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江苏省连云港市 2014 年中考数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）（2014•连云港）下列实数中，是无理数的为（ ）
A．﹣1 B． C． D．3.14
﹣
2．（3分）（2014•连云港）计算 的结果是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9
3．（3分）（2014•连云港）在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（
）
A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）
4．（3分）（2014•连云港）“丝绸之路”经济带首个实体平台﹣﹣中哈物流合作基地在我市投
入使用，其年最大装卸能力达410000标箱．其中“410000”用科学记数法表示为（ ）
A．0.41×106 B．4.1×105 C．41×104 D．4.1×104
5．（3分）（2014•连云港）一组数据1，3，6，1，2的众数和中位数分别是（ ）
A．1，6 B．1，1 C．2，1 D．1，2
6．（3分）（2014•连云港）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S 、S ，则（ ）
1 2
A．S =S B．S =S C．S =S D．S =S
1 2 1 2 1 2 1 2
7．（3分）（2014•连云港）如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP、BP，并延长分别交半
圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是（ ）
①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
8．（3分）（2014•连云港）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数
y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）A． B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．
2≤k≤ 2≤k≤
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2014•连云港）使 有意义的x的取值范围是 ．
10．（3分）（2014•连云港）计算：（2x+1）（x﹣3）= ．
11．（3分）（2014•连云港）一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为 ．
12．（3分）（2014•连云港）若ab=3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是 ．
13．（3分）（2014•连云港）若函数y= 的图象在同一象限内，y随x增大而增大，则m的
值可以是 （写出一个即可）．
14．（3分）（2014•连云港）如图，AB∥CD，∠1=62°，FG平分∠EFD，则∠2= ．
15．（3分）（2014•连云港）如图1，折线段AOB将面积为S的⊙O分成两个扇形，大扇形、小
扇形的面积分别为S 、S ，若 =0.618，则称分成的小扇形为“黄金扇形”．生活中的折
1 2
扇（如图2）大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为 °．（精确到0.1）
16．（3分）（2014•连云港）如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．
如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交
AB于N，则tan∠ANE= ．三、解答题（共11小题，满分102分,，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）（2014•连云港）计算|﹣5|+ ﹣（）﹣1．
18．（6分）（2014•连云港）解不等式2（x﹣1）+5＜3x，并把解集在数轴上表示出来．
19．（6分）（2014•连云港）解方程： +3= ．
20．（8分）（2014•连云港）我市启动了第二届“美丽港城，美在悦读”全民阅读活动，为了解
市民每天的阅读时间情况，随机抽取了部分市民进行调查，根据调查结果绘制如下尚不完整
的频数分布表：
阅读时间 0≤x＜30 30≤x＜60 60≤x＜90 x≥90 合计
x（min）
频数 450 400 50
频率 0.4 0.1 1
（1）补全表格；
（2）将每天阅读时间不低于60min的市民称为“阅读爱好者”，若我市约有500万人，请估
计我市能称为“阅读爱好者”的市民约有多少万人？21．（10分）（2014•连云港）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，
CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）连接AE、BE，AE与BE相等吗？请说明理由．
22．（10分）（2014•连云港）如图1，在一个不透明的袋中装有四个球，分别标有字母A、B、C、
D，这些球除了所标字母外都相同，另外，有一面白色、另一面黑色、大小相同的4张正方形卡
片，每张卡片上面的字母相同，分别标有A、B、C、D．最初，摆成图2的样子，A、D是黑色，
B、C是白色．
操作：①从袋中任意取一个球；
②将与取出球所标字母相同的卡片翻过来；
③将取出的球放回袋中
再次操作后，观察卡片的颜色．
（如：第一次取出球A，第二次取出球B，此时卡片的颜色变 ）
（1）求四张卡片变成相同颜色的概率；
（2）求四张卡片变成两黑两白，并恰好形成各自颜色矩形的概率．
23．（10分）（2014•连云港）小林在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B
同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：
购买商品A的数量 购买商品B的数量 购买总费用（元）
（个） （个）
第一次购物 6 5 1140
第二次购物 3 7 1110
第三次购物 9 8 1062
（1）小林以折扣价购买商品A、B是第 次购物；
（2）求出商品A、B的标价；（3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
24．（10分）（2014•连云港）在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．如图，表盘是
△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时
针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上
述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC
边于点M，BM的长为（20 ﹣20）cm．
（1）求AB的长；
（2）从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转
201秒，交点又在什么位置？请说明理由．
25．（10分）（2014•连云港）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上设定一个以大
