文档内容
2011年江苏省连云港市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．（3分）a2•a3等于（ ）
A．a5B．a6C．a8D．a9
3．（3分）计算（x+2）2的结果为x2+□x+4，则“□”中的数为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
4．（3分）关于反比例函数y= 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．必经过点（1，1）
B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于x轴成轴对称
D．两个分支关于原点成中心对称
5．（3分）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形
的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图
形正确的是（ ）
A． B． C． D ．
6．（3分）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，下列说法错误的是（ ）
A．连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上
B．连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上
C．大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次
D．通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
7．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N．下列结论错
误的是（ ）
第1页（共24页）A．四边形EDCN是菱形B．四边形MNCD是等腰梯形
C．△AEM与△CBN相似 D．△AEN与△EDM全等
8．（3分）如图，是由8个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是2×2的正方形．若
拿掉若干个小立方块后（几何体不倒掉），其三个视图仍都为2×2的正方形，则最多能拿掉
小立方块的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不要写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
9．（3分）写出一个比﹣1小的数是 ．
10．（3分）在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘﹣131，
其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为 ．
11．（3分）分解因式：x2﹣9= ．
12．（3分）某品牌专卖店对上个月销售的男运动鞋尺码统计如下：
码号（码） 38 39 40 41 42 43 44
销售量（双） 6 8 14 20 17 3 1
这组统计数据中的众数是 码．
13．（3分）如图，是一个数值转换机．若输入数3，则输出数是 ．
14．（3分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA= ．
第2页（共24页）15．（3分）如图，点D为AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO．以O为圆心，OD长为半径
作圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF．若∠BAC=22°，则∠EFG= ．
16．（3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为
．
三、解答题（本大题共有12个小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）2×（﹣5）+23﹣3÷ ．
18．（6分）解方程： = ．
19．（6分）解不等式组： ．
20．（6分）两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠
部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？
第3页（共24页）21．（6分）根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐
州的最短客运时间将由现在的2小时18分缩短为36分钟，其速度每小时将提高260km．求
提速后的火车速度．（精确到1km/h）
22．（8分）为了解某校“振兴阅读工程”的开展情况，教育部门对该校初中生的阅读情况进
行了随机问卷调查，绘制了如下图表：
初中生喜爱的文学作品种类调查统计表
种类 小说 散文 传记 科普 军事 诗歌 其他
人数 72 8 21 19 15 2 13
第4页（共24页）根据上述图表提供的信息，解答下列问题：
（1）喜爱小说的人数占被调查人数的百分比是多少？初中生每天阅读时间的中位数在哪个
时间段内？
（2）将写读后感、笔记积累、画圈点读等三种方式称为有记忆阅读．请估计该校现有的2000
名初中生中，能进行有记忆阅读的人数约是多少？
23．（8分）一枚棋子放在边长为1个单位长度的正六边形ABCDEF的顶点A处，通过摸球来确
定该棋子的走法，其规则是：在一只不透明的袋子中，装有3个标号分别为1、2、3的相同小
球，搅匀后从中任意摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个，摸出的两
个小球标号之和是几棋子就沿边按顺时针方向走几个单位长度．
棋子走到哪一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率．（用列表或画树状图的方法求
解）
24．（10分）如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为
了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东
