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第七章 图形的变化
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分
1．【原创题】古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形
又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后
两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后
能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据主视图的定义判断．
【详解】根据主视图的定义，从正面（图中箭头方向）看到的图形应为两层，上层有2个，下层有3个小
正方形，
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故答案为：C．
【点睛】本题考查主视图的定义，注意观察的方向，掌握主视图的定义判断是解题的关键．
3．在直角坐标系中，把点A(m,2)先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标
和纵坐标相等，则m=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先根据平移方式确定点B的坐标，再根据点B的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．
【详解】解：∵点A(m,2)先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B，
∴ B(m+1,2+3)，即B(m+1,5)，
∵点B的横坐标和纵坐标相等，
∴ m+1=5，
∴ m=4，
故选C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标
系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．
【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题
4．如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC=α，则
A，C两处相距（ ）
x x
A． 米 B． 米 C．x⋅sinα米 D．x⋅cosα米
sinα cosα
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.
【详解】解：小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，
∴∠ABC=90°，AB=x米.
AB
∴cosα= ，
AC
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AB x
∴AC= = 米.
cosα cosα
故选： B .
【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角
三角形中，锐角的邻边与斜边之比.
5．如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在
BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．∠CAE=∠BED B．AB=AE C．∠ACE=∠ADE D．CE=BD
【答案】A
【分析】根据旋转的性质即可解答．
【详解】根据题意，由旋转的性质，
可得AB=AD，AC=AE，BC=DE，
无法证明AB=AE，CE=BD，故B选项和D选项不符合题意，
∠ABC=∠ADE
∵ ∠ACE=∠ABC+∠BAC
∴ ∠ACE=∠ADE+∠BAC，故C选项不符合题意，
∠ACB=∠AED
∵ ∠ACB=∠CAE+∠CEA
∵ ∠AED=∠CEA+∠BED
∴ ∠CAE=∠BED，故A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．
6．【原创题】如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（
）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据俯视图的定义，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：从该几何体正上方看，棱AE的投影为点E，棱AB的投影为线段BE，棱AD
的投影为线段ED，棱AC的投影为正方形BCDE的对角线，
∴该几何体的俯视图为：
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是熟练掌握俯视图的定义：从物体正上方看到的图形是俯视
图．
7．如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5,OA:OD=1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到
如图所示的位置，线段OD 恰好经过点B，点C落在y轴的点C 位置，点E的坐标是（ ）
1 1
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A．(1,2) B．(−1,2) C．(√5−1,2) D．(1−√5,2)
【答案】D
【分析】首先证明△AOB∼△D C O，求出AB=CD=2，连结OC，设BC与OC❑❑交于点F，然后求
1 1 1
出OC=OC =2√5，可得C F=2√5−2，再用含EF的式子表示出EC ，最后在Rt△EFC 中，利用勾
1 1 1 1
股定理构建方程求出EF即可解决问题．
【详解】解：∵矩形ABCD的边AD=5，OA:OD=1:4，
∴OA=1，OD=4，BC=5，
由题意知AB∥OC ，
1
∴∠ABO=∠D OC ，
1 1
又∵∠BAO=∠OD C =90°，
1 1
∴△AOB∼△D C O，
1 1
OA D C
∴ = 1 1 ，
AB OD
1
由折叠知OD =OD=4，D C =DC=AB，
1 1 1
1 AB
∴ = ，
AB 4
∴AB=2，即CD=2，
连接OC，设BC与OC❑❑交于点F，
1
∴OC=√OD2+CD2=√42+22=2√5，
∵∠FOA=∠OAB=∠ABF=90°，
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∴四边形OABF是矩形，
∴AB=OF=2，∠BFO=90°=∠EFC ，OA=BF=1，
1
∴CF=5−1=4，
由折叠知OC =OC=2√5，EC =EC=CF−EF=4−EF，
1 1
∴C F=OC −OF=2√5−2，
1 1
∵在Rt△EFC 中，EF2+C F2=EC 2 ，
1 1 1
∴EF2+(2√5−2) 2=(4−EF) 2，
解得：EF=√5−1，
∴点E的坐标是(1−√5,2)，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知
识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出AB的长是解题的关键．
8．一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三视图判断圆柱上面放着小圆锥，确定具体位置后即可得到答案．
【详解】解：由主视图和左视图可以得到该几何体是圆柱和小圆锥的复合体，
