文档内容
PF |=（ ）
2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅰ） 2
A．2 B．4 C．6 D．8
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
9．（5分）正方体ABCD﹣A B C D 中，BB 与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1 1 1
1．（5分）cos300°=（ ）
A． B． C． D．
A． B．﹣ C． D．
10．（5分）设a=log 2，b=ln2，c= ，则（ ）
3
2．（5 分）设全集 U={1，2，3，4，5}，集合 M={1，4}，N={1，3，5}，则 N∩（ M）=
U
（ ） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
∁
A．{1，3} B．{1，5} C．{3，5} D．{4，5} 11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么 的最
小值为（ ）
3．（5分）若变量x，y满足约束条件 ，则z=x﹣2y的最大值为（ ） A． B． C． D．
12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积
A．4 B．3 C．2 D．1 的最大值为（ ）
4．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a }，a a a =5，a a a =10，则a a a =（ ）
n 1 2 3 7 8 9 4 5 6 A． B． C． D．
A． B．7 C．6 D．
5．（5分）（1﹣x）4（1﹣ ）3的展开式x2的系数是（ ）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3
6．（5分）直三棱柱ABC﹣A B C 中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA ，则异面直线BA 与AC 所成的角
13．（5分）不等式 的解集是 ．
1 1 1 1 1 1
等于（ ）
14．（5分）已知α为第二象限角，sinα= ，则tan2α= ．
15．（5分）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类
课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种．（用数字作答）
16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且
，则C的离心率为 ．
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．（5分）已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（ ）
三、解答题（共6小题，满分70分）
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（2，+∞） D．[2，+∞）
17．（10分）记等差数列{a }的前n项和为S ，设S =12，且2a ，a ，a +1成等比数列，求S ．
n n 3 1 2 3 n
8．（5分）已知F 、F 为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F PF =60°，则|PF |•|
1 2 1 2 120．（12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，SD⊥底面 ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，
18．（12分）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C． DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．
19．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，
则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则
再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能
通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．22．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，
21．（12分）求函数f（x）=x3﹣3x在[﹣3，3]上的最值． 点A关于x轴的对称点为D．
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设 ，求△BDK的内切圆M的方程．2010 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版Ⅰ）
3．（5分）若变量x，y满足约束条件 ，则z=x﹣2y的最大值为（ ）
参考答案与试题解析
A．4 B．3 C．2 D．1
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
【考点】7C：简单线性规划．
菁优网版权所有
1．（5分）cos300°=（ ）
【专题】11：计算题；31：数形结合．
A． B．﹣ C． D． 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距，
只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值． 【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y y= x﹣ z，
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
⇒
由图可知，
【分析】利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．
当直线l经过点A（1，﹣1）时，
【解答】解：∵ ． z最大，且最大值为z =1﹣2×（﹣1）=3．
max
故选：B．
故选：C．
【点评】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识．
2．（5 分）设全集 U={1，2，3，4，5}，集合 M={1，4}，N={1，3，5}，则 N∩（ M）=
U
（ ）
∁
A．{1，3} B．{1，5} C．{3，5} D．{4，5}
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
菁优网版权所有 【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，
【分析】根据补集意义先求C M，再根据交集的意义求N∩（C M）．
U U 属于基础题．
【解答】解：（C M）={2，3，5}，N={1，3，5}，则N∩（C M）={1，3，5}∩{2，3，5}={3，
U U
5}．
4．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a }，a a a =5，a a a =10，则a a a =（ ）
n 1 2 3 7 8 9 4 5 6
故选：C．
A． B．7 C．6 D．
【点评】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识，属容易题．
【考点】87：等比数列的性质．
菁优网版权所有【分析】由数列{a }是等比数列，则有a a a =5 a 3=5；a a a =10 a 3=10．
n 1 2 3 2 7 8 9 8
【解答】解：a a a =5 a 3=5；
1 2 3 2 ⇒ ⇒
a a a =10 a 3=10，
7 8 9 8 ⇒
a 2=a a ，
5 2 8 ⇒
∴ ，∴ ，
故选：A． A．30° B．45° C．60° D．90°
【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考
查了转化与化归的数学思想． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．
菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
5．（5分）（1﹣x）4（1﹣ ）3的展开式x2的系数是（ ） 【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA B就是异面直线BA 与AC 所成的角，
1 1 1
A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3 而三角形A DB为等边三角形，可求得此角．
1
【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA C 为平行四边形，
1 1
【考点】DA：二项式定理． ∠DA B就是异面直线BA 与AC 所成的角，
菁优网版权所有 1 1 1
又A D=A B=DB= AB，
【分析】列举（1﹣x）4与 可以出现x2的情况，通过二项式定理得到展开式x2的系数． 1 1
则三角形A DB为等边三角形，∴∠DA B=60°
1 1
【解答】解：将 看作两部分 与 相乘，则出现x2的情况有： 故选：C．
【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A B C 的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的
①m=1，n=2；②m=2，n=0； 1 1 1
求法，考查转化思想，属于基础题．
系数分别为：① =﹣12；② =6；
x2的系数是﹣12+6=﹣6 7．（5分）已知函数f（x）=|lgx|．若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（ ）
故选：A． A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用
以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力． 【考点】34：函数的值域；3A：函数的图象与图象的变换；4O：对数函数的单调性与特殊点．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
6．（5分）直三棱柱ABC﹣A B C 中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA ，则异面直线BA 与AC 所成的角 【分析】由已知条件a≠b，不妨令a＜b，又y=lgx是一个增函数，且f（a）=f（b），故可得，0
1 1 1 1 1 1
等于（ ） ＜a＜1＜b，则 lga=﹣lgb，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以．
【解答】解：（方法一）因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，
不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b，∴lga=﹣lgb，lga+lgb=0∴lg（ab）=0 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
∴ab=1， 【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF |•|PF |的值．
1 2
又a＞0，b＞0，且a≠b 解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF |•|PF |的值．
1 2
∴（a+b）2＞4ab=4 【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c= ，
∴a+b＞2 由余弦定理得
故选：C．
cos∠ F PF =
1 2
（方法二）由对数的定义域，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），得： ，
整理得线性规划表达式为： ，
∴|PF |•|PF |=4．
1 2
法 2 ； 由 焦 点 三 角 形 面 积 公 式 得 ：
因此问题转化为求z=x+y的取值范围问题，则z=x+y y=﹣x+z，即求函数的截距最值．
根据导数定义， 函数图象过点 ⇒ （1，1）时z有最小为2（因为是开区域，所 ∴|PF |•|PF |=4；
1 2
故选：B．
以取不到2），
【点评】本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合
∴a+b的取值范围是（2，+∞）．
运用能力及运算能力．
故选：C．
【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易
9．（5分）正方体ABCD﹣A B C D 中，BB 与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1 1 1
忽视a的取值范围，根据条件a＞0，b＞0，且a≠b可以利用重要不等式（a2+b2≥2ab，当且仅
当a=b时取等号）列出关系式（a+b）2＞4ab=4，进而解决问题． A． B． C． D．
8．（5分）已知F 、F 为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F PF =60°，则|PF |•|
1 2 1 2 1 【考点】MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．
菁优网版权所有
PF |=（ ）
2 【专题】5G：空间角．
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB ，上下底面中心的连线与平面ACD 所成角，即为
1 1
BB 与平面ACD 所成角，
1 1
【考点】HR：余弦定理；KA：双曲线的定义；KC：双曲线的性质．
直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．
菁优网版权所有【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O ，O，设正方体的棱长等于1， 所以c＜a，综上c＜a＜b，
1
则O O与平面ACD 所成角就是BB 与平面ACD 所成角，即∠O OD ， 故选：C．
1 1 1 1 1 1
【点评】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、
直角三角形OO D 中，cos∠O OD = = = ，
1 1 1 1 换底公式、不等式中的倒数法则的应用．
故选：D．
11．（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；JF：圆方程的综合应用．
菁优网版权所有
【专题】5C：向量与圆锥曲线．
【分析】要求 的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切
【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等
体积转化求出D到平面
线，A、B为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将 表示成一个关
ACD 的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题．
于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．
1
【解答】解：如图所示：设OP=x（x＞0），
10．（5分）设a=log 2，b=ln2，c= ，则（ ）
则PA=PB= ，
3
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a
∠APO=α，则∠APB=2α，
sinα= ，
【考点】4M：对数值大小的比较．
菁优网版权所有
=
【专题】11：计算题；35：转化思想．
【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值 = × （1﹣2sin2α）
a、b、c的大小关系．
=（x2﹣1）（1﹣ ）=
【解答】解：a=log 2= ，b=ln2= ，
3
=x2+ ﹣3≥2 ﹣3，
而log 3＞log e＞1，所以a＜b，
