文档内容
2023年浙江省高考数学试卷（新高考Ⅰ）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．（5 分）（2023•新高考Ⅰ）已知集合 M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣
6≥0}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1，2} C．{﹣2} D．{2}
1−i
2．（5分）（2023•新高考Ⅰ）已知z= ，则z−z=（ ）
2+2i
A．﹣i B．i C．0 D．1
→ → → →
3．（5分）（2023•新高考Ⅰ）已知向量 a=（1，1）， b=（1，﹣1）．若（ a+ b ）⊥（
λ
→ →
a+ b ），则（ ）
μ
A． + ＝1 B． + ＝﹣1 C． ＝1 D． ＝﹣1
4．（5λ分μ）（2023•新高考Ⅰλ）μ设函数f（x）＝2x（xλ ﹣ μa）在区间（0，1）单λ调μ 递减，则a的
取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）
x2 x2
5．（5分）（2023•新高考Ⅰ）设椭圆C ： +y2＝1（a＞1），C ： +y2＝1的离心率分
1 a2 2 4
别为e ，e ．若e =❑√3e ，则a＝（ ）
1 2 2 1
2❑√3
A． B．❑√2 C．❑√3 D．❑√6
3
6．（5分）（2023•新高考Ⅰ）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹
角为 ，则sin ＝（ ）
α α ❑√15 ❑√10 ❑√6
A．1 B． C． D．
4 4 4
7．（5分）（2023•新高考Ⅰ）记S 为数列{a }的前n项和，设甲：{a }为等差数列；乙：
n n n
S
{ n}为等差数列，则（ ）
n
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
1 1
8．（5分）（2023•新高考Ⅰ）已知sin（ ﹣ ）= ，cos sin = ，则cos（2 +2 ）＝（
3 6
α β α β α β
）
7 1 1 7
A． B． C．− D．−
9 9 9 9
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据x
1
，x
2
，⋯，x
6
，其中x
1
是最小值，
x 是最大值，则（ ）
6
A．x
2
，x
3
，x
4
，x
5
的平均数等于x
1
，x
2
，⋯，x
6
的平均数
B．x
2
，x
3
，x
4
，x
5
的中位数等于x
1
，x
2
，⋯，x
6
的中位数
C．x
2
，x
3
，x
4
，x
5
的标准差不小于x
1
，x
2
，⋯，x
6
的标准差
D．x
2
，x
3
，x
4
，x
5
的极差不大于x
1
，x
2
，⋯，x
6
的极差
（多选）10．（5分）（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量
p
声音的强弱，定义声压级L ＝20×lg ，其中常数p （p ＞0）是听觉下限阈值，p是实
p p 0 0
0
际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的 声压级/
距离/m dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽 10 50～60
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10m处测得实际声压分别为p ，p ，
1 2
p ，则（ ）
3
A．p ≥p B．p ＞10p C．p ＝100p D．p ≤100p
1 2 2 3 3 0 1 2
（多选）11．（5分）（2023•新高考Ⅰ）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f
（x）+x2f（y），则（ ）
A．f（0）＝0
B．f（1）＝0C．f（x）是偶函数
D．x＝0为f（x）的极小值点
（多选）12．（5分）（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为 1（单位：
m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为0.99m的球体
B．所有棱长均为1.4m的四面体
C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体
D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学
生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方
案共有 种（用数字作答）．
14．（5分）（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台ABCD﹣A B C D 中，AB＝2，A B ＝1，AA
1 1 1 1 1 1 1
=❑√2，则该棱台的体积为 ．
15．（5分）（2023•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝cos x﹣1（ ＞0）在区间[0，2 ]有且
仅有3个零点，则 的取值范围是 ．ω ω π
ω
16．（5分）（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线C：x2 y2 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点
− =
a2 b2
→ → → 2 →
分别为F
1
，F
2
．点A在C上，点B在y轴上，
F 1 A
⊥
F 1 B
，F
2
A=−
3
F
2
B，则C的
离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）设AB＝5，求AB边上的高．