本营O为圆心，半径为4km的圆形考察区域，线段P P 是冰川的部分边界线（不考虑其它边
1 2
界），当冰川融化时，边界线沿着与其垂直的方向朝考察区域平等移动，若经过n年，冰川的
边界线P P 移动的距离为（s km），并且s与n（n为正整数）的关系是s= n2﹣ n+ ．以O
1 2
为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，其中P 、P 的坐标分别为（﹣4，9）、（﹣13、﹣3）．
1 2
（1）求线段P P 所在直线对应的函数关系式；
1 2
（2）求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．26．（12分）（2014•连云港）已知二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B
（3，0），交y轴于点C，直线l过点C，且交抛物线于另一点E（点E不与点A、B重合）．
（1）求此二次函数关系式；
（2）若直线l
1
经过抛物线顶点D，交x轴于点F，且l 1∥l，则以点C、D、E、F为顶点的四边形能
否为平行四边形？若能，求出点E的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若过点A作AG⊥x轴，交直线l于点G，连接OG、BE，试证明OG∥BE．
27．（14分）（2014•连云港）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．
问题思考：
如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．
（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两
个正方形面积之和的最小值．
（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，
是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．
问题拓展：
（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若
点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ
的中点O所经过的路径的长．
（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别
是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径
的长及OM+OB的最小值．江苏省连云港市 2014 年中考数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1.
分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理
数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
解答：解：A、是整数，是有理数，选项错误；
B、是分数、是有理数，选项错误；
C、正确；
D、是有限小数，是有理数，选项错误．
故选C．
点评：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）
考点：二次根式的性质与化简．
.
专题：计算题．
分析：原式利用二次根式的化简公式计算即可得到结果．
解答：解：原式=|﹣3|=3．
故选B
点评：此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
3．（3分）
考点：关于原点对称的点的坐标．
.
专题：常规题型．
分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．
解答：解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．
故选A．
点评：关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐
标系的图形记忆．
4．（3分）
考点：科学记数法—表示较大的数．
.
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将410000用科学记数法表示为：4.1×105．
故选：B．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）
考点：众数；中位数．
.
分析：根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
解答：解：∵1出现了2次，出现的次数最多，
∴众数是1，
把这组数据从小到大排列1，1，2，3，6，最中间的数是2，
则中位数是2；
故选D．
点评：此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数
据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫
做这组数据的中位数．
6．（3分）
考点：解直角三角形；三角形的面积．
.
分析：过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，根据三角函数可求
AG，在Rt△ABG中，根据三角函数可求DH，根据三角形面积公式可得S
1
，S
2
，依此即
可作出选择．
解答：解：过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．
在Rt△ABG中，AG=AB•sin40°=5sin40°，
∠DEH=180°﹣140°=40°，
在Rt△ABG中，DH=DE•sin40°=8sin40°，
S =8×5sin40°÷2=20sin40°，
1
S =5×8sin40°÷2=20sin40°．
2
则S =S ．
1 2
故选：C．点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，关键是
作出高线构造直角三角形．
7．（3分）
考点：圆周角定理．
.
分析：①AB为直径，所以∠ACB=90°，就是AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，故错，
②只有当FP通过圆心时，才平分，所以FP不通过圆心时，不能证得AC平分∠BAF，
③先证出D、P、C、F四点共圆，再利用△AMP∽△FCP，得出结论．
④直径所对的圆周角是直角．
解答：证明：①∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，
故①错误，
②只有当FP通过圆心时，才平分，所以FP不通过圆心时，不能证得AC平分∠BAF，
故②错误，
③如图
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，∠FPD=90°，
∴D、P、C、F四点共圆，
∴∠CFP=∠CDB，
∵∠CDB=CAB，
∴∠CFP=CAB，
又∵∠FPC=∠APM，
∴△AMP∽△FCP，
∠ACF=90°，
∴∠AMP=90°，
∴FP⊥AB，
故③正确，
④∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AF．
故④正确，
综上所述只有③④正确，
故选：D．
点评：本题主要考查了圆周角的知识，解题的关键是明确直径所对的圆周角是直角．
8．（3分）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
.
