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2022年上海市高考数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．（4分）已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2 ＝ ．
2．（4分）双曲线 ﹣y2＝1的实轴长为 ．
3．（4分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为 ．
4．（4分）已知a R，行列式 的值与行列式 的值相等，则a＝ ．
∈
5．（4分）已知圆柱的高为4，底面积为9 ，则圆柱的侧面积为 ．
6．（4分）x﹣y≤0，x+y﹣1≥0，求z＝x+π2y的最小值 ．
7．（5分）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝ ．
8．（5分）若函数f（x）＝ ，为奇函数，求参数a的值为 ．
9．（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项
项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．
10．（5分）已知等差数列{a }的公差不为零，S 为其前n项和，若S ＝0，则S（i＝1，
n n 5 i
2，…，100）中不同的数值有 个．
11．（5分）若平面向量| |＝| |＝| |＝ ，且满足 • ＝0， • ＝2， • ＝1，则 ＝
． λ λ
12．（5分）设函数f（x）满足 对任意x [0，+∞）都成立，其值域是
∈
A，已知对任何满足上述条件的f（x）都有{y|y＝f（x），0≤x≤a}＝A，则a的取值范
f f
围为 ．
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.
13．（5分）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0}
D．{﹣1}
14．（5分）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a+b＞2 B．a+b＜2 C． +2b＞2 D． +2b＜215．（5分）如图正方体ABCD﹣A B C D 中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB 、CD
1 1 1 1 1
的中点，联结A S，B D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A S、B D
1 1 1 1
上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D 可视的为（ ）
1
A．点P B．点B C．点R D．点Q
16．（5分）设集合 ＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k Z}
①存在直线l，使Ω得集合 中不存在点在l上，而存在点在l两∈侧；
②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（ ）
A．①成立②成立 Ω B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.
17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，
AP＝AC＝2．
（1）求三棱锥体积V
P﹣ABC
；
（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小．
18．（14分）f（x）＝log （a+x）+log （6﹣x）．
3 3
（1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值．
（2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）．
19．（14分）如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任
一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB；
（1）若点P与点C重合，求∠POB的大小；
（2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值．
20．（16分）设有椭圆方程Γ： + ＝1（a＞b＞0），直线l：x+y﹣4 ＝0，Γ下端
点为A，M在l上，左、右焦点分别为F （﹣ ，0）、F （ ，0）．
1 2
（1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；
（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F ，在△ABM中有一内角余弦值为 ，
2
求b；
（3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|PF |+|PF |+d＝6，随a的变化，求d的最
1 2
小值．
21．（18分）数列{a }对任意n N*且n≥2，均存在正整数i [1，n﹣1]，满足a ＝2a ﹣
n n+1 n
a，a ＝1，a ＝3． ∈ ∈
i 1 2
（1）求a 可能值；
4（2）命题p：若a
1
，a
2
，⋯，a
8
成等差数列，则a
9
＜30，证明p为真，同时写出p逆命
题q，并判断命题q是真是假，说明理由；
（3）若a ＝3m，（m N*）成立，求数列{a }的通项公式．
2m n
∈2022年上海市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．（4分）已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2 ＝ 2 ﹣ 2 i ．
【分析】直接利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：z＝1+i，则 ＝1﹣i，所以2 ＝2﹣2i．
故答案为：2﹣2i．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，是基础题．
2．（4分）双曲线 ﹣y2＝1的实轴长为 6 ．
【分析】根据双曲线的性质可得a＝3，实轴长为2a＝6．
【解答】解：由双曲线 ﹣y2＝1，可知：a＝3，
所以双曲线的实轴长2a＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的性质，是基础题．
