文档内容
2023-2024 学年北京育才学校八年级上学期期中
数 学
一.选择题：（每小题3分，共30分）.
1．作为一名道路交通的参与者，在我们生活的周边有形色各异的交通标识，交通标识中，属于轴对称图
形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6 B．4，4，8 C．4，7，11 D．5，8，12
3．下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．（m4）3＝m7
C．（﹣2m）2＝4m2 D．m4÷m4＝0
4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50° B．58° C．60° D．72°
5．如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）
A．45° B．60° C．72° D．90°
6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠C B．AB＝2BD
C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC
7．如图，点F，B，E，C在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AC∥DF，CE＝FB，添加下列哪
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学科网（北京）股份有限公司个条件后，仍不能判定出△ABC≌△DEF（ ）
A．AB＝DE B．AB∥DE C．∠A＝∠D D．AC＝DF
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC ＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，△ABC≌△ADE，点D在边BC上，∠EAC＝40°，则∠B等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
10．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转 （0°＜ ＜90°），
得到BD，连接CD，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，连接AD，则∠DAE的度数（ ）
θ θ
A．随着 的增大而增大
B．随着 的增大而减小
θ
C．随着 的增大，先增大后减小
θ
D．不变
θ
二.填空题：（每小题3分，共24分）.
11．计算（ ﹣3）0＝ ．
12．如图是用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图，则此作法的数学依据是 （请从“SSS、
π
SAS、AAS、ASA、HL”中选择一个填入）．
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学科网（北京）股份有限公司13．已知点M（3，m）与点N（n，4）关于x轴对称，那么m+n＝ ．
14．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ ．
15．若等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的周长是 ．
16．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交 BC，AC于D，E，若 AE＝3cm，△ABD的周长为
13cm，则△ABC的周长等于 cm．
17．如图，在平面直角坐标系中，M（﹣2，1），N（3，4），点P（a，0）是x轴上的动点．若点P在线
段MN的垂直平分线上，a＝ ；当PM+PN取得最小值时，a＝ ．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（5，0），B（0，7），动点P，Q分别按照A﹣O﹣B和B﹣O﹣
A的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线l经过原点O，且l∥AB，过P，Q分别作l的垂线
段，垂足分别为E，F．若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒4个单位长度，运动时
间为t秒，当△OPE与△OQF全等时，t的值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司三.解答题：（共10小题，共46分）
19．（8分）计算：
（1）（﹣2x）2•x•（x3）2；
（2）（x+3）2﹣（x+2）（x﹣2）．
20．（5分）已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．
求证：AC＝DF．
21．（5分）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°．求∠AEC和
∠DAE的度数．
22．（5分）如图，甲长方形的两边长分别为m+1，m+7，面积为S ，乙长方形的两边长分别为m+2，
1
m+4，面积为S （其中m为正整数）．
2
（1）S ＝ ，S ＝ （用含m的多项式表示），S S （填“＜”、
1 2 1 2
“＝”或“＞”）；
（2）有一正方形，其周长与甲长方形周长相等，面积为S，求证：S﹣S 为定值．
1
23．（5分）操作实践：在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣3，﹣1），B（0，3），C
（﹣4，2）．
（1）画出△ABC 关于 y 轴对称的△A′B′C′（保留作图痕迹），并直接写出点 C′的坐标
；
（2）点E是y轴上的动点，点F是线段AB上的动点，若AB为5个单位长度，在图中标出点E和点F
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学科网（北京）股份有限公司的位置，使AE+EF取得最小值，最小值是 个单位长度．
24．（6分）阅读实践：学习了三角形、全等三角形及轴对称的相关知识后，爱思考的小铭同学设计了一
种新的角平分线的尺规作图方法，以下为他的作图过程：
已知∠AOB，
①作OB的反向延长线OC；
②以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OC，OA，OB于点
D，E，F；
③连接DE，以点D为圆心，DO长为半径画弧，交DE于点G；
④以点F为圆心，OG长为半径画弧，交第②步所画弧于点H；
⑤作射线OH，OH即为∠AOB的角平分线.
