文档内容
2011 年辽宁高考理科数学真题及答案
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
（1） a为正实数，i为虚数单位， ，则a=
（A）2 （B） (C) (D)1
（2）已知M,N为集合I的非空真子集，且M,N不相等，若
(A)M (B) N (C)I (D)
(3)已知F是抛物线y2=x的焦点，A,B是该抛物线上的两点， ，则线段AB的
中点到y轴的距离为
(A) (B) 1 (C) (D)
（4）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A= 则
(A) (B) (C) (D)
（5）从1.2.3.4.5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件
B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B︱A)=
(A) (B) (C) (D)（6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是
(A) 8
(B) 5
(C) 3
(D) 2
（7）设sin ，则
(A) (B) (C) (D)
（8）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是
(A) AC⊥SB
(B) AB∥平面SCD
(C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
(D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
（9）设函数f（x）= 则满足f（x）≤2的x的取值范围是
（A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+ ） （D）[0，+ ）（10）若a，b，c均为单位向量，且a·b=0，（a-c）·（b-c）≤0，则 的最大
值为
（A） （B）1 （C） （D）2
（11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f’(x)＞2，则f（x）＞2x+4
的解集为
（A）（-1，1） （B）（-1，+ ） （C）（- ，-1） （D）（-
，+ ）
（12）已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB= ， ，则
棱锥S-ABC的体积为
（A） （B） （C） （D）1
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做
答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知点（2,3）在双曲线C： （a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的
离心率为_____________.
(14)调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调
查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线
方程： .由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出
平均增加____________万元.
（15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 ，它的三视图中的俯视图如右
图所示， 左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是____________.
（16）已知函数f（x）=Atan（ x+ ）（ ＞0， ），y=f（x）的部分图像如下
图，则f（ ）=____________.三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知等差数列{a}满足a=0，a+a= -10
n 2 6 8
（I）求数列{a}的通项公式；
n
（II）求数列 的前n项和。
（18）（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= PD。
（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（II）求二面角Q-BP-C的余弦值。
19.（本小题满分12分）
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种
乙）进行田间试验。选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选
n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙。
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小
块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应
该种植哪一品种？
附：样本数据x ，x ，…，x 的样本方差 ，其中
1 2 a
为样本平均数。
（20）（本小题满分12分）
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴
为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点
按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D。
（I）设 ，求 与 的比值；
（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由
(21)(本小题满分12分)
已知函数f（x）=lnx-ax2=（2-a）x.
(I)讨论f（x）的单调性；（II）设a＞0，证明：当0＜x＜ 时，f（ +x）＞f（ -x）；
（III）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x，证明：
0
f’（ x）＜0.
0
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答是
用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED。
（I）证明：CD//AB；
（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆。
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 曲线C 的参
1 2
数方程为 在以O为极点，x轴的正半轴为
极轴的极坐标系中，射线l：θ=a与C ，C 各有一个交点。当a=0时，这两个交点间的距
1 2
离为2，当a= 时，这两个交点重合。
（I）分别说明C，C 是什么曲线，并求出a与b的值；
1 2
(II)设当a= 时，l与C，C 的交点分别为A，B,当a=- 时，l与C，
1 2 1 1 1
C2的交点为A，B，求四边形AABB 的面积。
2 2 1 2 2 1（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。
（I）证明：-3≤f（x）≤3；
（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2011•辽宁）a为正实数，i为虚数单位， ，则a=（ ）
A．2 B． C． D．1
【解答】解：∵ =1﹣ai
∴| |=|1﹣ai|= =2
即a2=3
由a为正实数
解得a=
故选B
2．（5分）（2011•辽宁）已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩
（
∁I
M）=∅，则M∪N=（ ）
A．M B．N C．I D．∅
【解答】解：利用韦恩图画出满足题意M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若
N∩（
∁I
M）=∅的集合．
由图可得：
M∪N=M．
故选A．3．（5分）（2011•辽宁）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|