3．（4分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为 ．
【分析】由三角函数的恒等变换化简函数可得f（xπ）＝cos2x+1，从而根据周期公式即可
求值．
【解答】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x+1
＝cos2x﹣sin2x+cos2x+sin2x
＝2cos2x
＝cos2x+1，
T＝ ＝ ．
π
故答案为： ．
【点评】本π题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式
的应用，属于基础题．
4．（4分）已知a R，行列式 的值与行列式 的值相等，则a＝ 3 ．
∈
【分析】根据行列式所表示的值求解即可．【解答】解：因为 ＝2a﹣3， ＝a，
所以2a﹣3＝a，解得a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了行列式表示的值，属于基础题．
5．（4分）已知圆柱的高为4，底面积为9 ，则圆柱的侧面积为 2 4 ． ．
【分析】由底面积为9 解出底面半径Rπ＝3，再代入侧面积公式求解π即可．
【解答】解：因为圆柱π的底面积为9 ，即 R2＝9 ，
所以R＝3， π π π
所以S侧 ＝2 Rh＝24 ．
故答案为：2π4 ． π
【点评】本题π考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题．
6．（4分）x﹣y≤0，x+y﹣1≥0，求z＝x+2y的最小值 ．
【分析】根据已知条件作出可行域，再求目标函数的最小值即可．
【解答】解：如图所示：
由x﹣y≤0，x+y﹣1≥0，可知行域为直线x﹣y＝0的左上方和x+y﹣1＝0的右上方的公
共部分，
联立 ，可得 ，即图中点A（ ， ），
当目标函数z＝x+2y沿着与正方向向量 ＝（1，2）的相反向量平移时，离开区间时取最小值，
即目标函数z＝x+2y过点A（ ， ）时，取最小值： +2× ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了线性规划知识，难点在于找到目标函数取最小值的位置，属于中档
题．
7．（5分）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝ 1 0 ．
【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得n的值．
【解答】解：∵二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，
即 ×3n﹣2＝5 ×3n，即 ＝5×9，
∴n＝10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
8．（5分）若函数f（x）＝ ，为奇函数，求参数a的值为 1 ．
【分析】由题意，利用奇函数的定义可得 f（﹣x）＝﹣f（x），故有 f（﹣1）＝﹣f
（1），由此求得a的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝ ，为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（﹣1）＝﹣f（1），∴﹣a2﹣1＝﹣（a+1），即 a（a﹣1）＝0，求得a＝0或a＝
1．
当a＝0时，f（x）＝ ，不是奇函数，故a≠0；
当a＝1时，f（x）＝ ，是奇函数，故满足条件，
综上，a＝1，故答案为：1．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题．
9．（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项
项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．
【分析】由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果．
【解答】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检
测，
则每一类都被抽到的方法共有 + 种，
而所有的抽取方法共有 种，
故每一类都被抽到的概率为 ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题．
10．（5分）已知等差数列{a }的公差不为零，S 为其前n项和，若S ＝0，则S（i＝1，
n n 5 i
2，…，100）中不同的数值有 9 8 个．
【分析】由等差数前n项和公式求出a ＝﹣2d，从而S ＝ （n2﹣5n），由此能求出结
1 n
果．
【解答】解：∵等差数列{a }的公差不为零，S 为其前n项和，S ＝0，
n n 5
∴ ＝0，解得a ＝﹣2d，
1
∴S ＝na + ＝﹣2nd+ ＝ （n2﹣5n），
n 1
∵d≠0，∴S
i
（i＝0，1，2⋯，100）中S
0
＝S
5
＝0，
S ＝S ＝﹣3d，S ＝S ＝﹣2d，
2 3 1 4
其余各项均不相等，
∴S
i
（i＝1，2⋯，100）中不同的数值有：101﹣3＝98．
故答案为：98．
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．（5分）若平面向量| |＝| |＝| |＝ ，且满足 • ＝0， • ＝2， • ＝1，则 ＝
λ λ
．
【分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果．
【解答】解：由题意，有 • ＝0，则 ，设＜ ＞＝ ，
θ
⇒
则 得，tan ＝ ，
θ
由同角三角函数的基本关系得：cos ＝ ，
θ
则 ＝| || |cos ＝ ＝2，
θ
2＝ ，
λ则 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
12．（5分）设函数f（x）满足 对任意x [0，+∞）都成立，其值域是
∈
A，已知对任何满足上述条件的f（x）都有{y|y＝f（x），0≤x≤a}＝A，则a的取值范
f f
围为 ．
【分析】由题可得 ，再根据 时不合题
意，进而即得；或等价于 恒成立，即 恒成立，进而即得．
【解答】解：法一：令 ，解得 （负值舍去），当 时， ，
当 时， ，
且当 时，总存在 ，使得f（x ）＝f
1
（x ），
2
故 ，
若 ，易得 ，
所以 ，
即实数a的取值范围为 ；
法二：原命题等价于任意 ，
所以 恒成立，
即 恒成立，又a＞0，
所以 ，
即实数a的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题．
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.