分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别求出过点A（1，2），B（2，5），C（6，1）的反
比例函数解析式，再求出k= 时，函数y= 与y=﹣x+7交于点（，），此点在线段BC上，当k= 时，与△ABC无交点，由此求解即可．
解答：解：∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y=，
过点B（2，5）的反比例函数解析式为y= ，
过点C（6，1）的反比例函数解析式为y=，
∴k≥2．
∵经过A（1，2），B（2，5）的直线解析式为y=3x﹣1，
经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y=﹣x+7，
经过A（1，2），C（6，1）的直线解析式为y=﹣x+ ，
当k= 时，函数y= 与y=﹣x+7交于点（，），此点在线段BC上，
当k= 时，函数y= 与直线AB交点的横坐标为x= ，均不符合题意；与直
线BC无交点；与直线AC无交点；
综上可知2≤k≤ ．
故选A．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注
意自变量的取值范围．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）
考点：二次根式有意义的条件．
.
分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
解答：解：∵ 有意义，
∴x﹣1≥0，解得x≥1．
故答案为：x≥1．
点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此
题的关键．
10．（3分）
考点：多项式乘多项式．
.
分析：根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn，计算即可．
解答：解：原式=2x2﹣6x+x﹣3
=2x2﹣5x﹣3．
故答案是：2x2﹣5x﹣3．
点评：本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类
项．
11．（3分）
考点：多边形内角与外角．
.
分析：正多边形的一个外角等于30°，而多边形的外角和为360°，则：多边形边数=多边形外
角和÷一个外角度数．
解答：解：依题意，得
多边形的边数=360°÷30°=12，
故答案为：12．
点评：题考查了多边形内角与外角．关键是明确多边形的外角和为定值，即360°，而当多边
形每一个外角相等时，可作除法求边数．
12．（3分）
考点：因式分解-提公因式法．
.
分析：直接提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
解答：解：∵ab=3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）=3×5=15．
故答案为：15．
点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
13．（3分）
考点：反比例函数的性质．
.
专题：开放型．
分析：根据反比例函数图象的性质得到m﹣1＜0，通过解该不等式可以求得m的取值范围，
据此可以取一个m值．
解答：
解：∵函数y= 的图象在同一象限内，y随x增大而增大，
∴m﹣1＜0，
解得 m＜1．
故m可以取0，﹣1，﹣2等值．
故答案为：0．
点评：本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函
数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增
大而增大．
14．（3分）
考点：平行线的性质．
.
分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠EFD=∠1，再根据角平分线的定义可得
∠2=∠EFD．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠1=62°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠2=∠EFD=×62°=31°．
故答案为：31°．
点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
15．（3分）
考点：扇形面积的计算；黄金分割．
.
专题：新定义．
分析：
设“黄金扇形的”的圆心角是n°，扇形的半径为r，得出 =0.618，
求出即可．
解答：解：设“黄金扇形的”的圆心角是n°，扇形的半径为r，
则 =0.618，
解得：n≈137.5，
故答案为：137.5．
点评：
本题考查了黄金分割，扇形的面积的应用，解此题的关键是得出
=0.618．
16．（3分）
考点：翻折变换（折叠问题）．
.
分析：设正方形的边长为2a，DH=x，表示出CH，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然
后利用勾股定理列出方程求出x，再根据同角的余角相等求出∠ANE=∠DEH，然后根
据锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．解答：解：设正方形的边长为2a，DH=x，
则CH=2a﹣x，
由翻折的性质，DE=AD=×2a=a，
EH=CH=2a﹣x，
在Rt△DEH中，DE2+DH2=EH2，
即a2+x2=（2a﹣x）2，
解得x=a，
∵∠MEH=∠C=90°，
∴∠AEN+∠DEH=90°，
∵∠ANE+∠AEN=90°，
∴∠ANE=∠DEH，
∴tan∠ANE=tan∠DEH= = =．
故答案为：．
点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，设出正方形的边长，然
后利用勾股定理列出方程是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（共11小题，满分102分,，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）
考点：实数的运算；负整数指数幂．
.
