (x, y) x 2  y 2  4x, x 2  y 2  4 y ,
计算二重积分  (x  y) 2 dxdy.
D

4sin
【解】  (x  y) 2 dxdy  2  4 d (r 3  2r 3 sincos)dr
0 0
D

 128  4 (sin 4 2sin 5cos)d
0

1  cos 2 16
 128  4 ( ) 2 d
0 2 3

1  cos4 16 112
 32  4 [( )  2cos 2 1]d  12
0 2 3 3 
 4 sin 4d   4 sin 3d cos
0 0
 
 sin 3cos 4  3  4 sin 2cos 2d
0 0

1 3 1 3
    4 sin 2 2d 2   
4 8 0 4 32
 
 4 sin 4d   4 sin 2(1  cos 2)d
0 0
 
1  cos 2 1  1  1 3
  4 d  4 sin 2 2d 2      
0 2 8 0 8 4 32 4 32  
3
 4 sin 4d  4 cos 4d   2 sin 4d 
0 0 0 16
  
 4 sin 4d  4 cos 4d   4 (sin 2 cos 2)d
0 0 0

1
  4 cos 2d  
0 2

1 3
 4 sin 4d   
0 4 32 
【例2】(2025年3）已知平面有界域 D  (x, y) y 2  x, x 2  y , 计算二重积分
 (x  y  1) 2 dxdy.
D
【解】  (x  y  1) 2 dxdy   [(x  y) 2  2(x  y)  1]dxdy
D D
  (x  y) 2 dxdy   dxdy
D D
1 x 1 x
 2  dx  ( y  x) 2 dy   dx  dy
2 2
0 x 0 x
2 1 71
1
  (x  x 2 ) 3 dx  
3 0 3 210祝同学们
考研路上一路顺利！