考研数学重要公式总结金榜时代内部专属_1_07.2026考研数学李永乐全程班_01.2026考研数学金榜李永乐_09.李永乐×薛威26考研数学保命班_00.配课讲义

考研数学重要公式总结 高等数学重要公式 一、极限 当 x → 0 时, 有 x ∼ sinx ∼ tanx ∼ arcsinx ∼ arctanx ∼ ex −1 ∼ ln(1+x), x2 x2 (1+x)m −1 ∼ mx,ax −1 ∼ xlna,1−cosx ∼ ,x−ln(1+x) ∼ , 2 2 x3 x3 x3 x3 x−sinx ∼ ,x−arcsinx ∼ − ,x−tanx ∼ − ,x−arctanx ∼ . 6 6 3 3 当 x → 0 时,f(x) → 0,f′(x) 存在,F(x) → 0,G(x) → 0,F(x) ∼ G(x), 则 ˆ ˆ f(x) f(x) F(t)dt ∼ G(t)dt. 0 0 泰勒展开式 泰勒定理 (皮亚诺余项形式): 如果函数 f(x) 在 x 点处具有 n 阶导数, 那么存在 x 的一个邻域, 0 0 对于该邻域内的任意一个 x, 都有 f′′(x ) f(n)(x ) f(x) = f(x )+f ′ (x )(x−x )+ 0 (x−x )2 +···+ 0 (x−x )n +R (x), 0 0 0 0 0 n 2! n! 其中皮亚诺余项 R (x) = o((x−x )n). n 0 1 1 1 1.ex = 1+x+ x2 + x3···+ xn +o(xn). 2! 3! n! 1 1 (−1)n 2.sin x = x− x3 + x5 +···+ x2n+1 +o(x2n+2). 3! 5! (2n+1)! 1 1 (−1)n 3.cos x = 1− x2 + x4 +···+ x2n +o(x2n+1). 2! 4! (2n)! 1 1 (−1)n−1 4.ln(1+x) = x− x2 + x3 +···+ xn +o(xn). 2 3 n m(m−1) m(m−1)...(m−n+1) 5.(1+x)m = 1+mx+ x2 +···+ xn +o(xn). 2! n! x3 2x5 6.tanx = x+ + +o(x6). 3 15 二、导数 求导公式 (tanx)′ = sec2x. (cotx)′ = −csc2x. (secx)′ = secxtanx. (cscx)′ = −cscxcotx. 1 (log x) ′ = (a > 0,a ̸= 1). (ax)′ = axlna(a > 0,a ̸= 1). a xlna 1 1 (arcsinx) ′ = √ . (arccosx) ′ = −√ . 1−x2 1−x2 1 1 (arctanx) ′ = . (arccot x) ′ = − . 1+x2 1+x2 隐函数的导数 由方程 F(x,y) = 0 所确定的函数 y = y(x) 称为隐函数. 1考研数学重要公式总结 将 y 看作是 x 的函数, 然后方程两边同时对 x 求导得到 ′ ′ ′ F (x,y)+F (x,y)y (x) = 0 1 2 F′(x,y) 于是 y ′ (x) = − 1 . F′(x,y) 2 反函数的导数 dx 1 1 设 y = f(x) 可导,f′(x) ̸= 0, 则有反函数 x = φ(y), 且 = ,即φ ′ (y) = . dy dy f′(x) dx 变限积分的求导公式 ˆ x 如果 f(x) 在区间 [a,b] 上连续, 则 f(t)dt 在 [a,b] 上可导, 且 a ˆ (cid:16) (cid:17) x ′ f(t)dt = f(x). a 如果 f(x) 是 [a,b] 上的连续函数,φ (x),φ (x) 为可导函数, 则 1 2 ˆ (cid:16) (cid:17) φ2(x) ′ f(t)dt = f(φ (x))·φ ′ (x)−f(φ (x))·φ ′ (x) 2 2 1 1 φ1(x) 高阶导数 (u±v)(n) = (u)(n) ±(v)(n), (uv)(n) = u(n)v +C1u(n−1)v ′ +···+Cku(n−k)v(k) +···+uv(n) n n Xn = Cku(k)v(n−k). n k=0 1.(xn)(n) = n!. 2.(eax+b)(n) = aneax+b,(ax)(n) = axlnna. nπ nπ 3.[sin(ax+b)](n) = ansin(ax+b+ ), [cos(ax+b)](n) = ancos(ax+b+ ). (cid:16) (cid:17) 2 2 1 (n) n!an 4. = (−1)n . ax+b (ax+b)n+1 (n−1)!an 5.[ln(ax+b)](n) = (−1)n−1 . (ax+b)n 曲线的渐近线 (1). 若 lim f(x) = C(C 为常数), 则 y = C 是曲线 y = f(x) 的一条水平渐近线. x→∞ (2). 若 lim f(x) = ∞, 则 x = x 是曲线 y = f(x) 的一条铅直渐近线. 0 x→x0 f(x) (3) 若 lim = a ̸= 0, 而且 lim[f(x)−ax] = b, 则 y = ax+b 是 y = f(x) 的斜渐近线. x→∞ x x→∞ 1. 费马定理 2考研数学重要公式总结 设函数 f(x) 在点 x 的某邻域 U(x ) = (x +δ,x −δ) 内有定义, 并且在 x 处可导, 如果对于任 0 0 0 0 0 意的 x ∈ U(x ), 有 f(x) ≤ f(x )(或 f(x) ≥ f(x )), 则有 f′(x ) = 0. 0 0 0 0 2. 罗尔定理 如果函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续, 在开区间上可导, 且在区间端点处的函数值相等, 即 f(a) = f(b), 那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ, 使得 f′(ξ) = 0. 3. 拉格朗日中值定理 如果函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续, 在开区间 (a,b) 内可导, 那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ, 使得 f(b)−f(a) = f ′ (ξ)(b−a). 4. 柯西中值定理 如果函数 f(x) 及 F(x) 在闭区间 [a,b] 上开区间 (a,b) 内可导, 且对任一 x ∈ (a,b), F′(x) ̸= 0, 那么在 (a,b) 内至少有一点 ξ, 使得 f(b)−f(a) f′(ξ) = . F(b)−F(a) F′(ξ) 6. 泰勒中值定理 泰勒定理 (拉格朗日余项形式): 如果函数 f(x) 在含有 x 的某个开区间 (a,b) 内有 (n+1) 阶导 0 数, 则对于任一 x ∈ (a,b), 有 f(n)(x ) f(n+1)(ξ) f(x) = f(x )+f ′ (x )(x−x )+···+ 0 (x−x )n + (x−x )n+1, 0 0 0 0 0 n! (n+1)! 其中 ξ 介于 x 与 x 之间. 0 基本ˆ积分公式 (1). secxdx = ln|secx+tanx|+C. ˆ dx (2). = tanx+C, ˆ cos2x (cid:12) (cid:12) 1 1 (cid:12)x−a(cid:12) (3). dx = ln(cid:12) (cid:12)+C. ˆ x2 −a2 2a (cid:12) x+a (cid:12) 1 1 (cid:12)a+x(cid:12) (4). dx = ln(cid:12) (cid:12)+C. ˆ a2 −x2 2a a−x √ 1 (5). √ dx = ln|x+ x2 −a2|+C. ˆ x2 −a2 √ 1 (6). √ dx = ln|x+ x2 +a2|+C. ˆ x2 +a2 √ √ x a2 x (7). a2 −x2dx = a2 −x2 + arcsin +C. ˆ 2 2 a √ √ √ x a2 (8). x2 ±a2dx = x2 ±a2 ± ln|x+ x2 ±a2|+C. ˆ 2 2 ˆ (9). tanxdx = −ln|cosx|+C. (10). cotxdx = ln|sinx|+C. 3考研数学重要公式总结 ˆ (11). secxtanxdx = secx+C. ˆ (12). cscxcotxdx = −cscx+C. 