专题：计算题．
分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用立方根定义化简，最后一项利用
负指数幂法则计算即可得到结果．
解答：解：原式=5+3﹣3=5．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）
考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
.
分析：去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
解答：解：2（x﹣1）+5＜3x，
2x﹣2+5﹣3x＜0，
﹣x＜﹣3，
x＞3，
在数轴上表示为：
．
点评：本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：解一元一次
不等式的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1．
19．（6分）
考点：解分式方程．
.
专题：计算题．
分析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可
得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：2+3x﹣6=x﹣1，
移项合并得：2x=3，
解得：x=1.5，
经检验x=1.5是分式方程的解．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．（8分）
考点：频数（率）分布表；用样本估计总体．
.
分析：（1）根据频数、频率与总数之间的关系分别进行计算，然后填表即可；
（2）用500万人乘以时间不低于60min所占的百分比，即可求出我市能称为“阅读爱
好者”的市民数．解答：
解：（1）根据题意得： =1000（人），
0≤x＜30的频率是： =0.45，
60≤x＜90的频数是：1000×0.1=100（人），
x≥90的频率是：0.05，
填表如下：
阅读时间 0≤x＜30 30≤x＜60 60≤x＜90 x≥90 合计
x（min）
频数 450 400 100 50 1000
频率 0.45 0.4 0.1 0.05 1
故答案为：0.45，100，0.05，1000；
（2）根据题意得：
500×（0.1+0.05）=75（万人）．
答：估计我市能称为“阅读爱好者”的市民约有75万人．
点评：此题考查了频数（率）分布表，掌握频数、频率、总数之间的关系以及用样本估计总体
的计算公式是本题的关键．
21．（10分）
考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
.
分析：（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形DOCE是平行四边形，进而利用矩形的性
质得出DO=CO，即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质以及矩形的性质得出AD=BC，∠ADE=∠BCE，进而利用全
等三角形的判定得出．
解答：（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AO=CO=DO=BO，
∴四边形OCED为菱形；
（2）解：AE=BE．
理由：∵四边形OCED为菱形，
∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，
∴∠ADE=∠BCE，
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE．
点评：此题主要考查了矩形的性质以及菱形的判定和全等三角形的判定与性质等知识，熟练
掌握矩形的性质进而得出对应线段关系是解题关键．
22．（10分）
考点：列表法与树状图法．
.
分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与四张卡片变成
相同颜色的情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）由（1）中的树状图可求得四张卡片变成两黑两白，并恰好形成各自颜色矩形的情
况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：（1）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，四张卡片变成相同颜色的有4种情况，
∴四张卡片变成相同颜色的概率为： =；
（2）∵四张卡片变成两黑两白，并恰好形成各自颜色矩形的有8种情况，
∴四张卡片变成两黑两白，并恰好形成各自颜色矩形的概率为： =．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏
的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）
考点：二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
.
分析：（1）根据图表可得小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物；
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的
值；
（3）设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9个A商品和8个B商品共
花费1062元，列出方程求解即可．
解答：解：（1）小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物．
故答案为：三；
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，
根据题意，得 ，
解得： ．
答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元；
（3）设商店是打a折出售这两种商品，
由题意得，（9×90+8×120）× =1062，
解得：a=6．
答：商店是打6折出售这两种商品的．
点评：本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设
出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
24．（10分）
考点：解直角三角形的应用．
.