18．（12分）（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AB＝2，AA ＝
1 1 1 1 1
4．点A ，B ，C ，D 分别在棱AA ，BB ，CC ，DD 上，AA ＝1，BB ＝DD ＝2，CC
2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
＝3．
（1）证明：B C ∥A D ；
2 2 2 2
（2）点P在棱BB 上，当二面角P﹣A C ﹣D 为150°时，求B P．
1 2 2 2 219．（12分）（2023•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝a（ex+a）﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
3
（2）证明：当a＞0时，f（x）＞2lna+ ．
2
n2+n
20．（12分）（2023•新高考Ⅰ）设等差数列{a }的公差为d，且d＞1．令b = ，记
n n a
n
S ，T 分别为数列{a }，{b }的前n项和．
n n n n
（1）若3a ＝3a +a ，S +T ＝21，求{a }的通项公式；
2 1 3 3 3 n
（2）若{b }为等差数列，且S ﹣T ＝99，求d．
n 99 99
21．（12分）（2023•新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若
命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮
的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1
次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量X 服从两点分布，且P（X＝1）＝1﹣P（X＝0）＝q，i＝1，
i i i i
n n
2，⋯，n，则E（∑ X ）=∑ q．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮
i i
i=1 i=1
的次数为Y，求E（Y）．
22．（12分）（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点
1
（0， ）的距离，记动点P的轨迹为W．
2（1）求W的方程；
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3❑√3．2023年浙江省高考数学试卷（新高考Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．（5 分）（2023•新高考Ⅰ）已知集合 M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣
6≥0}，则M∩N＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1，2} C．{﹣2} D．{2}
【答案】C
【分析】先把集合N表示出来，再根据交集的定义计算即可．
【解答】解：∵x2﹣x﹣6≥0，∴（x﹣3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤﹣2，
N＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），则M∩N＝{﹣2}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
1−i
2．（5分）（2023•新高考Ⅰ）已知z= ，则z−z=（ ）
2+2i
A．﹣i B．i C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
1−i 1 1−i 1 (1−i) 2 1
【解答】解：z= = ⋅ = ⋅ =− i，
2+2i 2 1+i 2 (1+i)(1−i) 2
1
则z= i，
2
故z−z=−i．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
→ → → →
3．（5分）（2023•新高考Ⅰ）已知向量 a=（1，1）， b=（1，﹣1）．若（ a+ b ）⊥（
λ
→ →
a+ b ），则（ ）
μ
A． + ＝1 B． + ＝﹣1 C． ＝1 D． ＝﹣1
【答λ案μ】D λ μ λμ λμ→ → → →
【分析】由已知求得 a+ b 与 a+ b 的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解．
λ μ
→ →
【解答】解：∵ a=（1，1）， b=（1，﹣1），
→ → → →
∴ a+ b=（ +1，1﹣ ）， a+ b=（ +1，1﹣ ），
λ λ λ μ μ μ
→ → → →
由（ a+ b ）⊥（ a+ b ），得（ +1）（ +1）+（1﹣ ）（1﹣ ）＝0，
λ μ λ μ λ μ
整理得：2 +2＝0，即 ＝﹣1．
故选：D．λμ λμ
【点评】本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，
是基础题．
4．（5分）（2023•新高考Ⅰ）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的
取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）
【答案】D
【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可．
a
【解答】解：设t＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，对称轴为x= ，抛物线开口向上，
2
∵y＝2t是t的增函数，
∴要使f（x）在区间（0，1）单调递减，
则t＝x2﹣ax在区间（0，1）单调递减，
a