由俯视图可以得到小圆锥的底面和圆柱的底面完全重合，
故选：D．
【点睛】题考查了由三视图判断几何体，解题时不仅要有一定的数学知识，而且还应有一定的生活经验．
9．如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时，若△ABE平移到△DCF，a=4，h=3，则
△ABE的平移距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．12
【答案】B
【分析】根据平移的方向可得，△ABE平移到△DCF，则点A与点D重合，故△ABE的平移距离为AD的
长．
【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时，将△ABE平移到△DCF，
故平移后点A与点D重合，则△ABE的平移距离为AD=a=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
10．【创新题】如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H
在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB=2，HG=3．以下结论：
√2
①∠EDC=135°；②EC2=CD⋅CF；③HG=EF；④sin∠CED= ．其中正确结论的个数为（ ）
3
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性质可知②正确；证
DC EC CD⋅HG 3a
明△GBH∽△EDC，得到 = ，即EC= = ，利用△HEC是等腰直角三角形，求出
HB HG HB 2
3√2a
HE= ，再证明△HGB∽△HDF即可求出EF=3可知③正确；过点E作EM⊥FD交FD于点M，
2
ME √2
求出sin∠EFC= = ，再证明∠DEC=∠EFC，即可知④正确．
EF 3
【详解】解：∵△EDC旋转得到△HBC，
∴∠EDC=∠HBC，
∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上，
∴∠HBC=180°−45°=135°，
∴∠EDC=135°，故①正确；
∵△EDC旋转得到△HBC，
∴EC=HC，∠ECH=90°，
∴∠HEC=45°，
∴∠FEC=180°−45°=135°，
∵∠ECD=∠ECF，
∴△EFC∽△DEC，
EC FC
∴ = ，
DC EC
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∴EC2=CD⋅CF，故②正确；
设正方形边长为a，
∵∠GHB+∠BHC=45°，∠GHB+∠HGB=45°，
∴∠BHC=∠HGB=∠DEC，
∵∠GBH=∠EDC=135°，
∴△GBH∽△EDC，
DC EC CD⋅HG 3a
∴ = ，即EC= = ，
HB HG HB 2
∵△HEC是等腰直角三角形，
3√2a
∴HE= ，
2
∵∠GHB=∠FHD，∠GBH=∠HDF=135°，
∴△HBG∽△HDF，
2 3
HB HG =
∴ = ，即2+√2a 3√2a ，解得：EF=3，
HD HF +EF
2
∵HG=3，
∴HG=EF，故③正确；
过点E作EM⊥FD交FD于点M，
∴∠EDM=45°，
∵ED=HB=2，
∴MD=ME=√2，
∵EF=3，
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ME √2
∴sin∠EFC= = ，
EF 3
∵∠DEC+∠DCE=45°，∠EFC+∠DCE=45°，
∴∠DEC=∠EFC，
ME √2
∴sin∠DEC=sin∠EFC= = ，故④正确
EF 3
综上所述：正确结论有4个，
故选：D
【点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟
练掌握以上知识点，结合图形求解．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为 ．
【答案】（-1，5）
【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，
∴点B的坐标为（-1，5）．
故答案为：（-1，5）
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于原点对称的特征，熟练掌握若两点关于坐标原点对称，
横纵坐标均互为相反数是解题的关键．
12．【创新题】如图，在扇形AOB中，点C，D在A´B上，将C´D沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点
E，F．已知∠AOB=120°，OA=6，则E´F的度数为 ；折痕CD的长为 ．
【答案】 60°/60度 4√6
【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再
结合切线的性质和垂径定理求解即可．
【详解】作O关于CD的对称点M，则ON=MN
连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N
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∵将C´D沿弦CD折叠
∴点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上
∵将C´D沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．
∴ME⊥OA，MF⊥OB
∴∠MEO=∠MFO=90°
∵∠AOB=120°
∴四边形MEOF中∠EMF=360°−∠AOB−∠MEO−∠MFO=60°
即E´F的度数为60°；
∵∠MEO=∠MFO=90°，ME=MF
∴△MEO≅△MFO（HL）
1
∴∠EMO=∠FMO= ∠FME=30°
2
ME 6
∴OM= = =4√3
cos∠EMO cos30°
∴MN=2√3
∵MO⊥DC
1
∴DN=√DM2−M N2=√62−(2√3) 2=2√6= CD
2
∴CD=4√6
故答案为：60°；4√6
【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是
解题的关键．
【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题
13．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如
图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已知B，C，E，F在同
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一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB= m．
【答案】9.88
【分析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，证明Rt ABC∽△Rt DEF，然后利用相似三角
形的性质即可求解． △ △
【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．
∴AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∴Rt ABC∽Rt DEF，
A△B BC △ AB 8.72
∴ = ，即 = ，
DE EF 2.47 2.18
解得AB=9.88，
∴旗杆的高度为9.88m．