积分公式 华理士公式 8 ˆ π ˆ π > < n−1 × n−3 ×···× 1 × π , n为偶数 2 2 n n−2 2 2 sinnxdx = cosnxdx = > :n−1 n−3 2 0 0 × ×···× , n为大于 1 的奇数 n n−2 3 若 f(x) 为 [0,1] 上的连续函数, 则 ˆ ˆ π π π xf(sinx)dx = f(sinx)dx. 2 0 0 定积分不等式 ˆ ˆ b b 若 f(x) ≤ g(x),x ∈ [a,b], 则 f(x)dx ≤ g(x)dx. a a 若 f(x) 在 [a,b] 上连续, 则 ˆ b m(b−a) ≤ f(x)dx ≤ M(b−a), a 其中 m,M 分别为 f(x) 在 [a,b] 上的最小值与最大值. ˆ b 若函数 f(x) > 0,x ∈ [a,b], 且可积, 则有 f(x)dx > 0. a 绝对值不等式： (cid:12)ˆ (cid:12) ˆ (cid:12) b (cid:12) b (cid:12) f(x)dx(cid:12) ≤ |f(x)|dx. a a 柯西-施瓦茨不等式：若函数 f(x),g(x) 在 [a,b] 上可积, 则有 ˆ ˆ ˆ (cid:16) (cid:17) b 2 b b f(x)g(x)d ≤ f2(x)dx· g2(x)dx. a a a 积分中值定理 ˆ b 若 f(x) 在 [a,b] 上连续, 则 f(x)dx = f(ξ)(b−a),a < ξ < b. a 若 f(x),g(x) 在 [a,b] 上连续, 且 g(x) 不变号, 则 ˆ ˆ b b f(x)g(x)dx = f(ξ) g(x)dx,a ≤ ξ ≤ b. a a 旋转体的体积 设区域 D 是上半平面内的一个有界闭区域, 将该区域绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积计算 方法为: 在区域 D 的 (x,y) 处取一个面积微元 dσ, 它到 x 轴的距离为 y, 该面积微元绕 x 轴旋转而成的 4考研数学重要公式总结 旋转体的体积为 dV = 2πydσ, 积分便可得到旋转体的体积为 x ¨ V = 2πydσ. x D 如果 D = {(x,y)|a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ f(x)}, 则 D 绕 x 轴旋转的旋转体体积为： ¨ ˆ ˆ ˆ b f(x) b V = 2πydσ = dx 2πydy = πf2(x)dx. x a 0 a D 如果 D = {(x,y)|a ≤ x ≤ b,0 ≤ g(x) ≤ y ≤ f(x)}, 则 D 绕 x 轴旋转的旋转体体积为： ¨ ˆ ˆ ˆ b f(x) b V = 2πydσ = dx 2πydy = π[f2(x)−g2(x)]dx. x a g(x) a D 如果 D = {(x,y)|c ≤ x ≤ d,0 ≤ x ≤ f(y)}, 则 D 绕 y 轴旋转的旋转体体积为： ¨ ˆ ˆ ˆ d f(y) d V = 2πxdσ = dy 2πxdx = πf2(y)dy. y c 0 c D 如果 D = {(x,y)|c ≤ x ≤ d,0 ≤ g(y) ≤ x ≤ f(y)}, 则 D 绕 y 轴旋转的旋转体体积为： ¨ ˆ ˆ ˆ d f(y) d V = 2πxdσ = dy 2πxdx = π[f2(y)−g2(y)]dy. y c g(y) c D 如果 D = {(x,y)|0 ≤ a ≤ x ≤ b,g(x) ≤ y ≤ f(x)}, 则 D 绕 y 轴旋转的旋转体体积为： ¨ ˆ ˆ ˆ b f(x) b V = 2πxdσ = 2πxdx dy = 2πx[f(x)−g(x)]dx. y a g(x) a D 如果 D 是曲边扇形：D = {(r,θ)|0 ≤ α ≤ θ ≤ β ≤ π,0 ≤ r ≤ r(θ)}, 则 D 绕极轴旋转的旋转体的 体积为 ¨ ˆ ˆ ˆ β r(θ) 2π β V = 2πydσ = dθ 2πrsinθrdr = r3(θ)sinθdθ x 3 α 0 α D 常用的无穷积分比较判别法 设非负函数 f(x) 在 [a,+∞) 上连续, 则有 ˆ 1 +∞ (1) 当 f(x) ≤ ,x ∈ [a,+∞), 且 p > 1 时, f(x)dx 收敛; xp ˆa 1 +∞ (2) 当 f(x) ≥ ,x ∈ [a,+∞), 且 p ≤ 1 时, f(x)dx 发散. xp a 常用的无穷积分比较判别法的极限形式 设非负函数 f(x) 在 [a,+∞) 上连续, 且 lim xpf(x) = c, 则 x→+∞ 5考研数学重要公式总结 ˆ +∞ (1) 当 p > 1,0 ≤ c < +∞ 时, f(x)dx 收敛; ˆa +∞ (2) 当 p ≤ 1,0 < c ≤ +∞ 时, f(x)dx 发散. a 常用瑕积分的比较判别法 设非负函数 f(x) 在 [a,+∞) 上连续,x = a 为瑕点, 则有 ˆ 1 b (1) 当 f(x) ≤ , 且 0 < p < 1 时, f(x)dx 收敛; (x−a)p ˆ a 1 b (2) 当 f(x) ≥ , 且 p ≥ 1 时, f(x)dx 发散. (x−a)p a 常用瑕积分比较判别法的极限形式 设非负函数 f(x) 在 (a,b] 上连续,x = a 为瑕点, 且 lim (x−a)pf(x) = c, 则 ˆ x→a+ b (1) 当 0 < p < 1,0 ≤ c < +∞ 时, f(x)dx 收敛; ˆ a b (2) 当 p ≥ 1,0 < c ≤ +∞ 时, f(x)dx 发散. a 一阶线性齐次方程 dy 若微分方程具有 +P(x)y = 0 的形式, 称该方程为一阶线性齐次方程. dx 解法 dy 1. 将其改写为 = −P(x)dx. y ˆ 2. 两边积分可得 ln|y| = − P(x)dx+C . 1 ´ ´ 3. 两边取指数可得 y = ±eC1e − P(x)dx = Ce − P(x)dx. 一阶线性非齐次微分方程 dy 一阶微分方程如果可以写为 +P(x)y = Q(x) 的形式, 则称其为一阶线性非齐次微分方程. dx 通解公式 ˆ h i ´ ´ y = e − P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx+C . 二阶常系数微分方程 1. 二阶常系数齐次线性微分方程 若微分方程满足 y′′+py′+qy = 0 的形式, 其中 p,q 为常数, 则称其为二阶常系数齐次线性微分方 程. 解法: p p2 1. 将 r2 +pr +q = 0 称为特征方程, 则有 (r+ )2 = −q. 2 4 p2 2. 当 −q ≥ 0, 则有实根 r ,r , 1 2 4 若 r = r , 则齐次方程的通解为 y = (C +C x)er1x. 1 2 1 2 若 r ̸= r , 则齐次方程的通解为 y = C er1x +C er2x. 1 2 1 2 p2 3. 当 −q < 0, 有复数根 r = α+βi,r = α−βi, 1 2 4 齐次方程的通解为 y = eαx(C cosβx+C sinβx). 1 2 6考研数学重要公式总结 2. 二阶常系数非齐次线性微分方程 若微分方程满足 y′′+py′+q = f(x) 的形式, 其中 p,q 为常数, 则称其为二阶常系数非齐次线性微 分方程. 解法: 1. 利用齐次微分方程的解法求出来 y′′ +py′ +qy = 0 的通解 y . 1 2. 当 f(x) = eαxP (x) 时, 其中 P (x) 是已知的 m 次多项式. m m 当 α 不是特征方程的根时, 可设特解为 y∗ = eαxQ (x); m 当 α 是特征方程的单根时, 可设特解为 y∗ = xeαxQ (x); m 当 α 是特征方程的二重根时, 可设特解为 y∗ = x2eαxQ (x). m 其中以上的 Q (x) 是待定的 m 次多项式. m 当 f(x) = eαx[P (x)cosβx+Q (x)sinβx], 其中 P (x),Q (x) 分别为 x 的 r 次、s 次多项式. r s r s 当 α±βi 不是特征方程的根时, 可设特解为 y∗ = eαx[P∗(x)cosβx+Q∗sinβx]. t t 当 α±βi 是特征方程的根时, 可设特解为 y∗ = xeαx[P∗(x)cosβx+Q∗sinβx]. t t 其中 t = max{r,s},P∗(x),Q∗(x) 均为 x 的 t 次待求多项式. t t 3. 可得非齐次方程的通解为 y = y +y∗. 1 七、多元函数微分学 可微的充要条件 z = f(x,y) 在点 (x ,y ) 可微等价于 0 0 f(x +∆x,y +∆y)−f(x ,y )−f′(x ,y )∆x−f′(x ,y )∆y lim 0 0 0 0 x 0 0 y 0 0 = 0. ρ→0 ρ 3. 