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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
初三数学模拟测试
学生须知
1．本卷共8页，满分100分，考试时间120分钟．
2．本卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在本卷上作答无效．
3．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题目用黑色签字笔作答．
4．模拟试卷结束后，答题纸交回．
一、选择题：（本题共16分，每小题2分）
1. 下列城市的地铁图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图
形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁
的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
2. “细颗粒物 ”是指大气中直径小于或等于 米（即2.5微米）的颗粒物， 米是
（ ）
A. 米 B. 2500000米 C. 0.000025米 D. 0.0000025米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于 1的非0小数，用科学记数法写成
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的形式，其中 ，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小
数点前面的0）．
【详解】解： ．
故选D．
3. 将抛物线 向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“上加下减”即可求出平移后抛物线解析式．
【详解】解：根据“上加下减”即可求出向下平移3个单位长后的抛物线解析式为： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线平移问题，熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．
4. 如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A. 1﹣2a＞1﹣2b B. ﹣a＜﹣b C. a+b＜0 D. |a|﹣|b|＞0
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案．
【详解】解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴ ，
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∴ ，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵
∴ ，
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
【点睛】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关
知识．
5. 一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后根据概率的概念即可得到
两枚硬币都是正面朝上的概率．
【详解】同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都
是正面朝上的占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=1÷4= ．
故选：D．
考点：概率的计算．
【点睛】本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果
n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P ．
6. 正六边形的外角和为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角和是 ．根据任何多边形的外角和是 即可求出答案．
【详解】解：∵任意一个多边形的外角和都是 ，
∴正六边形的外角和为 ．
故选：C．
7. 图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度有 与旋转时间 之间的关系如图
②所示．下列说法正确的是（ ）
A. 变量 不是 的函数，摩天轮的直径是65米
B. 变量 不是 的函数，摩天轮的直径是70米
C. 变量 是 的函数，摩天轮的直径是65米
D. 变量 是 的函数，摩天轮的直径是70米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查函数图象，常量和变量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据
函数的定义可以判断变量 是 的函数，）根据图象可以得到摩天轮的直径．
【详解】解：根据图象可得，变量y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，
所以变量y是x的函数；
由图象可得，摩天轮的直径为： ．
故选C．
8. 如图，在矩形 中， ， ，点 在线段 上运动（含 两点），连接 ，
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以点 为中心，将线段 逆时针旋转 到 ，连接 ，则线段 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】如图，以 为边向右作等边 ，作射线 交 于点E，过点D作 于H．利
用全等三角形的性质证明 ，推出 ，推出点Q在射线 上运动，求出 ，可
得结论．
【详解】解：如图，以 为边向右作等边 ，作射线 交 于点E，过点D作 于
H．
是
∵四边形 矩形，
∴ ，
∵ 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
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在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴点Q在与过点F且与 垂直的射线上运动，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴点Q在射线 上运动，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时， 的值最小，最小值为3．
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形
等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射
线 上运动．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
的
9. 若二次根式 实数范围内有意义，则x 取值范围是________．
【答案】x≤ 2
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：由题意得-x+2≥0，
∴x≤2，
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故答案为：x≤2．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关
键．
10. 因式分解： __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，利用完全平方公式 分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
11. 方程 的解是______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．先把分式方程去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解，得到 x的
值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：∵
∴ ，
∴
∴
经检验 是原分式方程的解．
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故答案为：
12. 如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是
_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，先求得 ，在根据平行线的性质即可求得 ．
【详解】如图， ，
，
，
．
故答案为：102°．
【点睛】本题考查了求一个角的补角，平行线的性质，熟悉平行线的性质是解题的关键．
13. 用一个 的值说明命题“若 为实数，则 ”是错误的，这个值可以是 _________．
【答案】
【解析】
【分析】举出一个反例：a＝0，说明命题“若 为实数，则 ”是错误的即可．
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【详解】解：当a＝0时，2a=0，
此时a=2a，
∴命题“若a为实数，则a＜2a”是错误的，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假
命题，只需举出一个反例即可．
14. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，如图，点A，B，C，D均为格点，连接AC，BD相
交于点 ，设小正方形的边长为5，则 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与
性 质 ． 连 接 ， 证 明 ， 则 ， 即 ， 由
，求出 的值，进而可得 的值．
【详解】解：如图，连接 ，
小正方形的边长为 ，
∴ ， ，
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∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
15. 在⊙O中，若弦 垂直平分半径 ，则弦 所对的圆周角等于_________°．
【答案】120°或60°
【解析】
【分析】根据弦 垂直平分半径 及OB=OC证明四边形OBAC是矩形，再根据OB=OA，OE= 求出
∠BOE=60°，即可求出答案.
【详解】设弦 垂直平分半径 于点E，连接OB、OC、AB、AC，且在优弧BC上取点F，连接BF、
CF，
∴OB=AB，OC=AC，
∵OB=OC，
∴四边形OBAC是菱形，
∴∠BOC=2∠BOE，
∵OB=OA，OE= ,
∴cos∠BOE= ，
∴∠BOE=60°，
∴∠BOC=∠BAC=120°，
∴∠BFC= ∠BOC=60°，
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∴ 弦 所对的圆周角为120°或60°，
故答案为：120°或60°.