即 ≥1，即a≥2，
2
故实数a的取值范围是[2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的
单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．
x2 x2
5．（5分）（2023•新高考Ⅰ）设椭圆C ： +y2＝1（a＞1），C ： +y2＝1的离心率分
1 a2 2 4
别为e ，e ．若e =❑√3e ，则a＝（ ）
1 2 2 1
2❑√3
A． B．❑√2 C．❑√3 D．❑√6
3【答案】A
x2
【分析】利用椭圆C ： +y2＝1的方程可求其离心率e ，进而可求e ，可求a．
2 2 1
4
x2
【解答】解：由椭圆C ： +y2＝1可得a ＝2，b ＝1，∴c =❑√4−1=❑√3，
2 2 2 2
4
❑√3
∴椭圆C 的离心率为e = ，
2 2 2
1 c 1
∵e =❑√3e ，∴e = ，∴ 1= ，
2 1 1 2 a 2
1
∴a2=4c2=4（a2−b2）＝4（a2−1），
1 1 1 1 1
2❑√3 2❑√3
∴a= 或a=− （舍去）．
3 3
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属基础题．
6．（5分）（2023•新高考Ⅰ）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹
角为 ，则sin ＝（ ）
α α ❑√15 ❑√10 ❑√6
A．1 B． C． D．
4 4 4
【答案】B
α
【分析】圆的方程化为（x﹣2）2+y2＝5，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin
2
α
，再计算cos 和sin 的值．
2
α
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r
=❑√5；
设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC=❑√22+22=2❑√2，
α ❑√5 α √ 5 ❑√3
△PAC中，sin = ，所以cos =❑1− = ，
2 2❑√2 2 8 2❑√2
α α ❑√5 ❑√3 ❑√15
所以sin ＝2sin cos =2× × = ．
2 2 2❑√2 2❑√2 4
α
故选：B．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基
础题．
7．（5分）（2023•新高考Ⅰ）记S 为数列{a }的前n项和，设甲：{a }为等差数列；乙：
n n n
S
{ n}为等差数列，则（ ）
n
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的
论证．
【解答】解：若{a }是等差数列，设数列{a }的首项为a ，公差为d，
n n 1
n(n−1)
则S ＝na + d，
n 1 2
S n−1 d d
即 n=a + d = n+a − ，
n 1 2 2 1 2
S
故{ n }为等差数列，
n
即甲是乙的充分条件．
S S S
反之，若{ n }为等差数列，则可设 n+1 − n=D，
n n+1 nS
则 n=S +（n﹣1）D，即S ＝nS +n（n﹣1）D，
1 n 1
n
当n≥2时，有S
n﹣1
＝（n﹣1）S
1
+（n﹣1）（n﹣2）D，
上两式相减得：a
n
＝S
n
﹣S
n﹣1
＝S
1
+2（n﹣1）D，
当n＝1时，上式成立，所以a ＝a +2（n﹣1）D，
n 1
则a ﹣a ＝a +2nD﹣[a +2（n﹣1）D]＝2D（常数），
n+1 n 1 1
所以数列{a }为等差数列．
n
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．
故本题选：C．
【点评】本题主要考查利用定义进行等差数列的判断，穿插了充要条件的判定，属中档
题．
1 1
8．（5分）（2023•新高考Ⅰ）已知sin（ ﹣ ）= ，cos sin = ，则cos（2 +2 ）＝（
3 6
α β α β α β
）
7 1 1 7
A． B． C．− D．−
9 9 9 9
【答案】B
【分析】由已知结合和差角公式先求出sin cos ，再求出sin（ + ），然后结合二倍角
公式可求． α β α β
1 1
【解答】解：因为sin（ ﹣ ）＝sin cos ﹣sin cos = ，cos sin = ，
3 6
α β α β β α α β
1
所以sin cos = ，
2
α β
1 1 2
所以sin（ + ）＝sin cos +sin cos = + = ，
2 6 3
α β α β β α
4 1
则cos（2 +2 ）＝1﹣2sin2（ + ）＝1﹣2× = ．
9 9
α β α β
故选：B．
【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据x
1
，x
2
，⋯，x
6
，其中x
1
是最小值，x 是最大值，则（ ）
6
A．x
2
，x
3
，x
4
，x
5
的平均数等于x
1
，x
2
，⋯，x
6
的平均数
B．x
2
，x
3
，x
4
，x
5
的中位数等于x
1
，x
2
，⋯，x
6
的中位数
C．x
2
，x
3
，x
4
，x
5
的标准差不小于x
1
，x
2
，⋯，x
6
的标准差
D．x
2
，x
3
，x
4
，x
5
的极差不大于x
1
，x
2
，⋯，x
6
的极差
【答案】BD
【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．
【解答】解：A选项，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
的平均数不一定等于x
1
，x
2
，⋯，x
6
的平均数，A
错误；
x +x x +x
B选项，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
的中位数等于 3 4，x