复合函数的偏导数 如果函数 u = u(t),v = v(t) 都在点 t 处可导, 函数 z = f(u,v) 在对应点 (u,v) 处具有连续一阶偏 导数, 则复合函数 z = f(u(t),v(t)) 在点 t 处可导且 dz ∂z du ∂z dv = + . dt ∂u dt ∂v dt 设 z = f(u(x,y),v(x,y)), 其中 f(u,v),u(x,y),v(x,y) 具有连续偏导数, 则有 ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = + , = + ∂x ∂u∂x ∂v ∂x ∂y ∂u∂y ∂v ∂y 4. 全微分形式不变性 设 z = f(u,v),u = u(x,y),v = v(x,y), 如果 f(u,v),u(x,y),v(x,y) 分别有连续偏导数, 则复合函 ∂z ∂z 数 z = f(u,v) 可微, 且有 dz = dx+ dy. 又有 ∂x ∂y ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = + , = + ∂x ∂u∂x ∂v ∂x ∂y ∂u∂y ∂v ∂y 7考研数学重要公式总结 代入可得 (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) ∂f ∂u ∂f ∂v ∂f ∂u ∂f ∂v dz = + dx+ + dy ∂u∂x ∂v ∂x ∂u∂y ∂v ∂y (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) ∂f ∂u ∂u ∂f ∂v ∂v = dx+ dy + dx+ dy ∂u ∂x ∂y ∂v ∂x ∂y ∂f ∂f ∂z ∂z = du+ dv = du+ dv ∂u ∂v ∂u ∂v 5. 由方程确定的隐函数的偏导数 设函数 F(x,y) 在点 P(x ,y ) 的某邻域内具有连续偏导数, 且 F(x ,y ) = 0, 0 0 0 0 F′(x ,y ) ̸= 0, 则方程 F(x,y) = 0 在点 P(x ,y ) 的某邻域内恒能确定一个单值连续且有连续导数的 y 0 0 0 0 函数 y = f(x), 它满足条件 y = f(x ), 并且 0 0 dy F ′ (x,y)+F ′ (x,y)· = 0 x y dx dy F′(x,y) 于是可得 = − x . dx F′(x,y) y 设函数 F(x,y,z) 在点 P(x ,y ,z ) 某邻域内具有连续偏导数, 且 F(x ,y ,z ) 0 0 0 0 0 0 = 0,F′(x ,y ,z ) ̸= 0, 则方程 F(x,y,z) = 0 在点 P(x ,y ,z ) 某邻域内恒能确定一个单值且有连续偏 z 0 0 0 0 0 0 导数的函数 z = f(x,y), 它满足条件 z = f(x ,y ), 并且 0 0 0 ∂z F ′ (x,y,z)+F ′ (x,y,z)· = 0, x z ∂x ∂z F ′ (x,y,z)+F ′ (x,y,z)· = 0 y z ∂y ∂z F′(x,y,z) ∂z F′(x,y,z) 于是可得 = − x , = − y . ∂x F′(x,y,z) ∂y F′(x,y,z) z z 6. 无条件极值 设函数 z = f(x,y) 在点 (x ,y ) 的某邻域内具有连续的二阶偏导数, 且 f′(x ,y ) = 0,f′(x ,y ) = 0 0 x 0 0 y 0 0 0, 取 A = f′′ (x ,y ),B = f′′ (x ,y ),C = f′′ (x ,y ), 则有 xx 0 0 xy 0 0 yy 0 0 1. 当 B2 −AC < 0 时,f(x ,y ) 是极值, 且当 A < 0 时,f(x ,y ) 是极大值, 当 A > 0 时,f(x ,y ) 0 0 0 0 0 0 是极小值. 2. 当 B2 −AC > 0 时,f(x ,y ) 不是极值; 0 0 3. 当 B2 −AC = 0 时,f(x ,y ) 可能是极值, 也可能不是极值. 0 0 1. 常数项级数收敛的判别方法 1. 比较判别法 X∞ X∞ 设 u , v 均为正项级数, 且存在一个 N > 0, 当 n > N 时, 有 u ≤ v , 则 n n n n n=1 n=1 X∞ X∞ 当 v 收敛时, u 收敛; n n n=1 n=1 8考研数学重要公式总结 X∞ X∞ 当 u 发散时, v 发散. n n n=1 n=1 2. 比较判别法的极限形式 X∞ X∞ u 设 u , v 均为正项级数, 且 lim n = λ, 则有 n n n→∞ v n n=1 n=1 X∞ X∞ (1). 当 0 < λ < +∞ 时, u 与 v 同敛散; n n n=1 n=1 X∞ X∞ (2). 当 λ = 0 时, 若 v 收敛, 则 u 收敛; n n n=1 n=1 X∞ X∞ (3). 当 λ = +∞ 时, 若 v 发散, 则 u 发散. n n n=1 n=1 注: 比较判别法需要找到参照级数. 3. 比值判别法 X∞ u 对于正项级数 u , 若有 lim n+1 = r, 则 n n→∞ u n n=1 X∞ 当 r < 1 时, 级数 u 收敛; n n=1 X∞ 当 r > 1 时, 级数 u 发散; n n=1 当 r = 1 时, 不能确定敛散性. 4. 根值判别法 X∞ √ 对于正项级数 u , 若有 lim n u = r, 则 n n n→∞ n=1 X∞ 当 r < 1 时, 级数 u 收敛; n n=1 X∞ 当 r > 1 时, 级数 u 发散. n n=1 当 r = 1 时, 不能确定敛散性. 5. 积分判别法 若存在一个定义在 [1,+∞) 上的单调递减的非负函数 f(x), 使得 u = f(n)(n = 1,2,···), 则 ˆ n X∞ +∞ u 收敛的充要条件是反常积分 f(x)dx 收敛. n n=1 1 6. 常用级数 X∞ 几何级数： rn = 1+r+r2 +···+rn +··· , n=0 X∞ 1 当 |r| < 1 时收敛, 且 rn = ; 当 |r| ≥ 1 时, 级数发散. 1−r n=0 X∞ 1 1 1 p 级数: = 1+ +···+ +··· , np 2p np n=1 9考研数学重要公式总结 当 p > 1 时收敛; 当 0 < p ≤ 1 时发散. 7. 莱布尼茨判别法 X∞ 如果交错级数 (−1)n−1a 满足 n n=1 (1).a ≥ a ,n = 1,2,··· ; (2).lim a = 0, n n−1 n n→∞ 则该交错级数是收敛的. 2. 幂级数 1. 幂级数的性质 X∞ (cid:12) (cid:12) p (cid:12)a (cid:12) 对于幂级数 a xn, 如果有 ρ = lim (cid:12) n+1(cid:12) 或 ρ = lim n |a | 成立, 则收敛半径为 R = n n 8 n→∞ a n n→∞ n=0 >1 > > > , 0 < ρ < +∞, <ρ >0, ρ = +∞, 区间 (−R,R) 为该幂级数的收敛区间. 结合 x = ±R 处级数的敛散性后所确 > > > : +∞,ρ = 0, 定的区间为收敛域. 2. 基本函数的展开式 X∞ 1 1. xn = 1+x+x2 +···+xn +··· = ,x ∈ (−1,1). 1−x n=0 X∞ X∞ 1 将 x 替换为 −x, 则有 = (−x)n = (−1)nxn,x ∈ (−1,1). 1+x n=0 n=0 X∞ X∞ 1 将 x 替换为 x2, 则有 = (−1)n(x2)n = (−1)nx2n,x ∈ (−1,1). 1+x2 n=0 n=0 2. 由 1 我们可以利用原函数得到 X∞ xn ln(1+x) = (−1)n−1 ,(−1 < x ≤ 1). n n=1 X∞ xn ln(1−x) = − ,(−1 < x ≤ 1). n n=1 X∞ x2n+1 arctanx = (−1)n ,(−1 ≤ x ≤ 1) 2n+1 n=0 3. 三角函数 X∞ (−1)n sin x = x2n+1,(−∞ < x < +∞). (2n+1)! n=0 X∞ (−1)n cos x = x2n,(−∞ < x < +∞). (2n)! n=0 4. 指数函数 X∞ 1 1 1 ex = 1+x+ x2 +···+ xn +··· = xn,(−∞ < x < +∞). 2! n! n! n=0 5. 