【点睛】此题考查圆的基本知识点：圆的垂径定理，同圆的半径相等的性质，圆周角定理，菱形的判定定
理及性质定理，锐角三角函数，熟练掌握圆的各性质定理是解题的关键.
16. 级数学活动中，有小菲、小冬、小敏三位同学进入最后冠军的角逐．决赛共分为六轮，规定：每
轮分别决出第一二三名（不并列），对应名次的得分分别为 （ ，且 均为正整数）；选
手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军，下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分
小菲 26
小冬 12
小敏 10
根据表中信息可得，每轮比赛第二名得分为______分，小敏恰有______轮获得第二名．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据“每轮分别决出第一二三名（不并列）”及“小菲的得分最高为 ”可计算出 的值．
假设小敏有一轮获得第一，分析三人的实际得分情况即可求解．
【详解】解：∵每轮分别决出第一二三名（不并列）
∴
∴
∵小菲的得分最高为
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∴
∵ ，且 均为正整数
∴ 的最小值分别为
∴
故
为
所以每轮比赛第二名得分 分；
∵
∴小菲 轮得第一， 轮得第三
设小敏有一轮获得第一，则小敏的得分至少为： （分）
与小敏的实际得分不符合
故小敏没有一轮得第一，小冬有一轮获得第一
∵ （分）
即小冬剩余未知的三轮总分为4分，
∴剩下三轮只能是1轮第二，2轮第三，
∴小冬 轮得第一， 轮得第二， 轮得第三，
又∵小菲 轮得第一， 轮得第三，三人第一、第二和第三的总数都是6，
∴小敏 轮得第二， 轮得第三
故答案为：
【点睛】本题考查了不定方程在实际问题中的应用．合理假设是解题关键．
三、解答题（本题共68分，第17～29题每小题5分，第20～21题每小题6分，第22～24题
每小题5分，第25题6分，第27～28题，每小题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
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【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握运算
法则是解答本题的关键．先根据二次根式的性质，零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减即可．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组： ，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先
分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画
数轴表示即可．
【详解】解： ，
解①得 ，
解②得 ，
∴ ，
如图，
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】5.
【解析】
【分析】先将 化为 ，再对代数式进行化简，将 整体代入即可.
【详解】解：∵ ，
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∴ .
原式
.
【点睛】本题考查整式的混合运算，代数式求值——已知式子的值，求代数式的值.在化简过程中掌握
单项式乘多项式法则和平方差公式是解题关键，在代入值的过程中掌握整体思想，能整体代入是解题关键.
20. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝
∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）24
【解析】
【分析】（1）根据题意可证明 ，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为
平行四边形”证明即可；
（2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件
求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：在 AOE 和 COD中，
△ △
∴ ．
∴OD＝OE．
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又∵AO＝CO，
∴四边形AECD 是平行四边形．
（2）∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO为AC的垂直平分线， ．
∴平行四边形 AECD是菱形．
∵AC＝8，
．
在 Rt COD 中，CD＝5，
△
，
∴ ，
，
∴四边形 AECD 的面积为24．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面
积计算公式是解题关键．
21. 学校准备利用操场开元旦晚会，师生坐在足球场区域，已知足球场宽度为72m（观众席不一定要占满
球场宽度），其他三边利用总长为140m的移动围栏围成一个矩形的观众席，并在观众席内按行、列，摆
放单人座椅，要求每个座位占地面积为1m2（如图所示），且观众席内的区域恰好都安排了座位.
（1）若观众席内有x行座椅，用含x的代数式表示每行的座椅数，并求x的最小值；
（2）若全校师生共2400人，那么座位够坐吗？请说明理由.
