文档内容
2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项符合题目要求.
1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（ ）
A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
2．（5分）设复数z ，z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z =2+i，则z z =（
1 2 1 1 2
）
A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i
3．（5分）设向量 ， 满足| + |= ，| ﹣ |= ，则 • =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．（5分）钝角三角形ABC的面积是 ，AB=1，BC= ，则AC=（ ）
A．5 B． C．2 D．1
5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是
0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后
一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示1cm），图中粗线画
出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体
毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A． B． C． D．
7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，t均为2，则输出的S=（
）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x﹣y 的最大值为
（ ）
A．10 B．8 C．3 D．2
10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于
A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）直三棱柱ABC﹣A B C 中，∠BCA=90°，M，N分别是A B ，A C 的
1 1 1 1 1 1 1中点，BC=CA=CC ，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
1
A． B． C． D．
12．（5 分）设函数 f（x）= sin ，若存在 f（x）的极值点 x 满足 x 2+[f
0 0
（x ）]2＜m2，则m的取值范围是（ ）
0
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每
个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）
13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．
14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 ．
15．（5分）已知偶函数 f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣
1）＞0，则x的取值范围是 ．
16．（5 分）设点 M（x ，1），若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得
0
∠OMN=45°，则x 的取值范围是 ．
0
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
17．（12分）已知数列{a }满足a =1，a =3a +1．
n 1 n+1 n
（Ⅰ）证明{a + }是等比数列，并求{a }的通项公式；
n n
（Ⅱ）证明： + +…+ ＜ ．18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面
ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD= ，求三棱锥E﹣ACD的体积．
19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千
元）的数据如表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭
人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附 ： 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ： =， = ﹣ ．
20．（12分）设F ，F 分别是C： + =1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C
1 2
上一点且MF 与x轴垂直，直线MF 与C的另一个交点为N．
2 1
（1）若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F N|，求a，b．
1
21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜ ＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O
相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB2．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标
系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ [0， ]
∈
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y= x+2垂直，根据
（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）
24．设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项符合题目要求.
1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（ ）
A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】5J：集合．
【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，
∴M∩N={1，2}，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）设复数z ，z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z =2+i，则z z =（
1 2 1 1 2
）
A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据复数的几何意义求出z ，即可得到结论．
2
【解答】解：z =2+i对应的点的坐标为（2，1），
1
∵复数z ，z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，
1 2
∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），
则对应的复数，z =﹣2+i，
2
则z z =（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，
1 2故选：A．
【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关
键，比较基础．
3．（5分）设向量 ， 满足| + |= ，| ﹣ |= ，则 • =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
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【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．
【解答】解：∵| + |= ，| ﹣ |= ，
∴分别平方得 +2 • + =10， ﹣2 • + =6，
两式相减得4 • =10﹣6=4，
即 • =1，
故选：A．
【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，
比较基础．
4．（5分）钝角三角形ABC的面积是 ，AB=1，BC= ，则AC=（ ）
A．5 B． C．2 D．1
【考点】HR：余弦定理．
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【专题】56：三角函数的求值．
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求
出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三
角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．
【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是 ，AB=c=1，BC=a= ，∴S= acsinB= ，即sinB= ，
当B为钝角时，cosB=﹣ =﹣ ，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC= ，
当B为锐角时，cosB= = ，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，
此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC= ．
故选：B．
【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本
关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是
0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后
一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
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【专题】5I：概率与统计．
【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则由题意可得
0.75×p=0.6，由此解得p的值．
【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为 p，则由题意可得
0.75×p=0.6，
解得p=0.8，
故选：A．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．
6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示1cm），图中粗线画
出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
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【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即
可．
【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为 3高为2，一个是
底面半径为2，高为4，
组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．
底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π
切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为： = ．
故选：C．
【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想
象能力以及计算能力．
7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的 x，t均为2，则输出的S=（
）A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】EF：程序框图．
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【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．
【解答】解：若x=t=2，
则第一次循环，1≤2成立，则M= ，S=2+3=5，k=2，
第二次循环，2≤2成立，则M= ，S=2+5=7，k=3，
此时3≤2不成立，输出S=7，
故选：D．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．
8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
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【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】根据导数的几何意义，即f′（x ）表示曲线f（x）在x=x 处的切线斜率，