多项式函数 X∞ m(m−1)...(m−n+1) (1+x)m = xn,(−1 < x < 1). n! n=0 10考研数学重要公式总结 线性代数重要公式 行列式按(cid:12)照一行或者一列展开(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a a ··· a (cid:12) (cid:12) 11 12 1n (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a a ··· a (cid:12) 设 D = (cid:12) 21 22 2n (cid:12) 则有 (cid:12) . . . . . . (cid:12) (cid:12) . . . (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a a ··· a (cid:12) n1 n2 nn (1).D = a A +a A +···+a A ,k = 1,2,··· ,n. k1 k1 k2 k2 kn kn (2).D = a A +a A +···+a A ,k = 1,2,··· ,n. 1k 1k 2k 2k nk nk 其中 A 表示元素 a 的代数余子式. ij ij 上下三角形行列式 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a a a ··· a (cid:12) (cid:12) a 0 0 ··· 0 (cid:12) (cid:12) 11 12 13 1n (cid:12) (cid:12) 11 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 a a ··· a (cid:12) (cid:12) a a 0 ··· 0 (cid:12) (cid:12) 22 23 2n (cid:12) (cid:12) 21 22 (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 0 a ··· a (cid:12) (cid:12) = (cid:12) (cid:12) a a a ··· 0 (cid:12) (cid:12) = a a ···a . 33 1n 31 32 33 11 22 nn (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) . . . . . . . . (cid:12) . . . . (cid:12) (cid:12) . . . . (cid:12) (cid:12) . . . . (cid:12) (cid:12) . . . . (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 0 0 ··· a (cid:12) (cid:12) a a a ··· a (cid:12) nn n1 n2 n3 nn (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a ··· a a (cid:12) (cid:12) 0 ··· 0 a (cid:12) (cid:12) 11 1,n−1 1n (cid:12) (cid:12) 1n (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a 21 ··· a 2,n−1 0 (cid:12) (cid:12) = (cid:12) (cid:12) 0 ··· a 2,n−1 a 2n (cid:12) (cid:12) = (−1) n(n−1) a a ···a . (cid:12) . . . . . . (cid:12) (cid:12) . . . . . . (cid:12) 2 1n 2,n−1 n1 (cid:12) . . . (cid:12) (cid:12) . . . (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a ··· 0 0 (cid:12) (cid:12) a ··· a a (cid:12) n1 n1 n,n−1 nn 拉普拉斯展开式 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) A ∗ (cid:12) (cid:12) A O (cid:12) (cid:12) (cid:12) = (cid:12) (cid:12) = |A||B|. (cid:12) O B (cid:12) (cid:12) ∗ B (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) O A (cid:12) (cid:12) ∗ A (cid:12) (cid:12) (cid:12) = (cid:12) (cid:12) = (−1)mn|A||B|. (cid:12) B ∗ (cid:12) (cid:12) B O (cid:12) 其中 m,n 分别是矩阵 A,B 的阶数. 范德蒙行列式 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 1 ··· 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a a ··· a (cid:12) (cid:12) Y (cid:12) 1 2 n (cid:12) = (a −a ). (cid:12) . . . . . . (cid:12) j i (cid:12) . . . (cid:12) (cid:12) (cid:12) i >n, r(A) = n, < 5. r(A∗) = 1, r(A) = n−1, > > : 0, r(A) < n−1. Schmidt 正交化 13考研数学重要公式总结 设向量组 α ,α ,α 线性无关, 则正交规范化公式为 1 2 3 β = α , 1 1 (α ,β ) β = α − 2 1 β , 2 2 1 (β ,β ) 1 1 (α ,β ) (α ,β ) β = α − 3 1 β − 3 2 β , 3 3 1 2 (β ,β ) (β ,β ) 1 1 2 2 则 β ,β ,β 两两正交. 1 2 3 向量组秩的性质 1. 向量组 α ,α ,··· ,α 线性相关, 则 r(α ,α ,··· ,α ) < s. 1 2 s 1 2 s 2.n 维向量组 α ,α ,··· ,α 线性无关, 则 r(α ,α ,··· ,α ) = s. 1 2 s 1 2 s 3. 向量 β 可由向量组 α ,α ,··· ,α 线性表出, 则有 1 2 s r(α ,α ,··· ,α ) = r(α ,α ,··· ,α ,β). 1 2 s 1 2 s 4. 设 β ,β ,··· ,β 可以由 α ,α ,··· ,α 线性表示出来, 则有 1 2 t 1 2 s r(β ,β ,··· ,β ) ≤ r(α ,α ,··· ,α ) 1 2 t 1 2 s 5. 如果 β ,β ,··· ,β 与 α ,α ,··· ,α 等价, 则有 1 2 t 1 2 s r(β ,β ,··· ,β ) = r(α ,α ,··· ,α ) 1 2 t 1 2 s 特征值与特征向量的性质 设 n 阶矩阵 A = (a ) 的特征值为 λ ,λ ,··· ,λ , 则有 ij 1 2 n (1)λ +λ +···+λ = a +a +···+a ; 1 2 11 22 nn (2)λ λ ···λ = |A|. 1 2 n 设 λ ,λ ,··· ,λ 是方阵 A 的 m 个特征值,p ,p ,··· ,p 依次是与之对应的特征向量, 如果 1 2 m 1 2 m λ ,λ ,··· ,λ 各不相等, 则 p ,p ,··· ,p 线性无关. 1 2 m 1 2 m 衍生矩阵的特征值与特征向量 已知可逆矩阵 A 的特征值为 λ, 对应于 λ 的特征向量为 α,k 为非零常数,f(x) 为多项式函数, 则 有 (1)kA 的特征值为 kλ, 对应的特征向量为 α; (2)Ak 的特征值为 λk, 对应的特征向量为 α; (3)f(A) 的特征值为 f(λ), 对应的特征向量为 α; (4)A−1 的特征值为 λ−1, 对应的特征向量为 α; |A| (5)A∗ 的特征值为 , 对应的特征向量为 α. λ 14考研数学重要公式总结 相似 若方阵 A 与 B 相似, 则 A 与 B 的特征多项式相同, 从而 A 与 B 的特征值相同. 