2 2
∴当且仅当x2= 时取“=”，故 的最小值为2 ﹣3．
c= = ，而 ，
故选：D．查考生的空间想象能力及推理运算能力．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）不等式 的解集是 { x | ﹣ 2 ＜ x ＜ ﹣ 1 ，或 x ＞ 2 } ．
【点评】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法﹣﹣判别式
法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．
【考点】7E：其他不等式的解法．
菁优网版权所有
【分析】本题是解分式不等式，先将分母分解因式，再利用穿根法求解．
12．（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积
【解答】解：： ，数轴标根得：{x|﹣2＜x
的最大值为（ ）
＜﹣1，或x＞2}
A． B． C． D．
故答案为：{x|﹣2＜x＜﹣1，或x＞2}
【点评】本小题主要考查分式不等式及其解法，属基本题．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；ND：球的性质．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．
14．（5分）已知α为第二象限角，sinα= ，则tan2α= ．
【分析】四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出
体积的最大值．
【解答】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h， 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；56：三角函数的求值．
则有 ，
【分析】由已知求出cosα，进一步得到tanα，代入二倍角公式得答案．
当直径通过AB与CD的中点时， ，故 ．
【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα= ，
故选：B．
∴cosα= ，
则tanα= ．
∴tan2α= = = ．
【点评】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考
故答案为： ．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了同角三角函数基本关系式及二倍角公式的
作DD ⊥y轴于点D ，则由 ，得 ，所以， ，
1 1
应用，是基础题．
即 ，由椭圆的第二定义得
15．（5分）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类
又由|BF|=2|FD|，得 ，a2=3c2，解得e= = ，
课程中各至少选一门，则不同的选法共有 3 0 种．（用数字作答）
故答案为： ．
【考点】D5：组合及组合数公式．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论．
【分析】由题意分类：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，确定选法；
（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，确定选法；然后求和即可．
【解答】解：分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C 1C 2种不同的选
3 4
法；
（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C 2C 1种不同的选法．
3 4
所以不同的选法共有C 1C 2+C 2C 1=18+12=30种．
3 4 3 4
【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思
故答案为：30
想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简
【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．
化问题的捷径．
16．（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且
三、解答题（共6小题，满分70分）
，则C的离心率为 ．
17．（10分）记等差数列{a }的前n项和为S ，设S =12，且2a ，a ，a +1成等比数列，求S ．
n n 3 1 2 3 n
【考点】K4：椭圆的性质．
【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．
菁优网版权所有
菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【专题】34：方程思想．
【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出 D的横坐标，
【分析】由2a
1
，a
2
，a
3
+1成等比数列，可得a
2
2=2a
1
（a
3
+1），结合s
3
=12，可列出关于a
1
，d的方
程组，求出a ，d，进而求出前n项和s ．
1 n
再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立关于a、c的方程，解方程求出 的
【解答】解：设等差数列{a }的公差为d，由题意得
n
值．
，解得 或 ，
【解答】解：如图， ，再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能
∴s = n（3n﹣1）或s =2n（5﹣n）．
n n
通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方
（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
程思想的应用．
（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C．
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；
CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
菁优网版权所有
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HP：正弦定理．
菁优网版权所有 【分析】（1）投到该杂志的1篇稿件被录用包括稿件能通过两位初审专家的评审或稿件恰能通过
【专题】11：计算题．
一位初审专家的评审又能通过复审专家的评审两种情况，这两种情况是互斥的，且每种情况中
【分析】先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得 sin（A﹣ ）=sin（B+ 包含的事情有时相互独立的，列出算式．
（2）投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的对立事件是 0篇被录用，1篇被录用两种结
），进而根据A，B的范围，求得A﹣ 和B+ 的关系，进而求得A+B= ，则C的值可 果，从对立事件来考虑比较简单．
【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；
求．
B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；
【解答】解：由已知及正弦定理，有sinA+sinB=sinA• +sinB• =cosA+cosB，
C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；
∴sinA﹣cosA=cosB﹣sinB D表示事件：稿件被录用．
则D=A+B•C，
∴sin（A﹣ ）=sin（B+ ），
P（A）=0.5×0.5=0.25，
∵0＜A＜π，0＜B＜π
P（B）=2×0.5×0.5=0.5，
∴﹣ ＜A﹣ ＜ ＜B+ ＜ P（C）=0.3，
P（D）=P（A+B•C）
∴A﹣ +B+ =π，
=P（A）+P（B•C）
=P（A）+P（B）P（C）
∴A+B= ，C=π﹣（A+B）=
=0.25+0.5×0.3