请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，并完成证明．
证明：∵OD＝OE，
∴∠ ＝∠ ．（ ）
∵OC为OB的反向延长线，
∴∠AOB＝∠ +∠OED，
即∠ ＝ ∠AOB．
∵OD＝OH，DO＝ ，
∴OH＝ ．
在△OFH和△DOG中，
OF＝DO，
OH＝ ，
FH＝OG，
∴△OFH≌△DOG（SSS），
∴∠ ＝∠GDO，（ ）
∴∠ ＝ ∠AOB．
即OH为∠AOB的角平分线．
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学科网（北京）股份有限公司25．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，DA平分∠CDE，且AB＝AE，若CD＝
2，BD＝3，求DE的长．
26．（6分）如图，已知等腰△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，∠PAB＝ ，点B关于直线AP的对称点
为点D，连接AD，连接BD交AP于点G，连接CD交AP于点E，交AB于点F．
α
（1）如图1，当 ＝15°时，
①补全图形；
α
②探究DE与BF的数量关系，并说明理由；
（2）在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中（0°＜ ＜75°），当△AEF为等腰三角形时，利用备用图直
接求出 的值为 ．
α
α
27．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．令（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42）＝z，
求证：（2，6）+（2，7）＝（2，42）．
28．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A，B分别在坐标轴上．
（1）如图1，若点C的横坐标为﹣3，点B的坐标为 ；
（2）如图2，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD垂直x轴于D点，试猜想线段
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学科网（北京）股份有限公司CD与AM的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，OB＝BF，∠OBF＝90°，连接CF交y轴于点P，点B在y轴正半轴上运动时，△BPC与
△AOB的面积比是否变化？若不变，求其值，若变化，求其取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司参考答案
一.选择题：（每小题3分，共30分）.
1．【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁
的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以
是轴对称图形；
故选：A．
2．【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析解．
【解答】解：A、∵2+3＝5＜6，∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵4+4＝8，∴不能构成三角形，不符合题意；
C、∵4+7＝11，∴不能构成三角形，不符合题意；
D、∵5+8＝13＞12，∴能构成三角形，符合题意．
故选：D．
3．【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘除法则及幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、m2•m3＝m5，原计算错误，不符合题意；
B、（m4）3＝m12，原计算错误，不符合题意；
C、（﹣2m）2＝4m2，正确，符合题意；
D、m4÷m4＝1，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
4．【答案】B
【分析】根据已知数据找出对应角，根据全等得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，根据三角形内角
和定理求出即可．
【解答】解：
∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，
∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，
故选：B．
5．【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据正多边形的内角和定义（n﹣2）×180°列方程求出多边形的边数，再根据正多边形内角和
为360°、且每个外角相等求解可得．
【解答】解：多边形内角和（n﹣2）×180°＝720°，
∴n＝6．
则正多边形的一个外角＝ ，
故选：B．
6．【答案】B
【分析】根据等边对等角和等腰三角形三线合一的性质解答．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，
所以，结论不一定正确的是AB＝2BD．
故选：B．
7．【答案】A
【分析】先根据平行线的性质得到∠C＝∠F，再证明CB＝FE，然后根据全等三角形的判定方法对各选
项进行判断．
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠C＝∠F，
∵CE＝FB，
∴CE+EB＝FB+BE，
即CB＝FE，
∴当添加∠ABC＝∠DEF，即AB∥DE时，可根据“ASA”判断△ABC≌△DEF；
当添加∠A＝∠D时，可根据“AAS”判断△ABC≌△DEF；
当添加AC＝DF时，可根据“SAS”判断△ABC≌△DEF．
故选：A．
8．【答案】C
【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可
求出答案．
【解答】解：过D作DF⊥AC于F，
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学科网（北京）股份有限公司∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ADB ＝ AB×DE＝ ×5×2＝5，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9﹣5＝4，
∴ AC×DF＝4，
∴ AC×2＝4，
∴AC＝4，
故选：C．
9．【答案】C
【分析】先根据全等三角形的性质得到AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，再证明∠BAD＝∠EAC＝40°，然后
利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠EAC，
即∠BAD＝∠EAC＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝ （180°﹣∠BAD）＝ ×（180°﹣40°）＝70°．
故选：C．
10．【答案】D
【分析】由旋转的性质可得 BC＝BD＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求
∠BDC+∠BDA＝135°＝∠CDA，由外角的性质可求∠DAE＝135°﹣90°＝45°，即可求解．
【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转 （0°＜ ＜90°），得到BD，
∴BC＝BD＝BA，
θ θ
∴∠BCD＝∠BDC，∠BDA＝∠BAD，
∵∠CBD+∠BCD+∠BDC＝180°，∠ABD+∠BAD+∠BDA＝180°，∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠BDC+∠BDA＝135°＝∠CDA，
∵∠CDA＝∠AEC+∠PAE＝135°，
∴∠DAE＝135°﹣90°＝45°，
∴∠DAE的度数是定值，
故选：D．
二.填空题：（每小题3分，共24分）.