24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．
（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；
（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°≈0.75）
第5页（共24页）25．（10分）如图，抛物线y= x2﹣x+a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y=﹣
2x上．
（1）求a的值；
（2）求A，B的坐标；
（3）以AC，CB为一组邻边作 ▱ACBD，则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上？请说明
理由．
26．（12分）已知∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的
切点记为点C．
（1）⊙P移动到与边OB相切时（如图），切点为D，求劣弧 的长；
（2）⊙P移动到与边OB相交于点E，F，若EF=4 cm，求OC的长．
第6页（共24页）27．（12分）因长期干旱，甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值．为灌溉需要，由乙水库向
甲水库匀速供水，20h后，甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉，又经过20h，甲水库打开
另一个排灌闸同时灌溉，再经过40h，乙水库停止供水．甲水库每个排泄闸的灌溉速度相同，
图中的折线表示甲水库蓄水量Q（万m3） 与时间t（h） 之间的函数关系．求：
（1）线段BC的函数表达式；
（2）乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的灌溉速度；
（3）乙水库停止供水后，经过多长时间甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值？
28．（12分）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：
（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；
（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
…
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）
第7页（共24页）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P ，P 三等分边AB，R ，R 三等分边AC．经探究知
1 2 1 2
= S ，请证明．
△ABC
问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q ，Q 三
1 2
等分边DC．请探究 与S 之间的数量关系．
四边形ABCD
问题3：如图3，P ，P ，P ，P 五等分边AB，Q ，Q ，Q ，Q 五等分边DC．若S =1，求 ．
1 2 3 4 1 2 3 4 四边形ABCD
问题4：如图4，P ，P ，P 四等分边AB，Q ，Q ，Q 四等分边DC，P Q ，P Q ，P Q 将四边形ABCD
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
分成四个部分，面积分别为S ，S ，S ，S ．请直接写出含有S ，S ，S ，S 的一个等式．
1 2 3 4 1 2 3 4
第8页（共24页）2011年江苏省连云港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）
【考点】相反数．菁优网版权所有
【分析】根据相反数的定义得出，两数相加等于0，即是互为相反数，得出答案即可．
【解答】解：∵2+（﹣2）=0，
∴2的相反数是﹣2．
故选A．
【点评】此题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义解决问题是考查重点，同学们应重
点掌握．
2．（3分）
【考点】同底数幂的乘法．菁优网版权所有
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am•an=am+n计算即
可．
【解答】解：a2•a3=a2+3=a5．
故选A．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3．（3分）
【考点】完全平方式．菁优网版权所有
【分析】由（x+2）2=x2+4x+4与计算（x+2）2的结果为x2+□x+4，根据多项式相等的知识，即可求得
答案．
【解答】解：∵（x+2）2=x2+4x+4，
∴“□”中的数为4．
故选D．
【点评】此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是熟记公式，注意解题要细心．
4．（3分）
【考点】反比例函数的性质；轴对称图形；中心对称图形．菁优网版权所有
第9页（共24页）【分析】把（1，1）代入得到左边≠右边；k=4＞0，图象在第一、三象限；根据轴对称的定义沿X
轴对折不重合；根据中心对称的定义得到两曲线关于原点对称；根据以上结论判断即可．
【解答】解：A、把（1，1）代入得：左边≠右边，故A选项错误；
B、k=4＞0，图象在第一、三象限，故B选项错误；
C、沿x轴对折不重合，故C选项错误；
D、两曲线关于原点对称，故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查对反比例函数的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识点的理解和掌
握，能根据反比例函数的性质进行判断是解此题的关键．
5．（3分）
【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．菁优网版权所有
【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形
内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
【解答】解：∵42+92=97＜122，