13．（5分）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0}
D．{﹣1}
【分析】根据集合的运算性质计算即可．【解答】解：∵A＝[﹣1，2），B＝Z，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的交集的运算，是基础题．
14．（5分）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a+b＞2 B．a+b＜2 C． +2b＞2 D． +2b＜2
【分析】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解．
【解答】解：因为a＞b＞0，所以a+b≥2 ，当且仅当a＝b时取等号，
又a＞b＞0，所以a+b ，故A正确，B错误，
＝2 ，当且仅当 ，即a＝4b时取等号，故CD错误，
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．
15．（5分）如图正方体ABCD﹣A B C D 中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB 、CD
1 1 1 1 1
的中点，联结A S，B D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A S、B D
1 1 1 1
上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D 可视的为（ ）
1
A．点P B．点B C．点R D．点Q
【分析】线段MN上不存在点在线段A S、B D上，即直线MN与线段A S、B D不相交，
1 1 1 1
因此所求与D 可视的点，即求哪条线段不与线段A S、B D相交，再利用共面定理，异
1 1 1
面直线的判定定理即可判断．
【解答】解：线段MN上不存在点在线段A S、B D上，即直线MN与线段A S、B D不
1 1 1 1
相交，
因此所求与D 可视的点，即求哪条线段不与线段A S、B D相交，
1 1 1对A选项，如图，连接A P、PS、D S，因为P、S分别为AB、CD的中点，
1 1
∴易证A D ∥PS，故A 、D 、P、S四点共面，∴D P与A S相交，∴A错误；
1 1 1 1 1 1
对B、C选项，如图，连接D B、DB，易证D 、B 、B、D四点共面，
1 1 1
故D B、D R都与B D相交，∴B、C错误；
1 1 1
对D选项，连接D Q，由A选项分析知A 、D 、P、S四点共面记为平面A D PS，
1 1 1 1 1
∵D 平面A D PS，Q 平面A D PS，且A S 平面A D PS，点D A S，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴D 1∈Q与A 1 S为异面直∉线， ⊂ ∉
同理由B，C选项的分析知D 、B 、B、D四点共面记为平面D B BD，
1 1 1 1
∵D 平面D B BD，Q 平面D B BD，且B D 平面D B BD，点D B D，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴D 1∈Q与B 1 D为异面直∉线， ⊂ ∉
故D Q与A S，B D都没有公共点，∴D选项正确．
1 1 1故选：D．
【点评】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题．
16．（5分）设集合 ＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k Z}
①存在直线l，使Ω得集合 中不存在点在l上，而存在点在l两∈侧；
②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（ ）
A．①成立②成立 Ω B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
【分析】分k＝0，k＞0，k＜0，求出动点的轨迹，即可判定．
【解答】解：当k＝0时，集合 ＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k Z}＝
{（0，0）}， Ω ∈
当k＞0时，集合 ＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k Z}，
表示圆心为（k，kΩ 2），半径为r＝2 的圆， ∈
圆的圆心在直线y＝x2上，半径r＝f（k）＝2 单调递增，
相邻两个圆的圆心距d＝ ＝ ，相邻两个圆
的半径之和为l＝2 +2 ，
因为d＞l有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当k＜0时，同k＞0的情况，故存在直线l，使得集合 中不存在点在l上，而存在点在
l两侧，故①正确， Ω
若直线l斜率不存在，显然不成立，
设直线l：y＝mx+n，若考虑直线l与圆（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|的焦点个数，
d＝ ，r＝ ，
给定m，n，当k足够大时，均有d＞r，故直线l只与有限个圆相交，②错误．
故选：B．
【点评】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.