+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离
等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．
【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，
F（ ）准线方程x= ，
设A（x，y），B（x，y），
1 1 2 2
根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|= ，|BF|=
，
∴|AF|+|BF|= =3
解得 ，
∴线段AB的中点横坐标为 ，
∴线段AB的中点到y轴的距离为 ．
故选C．
【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距
离转化为到准线的距离．4．（5分）（2011•辽宁）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，
asinAsinB+bcos2A= a，则 =（ ）
A．2 B．2 C． D．
【考点】正弦定理的应用．
【专题】计算题．
【分析】利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理可气的sinA和sinB
的关系，最后利用正弦定理求得a和b的比．
【解答】解：∵asin AsinB+bcos2A= a
∴由正弦定理可知sin2AsinB+sinBcos2A= sinA
∴sinB（sin2A+cos2A）=sinB= sinA
∴ = =
选D
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．考查了利用正弦定理进行边角问题的互化．
5．（5分）（2011•辽宁）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个
数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（ ）
A． B． C． D．
【考点】条件概率与独立事件．
【专题】计算题．
【分析】用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求
p（A），同理求出P（AB），根据条件概率公式P（B|A）= 即可求得结果．
【解答】解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、
（1，5）、（3，5）、（2，4），
∴p（A）= ，
事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴P（AB）=∴P（B|A）= ．
故选B．
【点评】此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、
理解和熟练程度．
6．（5分）（2011•辽宁）执行如图的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是
（ ）
A．8 B．5 C．3 D．2
【考点】循环结构．
【专题】图表型．
【分析】根据输入的n是4，然后判定k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，依此类推，当
k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，求出此时p的值即可．
【解答】解：k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1
k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2
k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3
故选：C
【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析
流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，
根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．
7．（5分）（2011•辽宁）设sin（ +θ）= ，则sin2θ=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】计算题．
【分析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方
利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值．
【解答】解：由sin（ +θ）=sin cosθ+cos sinθ= （sinθ+cosθ）= ，
两边平方得：1+2sinθcosθ= ，即2sinθcosθ=﹣ ，
则sin2θ=2sinθcosθ=﹣ ．
故选A
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特
殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
8．（5分）（2011•辽宁）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下
列结论中不正确的是（ ）
A．AC⊥SBB．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
【考点】直线与平面垂直的性质．
【专题】综合题；探究型．
【分析】根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据
线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO
是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两
个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．
【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；
∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD 平面SCD，
∴AB∥平面SCD，故B正确；⊂
∵SD⊥底面ABCD，
∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的，
而△SAO≌△CSO，
∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；
∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，
而这两个角显然不相等，故D不正确；
故选D．
【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与
平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．
9．（5分）（2011•辽宁）设函数f（x）= ，则满足f（x）≤2的x的
取值范围是（ ）
A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[1，+∞） D．[0，+∞）
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【专题】分类讨论．【分析】分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，
最后求出它们的并集即可．
【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，
∴0≤x≤1．
当x＞1时，1﹣logx≤2的可变形为x≥ ，
2
∴x≥1，
故答案为[0，+∞）．
故选D．
【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．
10．（5分）（2011•辽宁）若 为单位向量，且 =0，
，则 的最大值为（ ）
A． ﹣1 B．1 C． D．2
【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．
【专题】计算题；整体思想．
【分析】根据 及 为单位向量，可以得到
，要求 的最大值，只需求 的最大值即可，然