11．【答案】见试题解答内容
【分析】根据零指数幂的性质即可得出答案．
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学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（ ﹣3）0＝1，
故答案为：1．
π
12．【答案】SSS．
【分析】连接BC，AC，可证△OBC≌△OAC（SSS），即可得出答案．
【解答】解：连接BC，AC，
由尺规作图得，OB＝OA，BC＝AC，
∵OC＝OC，
∴△OBC≌△OAC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
即OC为∠AOB的平分线．
故答案为：SSS．
13．【答案】﹣1．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征即可解答．
【解答】解：∵点M（3，m）与点N（n，4）关于x轴对称，
∴n＝3，m＝﹣4，
∴m+n＝﹣4+3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求
出即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
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学科网（北京）股份有限公司15．【答案】见试题解答内容
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
能组成三角形，周长＝3+3+4＝10，
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
能组成三角形，周长＝3+4+4＝11，
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
16．【答案】19．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝6（cm），
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13（cm），
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19（cm），
故答案为：19．
17．【答案】2，﹣1．
【分析】根据线段垂直平分线的性质和两点间的距离公式列方程解出即可求出若点P在线段MN的垂直
平分线上a的值；确定点M关于x轴的对称点M'的坐标，利用待定系数法求出直线M'N的解析式，利
用解析式即可求出当PM+PN取得最小值时a的值．
【解答】解：当点P在线段MN的垂直平分线上时：
有PM＝PN，
∴ ＝ ，
解得a＝2，
当PM+PN取得最小值时：
取M（﹣2，1）关于x轴的对称点M'（﹣2，﹣1），连接M'N交x轴于点P，如图，
设直线M'N的解析式为：y＝kx+b，
将M'（﹣2，﹣1），N（3，4）代入，
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学科网（北京）股份有限公司得 ，
解得 ，
∴直线M'N的解析式为：y＝x+1，
当y＝0时，0＝x+1，
解得x＝﹣1，
∴a＝﹣1．
故答案为：2，﹣1．
18．【答案】1或2或5．
【分析】判断出OP＝OQ再分三种情况讨论，表示出OP，OQ建立方程求解即可．
【解答】解：∵A（5，0），B（0，7），
∴OA＝5，OB＝7，
由题意，OP和OQ是两直角三角形的斜边，当△OPE与△OQF全等时，OP＝OQ，
①当点P在OA上，点Q在OB上时
根据题意可得：t s时，AP＝2t，BQ＝4t，
∴OP＝OA﹣AP＝5﹣2t，OQ＝OB﹣BQ＝7﹣4t，
∴5﹣2t＝7﹣4t，
解得：t＝1；
②当点P，Q都在OA上时，点P，Q重合时，两三角形重合时
∴P点行程为2t，Q点行程为4t，
∴2t+4t＝5+7，
解得：
t＝2；
③当点P在OB上，点Q在OA上且点Q与点A重合时，
OP＝2t﹣5，OQ＝5
∴2t﹣5＝5．
∴t＝5
当△OPE与△OQF全等时，满足题意的t的值为1或2或5．
三.解答题：（共10小题，共46分）
19．【答案】（1）4x9；
（2）6x+13．
【分析】（1）先算积的乘方，再算单项式乘单项式即可；
（2）先算完全平方，平方差，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）（﹣2x）2•x•（x3）2
＝4x2•x•x6
＝4x9；
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学科网（北京）股份有限公司（2）（x+3）2﹣（x+2）（x﹣2）
＝x2+6x+9﹣x2+4
＝6x+13．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】首先得出BC＝EF以及∠B＝∠DEC，进而利用SAS求出△ABC≌△DEF，即可得出答案．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC．
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴AC＝DF（全等三角形对应边相等）．