∴三角形为钝角三角形，
∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三
角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三
角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部．
6．（3分）
【考点】概率的意义．菁优网版权所有
【分析】根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大
小，机会大也不一定发生．
【解答】解：A、连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也
可能都反面朝上，故此选项错误；
B、连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个有机事件，有可能发生，故此选项正确；
C、大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，也有可能发生，故此选项正确；
D、通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为 ，故此选项正确．
故选A．
【点评】此题主要考查了概率的意义，关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别．
第10页（共24页）7．（3分）
【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定；菱形的判定；等腰梯形的判定．菁优网版权所
有【分析】首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，
AC=AD=BE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得A正确，根据等腰梯形的判定
方法即可证得B正确，利用SSS即可判定D正确，利用排除法即可求得答案．
【解答】解：∵在正五边形ABCDE中，
∴AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，
∴四边形EDCN是平行四边形，
∴ ▱EDCN是菱形；故A正确；
同理：四边形BCDM是菱形，
∴CN=DE，DM=BC，
∴CN=DM，
∴四边形MNCD是等腰梯形，故B正确；
∴EN=ED=DM=AE=CN=BM=CD，
∵AN=AC﹣CN，EM=BE﹣BM，
∵BE=AC，
∴△AEN≌△EDM（SSS），故D正确．
故选：C．
【点评】此题考查了正五边形的性质，菱形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质以及全等三
角形的判定等知识．此题综合性很强，注意数形结合思想的应用．
8．（3分）
【考点】简单几何体的三视图．菁优网版权所有
【分析】拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为2×2的正方形，所以
最底下一层必须有四个小立方块，这样能保证俯视图仍为 2×2的正方形，为保证正视图与
左视图也为2×2的正方形，所以上面一层必须保留交错的两个立方块，即可知最多能拿掉
小立方块的个数．
【解答】解：根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为2×2的正方形，
所以最多能拿掉小立方块的个数为2个．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．解决此类图的关键是由立体图形得
到三视图；学生由于空间想象能力不够，易造成错误．
第11页（共24页）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不要写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上）
9．（3分）
【考点】有理数大小比较．菁优网版权所有
【分析】本题答案不唯一．根据有理数大小比较方法可得．
【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可得﹣2＜﹣1，所以可以填﹣2．答案不唯一．
【点评】比较有理数的大小的方法：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
10．（3分）
【考点】科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的
科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面
的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000963用科学记数法可表示为：0.0000963=9.63×10﹣5；
故答案为：9.63×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n由原
数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11．（3分）
【考点】因式分解-运用公式法．菁优网版权所有
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即
“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
12．（3分）
【考点】众数．菁优网版权所有
【分析】根据众数的定义进行解答，众数是一组数据中出现次数最多的数据．
【解答】解：在这一组数据中41码是出现次数最多的，故众数是41码．
故答案为：41．
【点评】本题为统计题，主要考查众数的意义，注意众数可以不止一个．
13．（3分）
【考点】有理数的混合运算．菁优网版权所有
第12页（共24页）【分析】设输入的数为x，根据图表可知，输出的数=（x2﹣1）2+1，把x=3代入计算即可得输出的
数．
【解答】解：设输入的数为x，根据题意可知，输出的数=（x2﹣1）2+1．
把x=3代入（x2﹣1）2+1=（32﹣1）2+1=（9﹣1）2+1=82+1=65，即输出数是65．
故答案为65．