后根据数量积的运算法则展开即可求得．
【解答】解：∵ ，
即 ﹣ + ≤0，
又∵ 为单位向量，且 =0，
∴ ，
而 =
=3﹣2 ≤3﹣2=1．
∴ 的最大值为1．
故选B．【点评】此题是个中档题．考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模
的问题一般采取平方进行解决，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力．
11．（5分）（2011•辽宁）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′
（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣l） D．（﹣∞，+∞）
【考点】其他不等式的解法．
【专题】压轴题；函数思想．
【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把
x=﹣1代入F（x）中，由f（﹣1）=2出F（﹣1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据
f′（x）＞2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得
到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．
【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），
则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，
又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，
即F（x）在R上单调递增，
则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．
故选B
【点评】此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题．
12．（5分）（2011•辽宁）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB= ，
∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，
三角形的面积公式求出S ，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．
△SCD
【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°
所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2
又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2 则：SA=SB，AC=BC
因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD= = =
在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD= = =
又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：V= AB•S ，
△SCD
因为：SD= ，CD= ，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）
=（ + ﹣16） = =
则：sin∠SDC= =
由三角形面积公式得△SCD的面积S= SD•CD•sin∠SDC= =3
所以：棱锥S﹣ABC的体积：V= AB•S = =
△SCD
故选C
【点评】本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，
有难度的题目，常考题型．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•辽宁）已知点（2，3）在双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）上，C
的焦距为4，则它的离心率为 2 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】根据： ﹣ =1判断该双曲线的焦点在x轴上，且C的焦距为4，可以求出焦点
坐标，根据双曲线的定义可求a，利用离心率的公式即可求出它的离心率．
【解答】解：∵ ﹣ =1，C的焦距为4，
∴F（﹣2，0），F（2，0），
1 2
∵点（2，3）在双曲线C上，
∴2a= =2，
∴a=1，
∴e= =2．
故答案为2．
【点评】此题是个基础题．考查双曲线的定义和标准方程以及简单的几何性质，同时也考
查了学生的运算能力．
14．（5分）（2011•辽宁）调查了某地若干户家庭的年收x（单位：万元）和年饮食支出
y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，井由调查数据得
到y对x的回归直线方程 ．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1
万元，年饮食支出平均增加 0.25 4 万元．
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题．
【分析】写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，得到
家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加的数字，得到结果．【解答】解：∵对x的回归直线方程 ．
∴ =0.254（x+1）+0.321，
∴ ﹣ =0.254（x+1）+0.321﹣0.254x﹣0.321=0.254．
故答案为：0.254．
【点评】本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，用来预报当自变量取某一个
数值时对应的y的值，注意本题所说的是平均增，注意叙述正确．
15．（5分）（2011•辽宁）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2 ，它的三
视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 2 ．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由题意求出正三棱柱的侧棱长，然后求出左视图矩形的边长，即可求出左视图的
面积．
【解答】解：设正三棱柱的侧棱长为：a，由题意可知， ，所以a=2，底面三
角形的高为： ，所以左视图矩形的面积为：2× =2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题是基础题，考查正三棱柱的三视图的面积的求法，考查计算能力，空间想象
能力，常考题型．
16．（5分）（2011•辽宁）已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ），y=f
（x）的部分图象如图，则f（ ）= ．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题；作图题；压轴题．
【分析】根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，确定A的值，根据（ ，0）
求出φ的值，图象经过（0.1）确定A的值，求出函数的解析式，然后求出f（ ）即可．
【解答】解：由题意可知T= ，所以ω=2，
函数的解析式为：f（x）=Atan（ωx+φ），因为函数过（ ，0）所以0=Atan（
+φ）所以φ= ，
图象经过（0，1），所以，1=Atan ，所以A=1，所以f（x）=tan（2x+ ）则f（ ）
=tan（ ）=
故答案为：
【点评】本题是基础题，考查正切函数的图象的求法，确定函数的解析式的方法，求出函
数值，考查计算能力．
三、解答题（共8小题，满分70分）
17．（12分）（2011•辽宁）已知等差数列{a}满足a=0，a+a=﹣10
n 2 6 8
（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；
n
（Ⅱ）求数列{ }的前n项和．