故答案为：9.88．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在
太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt ABC∽△Rt DEF是解题的关键．
14．在ΔABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠△A、∠B、△∠C的对边，若b2=ac，则sinA的值为
．
−1+√5
【答案】
2
【详解】解：如图所示：
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在Rt△ABC中，由勾股定理可知：a2+b2=c2，
∵ac=b2，
∴a2+ac=c2，
∵a>0， b>0，c>0，
a2+ac c2 (a) 2 a
∴ = ，即： + =1，
c2 c2 c c
a −1+√5 a −1−√5
求出 = 或 = （舍去），
c 2 c 2
a −1+√5
∴在Rt△ABC中：sin A= = ，
c 2
−1+√5
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
∠A的对边 ∠A的邻边 ∠A的对边
在Rt△ABC中，sinA= ，cosA= ，tanA= ．
斜边 斜边 ∠A的邻边
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=2√2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝
1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为
．
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【答案】√5或√13/√13或√5
【分析】连接CD，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分Q点在线段CD上和DC的延长线上，且
CQ=CP=1，勾股定理求得AQ即可．
【详解】如图，连接CD，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=2√2，
∴AB=4，CD⊥AD，
1
∴CD= AB=2，
2
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，Q点在CD上，且CQ=CP=1，
∴DQ=CD−CQ=2−1=1，
如图，在Rt△ADQ中，AQ=√AD2+DQ2=√22+12=√5，
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在Rt△ADQ中，AD=CD=2,QD=CD+CQ=3
∴AQ=√AD2+DQ2=√22+32=√13
故答案为：√5或√13．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点Q的位置是解题的关
键．
16．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，
分别交AB，AC于点M，N；②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M'；③以点M'为圆心，
以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N'：④过点N'作射线DN'交BC于点E．若△BDE
BE
与四边形ACED的面积比为4:21，则 的值为 ．
CE
2
【答案】
3
【分析】根据作图可得∠BDE=∠A，然后得出DE∥AC，可证明△BDE∽△BAC，进而根据相似三角
形的性质即可求解．
【详解】解：根据作图可得∠BDE=∠A，
∴DE∥AC，
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∴△BDE∽△BAC，
∵△BDE与四边形ACED的面积比为4:21，
∴
S
△BDC =
4
=
(BE) 2
S 21+4 BC
△BAC
BE 2
∴ =
BC 5
BE 2
∴ = ，
CE 3
2
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的
性质与判定是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．先化简，再求值： ( a+1− 3 ) ÷ a2+4a+4 ，其中a=tan45°+( 1 ) −1 −π0
a−1 a−1 2
a−2
【答案】 ，0
a+2
【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的
性质求出a，最后代入计算．
( 3 ) a2+4a+4
【详解】解： a+1− ÷
a−1 a−1
(a2−1 3 ) (a+2) 2
= − ÷
a−1 a−1 a−1
a2−4 (a+2) 2
= ÷
a−1 a−1
(a+2)(a−2) a−1
= ⋅
a−1 (a+2) 2
a−2
= ；
a+2
1 −1
∵a=tan45°+( ) −π0=1+2−1=2，
2
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a−2 2−2
∴原式= = =0．
a+2 2+2
【点睛】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解
题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△ABC ，请画出平移后的△ABC ；
1 1 1 1 1 1
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△ABC ，请画出旋转后的△ABC ；
2 2 2 2 2 2
（3）观察图形可知，△ABC 与△ABC 关于点（ ， ）中心对称．
1 1 1 2 2 2
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）﹣2，0．
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的 ABC ；
1 1 1
（2）依据 ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的 A△BC ；
2 2 2
（3）依据△对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的△坐标．
【详解】解：（1）如图所示，分别确定A,B,C平移后的对应点A ,B ,C ，
1 1 1
得到△ABC 即为所求；
1 1 1
（2）如图所示，分别确定A,B,C旋转后的对应点A ,B ,C ，
2 2 2
得到△ABC 即为所求；
2 2 2
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（3）由图可得，△ABC 与△ABC 关于点(−2,0)成中心对称．
1 1 1 2 2 2
故答案为：﹣2，0．
【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的
关键．
19．在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴
对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴
影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，
例图除外）
【答案】见解析.