【点评】此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．解题
关键是对号入座不要找错对应关系．
14．（3分）
【考点】锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【分析】在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长，然后利用正弦的定义求解．
【解答】解：在直角△ABD中，BD=1，AB=2，
则AD= = = ，
则sinA= = = ．
故答案是： ．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，
余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
15．（3分）
【考点】圆周角定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】连接OE，利用三角形的外角性质得出∠ODC的度数，再求出∠DOC，从而求出∠EOG
的度数，再利用圆周角定理求出∠EFG的度数．
【解答】解：连接EO，
∵AD=DO，
∴∠BAC=∠DOA=22°，
∴∠EDO=44°，
∵DO=EO，
∴∠OED=∠ODE=44°，
∴∠DOE=180°﹣44°﹣44°=92°，
第13页（共24页）∴∠EOG=180°﹣92°﹣22°=66°，
∴∠EFG= ∠EOG=33°，
故答案为：33°．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角的性质的综合运用，做题的关键是理清角之
间的关系．
16．（3分）
【考点】等腰梯形的性质；勾股定理；梯形中位线定理．菁优网版权所有
【分析】首先由等腰梯形的性质，求得MN⊥BC，EF=（AD+BC），然后过点D作DK∥AC交BC的
延长线于K，过点D作DH⊥BC于H，即可得四边形ACKD是平行四边形，四边形MNHD是矩
形，则可得△BDK是等腰三角形，由三线合一的知识，可得BH=EF，在Rt△BDH中由勾股定理
即可求得答案．
【解答】已知：如图，AD∥BC，AB=CD，E，N，F，M分别是边AB，BC，CD，DA的中点，且
EF2+MN2=8．
求：这个等腰梯形的对角长．
解：过点D作DK∥AC交BC的延长线于K，过点D作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，AB=CD，E，N，F，M分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF= （AD+BC），MN⊥BC，AC=BD，
∴四边形ACKD是平行四边形，
∴DK=AC=BD，CK=AD，
∴BH=KH= BK= （BC+CK）= （BC+AD），
∴BH=EF，
∵四边形MNHD是矩形，
∴DH=MN，
∴在Rt△BDH中，BD2=BH2+DH2=EF2+MN2=8，
∴BD=2 ．
∴这个等腰梯形的对角线长为2 ．
第14页（共24页）故答案为：2 ．
【点评】此题考查了等腰梯形的性质，平行四边形与矩形的性质与判定以及等腰三角形，直角
三角形的性质等知识．此题综合性很强，而且需要同学们将文字语言翻译成数学语言，难度
较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
三、解答题（本大题共有12个小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）
【考点】有理数的混合运算．菁优网版权所有
【分析】先算乘法和乘方，再算除法，最后算加减．
【解答】解：原式=﹣10+8﹣6
=﹣8．
【点评】此题考查有理数的混合运算，注意运算顺序，正确按顺序计算．
18．（6分）
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整
式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘x（x﹣1），得
3x﹣3=2x，
解得x=3．
检验：把x=3代入x（x﹣1）=6≠0．
∴原方程的解为：x=3．
【点评】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分
式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
19．（6分）
【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
第15页（共24页）【解答】解： ，
由①得，x＜2，
由②得，x＜﹣5，
故此不等式组的解集为：x＜﹣5．
故答案为：x＜﹣5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较
大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
20．（6分）
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【分析】根据题意AB=BD，AC=DF，∠A=∠D，AB=BD，AC=DF可得AF=DC，利用AAS即可判定
△AOF≌△DOC．
【解答】答：△AOF≌△DOC．
证明：∵两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，
∴AB=DB，BF=BC，
∴AB﹣BF=BD﹣BC，∴AF=DC
∵∠A=∠D，∠AOF=∠DOC，
即 ，
∴△AOF≌△DOC（AAS）．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，解答此题的关键是根据题
意得出AF=DC，AO=DO．
21．（6分）
【考点】一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】根据路程÷时间=速度，等量关系：提速后的运行速度﹣原运行的速度=260，列方程求
解即可．
【解答】解：设连云港至徐州客运专线的铁路全长为xkm，列方程得：
﹣ =260，
1.7x=358.8，
解得x= ，
≈352km/h．
答：提速后的火车速度约是352km/h．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，此题的关键是，理解路程，时间，速度的关系，找出