17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，
AP＝AC＝2．
（1）求三棱锥体积V
P﹣ABC
；
（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小．
【分析】（1）直接利用体积公式求解；
（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求
得平面PAC的法向量，即可求解．
【解答】解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，因为PO⊥底面ABC，所以PO⊥AC，
又O为AC边中点，所以△PAC为等腰三角形，
又AP＝AC＝2．所以△PAC是边长为2的为等边三角形，
∴PO＝ ，三棱锥体积V
P﹣ABC
＝ ＝ ＝1，
（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0， ），B（ ，0，0），C（0，1，0），M（ ， ，0），
＝（ ， ，﹣ ），
平面PAC的法向量 ＝（ ，0，0），
设直线PM与平面PAC所成角为 ，
θ
则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sin ＝| |＝ ＝ ，
θ
所以PM与面PAC所成角大小为arcsin ．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位
置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（14分）f（x）＝log （a+x）+log （6﹣x）．
3 3
（1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实
数a，m的值．
（2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）．
【分析】（1）写出函数图像下移m个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出
m和a的值．
（2）不等式化为log （a+x）+log （6﹣x）≤log （a+6﹣x）+log x，写出等价不等式组，
3 3 3 3
求出解集即可．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝log （a+x）+log （6﹣x），
3 3
将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，得y＝f（x）﹣m＝log （a+x）+log （6﹣x）
3 3
﹣m的图像，
由函数图像经过点（3，0）和（5，0），
所以 ，
解得a＝﹣2，m＝1．
（2）a＞﹣3且a≠0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）可化为log （a+x）+log （6﹣x）
3 3
≤log （a+6﹣x）+log x，
3 3等价于 ，
解得 ，
当﹣3＜a＜0时，0＜﹣a＜3，3＜a+6＜6，解不等式得﹣a＜x≤3，
当a＞0时，﹣a＜0，a+6＞6，解不等式得3≤x＜6；
综上知，﹣3＜a＜0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是（﹣a，3]，
a＞0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是[3，6）．
【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应
用问题，是中档题．
19．（14分）如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任
一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB；
（1）若点P与点C重合，求∠POB的大小；
（2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值．
【分析】（1）在△OBC中，直接利用余弦定理求出OP，再结合正弦定理求解；
（2）利用五边形CDQMP的对称性，将所求的面积化为四边形PMNC的面积计算问题
充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题．
【解答】解：（1）点P与点C重合，由题意可得OB＝10，BC＝6，∠ABC＝120°，
由余弦定理可得 OP2＝OB2+BC2﹣2OB•BCcos∠ABC＝36+100﹣2×6×10×（﹣ ）＝
196，所以OP＝14，在△OBP中，由正弦定理得 ＝ ，
所以 ＝ ，解得sin∠POB＝ ，
所以∠POB的大小为arcsin ；
（2）如图，连结QA，PB，OQ，OP，
∵曲线CMD上任意一点到O距离相等，
∴OP＝OQ＝OM＝OC＝14，
∵P，Q关于OM对称，
∴P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，S△QOM ＝S△POM ＝ ，
α
则∠AOQ＝∠BOP＝S△BOP ＝ ，
则五边形面积S＝2（S△AOQ +S△QOM ）
＝2[ + ]
＝196sin +140cos
α α
＝28 sin（ + ），其中tan ＝ ，