【考点】等差数列的通项公式；数列的求和．【专题】综合题．
【分析】（I）
根据等差数列的通项公式化简a=0和a+a=﹣10，得到关于首项和公差的方程组，求出方
2 6 8
程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；
（II）
把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关
系式记作②，①﹣②后，利用a 的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得
n
到数列{ }的前n项和的通项公式．
【解答】解：（I）设等差数列{a}的公差为d，由已知条件可得 ，
n
解得： ，
故数列{a}的通项公式为a=2﹣n；
n n
（II）设数列{ }的前n项和为S，即S=a+ +…+ ①，故S=1，
n n 1 1
= + +…+ ②，
当n＞1时，①﹣②得：
=a+ +…+ ﹣
1
=1﹣（ + +…+ ）﹣
=1﹣（1﹣ ）﹣ = ，
所以S= ，
n
综上，数列{ }的前n项和S= ．
n【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式化简求值，会利用错位相减法求数列
的和，是一道中档题．
18．（12分）（2011•辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，
QA=AB= PD．
（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的
垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角．
【专题】计算题；证明题．
【分析】首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴
建立空间直角坐标系D﹣xyz；
（Ⅰ）根据坐标系，求出 、 、 的坐标，由向量积的运算易得 • =0， •
=0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；
（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、 、 的坐标，进而求出平面的PBC的法向量 与平
面PBQ法向量 ，进而求出cos＜ ， ＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．
【解答】解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建
立空间直角坐标系D﹣xyz；
（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；
则 =（1，1，0）， =（0，0，1）， =（1，﹣1，0），
所以 • =0， • =0；
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，
故PQ⊥平面DCQ，又PQ 平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）⊂依题意，有B（1，0，1），
=（1，0，0）， =（﹣1，2，﹣1）；
设 =（x，y，z）是平面的PBC法向量，
则 即 ，
因此可取 =（0，﹣1，﹣2）；
设 是平面PBQ的法向量，则 ，
可取 =（1，1，1），
所以cos＜ ， ＞=﹣ ，
故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣ ．
【点评】本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂直的判定与二面角的求法；注意
建立坐标系要容易求出点的坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的交点处，这样才
有助于下一步的计算．
19．（12分）（2011•辽宁）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种
（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在
总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数
学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地
上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406
品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应
该种植哪一品种？
附：样本数据x，x，…，x 的样本方差s2= [（x﹣ ）2+（x﹣ ）2+…+（x﹣ ）2]，
1 2 a 1 1 n
其中 为样本平均数．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；用样本的数字特征估计总体的数字特征．
【专题】计算题；应用题．
【分析】（I）根据题意得到变量X的可能取值是0，1，2，3，4，结合变量对应的事件写
出变量对应的概率，列出分布列，算出变量的期望值．
（II）根据条件中所给的甲和乙两组数据，分别求出甲品种的每公顷产量的平均值和方差
和乙的平均值和方差，把两个品种的平均值和方差进行比较，得到品种乙的样本平均数大
于品种甲的样本平均数，且两个品种的样本方差差异不大，应选择种植品种乙．
【解答】解：（I）由题意知X的可能取值是0，1，2，3，4，
P（X=0）= =
P（X=1）=
P（X=2）=
P（X=3）= ，
P（X=4）=
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4P
∴X的期望是
（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数
=400，
方差是 =57.25
品种乙每公顷的产量的样本平均数
=412，
方差是 =56
有以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，
且两个品种的样本方差差异不大，故应选择种植品种乙．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查两组数据的平均值和方差，并且
针对于所得的结果进行比较，本题考查利用概率统计知识解决实际问题．
20．（12分）（2011•辽宁）如图，已知椭圆C 的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在
1
x轴上．椭圆C 的短轴为MN，且C，C 的离心率都为e．直线l⊥MN．l与C 交于两点，与
2 1 2 1
C 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．
2
（Ⅰ）e= ，求|BC|与|AD|的比值；
（Ⅱ）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；综合题．
【分析】（Ⅰ）先利用离心率相同，把两椭圆方程设出来，与直线l联立求出A、B的坐标，
再利用椭圆图象的对称性求出|BC|与|AD|的长，即可求|BC|与|AD|的比值；
（Ⅱ）BO∥AN，即是BO的斜率k 与AN的斜率k 相等，利用斜率相等得到关于t和a以及
BO AN
e的等式，再利用|t|＜a和0＜e＜1就可求出何时BD∥AN．
【解答】解：（I）因为C，C 的离心率相同，
1 2
故依题意可设 ，
设直线l：x=t（|t|＜a），分别与C，C 的方程联立，
1 2
求得 ， （4分）
当 ， ，分别用y，y 表示的A，B的纵坐标，
A B
可知 （6分）
（Ⅱ）t=0时的l不符合题意，t≠0时，
BO∥AN当且仅当BO的斜率k 与AN的斜率k 相等，
BO AN
即 ，
解t=﹣ =﹣ •a；因为|t|＜a，又0＜e＜1，所以﹣1＜﹣ ，解得
所以当0＜e≤ 时，不存在直线l，使得BO∥AN；
当 时，存在直线l，使得BO∥AN．
【点评】本题考查椭圆的有关知识．在第一问设方程时，充分利用离心率相同，把两椭圆
方程用同两个变量设出来，减少了变量的引入，把问题变的简单化．
21．（12分）（2011•辽宁）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．