1
，x
2
，⋯，x
6
的中位数等于 3 4，B
2 2
正确；
C选项，设样本数据x
1
，x
2
，⋯，x
6
为0，1，2，8，9，10，可知x
1
，x
2
，⋯，x
6
的平均
数是5，x ，x ，x ，x 的平均数是5，
2 3 4 5
1
x
1
，x
2
，⋯，x
6
的方差s
1
2=
6
×[（0﹣5）2+（1﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）
50
2+（10﹣5）2]= ，
3
1 25
x ，x ，x ，x 的方差s 2= ×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2]= ，
2 3 4 5 2 4 2
s 2＞s 2 ，∴s ＞s ，C错误．
1 2 1 2
D选项，x ＞x ，x ＞x ，∴x ﹣x ＞x ﹣x ，D正确．
6 5 2 1 6 1 5 2
故选：BD．
【点评】本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是基础题．
（多选）10．（5分）（2023•新高考Ⅰ）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量
p
声音的强弱，定义声压级L ＝20×lg ，其中常数p （p ＞0）是听觉下限阈值，p是实
p p 0 0
0
际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的 声压级/
距离/m dB
燃油汽车 10 60～90混合动力汽 10 50～60
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10m处测得实际声压分别为p ，p ，
1 2
p ，则（ ）
3
A．p ≥p B．p ＞10p C．p ＝100p D．p ≤100p
1 2 2 3 3 0 1 2
【答案】ACD
【分析】根据题意分别计算p ，p ，p 的范围，进行比较即可求解．
1 2 3
p
【解答】解：由题意得，60≤20lg
p
1≤90，1000p
0
≤p
1≤10
9
2p
0
，
0
p
50≤20lg
p
2≤60，1
0
5
2p
0
≤p
2
≤1000p
0
，
0
p
20lg 3=40，p ＝100p ，
p 3 0
0
可得p ≥p ，A正确；
1 2
p ≤10p ＝1000p ，B错误；
2 3 0
p ＝100p ，C正确；
3 0
9 5
p 1≤102p
0
＝100×1 02p
0
≤100p
2
，p
1
≤100p
2
，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，是中档题．
（多选）11．（5分）（2023•新高考Ⅰ）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f
（x）+x2f（y），则（ ）
A．f（0）＝0
B．f（1）＝0
C．f（x）是偶函数
D．x＝0为f（x）的极小值点
【答案】ABC
【分析】在已知等式中，取x＝y＝0判断A；取x＝y＝1判断B；求出f（﹣1），再取y
＝﹣1判断C；取满足等式的特殊函数判断D．
【解答】解：由f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），取x＝y＝0，可得f（0）＝0，故A正确；
取x＝y＝1，可得f（1）＝2f（1），即f（1）＝0，故B正确；
1
取x＝y＝﹣1，得f（1）＝2f（﹣1），即f（﹣1）= f（1）＝0，
2
取y＝﹣1，得f（﹣x）＝f（x），可得f（x）是偶函数，故C正确；
由上可知，f（﹣1）＝f（0）＝f（1）＝0，而函数解析式不确定，
不妨取f（x）＝0，满足f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），
常数函数f（x）＝0无极值，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查抽象函数的应用，取特值是关键，是中档题．
（多选）12．（5分）（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为 1（单位：
m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为0.99m的球体
B．所有棱长均为1.4m的四面体
C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体
D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体
【答案】ABD
【分析】对于A，由正方体的内切球直径大于0.99可判断；对于B，由正方体内部最大
的正四面体的棱长大于1.4可判断；对于C，由正方体的体对角线小于1.8可判断；对于
D，取E，F，G，H，I，J都为棱中点，则六边形EFGHIJ为正六边形，由正六边形的
内切圆直径大于1.2可判断．
【解答】解：对于A，棱长为1的正方体内切球的直径为1＞0.99，选项A正确；
对于B，如图，
正方体内部最大的正四面体D﹣A BC 的棱长为❑√12+12=❑√2＞1.4，选项B正确；
1 1
对于C，棱长为1的正方体的体对角线为❑√3＜1.8，选项C错误；对于D，（法一）如图，六边形EFGHIJ为正六边形，E，F，G，H，I，J为棱的中点，
高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，
❑√2
六边形EFGHIJ棱长为 米，∠GFH＝∠GHF＝30°，
2
❑√6 ❑√6
所以FH=❑√3FG=❑√3GH= 米，故六边形EFGHIJ内切圆直径为 米，
2 2
❑√6 3
而( ) 2= ＞(1.2) 2=1.44，选项D正确．
2 2
（法二）因为1.2m＞1m，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，
过AC 的中点O作OE⊥AC ，设OE∩AC＝E，