【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得．
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【详解】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：
【点睛】本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念．
【新考法】 数学与实际生活——利用数学知识解决实际问题
20．我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔，是苏北地区现存最高和最古老的宝塔．小
明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE=45°，
再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE=53°，AB=10m；小亮在点G处竖立标杆
FG，小亮的所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，FG=1.5m，GD=2m．（注：结果精确
到0.01m，参考数据：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）
(1)求阿育王塔的高度CE；
(2)求小亮与阿育王塔之间的距离ED．
【答案】(1)40.58m
(2)54.11m
CE CE
【分析】（1）在Rt△CEB中，由tan53°= = ，解方程即可求解．
BE CE−10
（2）证明Rt△FGD∽Rt△CED，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）在Rt△CAE中，∵∠CAE=45°，
∴CE=AE．
∵AB=10，
∴BE=AE−10=CE−10．
CE CE
在Rt△CEB中，由tan53°= = ，
BE CE−10
得tan53°(CE−10)=CE，
解得CE≈40.58．
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经检验CE≈40.58是方程的解
答：阿育王塔的高度约为40.58m．
（2）由题意知Rt△FGD∽Rt△CED，
FG GD
∴ = ，
CE ED
1.5 2
即 = ，
40.58 ED
∴ED≈54.11．
经检验ED≈54.11是方程的解
答：小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．
【新考法】 阅读理解题
21．中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几
何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
原文 释义
甲乙丙为定直角． 如图2，∠ABC为直角．
以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于
以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交 点D，E；
点己；
以点D为圆心，以BD长为半径画弧与D´E交于点F；
再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交
再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与D´E交于点G；
点庚；
乙与己及庚相连作线． 作射线BF，BG．
(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完
成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系．
【答案】(1)见解析
(2)∠DBG=∠GBF=∠FBE
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
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（2）连接DF，EG，可得 △BDF和△BEG均为等边三角形，∠DBF=∠EBG=60°，进而可得
∠DBG=∠GBF=∠FBE=30°．
【详解】（1）解：（1）如图：
（2）∠DBG=∠GBF=∠FBE．
理由：连接DF，EG如图所示
则BD=BF=DF，BE=BG=EG
即△BDF和△BEG均为等边三角形
∴∠DBF=∠EBG=60°
∵∠ABC=90°
∴∠DBG=∠GBF=∠FBE=30°
【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．
22．如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，
且∠BAC=∠ADB．
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
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(2)若BC=2OC，求tan∠ADB的值；
(3)在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若AB=2√6，求
AE⋅AP的值．
【答案】(1)见解析
√2
(2)
2
(3)4√2
【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到∠OAC+∠OAD=90°，再证明
∠OAD=∠BAC即可证明结论；
AC BC
（2）先证明△BCA∽△BAD，得到 = ，令半径OC=OA=r，则BC=2r，OB=3r，利用勾股定
AD BA
理求出AB=2√2r，解直角三角形即可答案；
AC √2
（3）先求出CD=2√3，在Rt△CAD中， = ，AC2+AD2=CD2，解得AC=2，AD=2√2，证
AD 2
AC AP
明△CAP∽△EAD，得到 = ，则AE⋅AP=AC⋅AD=4√2．
AE AD
【详解】（1）解：如图所示，连接OA，
∵CD是⊙O直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠OAC+∠OAD=90°，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠BAC=∠ADB，
∴∠OAD=∠BAC，
∴∠BAC+∠OAC=90°，即∠BAO=90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为半径，
