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2022年上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．（4分）已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2 ＝ ．
2．（4分）双曲线 ﹣y2＝1的实轴长为 ．
3．（4分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为 ．
4．（4分）已知a R，行列式 的值与行列式 的值相等，则a＝ ．
∈
5．（4分）已知圆柱的高为4，底面积为9 ，则圆柱的侧面积为 ．
6．（4分）x﹣y≤0，x+y﹣1≥0，求z＝x+π2y的最小值 ．
7．（5分）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝ ．
8．（5分）若函数f（x）＝ ，为奇函数，求参数a的值为 ．
9．（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项
项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．
10．（5分）已知等差数列{a }的公差不为零，S 为其前n项和，若S ＝0，则S（i＝1，
n n 5 i
2，…，100）中不同的数值有 个．
11．（5分）若平面向量| |＝| |＝| |＝ ，且满足 • ＝0， • ＝2， • ＝1，则 ＝
． λ λ
12．（5分）设函数f（x）满足 对任意x [0，+∞）都成立，其值域是
∈
A，已知对任何满足上述条件的f（x）都有{y|y＝f（x），0≤x≤a}＝A，则a的取值范
f f
围为 ．
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.
13．（5分）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0}
D．{﹣1}
14．（5分）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a+b＞2 B．a+b＜2 C． +2b＞2 D． +2b＜215．（5分）如图正方体ABCD﹣A B C D 中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB 、CD
1 1 1 1 1
的中点，联结A S，B D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A S、B D
1 1 1 1
上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D 可视的为（ ）
1
A．点P B．点B C．点R D．点Q
16．（5分）设集合 ＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k Z}
①存在直线l，使Ω得集合 中不存在点在l上，而存在点在l两∈侧；
②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（ ）
A．①成立②成立 Ω B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.
17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，
AP＝AC＝2．
（1）求三棱锥体积V
P﹣ABC
；
（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小．
18．（14分）f（x）＝log （a+x）+log （6﹣x）．
3 3
（1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值．
（2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）．
19．（14分）如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任
一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB；
（1）若点P与点C重合，求∠POB的大小；
（2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值．
20．（16分）设有椭圆方程Γ： + ＝1（a＞b＞0），直线l：x+y﹣4 ＝0，Γ下端
点为A，M在l上，左、右焦点分别为F （﹣ ，0）、F （ ，0）．
1 2
（1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；
（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F ，在△ABM中有一内角余弦值为 ，
2
求b；
（3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|PF |+|PF |+d＝6，随a的变化，求d的最
1 2
小值．
21．（18分）数列{a }对任意n N*且n≥2，均存在正整数i [1，n﹣1]，满足a ＝2a ﹣
n n+1 n
a，a ＝1，a ＝3． ∈ ∈
i 1 2
（1）求a 可能值；
4（2）命题p：若a
1
，a
2
，⋯，a
8
成等差数列，则a
9
＜30，证明p为真，同时写出p逆命
题q，并判断命题q是真是假，说明理由；
（3）若a ＝3m，（m N*）成立，求数列{a }的通项公式．
2m n
∈