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 2 3 λ 0 ··· 0 6 1 7 6 7 6 0 λ ··· 0 7 6 2 7 6 . . . . . . 7 4 . . . 5 0 0 ··· λ n 相似, 则 λ ,λ ,··· ,λ 是 A 的 n 个特征值. 1 2 n n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等, 则 A 与对角矩阵相似. 实对称矩阵 设 A 为 n 阶对称矩阵,λ 是 A 的 k 重特征值, 则对应于特征值 λ 恰有 k 个线性无关的特征向量. 设 λ ,λ 是对称矩阵 A 的两个特征值,p ,p 是对应的特征向量, 若 λ ̸= λ , 则 1 2 1 2 1 2 p 与 p 正交. 1 2 设 A 为 n 阶对称矩阵, 则必有正交阵 P, 使得 P−1AP = PTAP, 构成以 A 的 n 个特征值为对 角元的对角矩阵. 若 A ∼ B, 则有 (1)r(A) = r(B); (2)|A| = |B| = λ λ ···λ ; 1 2 n Xn Xn Xn (3)trA = trB, 也即是 a = b = λ . ii ii i i=1 i=1 i=1 实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交. 合同与正定 设 A 与 B 为 n 阶矩阵, 若有可逆矩阵 C, 使得 B = CTAC, 则称矩阵 A 与 B 合同. 两个矩阵 A 与 B 合同, 等价于 xTAx 的正负惯性指数与 xTBx 的正负惯性指数相同 n 元二次型 f = xTAx 为正定的充分必要条件是: 它的标准形的 n 个系数全为正, 即它的规范形 的 n 个系数全为 1, 亦即它的正惯性指数等于 n. 实对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是 A 的特征值全为正. 实对称矩阵 A 为正定矩阵的充要条件是 A 的各阶主子式都为正, 即 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) a ··· a (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 11 1n (cid:12) a > 0, (cid:12) (cid:12) a 11 a 12 (cid:12) (cid:12) > 0,··· , (cid:12) (cid:12) . . . . . . (cid:12) (cid:12) > 0. 11 (cid:12) (cid:12) a a (cid:12) (cid:12) 21 22 (cid:12) a ··· a (cid:12) n1 nn 15考研数学重要公式总结 事件的运算规律 交换律:A∪B = B ∪A,A∩B = B ∩A. 结合律:A∪(B ∪C) = (A∪B)∪C,A∩(B ∩C) = (A∩B)∩C. 分配律:A∩(B ∪C) = (A∩B)∪(A∩C),A∪(B ∩C) = (A∪B)∩(A∪C). 对偶律:A∪B = A ¯∩B ¯ ,A∩B = A ¯∪B ¯ ,A−B = AB ¯ = A ¯∪B. 概率的性质 1.P(∅) = 0; 2. 若 A ,A ,··· ,A 两两互斥, 则有 1 2 m P(A ∪A ∪···∪A ) = P(A )+P(A )+···+P(A ); 1 2 n 1 2 n 3.P(A ¯ ) = 1−P(A); 4.A ⊂ B, 则 P(A) ≤ P(B); 5.0 ≤ P(A) ≤ 1. 概率五大公式 1. 加法公式 P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(AB); P(A∪B ∪C) = P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC). 2. 减法公式 P(A−B) = P(A)−P(AB). 3. 乘法公式 当 P(A) > 0 时,P(AB) = P(A)P(B|A). 4. 全概率公式 设 B ,B ,··· ,B 为概率均不为 0 的一个完备事件组, 则对任意事件 A, 有 1 2 n Xn P(A) = P(B )P(A|B ). i i i=1 5. 贝叶斯公式 设 B ,B ,··· ,B 为 Ω 的概率不为 0 的一个完备事件组, 则对任意事件 A, 且 P(A) > 0, 有 1 2 n P(B )P(A|B ) P(B |A) = j j ,j = 1,2,··· ,n. j Xn P(B )P(A|B ) j j i=1 古典型概率 当试验结果为有限 n 个样本点, 且每个样本点的发生具有相等的可能性, 称这种有限等可能试验 16考研数学重要公式总结 为古典概型, 此时如果事件 A 由 n 个样本点组成, 则事件 A 的概率为 A n A中包含的样本点数 A P(A) = = , n Ω中样本点总数 称 P(A) 为事件 A 的古典型概率. 几何型概率 当试验的样本空间是某区域, 以 L(Ω) 表示该样本空间 Ω 的几何度量.L(Ω) 有限, 且试验结果出现 在 Ω 中任何区域的可能性只与该区域的几何度量成正比, 称这种拓广到几何度量上有限等可能试验为 几何概型, 此时如果事件 A 的样本点表示的区域为 Ω , 则事件 A 的概率为 A L(Ω ) Ω 的几何度量 A A P(A) = = , L(Ω) Ω的几何度量 称这种 P(A) 为事件 A 的几何概型. n 重伯努利试验 把一个随机事件独立重复若干次, 即各次试验所联系的事件之间相互独立, 且同一个事件在各个 试验中出现的概率相同, 称为独立重复试验. 如果每次试验只有两个结果, 则称这种试验为伯努利试验, 将伯努利试验独立重复 n 次, 称为 n 重伯努利试验. 设在每次试验中, 概率 P(A) = p(0 < p < 1), 则在 n 重伯努利试验中事件 A 发生 k 次的概率, 又 称为二项概率公式:Ckpk(1−p)n−k,k = 0,1,2,··· ,n. n 17考研数学重要公式总结 常见离散型随机变量的分布 1.0−1 分布 如果随机变量 X 有分布律 P{X = 0} = 1−p,P{X = 1} = p,0 < p < 1, 则称 X 服从参数为 p 的 0−1 分布. 2. 二项分布 如果随机变量 X 有分布律 P{X = k} = Ckpk(1−p)n−k,k = 0,1,2,··· ,n,0 < p < 1, n 则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布, 记作 X ∼ B(n,p). 3. 几何分布 如果随机变量 X 的分布律为 P{X = k} = pqk−1,k = 1,2,··· ,0 < p < 1,q = 1−p, 则称 X 服从参数为 p 的几何分布. 4. 泊松分布 如果随机变量 X 的分布律为 λk P{X = k} = e −λ,k = 0,1,2,··· , k! 其中 λ > 0 为常数, 则称随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布, 记为 X ∼ P(λ). 18考研数学重要公式总结 常见的连续型随机变量分布函数 1. 均匀分布 如果连续型随机变量 X 的概率密度函数为 8 > 1 < ,a ≤ x ≤ b f(x) = b−a > : 0, 其他 则称随机变量 X 在区间 [a,b] 上服从均匀分布, 记作 X ∼ U[a,b]. 如果连续型随机变量 X 的概率密度函数为 8 > 1 < ,a < x < b f(x) = b−a > : 0, 其他 则称随机变量 X 在区间 (a,b) 上服从均匀分布, 记作 X ∼ U(a,b). 如果随机变量 X ∼ U[a,b] 或 X ∼ U(a,b), 则其分布函数为 8 > > >0, x < a, > < x−a F(x) = ,a ≤ x < b > >b−a > > : 1, b ≤ x 设 X ∼ U[a,b], 则对 a ≤ c < d ≤ b, 有 d−c P{c ≤ X ≤ d} = , b−a 则随机变量 X 落入 [a,b] 中某区间 [c,d] 的概率等于该区间长度与 [a,b] 的长度之比. 2. 指数分布 如果连续型随机变量 X 的概率密度函数为 8 < λe −λx,x > 0, f(x) = λ > 0, : 0, x ≤ 0, 则称 X 服从参数为 λ 的指数分布, 记作 X ∼ E(λ). 