分析：（1）如图1，过A点作AD⊥BC，垂足为D．令AB=2tcm．在Rt△ABD中，根据三角函数
可得AD=AB=t，BD= AB= t．在Rt∠AMD中，MD=AD=t．由BM=BD﹣MD，得到
关于t的方程，求得t的值，从而求得AB的长；
（2）如图2，当光线旋转6秒，设AP交BC于点N，在Rt△ABN中，根据三角函数可得BN；如图3，设光线AP旋转2014秒后光线与BC的交点为Q．求得CQ= ，
BC=40 ．根据BQ=BC﹣CQ即可求解．
解答：解：（1）如图1，过A点作AD⊥BC，垂足为D．
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°．
令AB=2tcm．
在Rt△ABD中，AD=AB=t，BD= AB= t．
在Rt∠AMD中，∵∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°，
∴MD=AD=t．
∵BM=BD﹣MD．即 t﹣t=20 ﹣20．
解得t=20．
∴AB=2×20=40cm．
答：AB的长为40cm．
（2）如图2，当光线旋转6秒，
设AP交BC于点N，此时∠BAN=15°×6=90°．
在Rt△ABN中，BN= = = ．
∴光线AP旋转6秒，与BC的交点N距点B cm处．
如图3，设光线AP旋转2014秒后光线与BC的交点为Q．
由题意可知，光线从边AB开始到第一次回到AB处需8×2=16秒，
而2014=125×16+14，即AP旋转2014秒与旋转14秒时和BC的交点是同一个点Q．
易求得CQ= ，BC=40 ．
∴BQ=BC﹣CQ=40 ﹣ = ．
∴光线AP旋转2014秒后，与BC的交点Q在距点B cm处．
点评：考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，注意方程思想的应用．
25．（10分）
考点：二次函数的应用．
.
分析：（1）设P P 所在直线对应的函数关系式是y=kx+b，由待定系数法求出其解就可以得出
1 2
结论；
（2）由（1）的解析式求出直线P P 与坐标轴的交点，设最短距离为a，由三角形的 面积
1 2
相等建立方程，求出a的值就求出了s的值，再代入s= n2﹣ n+ 就可以求出时
间．
解答：解：（1）设P P 所在直线对应的函数关系式是y=kx+b，根据题意，得
1 2
，
解得： ，
∴直线P P 的解析式是：y=x+ ；
1 2
（2）在y=x+ 中，
当x=0，则y= ，
当y=0，则x=﹣ ，
∴与x、y轴的交点坐标是（0， ）、（﹣ ，0）．
由勾股定理，得 = ，
设平移的距离是a，由题意，得：x，
则× × =× x，
解得：x= ，
即s= ﹣4=
∵s= n2﹣ n+ ，
∴ n2﹣ n+ = ，
解得：n =6，n =﹣4.8（舍去）
1 2
答：冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为6年．
点评：本题考察了待定系数法求一次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，三角形的面积
公式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
26．（12分）
考点：二次函数综合题．
.
分析：（1）由二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），直接利用待
定系数法求解，即可求得此二次函数关系式；
（2）以点C、D、E、F为顶点的四边形构成平行四边形，有两种情形，需要分类讨论，避
免漏解：
①若CD为平行四边形的对角线，如答图2﹣1所示；②若CD为平行四边形的边，如答图2﹣2所示；
（3）首先过点E作EH⊥x轴于点H，设直线CE的解析式为：y=kx+3，然后分别求得点
G与E的坐标，即可证得△OAG∽△BHE，则可得∠AOG=∠HBE，继而可证得OG∥BE．
解答：解：（1）二次函数y=x2+bx+c，其图象抛物线交x轴于点A（1，0），B（3，0），
∴ ，
解得： ，
∴此二次函数关系式为：y=x2﹣4x+3；
（2）假设以点C、D、E、F为顶点的四边形能成为平行四边形．
①若CD为平行四边形的对角线，如答图2﹣1．
过点D作DM⊥AB于点M，过点E作EN⊥OC于点N，
∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴点D（2，﹣1），点C（0，3），
∴DM=1，
∵l ∥l，
1
∴当CE=DF时，四边形CEDF是平行四边形，
∴∠ECF+∠CFD=180°，
∵∠OCF+∠OFC=90°，
∴∠ECN+∠DFM=90°，
∵∠DFM+∠FDM=90°，
∴∠ECN=∠FDM，
在△ECN和△FDM中，
，
∴△ECN≌△FDM（AAS），
∴CN=DM=1，
∴ON=OC﹣CN=3﹣1=2，
当y=2时，x2﹣4x+3=2，