0 0
再代入计算．
【解答】解： ，
∴y′（0）=a﹣1=2，
∴a=3．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经
常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为
一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不
等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．
9．（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x﹣y 的最大值为
（ ）
A．10 B．8 C．3 D．2
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形
结合确定z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=2x﹣y得y=2x﹣z，
平移直线y=2x﹣z，
由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，
此时z最大．
由 ，解得 ，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，
得z=2×5﹣2=8．
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形
结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于
A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】K8：抛物线的性质．
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【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B
两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于 y的一元二次方程，由根与
系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三
角形AOF与BOF的面积和得答案．
【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p= ，
则F（ ，0）．
∴过A，B的直线方程为y= （x﹣ ），即x= y+ ．
联立 ，得4y2﹣12 y﹣9=0．
设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则y +y =3 ，y y =﹣ ．
1 2 1 2
∴S =S +S = × |y ﹣y |= = × =
△OAB △OAF △OFB 1 2
．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直
线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方
程的根与系数关系解题，是中档题．
11．（5分）直三棱柱ABC﹣A B C 中，∠BCA=90°，M，N分别是A B ，A C 的
1 1 1 1 1 1 1
中点，BC=CA=CC ，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
1
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．
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【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与
AN所成角的余弦值．
【解答】解：直三棱柱ABC﹣A B C 中，∠BCA=90°，M，N分别是A B ，A C
1 1 1 1 1 1 1
的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，
，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，
∵BC=CA=CC ，
1
设BC=CA=CC =2，∴CO=1，AO= ，AN= ，MB= = =
1，
在△ANO 中，由余弦定理可得：cos∠ANO= = =
．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解
题的关键，同时考查余弦定理的应用．
12．（5 分）设函数 f（x）= sin ，若存在 f（x）的极值点 x 满足 x 2+[f
0 0
（x ）]2＜m2，则m的取值范围是（ ）
0
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．
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【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】由题意可得，f（x ）=± ，且 =kπ+ ，k Z，再由题意可得
0
∈
当m2最小时，|x |最小，而|x |最小为 |m|，可得m2 ＞ m2+3，由此求得
0 0
m的取值范围．
【解答】解：由题意可得，f（x ）=± ，即 =kπ+ ，k z，即 x =
0 0
∈
m．再由x 2+[f（x ）]2＜m2，即x 2+3＜m2，可得当m2最小时，|x |最小，而|x |最
0 0 0 0 0
小为 |m|，
∴m2 ＞ m2+3，∴m2＞4．
求得 m＞2，或m＜﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的
数学思想，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每
个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）
13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．
【考点】DA：二项式定理．
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【专题】5P：二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可
求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．
【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为 T = •x10﹣r•ar，
r+1
令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3• =120a3=15，
∴a= ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式
中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为 1 ．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．
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【专题】56：三角函数的求值．
【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为 f
（x）=sinx，从而求得函数的最大值．
【解答】解：函数 f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣
2sinφcos（x+φ）
=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos
（x+φ）sinφ
=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，
故函数f（x）的最大值为1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最
值，属于中档题．
15．（5分）已知偶函数 f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣
1）＞0，则x的取值范围是 （﹣ 1 ， 3 ） ．
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．
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【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为 f（|x﹣
1|）＞f（2），即可得到结论．
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，
∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），
即f（|x﹣1|）＞f（2），
∴|x﹣1|＜2，
解得﹣1＜x＜3，
故答案为：（﹣1，3）
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价
转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5 分）设点 M（x ，1），若在圆 O：x2+y2=1 上存在点 N，使得
0
∠OMN=45°，则x 的取值范围是 [ ﹣ 1 ， 1 ] ．
0
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
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【专题】5B：直线与圆．
【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x ，1），
0
要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，
则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，
而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，
此时MN=1，
图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，
∴x 的取值范围是[﹣1，1]．
0
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合
是快速解得本题的策略之一．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
17．（12分）已知数列{a }满足a =1，a =3a +1．
n 1 n+1 n
（Ⅰ）证明{a + }是等比数列，并求{a }的通项公式；
n n
（Ⅱ）证明： + +…+ ＜ ．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．
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【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即 =
常数，又首项不为0，所以为等比数列；
再根据等比数列的通项化式，求出{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）将 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证
明不等式．
【解答】证明（Ⅰ） = =3，
∵ ≠0，
∴数列{a + }是以首项为 ，公比为3的等比数列；
n
∴a + = = ，即 ；
n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴ ＜ = ，
∴当n=1时， 成立，
当n≥2时， + +…+ ＜1+ …+ = = ＜ ．
∴对n N 时， + +…+ ＜ ．
+
∈
【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，
只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，
通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新
数列．属于中档题．
18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面
ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD= ，求三棱锥E﹣ACD的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的
平面角及求法．
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【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明
PB∥平面AEC；
（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平
面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB，（2分）
EO 平面AEC，PB 平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）