1 1
❑√3
可知AC=❑√2，CC =1，AC =❑√3，OA= ，
1 1 2
1 OE
CC OE = ❑√6
则tan∠CAC = 1= ，即❑√2 ❑√3，解得OE= ，
1 AC AO 4
2
❑√6 3 9 9 ❑√6
且( ) 2= = ＞ =0．62 ，即 ＞0.6，
4 8 24 25 4
故以AC 为轴可能对称放置底面直径为1.2m的圆柱，
1
若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，
设圆柱的底面圆心为O ，与正方体的下底面的切点为M，
1
可知，AC ⊥O M，O M＝0.6，
1 1 1CC O M
则tan∠CAC = 1= 1 ，
1 AC AO
1
1 0.6
即 = ，解得AO =0.6❑√2，
❑√2 AO 1
1
根据对称性可知圆柱的高为❑√3−2×0.6❑√2≈1.732−1.2×1.414=0.0352＞0.01，
所以能够被整体放入正方体内，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查简单几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学
生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方
案共有 6 4 种（用数字作答）．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用分类计数原理进行计算即可．
【解答】解：若选2门，则只能各选1门，有C1C1=16种，
4 4
如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选
修课选2，
则有C1C2+C2C1=24+24＝48，
4 4 4 4
综上共有16+48＝64种不同的方案．
故答案为：64．
【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键，
是基础题．
14．（5分）（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台ABCD﹣A B C D 中，AB＝2，A B ＝1，AA
1 1 1 1 1 1 1
7❑√6
=❑√2，则该棱台的体积为 ．
6
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据题意求出四棱台的高，再代入台体的体积公式即可求解．
【解答】解：如图，设正四棱台ABCD﹣A B C D 的上下底面中心分别为M，N，
1 1 1 1
❑√2
过A 作A H⊥AC，垂足点为H，由题意易知A M＝HN= ，又AN=❑√2，
1 1 1 2❑√2 ❑√6
∴AH＝AN﹣HN= ，又AA =❑√2，∴A H＝MN= ，
2 1 1 2
1 ❑√6 7❑√6
∴该四棱台的体积为 ×（1+4+❑√1×4）× = ．
3 2 6
7❑√6
故答案为： ．
6
【点评】本题考查台体的体积公式的应用，属基础题．
15．（5分）（2023•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝cos x﹣1（ ＞0）在区间[0，2 ]有且
仅有3个零点，则 的取值范围是 [ 2 ， 3 ） ． ω ω π
【答案】见试题解答ω内容
【分析】利用余弦函数的周期，结合函数的零点个数，列出不等式求解即可．
2π
【解答】解：x [0，2 ]，函数的周期为 （ ＞0），cos x﹣1＝0，可得cos x＝1，
ω
∈ π ω ω ω
函数f（x）＝cos x﹣1（ ＞0）在区间[0，2 ]有且仅有3个零点，
2π ω 2πω π
可得2⋅ ≤2 ＜3⋅ ，
ω ω
π
所以2≤ ＜3．
故答案为ω：[2，3）．
【点评】本题考查三角函数的周期的应用，函数的零点的应用，是基础题．
x2 y2
16．（5分）（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线C： − =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点
a2 b2
→ → → 2 →
分别为F
1
，F
2
．点A在C上，点B在y轴上，F
1
A⊥F
1
B，F
2
A=−
3
F
2
B，则C的
3❑√5
离心率为 ．
5
【答案】见试题解答内容【分析】（法一）设F （﹣c，0），F （c，0），B（0，n），根据题意可得点A的坐
1 2
→ 8 2 → → →
标，进一步得到F A=( c，− n)，F B=(c，n)，再由F A⊥F B，可得n2＝
1 3 3 1 1 1
4c2．结合点A在双曲线上，可得解；
→
（法二）易知 |F 2 → A| = 3 2 ，设|F 2 → A|=2t，|F 2 B → |=3t，∠F 1 AF 2 ＝ ，解三角形可
|F B|
2
θ
知5c2＝9a2，进而得解．
【解答】解：（法一）如图，设F （﹣c，0），F （c，0），B（0，n），
1 2
→ →
设A（x，y），则F A=(x−c，y)，F B=(−c，n) ，
2 2
2
{x−c= c)
→ 2 → 3 5 2
又F A=− F B，则 ，可得A( c，− n)，
2 3 2 2 3 3
y=− n
3
→ → → 8 2 →
又F A⊥F B，且F A=( c，− n)，F B=(c，n)，
1 1 1 3 3 1
→ → 8 2
则F A⋅F B= c2− n2=0，化简得n2＝4c2．
1 1 3 3
又点A在C上，
25 4
c2 n2 25c2 4n2
则 9 9 ，整理可得 − =1，
− =1 9a2 9b2
a2 b2
25c2 16c2 16e2
代n2＝4c2，可得 − =9，即25e2− =9，
a2 b2 e2−1
9 1
解得e2=
或 （舍去），
5 5
3❑√5
故e= ．
5
→
→ 2 → |F A| 2
（法二）由F A=− F B，得 2 = ，
2 3 2 → 3
|F B|
2→ → →