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∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC=∠ADB，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BAD，
AC BC
∴ = ，
AD BA
由BC=2OC知，令半径OC=OA=r，则BC=2r，OB=3r，
在Rt△BAO中，AB=√OB2−OA2=2√2r，
AC BC 2r √2
在Rt△CAD中，tan∠ADC= = = = ，
AD BA 2√2r 2
√2
即tan∠ADB= ；
2
（3）解：在（2）的条件下，AB=2√2r=2√6，
∴r=√3，
∴CD=2√3，
AC √2
在Rt△CAD中， = ，AC2+AD2=CD2，
AD 2
解得AC=2，AD=2√2，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP=∠EAD，
又∵∠APC=∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，
AC AP
∴ = ，
AE AD
∴AE⋅AP=AC⋅AD=2×2√2=4√2．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三
角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
23．如图，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点
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D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到ΔAED，连接BE．
(1)当AE⊥BC时，∠AEB=___________°；
(2)探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；
(3)设AC=4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．
【答案】(1)60
(2)∠AEB=30°+∠CAD
(3)y=(2√3−x) 2+4
【分析】（1）首先由折叠的性质可得AC=AE=AB，再由等腰三角形的性质可求解；
（2）首先由折叠的性质可得AE=AC，∠CAD=∠EAD，再由等腰三角形的性质可得AC=AE=AB，
∠ABE=∠AEB，最后根据角度关系即可求解；
（3）首先由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求AO的长，由勾股定理可求OD的长，最后根
据面积和差关系可求解．
【详解】（1）∵∠ABC=30°，AB=AC，AE⊥BC，
∴∠BAE=60°，
∵将ΔACD沿AD折叠得到ΔAED，
∴AC=AE，
∴AB=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
故答案为：60；
（2）∠AEB=30°+∠CAD，理由如下：
∵将ΔACD沿AD折叠得到ΔAED，
∴AE=AC，∠CAD=∠EAD，
∵∠ABC=30°，AB=AC，
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∴∠BAC=120°，
∴∠BAE=120°−2∠CAD，
∵AB=AE=AC，
180°−(120°−2∠CAD)
∴∠AEB= =30°+∠CAD；
2
（3）如图，连接OA，
∵AB=AC，点O是BC的中点，
∴OA⊥BC，
∵∠ABC=∠ACB=30°，AC=4，
∴AO=2，OC=2√3，
∵OD2=AD2−AO2，
∴OD=√ y−4，
1 1
∵S = ×OC×AO− ×OD×OA，
ΔADC 2 2
1 1
∴x= ×2×2√3− ×2×√y−4，
2 2
∴y=(2√3−x) 2+4．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是熟练
掌握相关性质并能够灵活运用．
24．【创新题】综合与实践
问题情境：在Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角
顶点D放在Rt A△BC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，
AC交于点M，△N，猜想证明：
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（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理
由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长；
（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
25 25
【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）CN= ；（3）AN= ．
8 7
【分析】（1）由三角形中位线定理得到MD∥AC，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论；
（2）证明 NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明 CGN∽ CAB，利用相似三角形的性质
即可求解；△ △ △
（3）延长ND，使DH=DN，证明 BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设
AM=AN=x，在Rt BMH中，利用勾△股定理列方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1△）四边形AMDN为矩形．
理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，
∴MD∥AC，
∴∠AMD+∠A=180°，
∵∠A=90°，
∴∠AMD=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，
四边形AMDN为矩形；
（2）在Rt ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
△
∴∠B+∠C=90°，BC=√AB2+AC2=10．
∵点D是BC的中点，
1
∴CD= BC=5．
2
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∵∠EDF=90°，
