文档内容
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
（新高考全国Ⅱ卷）数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称
为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举， 是相等的
步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知 成公差为0.1的等
差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9
4. 已知向量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. 5 D. 6
5. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方
式共有（ ）
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
6. 若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数 的定义域为R，且 ，则 （ ）
A. B. C. 0 D. 1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数 的图像关于点 中心对称，则（ ）
A. 区间 单调递减
在
B. 在区间 有两个极值点
C. 直线 是曲线 的对称轴
D. 直线 是曲线 切线
的
10. 已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一
象限，点 ，若 ，则（ ）
A. 直线 的斜率为 B.
C. D.
11. 如图，四边形 为正方形， 平面 ， ，记三棱锥
， ， 的体积分别为 ，则（ ）
A. B.C. D.
12. 若x，y满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则 ____________．
的
14. 曲线 过坐标原点 两条切线的方程为____________，____________．
15. 设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆 有公共点，则a
的取值范围是________．
16. 已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且
的
，则l 方程为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且 ．
（1）证明： ；
（2）求集合 中元素个数．
18. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次
为 ，已知 ．
（1）求 的面积；（2）若 ，求b．
19. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分
布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者 的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的
.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中
患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
20. 如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
21. 已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且
．过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取
两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
22. 已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求a的取值范围；
（3）设 ，证明： ．