设|F A|=2t，|F B|=3t，由对称性可得|F B|=3t，
2 2 1
→ →
则|AF |=2t+2a，|AB|=5t，
1
3t 3
设∠F AF ＝ ，则sinθ= = ，
1 2 5t 5
θ
4 2t+2a
所以cosθ= = ，解得t＝a，
5 5t
→ →
所以|AF |=2t+2a=4a，|AF |=2a，
1 2
16a2+4a2−4c2 4
在△AF F 中，由余弦定理可得cosθ= = ，
1 2 16a2 5
3❑√5
即5c2＝9a2，则e= ．
5
3❑√5
故答案为： ．
5
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2023•新高考Ⅰ）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）设AB＝5，求AB边上的高．
3❑√10
【答案】（1） ；（2）6．
10
π
【分析】（1）由三角形内角和可得C= ，由2sin（A﹣C）＝sinB，可得2sin（A﹣C）
4
＝sin（A+C），再利用两角和与差的三角函数公式化简可得sinA＝3cosA，再结合平方
关系即可求出sinA；
（2）由sinB＝sin（A+C）求出sinB，再利用正弦定理求出AC，BC，由等面积法即可求出AB边上的高．
【解答】解：（1）∵A+B＝3C，A+B+C＝ ，
∴4C＝ ， π
ππ
∴C= ，
4
∵2sin（A﹣C）＝sinB，
∴2sin（A﹣C）＝sin[ ﹣（A+C）]＝sin（A+C），
∴2sinAcosC﹣2cosAsinπC＝sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC＝3cosAsinC，
❑√2 ❑√2
∴ sinA=3× cosA，
2 2
1
∴sinA＝3cosA，即cosA= sinA，
3
1
又∵sin2A+cos2A＝1，∴sin2A+ sin2A=1，
9
9
解得sin2A= ，
10
又∵A （0， ），∴sinA＞0，
∈ 3❑√10π
∴sinA= ；
10
3❑√10 1 ❑√10
（2）由（1）可知sinA= ，cosA= sinA= ，
10 3 10
3❑√10 ❑√2 ❑√10 ❑√2 2❑√5
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC= × + × = ，
10 2 10 2 5
AB AC BC 5
= = = =
∴sinC sinB sinA π 5❑√2，
sin
4
2❑√5 3❑√10
∴AC＝5❑√2sinB＝5❑√2× =2❑√10，BC＝5❑√2×sinA=5❑√2× =3❑√5，
5 10
设AB边上的高为h，
1 1
则 AB⋅ℎ = ×AC×BC×sinC，
2 2
5 1 ❑√2
∴ ℎ = ×2❑√10×3❑√5× ，
2 2 2
解得h＝6，即AB边上的高为6．
【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应
用，属于中档题．
18．（12分）（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AB＝2，AA ＝
1 1 1 1 1
4．点A ，B ，C ，D 分别在棱AA ，BB ，CC ，DD 上，AA ＝1，BB ＝DD ＝2，CC
2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
＝3．
（1）证明：B C ∥A D ；
2 2 2 2
（2）点P在棱BB 上，当二面角P﹣A C ﹣D 为150°时，求B P．
1 2 2 2 2
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）建系，根据坐标法及向量共线定理，即可证明；
（2）建系，根据向量法，向量夹角公式，方程思想，即可求解．
【解答】解：（1）证明：根据题意建系如图，则有：
B （0，2，2），C （0，0，3），A （2，2，1），D （2，0，2），
2 2 2 2
→ →
∴B C =(0，−2，1) ，A D =(0，−2，1) ，
2 2 2 2
→ →
∴B C =A D ，又B 2 ，C 2 ，A 2 ，D 2 四点不共线，
2 2 2 2
∴B C ∥A D ；
2 2 2 2
（2）在（1）的坐标系下，可设P（0，2，t），t [0，4]，
又由（1）知C
2
（0，0，3），A
2
（2，2，1），D 2∈（2，0，2），
→ → →
∴C A =(2，2，−2) ，C P=(0，2，t−3) ，A D =(0，−2，1) ，
2 2 2 2 2
→
设平面PA 2 C 2 的法向量为 m=(x，y，z) ，→ →
{ m⋅C
2
A
2
=2x+2y−2z=0)
→
则
→ →
，取m=(t−1，3−t，2) ，
m⋅C P=2y+(t−3)z=0
2
→
设平面A 2 C 2 D 2 的法向量为 n=(a，b，c) ，
→ →
{ n⋅C
2
A
2
=2a+2b−2c=0)
→
则
→ →
，取n=(1，1，2) ，
n⋅A D =−2b+c=0
2 2
→ →
∴根据题意可得|cos150°|＝|cos
＜m
→ ， →
n＞
|=
|m
→
⋅n
→
|
，
|m||n|
❑√3 6
=
∴ ，
2 ❑√(t−1) 2+(3−t) 2+4×❑√6
∴t2﹣4t+3＝0，又t [0，4]，
∴解得t＝1或t＝3，∈
∴P为B B 的中点或B B的中点，
1 2 2
∴B P＝1．
2
【点评】本题考查利用向量法证明线线平行，利用向量法求解二面角问题，向量共线定
理及向量夹角公式的应用，方程思想，属中档题．
19．（12分）（2023•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝a（ex+a）﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
3
（2）证明：当a＞0时，f（x）＞2lna+ ．
2