其分布函数为 8 < 1−e −λx,x > 0, F(x) = λ > 0, : 0, x ≤ 0, 设 X ∼ E(λ), 则有 ˆ +∞ (1)P{X > t} = λe −λtdt = e −λt,t > 0. t 19考研数学重要公式总结 (2) 指数分布的无记忆性 P{X > t+s,X > s} P{X > t+s|X > s} = P{X > s} P{X > t+s} = P{X > s} e−λ(t+s) = = e −λt e−λs = P{X > t},t,s > 0. 3. 正态分布 如果随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) = √ 1 e −(x 2 − σ µ 2 )2 ,−∞ < x < +∞, 2πσ 其中 µ,σ 为常数且 σ > 0, 则称 X 服从参数为 µ,σ 的正态分布, 记作 X ∼ N(µ,σ2). 此时分布函数为 ˆ F(x) = √ 1 x e −(t 2 − σ µ 2 )2 dt. 2πσ −∞ 当 µ = 0,σ2 = 1 时, 即 X ∼ N(0,1), 则称 X 服从标准正态分布, 此时用 φ(x) 表示 X 的概率密 度, 即 φ(x) = √ 1 e −x2 ,−∞ < x < +∞. 2 2π 此时分布函数为 ˆ Φ(x) = √ 1 x e −t2 dt. 2 2π −∞ 设 X ∼ N(µ,σ2), 其分布函数为 F(x), 则有 x−µ X −µ (1)F(x) = Φ( ), ∼ N(0,1). σ σ (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) x −µ x −µ (2) 当 x < x 时,P{x < X ≤ x } = Φ 2 −Φ 1 . 1 2 1 2 σ σ (3) 概率密度函数 f(x) 关于 x = µ 对称,Φ(x) 是偶函数. 1 (4)Φ(−x) = 1−Φ(x),Φ(0) = . 2 (5) 当 X ∼ N(0,1) 时,P{|X| ≤ a} = 2Φ(a)−1,a > 0. 4. 泊松定理 在伯努利试验中,p 代表事件 A 在试验中出现的概率, 它与试验总数 n 相关, n 如果 lim np = λ, 则有 n n→∞ λk lim Ckpk(1−p )n−k = e −λ. n→+∞ n n n k! 在应用泊松定理时, 当 n 足够大 (n ≥ 100),p 较小时,np 不太大的话, 这时有近似公式 Ckpk(1 − n (np)k p)n−k ∼ e −np. k! 20考研数学重要公式总结 离散型随机变量的函数分布 设 X 的分布律为 P{X = x } = p ,k = 1,2,··· , k k 则 X 的函数 Y = g(X) 的分布律为 P{Y = g(x )} = p ,k = 1,2,··· . k k 如果在 g(x ) 中有相同的数值, 则将它们相应的概率和作为 Y 取该值的概率. k 连续型随机变量的函数分布 方法一：公式法 设 X 是一个具有概率密度 f (x) 的随机变量, 又设 y = g(x) 是单调的、导数不为零的可导函 X 数,h(y) 是它的反函数, 则 Y = g(X) 的概率密度为 8 < |h ′ (y)|f (h(y)),α < y < β, X f (y) = Y : 0, 其他, 其中 (α,β) 是函数 g(x) 在 x 可能取值的区间上的值域. 方法二：定义法 先求 Y 的分布函数 ˆ F (y) = P{Y ≤ y} = P{g(X) ≤ y} = f (x)dx, Y X g(x)≤y 然后可得 f (y) = F′ (y). Y Y 二维连续型随机变量 如果对于随机变量 (X,Y) 的分布 F(x,y) 存在非负函数 f(x,y), 使得对于任意实数 x,y, 都有 ˆ ˆ x y F(x,y) = f(u,v)dudv,−∞ < x,y < +∞, −∞ −∞ 则称 (X,Y) 为二维连续型随机变量, 函数 f(x,y) 称为 (X,Y) 的概率密度. 关于 X 的边缘分布为 ˆ ˆ h i x +∞ F (x) = F(x,+∞) = f(x,y)dy dx, X −∞ −∞ 关于 X 的边缘密度为 ˆ +∞ f (x) = f(x,y)dy. X −∞ 关于 Y 的边缘分布为 ˆ ˆ h i y +∞ F (y) = F(+∞,y) = f(x,y)dx dy. Y −∞ −∞ 21考研数学重要公式总结 关于 Y 的边缘密度为 ˆ +∞ f (y) = f(x,y)dx. Y −∞ 条件分布 设 f(x,y) 在点 (x,y) 连续,f (y) > 0, 则条件分布 Y ˆ x f(s,y) F (x|y) = ds, X|Y f (y) −∞ Y f(x,y) 其中 被称为在条件 Y = y 下的条件, 记作 f (x|y). X|Y f (y) Y 设 f(x,y) 在点 (x,y) 连续,f (x) > 0, 则条件分布 X ˆ y f(x,s) F (y|x) = ds, Y|X f (x) −∞ X f(x,y) 其中 被称为在条件 X = x 下的条件, 记作 f (y|x). Y|X f (x) X 密度函数 f(x,y) 的性质 1.f(x,y) ≥ 0; ˆ ˆ +∞ +∞ 2. f(x,y)dxdy = 1; −∞ −∞ 3. 随机变量 (X,Y) 落在区域 D 内的概率为 ¨ P{(X,Y) ∈ D} = f(x,y)dxdy. D 随机变量的独立性 如果对任意 x,y 都有 P{X ≤ x,Y ≤ y} = P{X ≤ x}P{Y ≤ y} → F(x,y) = F (x)F (y), X Y 则称随机变量 X 与 Y 相互独立. 连续型随机变量 X 和 Y 相互独立的充要条件是, 对于任意的 x,y, 都有 f(x,y) = f (x)f (y). X Y 设 (X ,X ,··· ,X ) 和 (Y ,Y ,··· ,Y ) 相互独立, 则 X (i = 1,2,··· ,m) 和 Y (j = 1,2,··· ,n) 相 1 2 m 1 2 n i j 互独立. 又若 h,g 是连续函数, 则 h(X ,X ,··· ,X ) 和 g(Y ,Y ,··· ,Y ) 相互独立. 1 2 m 1 2 n 22考研数学重要公式总结 二维均匀分布 如果二维连续型随机变量 (X,Y) 的概率密度为 8 <1 , (x,y) ∈ G, f(x,y) = A : 0, 其他. 其中 A 是平面有界区域 G 的面积, 则称 (X,Y) 服从区域 G 上的均匀分布. 设 (X,Y) 在 G 上服从均匀分布,D 是 G 中的一个部分区域, 记它们的面积为 S 和 S , 则 D G S P{(X,Y) ∈ D} = D . S G 二维正态分布 如果二维连续型随机变量 (X,Y) 的概率密度为 f(x,y) = p 1 e − 2(1− 1 ρ2) [(x− σ µ 1 2 1)2 −2ρ(x− σ µ 1 1 σ )( 2 y−µ2)+(y− σ µ 2 2 2)2 ] , 2πσ σ 1−ρ2 1 2 其中 −∞ < x < +∞,−∞ < y < +∞,µ ,µ ,σ > 0,σ > 0,−1 < ρ < 1 均为常数, 则称 (X,Y) 服从 1 2 1 2 参数为 µ ,µ ,σ ,σ ,ρ 的二维正态分布, 记作 1 2 1 2 (X,Y) ∼ N(µ ,µ ;σ2,σ2;ρ) 1 2 1 2 . 1.(X,Y) ∼ N(µ ,µ ;σ2,σ2;ρ) 时,X,Y 均服从一维正态分布:X ∼ N(µ ,σ2),Y ∼ N(µ ,σ2). 1 2 1 2 1 1 2 2 2.(X,Y) ∼ N(µ 1 ,µ 2 ;σ 1 2,σ 2 2;ρ) 时,X 与 Y 相 (cid:12) 互独立 (cid:12) 的充要条件是 ρ = 0; (cid:12) (cid:12) (cid:12) a b (cid:12) 3.