∴∠MDB+∠1=90°．
∵∠B=∠MDB，
∴∠1=∠C．
∴ND=NC．
过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．
1 5
∴CG= CD= ．
2 2
∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，
∴ CGN∽ CAB．
△ △ 5
CG CN
∴ = ，即2 CN，
CA CB =
8 10
25
∴CN= ；
8
（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，
∵MD⊥HN，∴MN=MH，
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∵D是BC中点，
∴BD=DC，
又∵∠BDH=∠CDN，
∴△BDH≌△CDN，
∴BH=CN，∠DBH=∠C，
∵∠BAC=90°，
∵∠C+∠ABC=90°，
∴∠DBH+∠ABC=90°，
∴∠MBH=90°，
设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=√2x，
在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，
∴(6-x)2+(8-x)2=(√2x)2，
25
解得x= ，
7
25
∴线段AN的长为 ．
7
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第
（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
1
25．已知二次函数y=− x2+bx+c图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，
4
3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且∠CAD=90∘．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；
若不存在，请说明理由．
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1 1
【答案】(1)y=− x2+ x+3
4 2
(2)1
(3)(−2,1)，(3−√17,√17−2)，(−1−√17,−2−√17)
【分析】（1）二次函数与y轴交于点B(0,3)，判断c=3，根据A(1,0)，即二次函数对称轴为x=1，求出b
的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）证明△ADE∽△BAO，得到 BO = OA ，即BO⋅DE=OA⋅AE，设D ( t,− 1 t2+ 1 t+3 ) ，点D在
AE DE 4 2
第一象限，根据点的坐标写出长度，利用BO⋅DE=OA⋅AE求出t的值，即可AE，DE的值，进一步得
出tan∠CDA的值；
（3）根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，在利用集合图形的性质，求出对应点C的坐标即可。
1
【详解】（1）解：∵二次函数y=− x2+bx+c与y轴交于点B(0,3)，
4
1
∴c=3，即y=− x2+bx+3，
4
∵A(1,0)，即二次函数对称轴为x=1，
b b
x=− =− =1
∴ 2a ( 1) ，
2× −
4
1
∴b= ，
2
1 1
∴二次函数的表达式为y=− x2+ x+3．
4 2
（2）解：如图，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD，
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∵∠CAD=90∘，
∴∠BAO+∠DAE=90∘，
∵∠ADE+∠DAE=90∘，
∴∠ADE=∠BAO，
∵∠BOA=∠DEA=90°，
∴△ADE∽△BAO，
BO OA
∴ = ，即BO⋅DE=OA⋅AE，
AE DE
∵B(0,3)，A(1,0)，
∴BO=3，OA=1，
设：D ( t,− 1 t2+ 1 t+3 ) ，点D在第一象限，
4 2
1 1
∴OE=t，DE=− t2+ t+3，AE=OE−OA=t−1，
4 2
∴3× ( − 1 t2+ 1 t+3 ) =1×(t−1)，
4 2
10
解得：t =− （舍），t =4（舍），
1 3 2
1 1
当t =4时，y=− ×42+ ×4+3=1，
2 4 2
∴AE=4−1=3，DE=1，
∴AD=√DE2+AE2=√12+32=√10，
AB=√OA2+OB2=√12+32=√10
∵在Rt△BAD中，
AB √10
∴tan∠CDA= = =1
AD √10
（3）解：存在，
如图，（2）图中Rt△BAD关于对称轴对称时，tan∠CDA=1，
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∵点D的坐标为(4,1)，
∴此时，点C的坐标为(−2,1)，
如图，当点C、D关于对称轴对称时，此时AC与AD长度相等，即tan∠CDA=1，
当点C在x轴上方时，
过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，
∵∠CAD=90∘，点C、D关于对称轴对称，
∴∠CAE=45∘，
∴△CAE为等腰直角三角形，
∴CE=AE，
设点C的坐标为 ( m,− 1 m2+ 1 m+3 ) ，
4 2
1 1
∴CE=− m2+ m+3，AE=1−m，
4 2
1 1
∴− m2+ m+3=1−m
4 2
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解得：m =3−√17，m =3+√17（舍），
1 2
此时，点C的坐标为(3−√17,√17−2)，
当点C在x轴下方时，
过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，
∵∠CAD=90∘，点C、D关于对称轴对称，
∴∠CAF=45∘，
∴△CAF为等腰直角三角形，
∴CF=AF，
设点C的坐标为 ( m,− 1 m2+ 1 m+3 ) ，
4 2
1 1
∴CF= m2− m−3，AE=1−m，
4 2
1 1
∴ m2− m−3=1−m
4 2
解得：m =−1+√17（舍），m =−1−√17，
1 2
此时，点C的坐标为(−1−√17,−2−√17)，
综上：点C的坐标为(−2,1)，(3−√17,√17−2)，(−1−√17,−2−√17)．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
32