【答案】见试题解答内容【分析】（1）先求出导函数 f'（x），再对a分a≤0和a＞0两种情况讨论，判断
f'（x）的符号，进而得到f（x）的单调性；
1 3
（2）由（1）可知，当a＞0时，f（x） ＝f（ln ）＝1+a2+lna，要证f（x）＞2lna+
min a 2
3 1 1
，只需证1+a2+lna＞2lna+ ，只需证a2−lna− ＞0，设g（a）=a2−lna− ，a＞
2 2 2
❑√2 3
0，求导可得g（x） ＝g（ ）＞0，从而证得f（x）＞2lna+ ．
min 2 2
【解答】解：（1）f（x）＝a（ex+a）﹣x，
则f'（x）＝aex﹣1，
①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上单调递减，
1
②当a＞0时，令f'（x）＝0得，x=ln ，
a
1 1
当x （﹣∞，ln ）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x （ln ，+∞）时，f'（x）
a a
∈ ∈
＞0，f（x）单调递增，
1
综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln ）上
a
1
单调递减，在（ln ，+∞）上单调递增．
a
1 1 1
证明：（2）由（1）可知，当 a＞0 时，f（x） ＝f（ln ）＝a（ +a）﹣ln =
min a a a
1+a2+lna，
3 3
要证f（x）＞2lna+ ，只需证1+a2+lna＞2lna+ ，
2 2
1
只需证a2−lna− ＞0，
2
1
设g（a）=a2−lna−
，a＞0，
2
1 2a2−1
则g'（a）＝2a− = ，
a a
❑√2
令g'（a）＝0得，a= ，
2❑√2 ❑√2
当a （0， ）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，当a （ ，+∞）时，g'（a）＞
2 2
∈ ∈
0，g（a）单调递增，
❑√2 1 ❑√2 1 ❑√2
所以g（a）≥g（ ）= −ln − =−ln ＞0，
2 2 2 2 2
即g（a）＞0，
1
所以a2−lna− ＞0得证，
2
3
即f（x）＞2lna+ 得证．
2
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数恒成立问题，
属于中档题．
n2+n
20．（12分）（2023•新高考Ⅰ）设等差数列{a }的公差为d，且d＞1．令b = ，记
n n a
n
S ，T 分别为数列{a }，{b }的前n项和．
n n n n
（1）若3a ＝3a +a ，S +T ＝21，求{a }的通项公式；
2 1 3 3 3 n
（2）若{b }为等差数列，且S ﹣T ＝99，求d．
n 99 99
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意及等差数列的通项公式与求和公式，建立方程组，即可求解；
n+1
（2）根据题意及等差数列的通项公式的特点，可设a ＝tn，则b = ，且d＝t＞1；
n n t
n
或设a ＝k（n+1），则b = ，且d＝k＞1，再分类讨论，建立方程，即可求解．
n n k
【解答】解：（1）∵3a ＝3a +a ，S +T ＝21，
2 1 3 3 3
{ 3(a 1 +d)=3a 1 +a 1 +2d )
∴根据题意可得 2 6 12 ，
3a +3d+( + + )=21
1 a a +d a +2d
1 1 1
{ a 1 =d )
∴ 9 ，
6d+ =21
d
∴2d2﹣7d+3＝0，又d＞1，
∴解得d＝3，∴a ＝d＝3，
1∴a ＝a +（n﹣1）d＝3n，n N*；
n 1
∈
n2+n
（2）∵{a }为等差数列，{b }为等差数列，且b = ，
n n n a
n
n+1
∴根据等差数列的通项公式的特点，可设a ＝tn，则b = ，且d＝t＞1；
n n t
n
或设a ＝k（n+1），则b = ，且d＝k＞1，
n n k
n+1
①当a ＝tn，b = ，d＝t＞1时，
n n t
(t+99t)×99 2 100 99
则S ﹣T = −( + )× =99，
99 99 2 t t 2
51
∴50t− =1，∴50t2﹣t﹣51＝0，又d＝t＞1，
t
51
∴解得d＝t= ；
50
n
②当a ＝k（n+1），b = ，d＝k＞1时，
n n k
(2k+100k)×99 1 99 99
则S ﹣T = −( + )× =99，
99 99 2 k k 2
50
∴51k− =1，∴51k2﹣k﹣50＝0，又d＝k＞1，
k
∴此时k无解，
51
∴综合可得d= ．
50
【点评】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式与求和公式的应用，方程思想，
化归转化思想，分类讨论思想，属中档题．
21．（12分）（2023•新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若
命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮
的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1
次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量X 服从两点分布，且P（X＝1）＝1﹣P（X＝0）＝q，i＝1，
i i i in n
2，⋯，n，则E（∑ X ）=∑ q．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮
i i
i=1 i=1
的次数为Y，求E（Y）．
【答案】（1）第2次投篮的人是乙的概率为0.6；
1 1 2
（2）第i次投篮的人是甲的概率为P= + ×（ ）i﹣1；
i 3 6 5
5 2 n
（3）E（Y）= [1﹣（ ）n]+ ，n N*．
18 5 3
∈
【分析】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，结合题意，即可得出答案；