(X,Y) ∼ N(µ ,µ ;σ2,σ2;ρ) 时, 若行列式 (cid:12) (cid:12) ̸= 0, 则 (aX +bY,cX +dY) 也服从二维正态 1 2 1 2 (cid:12) (cid:12) c d 分布. 23考研数学重要公式总结 二维随机变量函数的分布函数 ¨ F (z) = P{Z ≤ z} = P{g(X,Y) ≤ z} = f(x,y)dxdy. Z g(x,y)≤z 当 Z = X +Y 时, 我们有 ¨ F (z) = P{X +Y ≤ z} = f(x,y)dxdy Z ˆ ˆ x+y≤z +∞ z−x = dx f(x,y)dy. −∞ −∞ 由此可得概率密度为 ˆ +∞ f (z) = f(x,z −x)dx, Z −∞ 当 X 与 Y 相互独立时,f(x,y) = f (x)f (y), 则有 X Y ˆ +∞ f (z) = f (x)f (z −x)dx. Z X Y −∞ 对于离散型随机变量和连续型随机变量组成的随机变量函数, 我们有 F (z) = P{Z ≤ z} = P{g(X,Y) ≤ z} Z X = P{X = x }P{g(X,Y) ≤ z|X = x } i i i i X = p P{g(x ,Y) ≤ z|X = x }. i i i i 设 X,Y 是两个相互独立的随机变量, 它们的分布函数分别为 F (x),F (y). 则有 Z = max{X,Y} X Y 的分布函数为 F (z) = F (z)F (z), Z X Y 又有 Z = min{X,Y} 的分布函数为 F (z) = 1−[1−F (z)][1−F (z)]. Z X Y 1. 数学期望 定义 (1) 离散型随机变量的数学期望 设随机变量 X 的概率分布为 P{X = x } = p ,k = 1,2,··· . k k 24考研数学重要公式总结 X+∞ 如果级数 x p 绝对收敛, 则称此级数为随机变量 X 的数学期望或均值, 记作 E(X), 即 k k k=1 X+∞ E(X) = x p . k k k=1 (2) 连续型随机变量的数学期望 ˆ +∞ 设随机变量 X 的概率密度为 f(x), 如果积分 xf(x)dx 绝对收敛绝对收敛, 则称此积分为随 −∞ 机变量 X 的数学期望或均值, 记作 E(X), 即 ˆ +∞ E(X) = xf(x)dx. −∞ 2. 数学期望的性质 (1) 设 C 是常数, 则有 E(C) = C. (2) 设 X 是随机变量,C 是常数, 则有 E(CX) = CE(X). (3) 设 X 和 Y 是任意两个随机变量, 则有 E(X ±Y) = E(X)±E(Y) (4) 设随机变量 X 和 Y 相互独立, 则有 E(XY) = E(X)E(Y). 性质 (4) 要求 X 和 Y 的相互独立, 可以减弱为 X 和 Y 不相关就有 E(XY) = E(X)E(Y). 事实上 E(XY) = E(X)E(Y) 成立的充要条件是 X 和 Y 不相关 3. 随机变量 X 的函数 Y = g(X) 的数学期望 (1) 设随机变量 X 的概率分布为 P{X = x } = p ,k = 1,2,··· , k k X+∞ 如果级数 g(x )p 绝对收敛, 则随机变量 Y = g(X) 的数学期望为 k k k=1 X+∞ E(Y) = E[g(X)] = g(x )p . k k k=1 25考研数学重要公式总结 ˆ +∞ (2) 设随机变量 X 的概率密度为 f(x), 如果积分 g(x)f(x)dx 绝对收敛, 则随机变量 Y = −∞ g(X) 的数学期望为 ˆ +∞ E(Y) = E[g(X)] = g(x)f(x)dx. −∞ 4. 随机变量 (X,Y) 的函数 Z = g(X,Y) 的数学期望 (1) 设随机变量 (X,Y) 的概率分布为 p{X = x ,Y = y } = p ,i,j = 1,2,··· , i j ij X+∞ X+∞ 如果级数 g(x ,y )p 绝对收敛, 则随机变量 Z = g(X,Y) 的数学期望为 i j ij i=1 j=1 X+∞ X+∞ E(Z) = E[g(X,Y)] = g(x ,y )p . i j ij i=1 j=1 ˆ ˆ +∞ +∞ (2) 设随机变量 (X,Y) 的概率密度为 f(x,y), 如果积分 g(x,y)f(x,y)dxdy −∞ −∞ 绝对收敛, 则随机变量 Z = g(X,Y) 的数学期望为 ˆ ˆ +∞ +∞ E(Z) = E[g(X,Y)] = g(x,y)f(x,y)dxdy. −∞ −∞ 26考研数学重要公式总结 二、方差 1. 定义 定义设 X 是随机变量, 如果数学期望 E{[X −E(X)]2} 存在, 则称之为 X 的方差, 记作 D(X), 即 D(X) = E{[X −E(X)]2}. p p 称 D(X) 为随机变量 X 的标准差或均方差, 记作 σ(X), 即 σ(X) = D(X). 对于离散型随机变量, 按照期望的定义, 我们有 X∞ D(X) = [x −E(X)]2p , k k k=1 其中 P{X = x } = p ,k = 1,2,··· 是 X 的分布律. k k 对于连续型随机变量, 按照期望的定义, 我们有 ˆ +∞ D(X) = [x−E(X)]2f(x)dx, −∞ 其中 f(x) 是 X 的概率密度. 方差计算公式:D(X) = E(X2)−[E(X)]2. 2. 方差的性质 (1) 设 C 是常数, 则 D(C) = 0, 反之, 从 D(X) = 0 中不能得出 X 为常数的结论. (2) 设 X 是随机变量,a,b 是常数, 则有 D(aX +b) = a2D(X). (3) 设随机变量 X 和 Y 相互独立, 则有 D(X ±Y) = D(X)+D(Y). (4)D(X) = 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 E(X), 即 P{X = E(X)} = 1. 27考研数学重要公式总结 三、常用随机变量的数学期望和方差 (1)0-1 分布 E(X) = p,D(X) = p(1−p). (2) 二项分布,X ∼ B(n,p) E(X) = np,D(X) = np(1−p). (3) 泊松分布,X ∼ P(λ) E(X) = λ,D(X) = λ. (4) 几何分布,P{X = k} = p(1−p)k−1,k = 1,2,··· ,0 < p < 1. 1 1−p E(X) = ,D(X) = . p p2 (5) 均匀分布,X ∼ U(a,b) a+b (b−a)2 E(X) = ,D(X) = . 2 12 (6) 指数分布,X ∼ E(λ) 1 1 E(X) = ,D(X) = . λ λ2 (7) 正态分布,X ∼ N(µ,σ2) E(X) = µ,D(X) = σ2. 四、相关系数 1. 定义 Cov(X,Y) 对于随机变量 X 和 Y, 如果 D(X)D(Y) ̸= 0, 则称 p p 为 X 和 Y 的相关系数, 记为 D(X) D(Y) ρ XY Cov(X,Y) ρ = p p . XY D(X) D(Y) 如果 D(X)D(Y) = 0, 则 ρ =0. XY 不相关 定义如果随机变量 X 和 Y 的相关系数 ρ =0, 则称 X 和 Y 不相关. XY 五、协方差的公式和性质 (1)Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y). (2)D(X ±Y) = D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y). (3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X). (4)Cov(aX,bY) = abCov(X,Y), 其中 a,b 为常数. (5)Cov(X +X ,Y) =Cov(X ,Y)+Cov(X ,Y) 1 2 1 2 六、相关系数性质 (1)|ρ | ≤ 1. XY (2)|ρ | = 1 的充分必要条件是存在常数 a(a ̸= 0),b 使得 XY P{Y = aX +b} = 1. 1. 切比雪夫不等式 28考研数学重要公式总结 设随机变量 X 的数学期望 E(X) 和方差 D(X) 存在, 则对任意的 ε > 0, 总有 D(X) P{|X −E(X)| ≥ ε} ≤ . ε2 2. 依概率收敛 设 X ,X ,··· ,X ,··· 是一个随机变量序列,A 是一个常数, 如果对任意 ε > 0, 有 1 2 n lim P{|X −A| < ε} = 1, n n→∞ 则称随机变量序列 X ,X ,··· ,X ,··· 依概率收敛于常数 A, 记作 X −P→ A. 1 2 n n 设 X −P→ a,Y −P→ b, 又设函数 g(x,y) 在点 (a,b) 处连续, 则有 n n g(X ,Y ) −P→ g(a,b). n n 3. 切比雪夫大数定律 设 X ,X ,··· ,X ,··· 为两两不相关的随机变量序列, 存在常数 C, 使 D(X ) ≤ C(i = 1,2,···), 1 2 n i 则对任意 ε > 0, 有 n(cid:12) (cid:12)1 Xn 1 Xn (cid:12) (cid:12) o lim P (cid:12) X − E(X )(cid:12) < ε = 1. i i n→∞ n n i=1 i=1 4. 