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中关键是利用了正弦定理把边的问题转化为
=0.40．
角的问题．
（2）记4篇稿件有1篇或0篇被录用为事件E，
则P（E）=（1﹣0.4）4+C 1×0.4×（1﹣0.4）3
4
19．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，
=0.1296+0.3456
则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则=0.4752， 作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，
∴ =1﹣0.4752=0.5248， 故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，
即投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率是0.5248． DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB．
【点评】本题关键是要理解题意，实际上能否理解题意是一种能力，培养学生的数学思想，提高
SB= ，
发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态
度． DE=
EB=
20．（12 分）如图，四棱锥 S﹣ABCD 中，SD⊥底面 ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，
DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC． 所以SE=2EB
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）由SA= ，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．
AE= =1，又AD=1．
故△ADE为等腰三角形．
取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF= ．
连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．
所以，∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角．
【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题． 连接AG，AG= ，FG= ，
【分析】（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，作BK⊥EC，K为垂足，根据线面垂直的判定
定理可知DE⊥平面SBC，然后分别求出SE与EB的长，从而得到结论； cos∠AFG= ，
（Ⅱ）根据边长的关系可知△ADE为等腰三角形，取ED中点F，连接AF，连接FG，根据二面角平
所以，二面角A﹣DE﹣C的大小为120°．
面角的定义可知∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角，然后在三角形AGF中求出二面角A﹣DE﹣
C的大小．
【解答】解：（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，
由此知DG=GC=BG=1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD．
又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，
所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．【点评】本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能 转化为4x =y22，依题意可知等式成立进而推断出k =k 原式得证．
2 1 2
力，是中档题．
（Ⅱ）首先表示出 结果为 求得m，进而求得y ﹣y 的值，推知BD的斜率，则BD方程可知，
2 1
21．（12分）求函数f（x）=x3﹣3x在[﹣3，3]上的最值．
设M为（a，0），M到x= y﹣1和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可
得．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
菁优网版权所有
【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2=4x①的焦点为F（1，0），
【专题】11：计算题；16：压轴题．
设过点K（﹣1，0）的直线L：x=my﹣1，
【分析】先求函数的极值，根据极值与最值的求解方法，将 f（x）的各极值与其端点的函数值比
代入①，整理得
较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
y2﹣4my+4=0，
【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），
设L与C 的交点A（x ，y ），B（x ，y ），则
令f′（x）=0，则x=﹣1或x=1， 1 1 2 2
y +y =4m，y y =4，
经验证x=﹣1和x=1为极值点，即f（1）=﹣2为极小值，f（﹣1）=2为极大值． 1 2 1 2
点A关于X轴的对称点D为（x ，﹣y ）．
又因为f（﹣3）=﹣18，f（3）=18， 1 1
所以函数f（x）的最大值为18，最小值为﹣18．
BD的斜率k = = = ，
1
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及研究函数的最值，当然如果连续函数在
区间（a，b）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值，属于基础题．
BF的斜率k = ．
2
22．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，
要使点F在直线BD上
点A关于x轴的对称点为D．
需k =k
1 2
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
需4（x ﹣1）=y （y ﹣y ），
2 2 2 1
（Ⅱ）设 ，求△BDK的内切圆M的方程． 需4x =y22，
2
上式成立，∴k =k ，
1 2
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；IP：恒过定点的直线；J1：圆的标准方程；K8：抛物线
∴点F在直线BD上．
的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．
（Ⅱ） =（x ﹣1，y ）（x ﹣1，y ）=（x ﹣1）（x ﹣1）+y y =（my ﹣2）（my ﹣
菁优网版权所有 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去
2）+y y =4（m2+1）﹣8m2+4=8﹣4m2= ，
1 2
x，设L与C 的交点A（x ，y ），B（x ，y ），根据韦达定理求得y +y 和y y 的表达式，进而
1 1 2 2 1 2 1 2
根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而
∴m2= ，m=± ．y ﹣y = =4 = ，
2 1
∴k = ，BD：y= （x﹣1）．
1
易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x= y﹣1和到BD的距离相等，即
|a+1|× =|（ （a﹣1）|× ，
∴4|a+1|=5|a﹣1|，﹣1＜a＜1，
解得a= ．
∴半径r= ，
∴△BDK的内切圆M的方程为（x﹣ ）2+y2= ．
【点评】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关
系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，
考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数
形结合思想、设而不求思想．