（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，
⊂ ⊄
∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥平面AMD，
∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，
∴∠CMD=60°，
∵AP=1，AD= ，∠ADP=30°，
∴PD=2，
E为PD的中点．AE=1，
∴DM= ，
CD= = ．
三棱锥E﹣ACD的体积为： = = ．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指
数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．
19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千
元）的数据如表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭
人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附 ： 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ： =
， = ﹣ ．
【考点】BK：线性回归方程．
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【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，
横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的
值，写出线性回归方程．
（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015
年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意， = ×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
= ×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
∴ =
=
=0.5，
= ﹣ =4.3﹣0.5×4=2.3．
∴y关于t的线性回归方程为 =0.5t+2.3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t=9代入 =0.5t+2.3，得：
=0.5×9+2.3=6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认
真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基
础题．
20．（12分）设F ，F 分别是C： + =1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C
1 2
上一点且MF 与x轴垂直，直线MF 与C的另一个交点为N．
2 1
（1）若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F N|，求a，b．
1
【考点】K4：椭圆的性质．
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【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为 ，建立关于
a，c的方程即可求C的离心率；
（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F N|，建立方程组关系，
1
求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF 与x轴垂直，
2
∴M的横坐标为c，当x=c时，y= ，即M（c， ），
若直线MN的斜率为 ，
即tan∠MF F = ，
1 2即b2= =a2﹣c2，
即c2+ ﹣a2=0，
则 ，
即2e2+3e﹣2=0
解得e= 或e=﹣2（舍去），
即e= ．
（Ⅱ）由题意，原点 O是F F 的中点，则直线 MF 与y轴的交点D（0，2）是
1 2 1
线段MF 的中点，
1
设M（c，y），（y＞0），
则 ，即 ，解得y= ，
∵OD是△MF F 的中位线，
1 2
∴ =4，即b2=4a，
由|MN|=5|F N|，
1
则|MF |=4|F N|，
1 1
解得|DF |=2|F N|，
1 1
即
设N（x ，y ），由题意知y ＜0，
1 1 1
则（﹣c，﹣2）=2（x +c，y ）．
1 1
即 ，即
代入椭圆方程得 ，将b2=4a代入得 ，
解得a=7，b= ．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是
解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142＜ ＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
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【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．
【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；
对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，
从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；
对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用 的近似值，并寻求ln2，
于是在b=2及b＞2的情况下分别计算 ，最后可估计ln2的近似值．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=ex+e﹣x﹣2 ，
即f′（x）≥0，当且仅当ex=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，
∴函数f（x）在R上为增函数．
（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，
则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]
=2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x+2﹣2b）．
①∵ex+e﹣x＞2，ex+e﹣x+2＞4，
∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，
从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，
∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．
② 当 b ＞ 2 时 ， 若 x 满 足 2 ＜ ex+e﹣x ＜ 2b﹣2 即 ， 得
，此时，g′（x）＜0，
又由g（0）=0知，当 时，g（x）＜0，不符合题意．
综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．
（Ⅲ）∵1.4142＜ ＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）
+（8b﹣4）x，
为了凑配ln2，并利用 的近似值，故将ln 即 代入g（x）的解析式中，
得 ．
当b=2时，由g（x）＞0，得 ，
从而 ；
令 ，得 ＞2，当 时，
由 g （ x ） ＜ 0 ， 得 ， 得
．
所以ln2的近似值为0.693．
【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次
的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响
到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．
3．本题的难点在于如何寻求 ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探
究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为 的范围的端点值，
达到了估值的目的．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O
相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD•DE=2PB2．
【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．
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【专题】17：选作题；5Q：立体几何．
【分析】（Ⅰ）连接 OE，OA，证明 OE⊥BC，可得 E 是 的中点，从而
BE=EC；
（Ⅱ）利用切割线定理证明 PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得
AD•DE=2PB2．
【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，
∵PC=2PA，D为PC的中点，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，
∴E是 的中点，
∴BE=EC；
（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，
∴PA2=PB•PC，
∵PC=2PA，
∴PA=2PB，
∴PD=2PB，
∴PB=BD，
∴BD•DC=PB•2PB，
∵AD•DE=BD•DC，
∴AD•DE=2PB2．
【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查
学生分析解决问题的能力，属于中档题．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标
系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ [0， ]
∈
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y= x+2垂直，根据
（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
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【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用 即可得出直角坐标方程，利用 cos2t+sin2t=1进
而得出参数方程．
（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y= x+2垂直，则直线CD的斜率与直
线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．
【解答】解：（1）由半圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ，θ [0， ]，即
∈
ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．
可得C的参数方程为 （t为参数，0≤t≤π）．
（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的
上半圆，
∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant= ，t= ．
故D的直角坐标为 ，即（ ， ）．
【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、
直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
六、解答题（共1小题，满分0分）
24．设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
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【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基
本不等式证得f（x）≥2成立．
（Ⅱ）由f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+ |+|x﹣a|≥|（x+ ）﹣（x﹣
a）|=|a+ |=a+ ≥2 =2，
故不等式f（x）≥2成立．
（Ⅱ）∵f（3）=|3+ |+|3﹣a|＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+ ＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜ ．
当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+ ＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得 ＜a≤3．
综上可得，a的取值范围（ ， ）．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、
分类讨论的数学思想，属于中档题．