第16页（共24页）题中存在的等量关系．
22．（8分）
【考点】扇形统计图；用样本估计总体；统计表；条形统计图．菁优网版权所有
【分析】（1）用喜欢小说的人数除以被调查的人数即可得到喜爱小说的人数所占的百分比；
（2）先由条形统计图得到进行有记忆阅读的人数，再除以被调查的总人数乘以该校的总人数
即可．
【解答】解：（1）由统计图可知喜爱小说的有72人，总人数为：72+8+21+19+15+2+13=150人，
∴喜爱小说的人数占被调查人数的百分比是72÷150×100%=48%；
由扇形统计图可以得到A段的有150×40%=60人，
B段的有150×30%=45人，
C段的有150×20%=30人，
D段的有150×10%=15人，
∴初中生每天阅读时间的中位数在B段；
（2）由条形统计图可以得到进行有记忆阅读的有18+30+12=60人，
∴该校有记忆阅读的有2000× =800人．
【点评】本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解决此类问题的关键
是正确的识图，从统计图中整理出进一步解题的信息．
23．（8分）
【考点】列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】先画树形图：共有9种等可能的结果，其中摸出的两个小球标号之和是2的占1种，
摸出的两个小球标号之和是3的占2种，摸出的两个小球标号之和是4的占3种，摸出的两
个小球标号之和是5的占两种，摸出的两个小球标号之和是6的占一种；即可知道棋子走到
哪一点的可能性最大，根据概率的概念也可求出棋子走到该点的概率．
【解答】解：画树形图：
共有9种等可能的结果，其中摸出的两个小球标号之和是2的占1种，
摸出的两个小球标号之和是3的占2种，
摸出的两个小球标号之和是4的占3种，
摸出的两个小球标号之和是5的占两种，
第17页（共24页）摸出的两个小球标号之和是6的占一种；
所以棋子走E点的可能性最大，
棋子走到E点的概率= = ．
【点评】本题考查了概率的概念：用列举法展示所有等可能的结果数n，找出某事件所占有的
结果数m，则这件事的发生的概率P= ．
24．（10分）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有
【分析】（1）首先由已知求出∠PBQ和∠BPQ的度数进行比较得出线段BQ与PQ是否相等；
（2）先由已知求出∠PQA，再由直角三角形PQA求出AQ，由（1）得出BQ=PQ=1200，又由已知
得∠AQB=90°，所以根据勾股定理求出A，B间的距离．
【解答】解：（1）线段BQ与PQ相等．
证明：∵∠PQB=90°﹣41°=49°，
∠BPQ=90°﹣24.5°=65.5°，
∴∠PBQ=180°﹣49°﹣65.5°=65.5°，
∴∠BPQ=∠PBQ，
∴BQ=PQ；
（2）∠AQB=180°﹣49°﹣41°=90°，
∠PQA=90°﹣49°=41°，
∴AQ= = =1600，
BQ=PQ=1200，
∴AB2=AQ2+BQ2=16002+12002，
∴AB=2000，
答：A、B的距离为2000m．
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是通过角的计算得出BQ=PQ，
再由直角三角形先求出AQ，根据勾股定理求出AB．
25．（10分）
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a的
值；
（2）根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A，B两点的坐标；
第18页（共24页）（3）根据平行四边形的性质得出D点的坐标，即可得出D′点的坐标，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y= x2﹣x+a其顶点在直线y=﹣2x上．
∴抛物线y= x2﹣x+a，
= （x2﹣2x）+a，
= （x﹣1）2﹣ +a，
∴顶点坐标为：（1，﹣ +a），
∴y=﹣2x，﹣ +a=﹣2×1，
∴a=﹣ ；
（2）二次函数解析式为：y= x2﹣x﹣ ，
∵抛物线y= x2﹣x﹣ 与x轴交于点A，B，
∴0= x2﹣x﹣ ，
整理得：x2﹣2x﹣3=0，
解得：x=﹣1或3，
A（﹣1，0），B（3，0）；
（3）作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，
在△AOC和△BDE中
∵
∴△AOC≌△BED（AAS），
∵AO=1，
∴BE=1，
∵二次函数解析式为：y= x2﹣x﹣ ，
∴图象与y轴交点坐标为：（0，﹣ ），
∴CO= ，∴DE= ，
D点的坐标为：（2， ），
∴点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，﹣ ），
代入解析式y= x2﹣x﹣ ，
∵左边=﹣ ，右边= ×4﹣2﹣ =﹣ ，
∴D′点在函数图象上．
第19页（共24页）【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性
质得出D点的坐标是解决问题的关键．
26．（12分）
【考点】直线与圆的位置关系；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；弧长的计算．菁
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【分析】（1）根据∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的
切点记为点C，利用弧长公式得出弧 的长；
（2）分两种情况分析，①当P在∠AOB内部，根据⊙P移动到与边OB相交于点E，F，利用垂径
定理得出EF=4 cm，得出EM=2 cm，进而得出OC的长．
②当P在∠AOB外部，连接PF，PC，PC交EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M，进而求出即可．
【解答】解：（1）连接DP、CP，
∵∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C．
∴∠DPC=120°，
∴劣弧 的长为： =2πcm；
（2）可分两种情况，