21．【答案】74°，16°．
【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平
分线，有∠EAC＝ ∠BAC，故∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC．
【解答】解：∵∠B＝38°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC＝ ∠BAC＝36°．
∵AD是高，∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝36°﹣20°＝16°，
∠AEC＝90°﹣16°＝74°．
22．【答案】（1）m2+8m+7，m2+6m+8，＞；
（2）S﹣S 为定值9．
1
【分析】（1）根据长方体的面积的公式以及多项式乘多项式的计算方法即可得出答案；
（2）求出甲长方形的周长，进而求出正方形的边长，表示出正方形的面积后，再计算S﹣S 的值即可．
1
【解答】解：（1）由长方形的面积的计算方法可得，
S ＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7，
1
S ＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8，
2
S ﹣S ＝2m﹣1，
1 2
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
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学科网（北京）股份有限公司即S ＞S ，
1 2
故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8，＞；
（2）甲长方形的周长为（m+7+m+1）×2＝4m+16，
∴周长为4m+16的正方形的边长为 ＝m+4，
∴边长为m+4的正方形的面积S＝（m+4）2＝m2+8m+16，
∴S﹣S ＝（m2+8m+16）﹣（m2+8m+7）＝9．
1
即S﹣S 为定值9．
1
23．【答案】（1）图形见解析，（4，2）；
（2）图形见解析， ．
【分析】（1）根据轴对称变换的性质作出图形即可，再写出点的坐标；
（2）过点A'作AB的垂线交y轴于点E，交AB于点F，则点E和点F的位置即为所求，此时AE+EF取
得最小值，再在△ABA'中根据面积法得出等式求出A'F的长即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求，
∵点C（﹣4，2）与点C'关于y轴对称，
∴C'（4，2），
故答案为：（4，2）；
（2）如图，过点A'作AB的垂线交y轴于点E，交AB于点F，
则点E和点F的位置即为所求，此时AE+EF取得最小值，
∵A（﹣3，﹣1），A'（3，﹣1），B（0，3），
∴AA'＝6，OB＝3，
∵△AA'B的面积＝ ，AB＝5，
∴A'F＝ ，
∴AE+EF最小值是 ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司24．【答案】图形见解答；ODE，OED，等边对等角，ODE，ODE，DG，DG，DG，FOH，全等三角形
对应角相等，FOH．
【分析】根据作图过程利用尺规完成作图，进而完成填空．
【解答】解：如图所示，OH即为所求；
证明：∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED（等边对等角），
∵OC为OB的反向延长线，
∴∠AOB＝∠ODE+∠OED，
即∠ODE＝ ∠AOB．
∵OD＝OH，DO＝DG，
∴OH＝DG．
在△OFH和△DOG中，
，
∴△OFH≌△DOG（SSS），
∴∠FOH＝∠GDO（全等三角形对应角相等），
∴∠FOH＝ ∠AOB．
即OH为∠AOB的角平分线．
故答案为：ODE，OED，等边对等角，ODE，ODE，DG，DG，DG，FOH，全等三角形对应角相等，
FOH．
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学科网（北京）股份有限公司25．【答案】7．
【分析】由“AAS”可证△ADC≌△ADH，可得AC＝AH，CD＝DH＝2，由“HL”可证Rt△ABC和
Rt△AEH，可得BC＝EH＝5，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥DE于H，
∵CD＝2，BD＝3，
∴BC＝5，
∵DA平分∠CDE，∠ACD＝90°，AH⊥ED，
∴∠ADC＝∠ADH，∠C＝∠AHD＝∠AHE＝90°，
在△ADC和△ADH中，
，
∴△ADC≌△ADH（AAS），
∴AC＝AH，CD＝DH＝2，
在Rt△ABC和Rt△AEH中，
，
∴Rt△ABC和Rt△AEH（HL），
∴BC＝EH＝5，
∴DE＝DH+HE＝7．
26．【答案】（1）①作图见解答过程；
②ED＝2BF，理由见解答过程；
（2）30°或52.5°．
【分析】（1）①按要求画出即可；
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学科网（北京）股份有限公司②根据点B关于直线AP的对称点为点D，得到AP垂直平分BD，利用垂直平分线的性质，证明△ACD