（I）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a＞0，证明：当0＜x＜ 时，f（ +x）＞f（ ﹣x）；
（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x，证明：
0
f′（x）＜0．
0
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】计算题；证明题；综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．
【分析】（I）求导，并判断导数的符号，确定函数的单调区间；（II）构造函数g（x）
=f（ +x）﹣f（ ﹣x），利用导数求函数g（x）当0＜x＜ 时的最小值大于零即可，
（III）设出函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点的横坐标，根据（I）．（II）结论，
即可证明结论．
【解答】解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）= =﹣ ，
①若a＞0，则由f′（x）=0，得x= ，且当x∈（0， ）时，f′（x）＞0，
当x∈（ ，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0， ）单调递增，在（ ，+∞）上单调递减；
②当a≤0时，f′（x）＞0恒 成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增；（II）设函数g（x）=f（ +x）﹣f（ ﹣x），则g（x）=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣
2ax，
g′（x）= = ，
当x∈（0， ）时，g′（x）＞0，而g（0）=0，
所以g（x）＞0，
故当0＜x＜ 时，f（ +x）＞f（ ﹣x）；
（III）由（I）可得，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，
故a＞0，从而f（x）的最大值为f（ ），
不妨设A（x，0），B（x，0），0＜x＜x，
1 2 1 2
则0＜x＜ ＜x，
1 2
由（II）得，f（ ﹣x）=f（ ）＞f（x）=f（x）=0，
1 1 2
又f（x）在（ ，+∞）单调递减，
∴ ﹣x＜x，于是x= ，
1 2 0
由（I）知，f′（ x）＜0．
0
【点评】此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题，体现了分
类讨论和转化的思想方法．考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能
力．
22．（10分）（2011•辽宁）如图，A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长
线交于E点，且EC=ED．
（Ⅰ）证明：CD∥AB；
（Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．【考点】圆內接多边形的性质与判定．
【专题】证明题．
【分析】（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四
边形的一个外角等于不相邻的一个内角，高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角
相等两直线平行，得到结论．
（II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对
应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆．
【解答】解：（I）因为EC=ED，
所以∠EDC=∠ECD
因为A，B，C，D四点在同一圆上，
所以∠EDC=∠EBA
故∠ECD=∠EBA，
所以CD∥AB
（Ⅱ）由（I）知，AE=BE，
因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC
连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE
又CD∥AB，∠FAB=∠GBA，
所以∠AFG+∠GBA=180°
故A，B．G，F四点共圆【点评】本题考查圆内接多边形的性质和判断，考查两直线平行的判断和性质定理，考查
三角形全等的判断和性质，考查四点共圆的判断，本题是一个基础题目．
23．（2011•辽宁）在平面直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （φ为参
1
数），曲线C 的参数方程为 （a＞b＞0，φ为参数）在以O为极点，x轴的正
2
半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C，C 各有一个交点．当α=0时，这两个交
1 2
点间的距离为2，当α= 时，这两个交点重合．
（I）分别说明C，C 是什么曲线，并求出a与b的值；
1 2
（II）设当α= 时，l与C，C 的交点分别为A，B，当α=﹣ 时，l与C，C 的交点
1 2 1 1 1 2
为A，B，求四边形AABB 的面积．
2 2 1 2 2 1
【考点】参数方程化成普通方程；圆与圆锥曲线的综合．
【专题】压轴题．
【分析】（I）有曲线C 的参数方程为 （φ为参数），曲线C 的参数方程为
1 2
（a＞b＞0，φ为参数），消去参数的C 是圆，C 是椭圆，并利用．当α=0时，
1 2
这两个交点间的距离为2，当α= 时，这两个交点重合，求出a及b．
（II）利用C，C 的普通方程，当α= 时，l与C，C 的交点分别为A，B，当α=﹣
1 2 1 2 1 1
时，l与C，C 的交点为A，B，利用面积公式求出面积．
1 2 2 2
【解答】解：（Ⅰ）C 是圆，C 是椭圆．
1 2
当α=0时，射线l与C，C 交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），
1 2因为这两点间的距离为2，所以a=3
当 时，射线l与C，C 交点的直角坐标分别为（0，1）（0，b），
1 2
因为这两点重合
所以b=1．
（Ⅱ）C，C 的普通方程为x2+y2=1和 ．
1 2
当 时，射线l与C 交点A 的横坐标为 ，
1 1
与C 交点B 的横坐标为 ．
2 1
当 时，射线l与C，C 的两个交点A，
1 2 2
B 分别与A，B 关于x轴对称，因此四边形AABB 为梯形．
2 1 1 1 2 2 1
故四边形AABB 的面积为 ．
1 2 2 1
【点评】此题重点考查了消参数，化出曲线的一般方程，及方程的求解思想，还考查了利
用条件的其交点的坐标，利用坐标准确表示出线段长度进而求其面积．
24．（2011•辽宁）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|
（Ⅰ）证明：﹣3≤f（x）≤3；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】计算题；压轴题；分类讨论．
【分析】（Ⅰ）分x≤2、2＜x＜5、x≥5，化简f（x）= ，然后即
可证明﹣3≤f（x）≤3
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当x≤2时，当2＜x＜5时，当x≥5时，分别求出f（x）≥x2﹣8x+15
的解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=
当2＜x＜5时，﹣3＜2x﹣7＜3，
所以，﹣3≤f（x）≤3
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
当x≤2时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；
当2＜x＜5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣ ≤x＜5}
当x≥5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}
综上：不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集：{x|5﹣ ≤x≤6}
【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的求法，考查分类讨论思想的应用，考查计算
能力，常考题型．