①如图2，当P在∠AOB内部，连接PE，PC，过点P做PM⊥EF于点M，延长CP交OB于点N，
∵EF= cm，∴EM=2 cm，
在Rt△EPM中，PM= =1cm，
∵∠AOB=60°，∴∠PNM=30°，
∴PN=2PM=2cm，
∴NC=PN+PC=5cm，
在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=5× = cm．
②如图3，当P在∠AOB外部，连接PF，PC，PC交EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M，
由①可知，PN=2cm，
∴NC=PC﹣PN=1cm，
第20页（共24页）在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=1× = cm．
综上所述，OC的长为 cm或 cm．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及垂径定理和弧长计算公的应用，根据已知
得出CO= （cm）是解决问题的关键．
27．（12分）
【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）将B、C两点的坐标代入到一次函数的解析式，利用待定系数法求得函数解析式
即可；
（2）利用前20小时可以求得甲水库的灌溉速度，用第80小时后可以求得乙水库的灌溉速度；
（3）得到乙水库的蓄水量和灌溉时间之间的函数关系式求最小值即可．
【解答】解：（1）由图象知：线段BC经过点（20，500）和（40，600），
第21页（共24页）∴设解析式为：Q=kt+b，
∴ ，
解得： ，
∴解析式为：Q=5t+400（20≤t≤40）；
（2）设乙水库的供水速度为x万m3/h，甲水库一个闸门的灌溉速度为y万m3/h，
∴ ，
解得 ，
∴乙水库供水速度为15万m3/h和甲水库一个排灌闸的灌溉速度10万m3/h；
（3）∵正常水位的最低值为a=500﹣15×20=200，
∴（400﹣200）÷（2×10）=10h，
∴10小时后降到了正常水位的最低值．
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用
一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值
范围确定最值．
28．（12分）
【考点】三角形的面积．菁优网版权所有
【分析】问题1，图1中，连接P R ，R B，由三角形中线的性质得S =S ，S =S ，
1 2 2 △AP1R1 △P1R1R2 △P1R2P2 △P2R2B
再由R ，R 为AC的三等分点，得S = S ，根据图形的面积关系，得S 与S
1 2 △BCR2 △ABR2 △ABC 四边形P1P2R2R1
的数量关系，证明结论；
问题2，图2中，连接AQ ，Q P ，P C，由三角形的中线性质，得S =S ，S =S ，
1 1 2 2 △AQ1P1 △P1Q1P2 △P2Q1Q2 △P2Q2C
由Q ，P 为CD，AB的三等分点可知，S = S ，S = S ，得出S +S 与S
1 2 △ADQ1 △AQ1C △BCP2 △AP2C △ADQ1 △BCP2 四边形
的关系，再根据图形的面积关系，得S 与S 的等量关系；
AQ1CP2 四边形ABCD 四边形P1Q1Q2P2
问题3，图3中，依次设四边形的面积为S ，S ，S ，S ，S ，由问题2的结论可推出2S =S +S ，
1 2 3 4 5 2 1 3
2S =S +S ，2S =S +S ，三式相加，得S +S =S +S ，利用换元法求S +S +S +S +S 与S 的数量关系，
3 2 4 4 3 5 2 4 1 5 1 2 3 4 5 3
已知S =1，可求S ；
四边形ABCD 四边形P2Q2Q3P3
问题4，图4中，由问题2的结论可知，2S =S +S ，2S =S +S ，两式相加得S ，S ，S ，S 的等量关
2 1 3 3 2 4 1 2 3 4
系．
【解答】解：问题1，证明：
如图1，连接P R ，R B，在△AP R 中，∵P R 为中线，∴S =S ，
1 2 2 1 2 1 1 △AP1R1 △P1R1R2
第22页（共24页）同理S =S ，
△P1R2P2 △P2R2B
∴S +S = S =S ，
△P1R1R2 △P1R2P2 △ABR2 四边形P1P2R2R1
由R ，R 为AC的三等分点可知，S = S ，
1 2 △BCR2 △ABR2
∴S =S +S =S +2S =3S ，
△ABC △BCR2 △ABR2 四边形P1P2R2R1 四边形P1P2R2R1 四边形P1P2R2R1
∴S = S ；
四边形P1P2R2R1 △ABC
问题2，S =3S ．
四边形ABCD 四边形P1Q1Q2P2
理由：如图2，连接AQ ，Q P ，P C，在△AQ P 中，∵Q P 为中线，
1 1 2 2 1 2 1 1
∴S =S ，同理S =S ，
△AQ1P1 △P1Q1P2 △P2Q1Q2 △P2Q2C
∴S +S = S =S ，
△P1Q1P2 △P2Q1Q2 四边形AQ1CP2 四边形P1Q1Q2P2
由Q ，P 为CD，AB的三等分点可知，S = S ，S = S ，
1 2 △ADQ1 △AQ1C △BCP2 △AP2C
∴S +S = （S +S ）= S ，
△ADQ1 △BCP2 △AQ1C △AP2C 四边形AQ1CP2
∴S =S +S =S +S +S =3S ，
四边形ABCD △ADC △ABC 四边形AQ1CP2 △ADQ1 △BCP2 四边形P1Q1Q2P2
即S =3S ；
四边形ABCD 四边形P1Q1Q2P2
问题3，解：
如图3，由问题2的结论可知，3S =S +S +S ，即2S =S +S ，同理得2S =S +S ，2S =S +S ，
2 1 2 3 2 1 3 3 2 4 4 3 5
三式相加得，S +S =S +S ，
2 4 1 5
∴S +S +S +S +S =2（S +S ）+S =2×2S +S =5S ，
1 2 3 4 5 2 4 3 3 3 3
即S = S = ；
四边形P2Q2Q3P3 四边形ABCD
问题4，如图4，关系式为：S +S =S +S ．
2 3 1 4
【点评】本题考查了三角形面积问题．关键是利用三角形的中线把三角形分为面积相等的两
个三角形的性质进行推理．
第23页（共24页）第24页（共24页）