为等边三角形，即可得到∠ACD＝60°；连接EB，根据AP垂直平分BD，得到ED＝EB，利用等边对等
角得到∠3＝∠4，利用等腰三角形的性质求出∠3＝∠4＝15°，∠5＝30°，又因为AD＝AC，AB平分
∠DAC，所以AB⊥DC，即可得到EB＝2BF，所以ED＝2BF；
（2）画出图形，分三种情况讨论：当AE＝AF时；当AE＝EF时；当EF＝AF时．
【解答】解：（1）①如图1：
②ED＝2BF，理由如下：
∵B、D关于AP对称，
∴AP垂直平分BD， ＝15°，
∴AD＝AB，∠1＝∠2＝15°，
α
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠1+∠2+∠BAC＝60°，
∵AC＝AB，
∴AC＝AD，
∴△ACD为等边三角形，
连接EB，
∵AP垂直平分BD，
∴ED＝EB，
∴∠3＝∠4，
∵AB＝AD，∠DAB＝30°，
∴∠ADB＝75°，
又∠ADC＝60°，
∴∠3＝∠4＝15°，
∴∠5＝30°，
又AD＝AC，AB平分∠DAC，
∴AB⊥DC，
∴EB＝2BF，
∴ED＝2BF；
（2）如图2，
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学科网（北京）股份有限公司∵AD＝AC，
∴△DAC是等腰三角形，
∴∠ADC＝（180°﹣2 ﹣30°）÷2＝75°﹣ ，
∴∠AEF＝∠ADC+∠DAE＝75°﹣ + ＝75°，
α α
当AE＝AF时，∠EAF＝ ＝180°﹣75°×2＝180°﹣150°＝30°；
α α
当AE＝EF时，∠EAF＝ ＝（180°﹣75°）÷2＝52.5°；
α
当EF＝AF时，∠AEF＝∠EAF＝ ＝75°（舍去）．
α
故答案为：30°或52.5°．
α
27．【答案】证明过程见解答．
【分析】根据题意，分别将6、7和42表示为幂的形式，再根据同底数幂的乘法法则进行计算并证明即
可．
【解答】证明：∵（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42）＝z，
∴2x＝6，2y＝7，2z＝42．
∵2x×2y＝2x+y＝2z＝42，
∴x+y＝z，
∴（2，6）+（2，7）＝（2，42）．
28．【答案】（1）（0，3）；
（2）AM＝2CD，理由见解答过程；
（3）△BPC与△AOB的面积比不会变化，S△PBC ：S△AOB ＝ ．
【分析】（1）过点C作CH⊥y轴于H，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得CH＝BO＝3，可求解；
（2）延长 AB，CD 交于点 N，由“ASA”可证△ADN≌△ADC，可得 CD＝DN，由“ASA”可证
△ABM≌△CBN，可得AM＝CN，可得结论；
（3）如图③，作 EG⊥y轴于 G，由“AAS”可证△BAO≌△CBG，可得 BG＝AO，CG＝OB，由
“AAS”可证△CGP≌△FBP，可得PB＝PG，可得PB＝ BG＝ AO，由三角形面积公式可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠BHC＝90°＝∠ABC，
∴∠BCH+∠CBH＝∠ABH+∠CBH＝90°，
∴∠BCH＝∠ABH，
∵点C的横坐标为﹣3，
∴CH＝3，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH＝BO＝3，
∴点B（0，3）；
故答案为：（0，3）；
（2）AM＝2CD，理由如下：
如图2，延长AB，CD交于点N，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ADN和△ADC中，
，
∴△ADN≌△ADC（ASA），
∴CD＝DN，
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学科网（北京）股份有限公司∴CN＝2CD，
∵∠N+∠BAD＝90°，∠N+∠BCN＝90°，
∴∠BAD＝∠BCN，
在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴AM＝CN，
∴AM＝2CD；
（3）△BPC与△AOB的面积比不会变化，
理由：如图3，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠CBG＝90°，
∴∠BAO＝∠CBG，
在△BAO和△CBG中，
，
∴△BAO≌△CBG（AAS），
∴BG＝AO，CG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝GC，
在△CGP和△FBP中，
，
∴△CGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝ BG＝ AO，
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学科网（北京）股份有限公司∵S△AOB ＝ ×OB×OA，S△PBC ＝ ×PB×GC＝ × AO×BO，
∴S△PBC ：S△AOB ＝ ．
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