解得：x=2± ；
②若CD为平行四边形的边，如答图2﹣2，则EF∥CD，且EF=CD．
过点D作DM⊥y轴于点M，则DM=2，OM=1，CM=OM+OC=4；
过点E作EN⊥x轴于点N．
易证△CDM≌△EFN，∴EN=CM=4．
∴x2﹣4x+3=4，
解得：x=2± ．
综上所述，以点C、D、E、F为顶点的四边形能成为平行四边形；点E的坐标为（2+ ，
2）、（2﹣ ，2）、（2+ ，4）、（2﹣ ，4）．（3）如图②，过点E作EH⊥x轴于点H，
设直线CE的解析式为：y=kx+3，
∵A（1，0），AG⊥x轴，
∴点G（1，k+3），
即OA=1，AG=k+3，
∵E是直线与抛物线的交点，
∴ ，
解得： ，
∴点E（k+4，（k+1）（k+3）），
∴BH=OH﹣OB=k+3，EH=（k+1）（k+3），
∴ ，
∵∠OAG=∠BHE=90°，
∴△OAG∽△BHE，
∴∠AOG=∠HBE，
∴OG∥BE．
点评：此题属于二次函数的综合题、综合性较强，难度较大，主要考查了待定系数法求二次函
数的解析式、一次函数与二次函数的交点问题、平行四边形的性质以及相似三角形的
判定与性质等知识．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应
用．
27．（14分）
考点：四边形综合题．
.
分析：（1）设AP=x，则PB=1﹣x，根据正方形的面积公式得到这两个正方形面积之和=x2+（8
﹣x）2，配方得到2（x﹣4）2+32，然后根据二次函数的最值问题求解．
（2）根据PE∥BF求得PK= ，进而求得DK=PD﹣PK=a﹣ = ，
然后根据面积公式即可求得．
（3）本问涉及点的运动轨迹．PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°
的圆弧，如答图3所示；
（4）本问涉及点的运动轨迹．GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段
XY上，如答图4﹣1所示；然后利用轴对称的性质，求出OM+OB的最小值，如答图4
﹣2所示．
解答：解：（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值．
设AP=x，则PB=8﹣x，
根据题意得这两个正方形面积之和=x2+（8﹣x）2=2x2﹣16x+64
=2（x﹣4）2+32，
所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32．
（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK与△DFK．
依题意画出图形，如答图2所示．
设AP=a，则PB=BF=8﹣a．
∵PE∥BF，
∴ ，即 ，
∴PK= ，
∴DK=PD﹣PK=a﹣ = ，
∴S =PK•PA=• •a= ，S =DK•EF= •（8﹣a）=
△APK △DFK
，
∴S =S ．
△APK △DFK
（3）当点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动时，不妨设点Q在DA边
上，
若点P在点A，点Q在点D，此时PQ的中点O即为DA边的中点；
若点Q在DA边上，且不在点D，则点P在AB上，且不在点A．
此时在Rt△APQ中，O为PQ的中点，所以AO=PQ=4．
所以点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90°的圆弧上．
PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如答图3所示：
所以PQ的中点O所经过的路径的长为：×2π×4=6π．
（4）点O所经过的路径长为3，OM+OB的最小值为 ．
如答图4﹣1，分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH
为梯形．∵点O为中点，
∴OS=（GR+HT）=（AP+PB）=4，即OS为定值．
∴点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上．
∵MN=6，点P在线段MN上运动，且点O为GH中点，
∴点O的运动路径为线段XY，XY=MN=3，XY∥AB且平行线之间距离为4，点X与点
A、点Y与点B之间的水平距离均为2.5．
如答图4﹣2，作点M关于直线XY的对称点M′，连接BM′，与XY交于点O．
由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小．
在Rt△BMM′中，由勾股定理得：BM′= = ．
∴OM+OB的最小值为 ．
点评：本题是中考压轴题，难度较大．解题难点在于分析动点的运动轨迹，需要很好的空间想
象能力和作图分析能力；此外本题还综合考查了二次函数、整式运算、四边形、中位
线、相似、轴对称与勾股定理等众多知识点，是一道好题．