α φ φ
当sin（ + ）＝1时，S五边形MQABP 取最大值28 ，
∴五边形 αMφQABP面积S的最大值为28 ．
【点评】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，
同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题．20．（16分）设有椭圆方程Γ： + ＝1（a＞b＞0），直线l：x+y﹣4 ＝0，Γ下端
点为A，M在l上，左、右焦点分别为F （﹣ ，0）、F （ ，0）．
1 2
（1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；
（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F ，在△ABM中有一内角余弦值为 ，
2
求b；
（3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|PF |+|PF |+d＝6，随a的变化，求d的最
1 2
小值．
【分析】（1）由题意可得椭圆方程为 ，从而确定M点的纵坐标，进一步可
得点M的坐标；
（2）由直线方程可知 ，分类讨论 和 两种情况
确定b的值即可；
（3）设 P（acos ，bsin ），利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得
θ θ
，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得
即可确定d的最小值．
【解答】解：（1）由题意可得 ，，
∵AM的中点在x轴上，
∴M的纵坐标为 ，
代入 得 ．
（2）由直线方程可知 ，
①若 ，则 ，即 ，
∴ ，
∴ ．
②若 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴tan∠BAM＝7．
即tan∠OAF ＝7，∴ ，∴ ，
2
综上 或 ．
（3）设P（acos ，bsin ），
θ θ
由点到直线距离公式可得 ，
很明显椭圆在直线的左下方，则 ，
即 ，
∵a2＝b2+2，∴ ，
据此可得 ， ，
整理可得（a﹣1）（3a﹣5）≤0，即 ，从而 ．
即d的最小值为 ．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与
范围问题等知识，属于中等题．
21．（18分）数列{a }对任意n N*且n≥2，均存在正整数i [1，n﹣1]，满足a ＝2a ﹣
n n+1 n
a，a ＝1，a ＝3． ∈ ∈
i 1 2
（1）求a 可能值；
4
（2）命题p：若a
1
，a
2
，⋯，a
8
成等差数列，则a
9
＜30，证明p为真，同时写出p逆命
题q，并判断命题q是真是假，说明理由；
（3）若a ＝3m，（m N*）成立，求数列{a }的通项公式．
2m n
【分析】（1）利用递推∈关系式可得a
3
＝5，然后计算a
4
的值即可；
（2）由题意可得 ，则a ＝2a ﹣a＜30，从而命题
9 8 i
为真命题，给出反例可得命题q为假命题．
（3）由题意可得a ＝2a ﹣a（i≤2m），a ＝2a ﹣a（j≤2m﹣1），然后利用
2m+2 2m+1 i 2m+1 2m j
数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通项公式．
【解答】解：（1）a ＝2a ﹣a ＝5，a ＝2a ﹣a ＝7或a ＝2a ﹣a ＝9．
3 2 1 4 3 2 4 3 1
（ 2 ） ∵ a ， a ， a ， a ， a ， a ， a ， a 为 等 差 数 列 ， ∴
1 2 3 4 5 6 7 8
，
a ＝2a ﹣a＝30﹣a＜30．
9 8 i i
逆命题q：若a ＜30，则a ，a ，a ，a ，a ，a ，a ，a 为等差数列是假命题，举例：
9 1 2 3 4 5 6 7 8
a ＝1，a ＝3，a ＝5，a ＝7，a ＝9，a ＝11，a ＝13，a ＝2a ﹣a ＝17，a ＝2a ﹣a ＝
1 2 3 4 5 6 7 8 7 5 9 8 7
21．
（3）因为 ，
∴ ，a ＝2a ﹣a（j≤2m﹣1），
2m+1 2m j
∴a ＝4a ﹣2a﹣a，
2m+2 2m j i
∴ ，以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明a ＞a 恒成立：
n+1 n
当n＝1，a ＞a 明显成立，
2 1
假设n＝k时命题成立，即a
k
＞a
k﹣1
＞a k﹣1⋯＞＞a
2
＞a
1
＞0，
则a ﹣a ＝2a ﹣a﹣a ＝a ﹣a＞0，则a ＞a ，命题得证．
k+1 k k i k k i k+1 k
回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：
1．若 j＝2 m﹣1，则a 2m ＝2a j +a i ＝2a 2m﹣1 +a i ＞a 2m﹣1 ﹣a i 矛盾，
2．若 j＝2 m﹣2，则 ，∴ ，∴i＝2m﹣2，
此时 ，
∴ ，
3．若 j＜2 m﹣2，则 ，
∴ ，∴j＝2m﹣1，
∴a
2m+2
＝2a
2m+1
﹣a
2m﹣1
（由（2）知对任意m成立），
a ＝2a ﹣a ，
6 5 3
事实上：a ＝2a ﹣a 矛盾．
6 5 2
综上可得 ．
【点评】本题主要考查数列中的递推关系式，数列中的推理问题，数列通项公式的求解
等知识，属于难题．
