文档内容
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（理工类）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
在 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径
第一部分 （选择题 共60分）
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、 的展开式中 的系数是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、复数 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、函数 在 处的极限是（ ）
A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于
4、如图，正方形 的边长为 ，延长 至 ，使 ，连接 、 ，则
（ ）
D C
A、 B、 C、 D、
5、函数 的图象可能是（ ） E A BA B C D
6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7、设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是（ ）
A、 B、 C、 D、 且
8、已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点 。若点 到该抛物线
焦点的距离为 ，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1桶需耗 原料1千克、 原料2千克；生产
乙产品1桶需耗 原料2千克， 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润
是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 、 原料都不超过12千克。通过
合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
10、如图，半径为 的半球 的底面圆 在平面 内，过
点 作平面 的垂线交半球面于点 ，过圆 的直径
作平面 成 角的平面与半球面相交，所得交线上到平
面 的距离最大的点为 ，该交线上的一点 满足
，则 、 两点间的球面距离为（ ）
A、 B、 C、 D、
11、方程 中的 ，且 互不相同，在所有这些方程所表示
的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、60条 B、62条 C、71条 D、80条
12、设函数 ， 是公差为 的等差数列， ，则
（ ）
A、 B、 C、 D、
第二部分 （非选择题 共 90 分）
注意事项：（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘
出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
（2）本部分共10个小题，共90分。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）
13、设全集 ，集合 ， ，则 ___________。
14、如图，在正方体 中， 、 分别是 、 的中 D 1 C 1
B
A 1
点，则异面直线 与 所成角的大小是____________。 1 N
15、椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ， D C
M
当 的周长最大时， 的面积是____________。 A B
16、记 为不超过实数 的最大整数，例如， ， ， 。设 为正整数，数
列 满足 ， ，现有下列命题：
①当 时，数列 的前3项依次为5,3,2；
②对数列 都存在正整数 ，当 时总有 ；
③当 时， ；
④对某个正整数 ，若 ，则 。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） 和 ，系统 和 在任意时刻发生
故障的概率分别为 和 。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，求 的值；
（Ⅱ）设系统 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ，求 的概率分布列及数学
期望 。
18、(本小题满分12分)
函数 在一个周期内的图象如图所示， 为图象的最高
点， 、 为图象与 轴的交点，且 为正三角形。
（Ⅰ）求 的值及函数 的值域；（Ⅱ）若 ，且 ，求 的值。
19、(本小题满分12分)
如图，在三棱锥 中， ， P
C
， ， 平 面 平 面 。
（Ⅰ）求直线 与平面 所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角 的大小。 A B
20、(本小题满分12分) 已知数列 的前 项和为 ，且 对一切正整数 都成立。
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，当 为何值时， 最大？并求出 的最大值。
21、(本小题满分12分)
如图，动点 到两定点 、 构成 ，且 ，设动点 的
轨迹为 。 y
M
（Ⅰ）求轨迹 的方程；
（Ⅱ）设直线 与 轴交于点 ，与轨迹 相交于点
A O B x
，且 ，求 的取值范围。
22、(本小题满分14分)
已知 为正实数， 为自然数，抛物线 与 轴正半轴相交于点 ，设 为该抛
物线在点 处的切线在 轴上的截距。
（Ⅰ）用 和 表示 ；
（Ⅱ）求对所有 都有 成立的 的最小值；
（Ⅲ）当 时，比较 与 的大小，并说明理由。参考答案
一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。
1. D 2. B 3. A 4. B 5. D 6. C
7. C 8. B 9. C 10. A 11. B 12. D
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题4分，满分16分。
13.
14.
15. 3
16. ①③④
三、解答题
17. 本小题主要考查相互独立事件、独立重复实验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念
及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力。
解：（I）设“至少有一个系统不发生故障”为事件 ，那么
解得 …………………………………………………………………………4分
（II）由题意，
所以，随机变量 的概率分布列为
0 1 2 3
故随机变量 的数学期望：
…………………………..12分
18．本小题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍
角公式等基础知识，考查运算能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想。解：（I）由已知可得，
又正三角形 的高为 ，从而
所以函数 的周期 ，即
函数 的值域为 ………………………………………………..6分
（II）因为 ，由（I）有
，即
由 ，知
所以
故
……………………………………………………………………………………12分
19. 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象
能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力。
解法一：
（ I ） 设 的 中 点 为 ， 的 中 点 为 ， 连 接
，
由已知， 为等边三角形，
所以
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面
所以 为直线 与平面 所成的角
不妨设 ，则
在 中，所以，在 中，
故直线 与平面 所成的角的大小为 ………………………….6分
（II）过 作 于 ，连接
由已知可得， 平面
根据三垂线定理知，
所以 为二面角 的平面角
由（I）知，
在 中，
故二面角 的大小为 …………………………………………12分
解法二：
（I）设AB的中点为D，作 于点 ，连结CD
因为平面 平面 ，平面 平面 = ，
所以 平面
所以
由 ，知
设E为AC中点，则 ，从而
如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系
，不妨设 ，由已知可得，
所以
所以 ，而 为平面 的一个法向量
设 为直线 与平面 所成的角，
则
故直线 与平面 所成的角的大小为 …………………………….6分
（II）由（I）有，
设平面 的一个法向量为 ，则从而
取 ，则 ，所以
设二面角 的平面角为 ，易知 为锐角
而面 的一个法向量为 ，则
故二面角 的大小为 ………………………………………….12分
20. 本小题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础只是，考查思维能力、运算能力、分析问题与
解决问题的能力，考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想
解：
（I）取 ，得 ①
取 ，得 ②
由② ①，得 ③
（1）若 ，由①知
（2）若 ，由③知 ④
由①、④解得， ；或
综上可得， ；或 ；或 ……5分
（II）当 时，由（I）知
当 时，有 ，
所以 ，即 ，
所以
令 ，则
所以数列 是单调递减的等差数列（公差为 ），从而
当 时， ，故 时， 取得最大值，且 的最大值为
……………………………………….12分
21. 本小题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考查思维能力、运算能力，考查函
数、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性。
解：
（I）设M的坐标为 ，显然有 ，且
当 时，点 的坐标为
当 时， ，由 ，有
，即
化简可得，
而点 在曲线 上
综上可知，轨迹 的方程为 …………………………………5分
（II）由 消去 ，可得
（*）
由题意，方程（*）有两根且均在 内，设
所以
解得， ，且
设 的坐标分别为 ，由 有
所以
由 ，且 ，有且
所以 的取值范围是 ………………………………………..12分
22. 本小题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与
解决问题的能力和创新意识，考查函数、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法。
解：
（I）由已知得，交点 的坐标为 ，对 求导得 ，则抛物线在点 处
的切线方程为 ，即 ，则 ……………3分
（II）由（I）知 ，则 成立的充要条件是
即知， 对所有 成立，特别地，取 得到
当 ， 时，
当 时，显然
故 时， 对所有自然数 都成立
所以满足条件的 的最小值为 …………………………………………………..8分
（III）由（I）知 ，则
下面证明：
首先证明：当 时，
设函数则
当 时， ；当 时，
故 在区间 上的最小值
所以，当 时， ，即得
由 知 ，因此 ，从而
…………………………………………………14分