（2）由题意设P 为第n次投篮的是甲，则P ＝0.6P +0.2（1﹣P ）＝0.4P +0.2，构造
n n+1 n n n
1 1 1 1
得P − =0.4（P − ），结合等比数列的定义可得{P − }是首项为 ，公比为0.4
n+1 3 n 3 n 3 6
的等比数列，即可得出答案；
1 1 2
（3）由（2）得P= + ×（ ）i﹣1，当n N*时，E（Y）＝P +P +...+P ，求解即可得
i 3 6 5 1 2 n
∈
出答案．
【解答】解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，
由题意得P＝0.5×0.4+0.5×0.8＝0.6；
（2）由题意设P 为第n次投篮的是甲，
n
则P ＝0.6P +0.2（1﹣P ）＝0.4P +0.2，
n+1 n n n
1 1
∴P − =0.4（P − ），
n+1 3 n 3
1 1 1 1 1 1
又P − = − = ≠0，则{P − }是首项为 ，公比为0.4的等比数列，
1 3 2 3 6 n 3 6
1 1 2 1 1 2
∴P − = ×（ ）n﹣1，即P = + ×（ ）n﹣1，
n 3 6 5 n 3 6 5
1 1 2
∴第i次投篮的人是甲的概率为P= + ×（ ）i﹣1；
i 3 6 5
1 1 2
（3）由（2）得P= + ×（ ）i﹣1，
i 3 6 5
1 2
[1−( ) n ]
n
1 2 n 6 5 n 5
∴当n N*时，E（Y）＝P 1 +P 2 +...+P n = ∑ ( ) i−1+ = + = [1﹣（
6 5 3 2 3 18
i=1 1−
∈ 52 n
）n]+ ，
5 3
5 2 n
综上所述，E（Y）= [1﹣（ ）n]+ ，n N*．
18 5 3
∈
【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和
运算能力，属于中档题．
22．（12分）（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点
1
（0， ）的距离，记动点P的轨迹为W．
2
（1）求W的方程；
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3❑√3．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设点p坐标，结合几何条件即可得出W的方程．
（2）首先利用平移性，化简W的方程可简化计算，核心是把两邻边的和用其他方式表
示出来．
√ 1
【解答】解：（1）设点P点坐标为（x，y），由题意得|y|=❑ x2+(y− ) 2，
2
1
两边平方可得：y2＝x2+y2﹣y+ ，
4
1
化简得：y＝x2+ ，符合题意．
4
1
故W的方程为y＝x2+ ．
4
（2）解法一：不妨设A，B，C三点在W上，且AB⊥BC．
1 1 1
设A（a，a2+ ），B（b，b2+ ），C（c，c2+ ），
4 4 4
→ →
则AB=(b−a，b2−a2
)
，BC=(c−b，c2−b2
)
．
→ →
由题意， AB⋅BC=0，即（b﹣a）（c﹣b）+（b2﹣a2）（c2﹣b2）＝0，
显然（b﹣a）（c﹣b）≠0，于是1+（b+a）（c+b）＝0．
此时，|b+a|．|c+b|＝1．于是min{|b+a|，|c+b|}≤1．
1
不妨设|c+b|≤1，则a＝﹣b− ，
b+c则|AB|+|BC|＝|b﹣a|❑√1+(a+b) 2+|c﹣b|❑√1+(c+b) 2
√ 1
＝|b﹣a|❑1+ +|c﹣b|❑√1+(c+b) 2
(c+b) 2
≥|b﹣a|❑√1+(c+b) 2+|c﹣b|❑√1+(c+b) 2
≥|c﹣a|❑√1+(c+b) 2
1
＝|b+c+ |❑√1+(c+b) 2．
b+c
3
设x＝|b+c|，则f（x）＝（x+ 1 ）❑√1+x2，即f（x）
=
(1+x2 )2 ，
x
x
1 1
(1+x2 )2．(3x2−1−x2
)
(1+x2 )2．(2x2−1)
又f′（x）= = ．
x2 x2
❑√2 ❑√2 3❑√3
显然，x= 为最小值点．故f（x）≥f（ ）= ，
2 2 2
故矩形ABCD的周长为2（|AB|+|BC|）≥2f（x）≥3❑√3．
❑√2
注意这里有两个取等条件，一个是|b+c|＝1，另一个是|b+c|= ，
2
这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．
解法二：不妨设A，B，D在抛物线W上，C不在抛物线W上，欲证命题为|AB|+|AD|
3❑√3
＞ ．
2
由图象的平移可知，将抛物线W看作y＝x2不影响问题的证明．
设A（a，a2）（a≥0），平移坐标系使A为坐标原点，
则新抛物线方程为y′＝x′2+2ax′，写为极坐标方程，
sinθ−2acosθ
即 sin ＝ 2cos2 +2a cos ，即 = ．
cos2θ
ρ θ ρ θ ρ θ ρ
π π
sin(θ+ )−2acos(θ+ )
sinθ−2acosθ 2 2 3❑√3
欲证明的结论为| |+| |＞ ，
cos2θ π 2
cos2 (θ+ )
22a sinθ 2a cosθ 3❑√3
也即| − |+| + |＞ ．
cosθ cos2θ sinθ sin2θ 2
2 2
不妨设| |≥| |，将不等式左边看成关于a的函数，根据绝对值函数的性质，
cosθ sinθ
2 sinθ sinθ
其最小值当 ⋅a− =0即a = 时取得，
cosθ cos2θ 2cosθ
1 cosθ 3❑√3 1 3❑√3
因此欲证不等式为| + |＞ ，即| |＞ ，
cosθ sin2θ 2 cosθsin2θ 2
根据均值不等式，有|cos sin2 |
1 θ θ
= .❑√2cos2θ(1−cos2θ)(1−cos2θ)
❑√2
1 √ 2 3 2
≤ .❑( ) = ，
❑√2 3 3❑√3
由题意，等号不成立，故原命题得证．
【点评】本题第一问属常规求轨迹方程问题，较简单，第二问对思维能力及计算能力要
求很高，属难题．