伯努利大数定律 设随机变量 X ∼ B(n,p),n = 1,2,··· , 则对于任意 ε > 0, 有 n n(cid:12) (cid:12) o (cid:12)X (cid:12) lim P (cid:12) n −p(cid:12) < ε = 1. n→∞ n 5. 辛钦大数定律 设随机变量 X ,X ,··· ,X ,··· 独立同分布, 具有数学期望 E(X ) = µ,i = 1,2,···, 则对任意 1 2 n i ε > 0 有 n(cid:12) (cid:12)1 Xn (cid:12) (cid:12) o lim P (cid:12) X −µ(cid:12) < ε = 1. i n→∞ n i=1 6. 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 设随机变量 X ∼ B(n,p),n = 1,2,··· , 则对于任意实数 x, 有 n n o X −np lim P p n ≤ x = Φ(x) n→∞ np(1−p) 其中 Φ(x) 是标准正态的分布函数. X −np 定理表明当 n 充分大时, 服从 B(n,p) 的随机变量 X , 经标准化后得 p n 近似服从标准 n np(1−p) 正态分布 N(0,1), 或者说 X 近似地服从 N(np,np(1−p)).. n 7. 列维-林德伯格中心极限定理 29考研数学重要公式总结 设随机变量 X ,X ,··· ,X ,··· 独立同分布, 具有数学期望与方差,E(X ) = µ,D(X ) 1 2 n n n = σ2,n = 1,2,···, 则对于任意实数 x, 有 Xn X −nµ n i o lim P i=1 √ ≤ x = Φ(x), n→∞ nσ 其中 Φ(x) 是标准正态的分布函数. Xn X −nµ Xn i 定理表明当 n 充分大时, X 的标准化 i=1 √ 近似服从标准正态分布 N(0,1), i nσ i=1 Xn 或者说 X 近似地服从 N(nµ,nσ2). i i=1 常见的统计量的形式 1. 样本平均值 Xn 1 X = X . i n i=1 2. 样本方差 Xn (cid:16)Xn (cid:17) 1 1 S2 = (X −X)2 = X2 −nX 2 n−1 i n−1 i i=1 i=1 3. 样本标准差 à √ Xn 1 S = S2 = (X −X)2 n−1 i i=1 4. 样本数字特征的性质 1. 如果总体 X 具有数学期望 E(X) = µ, 则 E(X) = E(X) = µ. 2. 如果总体 X 具有方差 D(X) = σ2, 则 1 σ2 D(X) = D(X) = ,E(S2) = D(X) = σ2. n n 二、三大分布 1.χ2 分布 设随机变量 X ,X ,··· ,X 相互独立且均服从标准正态分布 N(0,1), 则称随机变量 χ2 = X2 + 1 2 n 1 X2 +···+X2 服从自由度为 n 的 χ2 分布, 记作 χ2 ∼ χ2(n). 2 n 1.χ2 分布具有可加性 30考研数学重要公式总结 设 χ2 ∼ χ2(n ),χ2 ∼ χ2(n ), 并且 χ2 和 χ2 相互独立, 则 1 1 2 2 1 2 χ2 +χ2 ∼ χ2(n +n ). 1 2 1 2 2. 如果 χ2 ∼ χ2(n), 则可得 E(χ2) = n,D(χ2) = 2n. 2.t 分布 X 设 X ∼ N(0,1),Y ∼ χ2(n), 并且 X 与 Y 相互独立, 则称随机变量 t = p 服从自由度为 n Y/n 的 t 分布, 记作 t ∼ t(n). 3.F 分布 设 X ∼ χ2(n ),Y ∼ χ2(n ), 且 X 与 Y 相互独立, 则称随机变量 1 2 X/n 1 F = Y/n 2 服从自由度为 (n ,n ) 的 F 分布, 记为 F ∼ F(n ,n ). 1 2 1 2 1 由定义可知, 若 F ∼ F(n ,n ), 则 ∼ F(n ,n ). 1 2 2 1 F 三、正态总体常用样本函数的分布 设 X 服从正态分布 N(µ,σ2), 从总体 X 中抽取样本 X ,X ,··· ,X , 样本均值为 X, 样本方差为 1 2 n S2, 则有 σ2 X −µ 1.X ∼ N(µ, ),u = √ ∼ N(0,1). n σ/ n X −µ 2.t = √ ∼ t(n−1). S/ n Xn 1 3.χ2 = (X −µ)2 ∼ χ2(n). σ2 i i=1 (n−1)S2 4.X 与 S2 相互独立, 且 χ2 = ∼ χ2(n−1). σ2 31考研数学重要公式总结 2. 矩估计法 设 X ,X ,··· ,X 是来自总体 X 的样本, 由于样本 (原点) 矩 1 2 n Xn 1 A = Xl l n i i=1 依概率收敛于相应的总体矩 µ , 即对于任意给定的 ε > 0, 有 lim P{|A −µ | < ε} = 1(l = 1,2,··· ,k), l l l n→∞ 我们用样本矩作为相应的总体矩的估计量, 由此求得未知参数 θ ,θ ,··· ,θ 的估计量. 这种求估计量 1 2 k 的方法称为矩估计法. 矩估计法的具体流程 令 µ = A ,l = 1,2,··· ,k, 得到关于 k 个未知参数 θ ,θ ,··· ,θ 的方程组, 解此方程组可得 l l 1 2 k θ = θ (X ,X ,··· ,X ),θ = θ (X ,X ,··· ,X ),··· ,θ = θ (X ,X ,··· ,X ), 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n k k 1 2 n 用这组解分别作为 θ ,θ ,··· ,θ 的估计量, 即 1 2 k θ ˆ = θ (X ,X ,··· ,X ),θ ˆ = θ (X ,X ,··· ,X ),··· ,θ ˆ = θ (X ,X ,··· ,X ), 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n k k 1 2 n 称为矩估计量. 设 x ,x ,··· ,x 是相应于样本 X ,X ,··· ,X 的样本值, 把矩估计量的观察值 1 2 n 1 2 n θ ˆ = θ (x ,x ,··· ,x ),θ ˆ = θ (x ,x ,··· ,x ),··· ,θ ˆ = θ (x ,x ,··· ,x ), 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n k k 1 2 n 称为矩估计值. 3. 最大似然估计法 如果总体 X 为离散型随机变量, 其概率分布 P{X = x} = p(x;θ)(x ∈ R ) 的形式为已知,θ 为未 X 知参数, 其取值范围为 Θ. 设 X ,X ,··· ,X 是来自总体 X 的样本,x ,x ,··· ,x 为样本值, 令 1 2 n 1 2 n Yn L(θ) = L(x ,x ,··· ,x ;θ) = p(x ;θ),θ ∈ Θ, 1 2 n i i=1 称 L(θ) 为样本的似然函数. 取 θ ˆ∈ Θ, 使得 L(x ,x ,··· ,x ;θ ˆ ) = maxL(x ,x ,··· ,x ;θ), 1 2 n 1 2 n 这样的 θ ˆ 与样本值 x ,x ,··· ,x 有关, 记为 θ ˆ (x ,x ,··· ,x ), 称为参数 θ 的最大似然估计值, 而相应 1 2 n 1 2 n 的统计量 θ ˆ (X ,X ,··· ,X ) 称为参数 θ 的最大似然估计量. 1 2 n 如果总体 X 是连续型随机变量, 其概率密度 f(x;θ) 的形式为已知,θ 是未知参数, 相应于样本 X ,X ,··· ,X 的样本值为 x ,x ,··· ,x , 则似然函数为 1 2 n 1 2 n Yn L(θ) = L(x ,x ,··· ,x ;θ) = f(x ;θ), 1 2 n i i=1 32考研数学重要公式总结 在很多情况下,p(x;θ) 或 f(x;θ) 关于 θ 可微, 这时 θ ˆ可从方程 d d L(θ) = 0 或 lnL(θ) = 0 dθ dθ 中解得. 如果总体 X 的分布中含有多个未知参数 θ ,θ ,··· ,θ , 则似然函数 L 是这些未知参数的函数. 分 1 2 k 别令 ∂L ∂lnL = 0,i = 1,2,··· ,k. 或 = 0,i = 1,2,··· ,k. ∂θ ∂θ i i 解上述由 k 个方程组成的方程组, 即可得到各个未知参数 θ 的最大似然估计值 θ ˆ (i = 1,2,··· ,k). i i 33