【答案】（1）140−2x，x的最小值为34；
（2）全校师生共2400人，座位够坐，理由见详解
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【解析】
【分析】（1）根据题意列代数式，列出不等式140−2x≤72，则可得出答案；
（2）设观众席内的座位数为y，由题得y＝x（140−2x），其中34≤x＜70，其中x为整数，由二次函数的
性质得出y的最大值为2450，则可得出结论．
【小问1详解】
解：解：由题意可得每行的座椅数为：140−2x，
∵足球场宽度为72m，且每个座位为占地面积1 的正方形，
∴140−2x≤72，
解得x≥34，
∴x的最小值为34；
【小问2详解】
解：设观众席内的座位数为y,
由题意得：y＝x（140−2x），其中34≤x＜70，其中x为整数，
所以 ＝ ，
所以y的最大值为2450，
因为2400＜2450，
所以全校师生共2400人，座位够坐．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，二次函数的应用，找准等量关系，正确列出二次函数是解题
的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与函数y （x＞0）的图象交于点A
（3，2）．
（1）求k，m的值；
（2）将直线l沿y轴向上平移t个单位后，与y轴交于点C，与函数y （x＞0）的图象交于点D．
①当t＝2时，求线段CD的长；
②若 CD≤2 ，结合函数图象，直接写出t的取值范围．
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【答案】（1）k＝2，m＝6；（2）①CD＝2 ；②2≤t≤6．
【解析】
【分析】（1）将点A分别代入y＝kx−1（k≠0）与函数y ，即可求出k、m的值；
（2）①求出当t＝2时直线解析式，代入函数 中，整理得，x（x＋1）＝6，解方程求出点D的坐标，
即可求出CD的长；②观察图象解答即可．
【详解】解：（1）将点A（3，2）的坐标分别代入y＝kx﹣1和y 中，得
2＝3k﹣1， ，
∴k＝2，m＝3×2＝6；
（2）①∵直线y＝kx﹣1与y轴交于点C（0，﹣1），
∴当t＝2时，C（0，1）．
此时直线解析式为y＝x+1，代入函数 中，整理得，x（x+1）＝6，
解得x＝﹣3（舍去），x＝2，
1 2
∴D（2，3），
∴CD＝2 ．
②当 时，点C的坐标为（0，6），
∴2≤t≤6．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问
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题是本题的关键．
23. 某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩
如下（单位：分）：整理、分析过程如下，请补充完整．
（1）按如下分数段整理、描述这两组数据：
成绩x
70≤x≤74 75≤x≤79 80≤x≤84 85≤x≤89 90≤x≤94 95≤x≤100
学生
甲 ______ ______ ______ ______ ______ ______
乙 1 1 4 2 1 1
（2）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学生 极差 平均数 中位数 众数 方差
甲 ______ 83.7 ______ 86 13.21
乙 24 83.7 82 ______ 46.21
（3）若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选______（填“甲”或“乙），理由为______．
.
【答案】（1）0，1，4，5，0，0；（2）14，845，81；（3）甲，理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据折线统计图数字进行填表即可；
(2)根据稽查，中位数，众数的计算方法，求得甲成绩的极差，中位数，乙成绩的极差，众数即可；
(3)可分别从平均数、方差、极差三方面进行比较．
【详解】(1)由图可知：甲的成绩为：75，84，89，82，86，81，86，83，85，86，
∴70 x 74无，共0个；
75 x⩽7⩽9之间有75，共1个；
80⩽x⩽84之间有84，82，81，83，共4个；
⩽ ⩽
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85 x 89之间有89，86，86，85，86，共5个；
90⩽x⩽94之间和95 x 100无，共0个．
故⩽答案⩽为0；1；4；⩽5；⩽0；0；
(2)由图可知：甲的最高分为89分，最低分为75分，极差为89−75=14分；
∵甲的成绩为从低到高排列为：75，81，82，83，84，85，86，86，86，89，
∴中位数为 （84＋85）＝84.5；
∵乙的成绩为从低到高排列为：72，76，81，81，81，83，87，89，91，96，
81出现3次，乙成绩的众数为81．
故答案为14；84.5；81；
（3）甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定；两人的平均数相同且甲的极差
小于乙，说明甲成绩变化范围小．
或：乙，理由：在90≤x≤100的分数段中，乙的次数大于甲．（答案不唯一，理由须支撑推断结论）
故答案为甲，两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定．
【点睛】此题考查折线统计图，统计表，平均数，中位数，众数，方差，极差，解题关键在于掌握运算法
则以及会用这些知识来评价这组数据．
24. 我国是世界上最早发明历法的国家之一，《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，
定四时，如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆，正午，表的日影（即
表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型，如图2，地面上放置一根长2米的杆 ，向正北方向画一
条射线 ，在 上取点 ，测得 ， ．
（1）判断：这个模型中 与 是否垂直．答：______（填“是”或“否”）；你的理由是：______．
（2）利用这个圭表模型，测定某市冬至正午阳光与日影夹角 ，夏至正午阳光与日影夹角为 ，请求
出这个模型中该市冬至与夏至的日影的长度差（结果保留根号）．
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【答案】（1）是； ，由勾股定理的逆定理可知 ．
（2）该市冬至与夏至的日影的长度差为 ．
【解析】
【分析】本题考查的勾股定理的逆定理的应用，解直角三角形的应用，理解题意是解本题的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）先画图，利用三角函数再计算 ， ，从而可得答案．
【小问1详解】
解：是，
理由：由测量结果可知得 ， ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案是：是； ，由勾股定理的逆定理可知 ．
【小问2详解】
如图，由题意可得： ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
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同理： ，
∴ ，
∴ ；
∴该市冬至与夏至的日影的长度差为 ．
25. 如图， 中， ，以 为直径的 交 于点 ，点 在 上，
，的延长线交于点 ．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 的半径为3， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OE，OC，通过三角形求得证得∠OEC=∠OAC，从而证得OE⊥CF，即可证得结论；
（2）根据勾股定理求得OF，解直角三角形求得 ．进而求得AC=6，从而求得△ABC是等
腰直角三角形，根据勾股定理求得BC，然后根据等腰三角形三线合一的性质求得DB即可．
【详解】证明：连接
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在 与 中，
于
与 相切
（2）解：连接 ， ，
． 的半径为3， ．
在 中， ，
在 中， ，
为直径， ．
．在 中， ，
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．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形等，
作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
26. 已知二次函数 的图象经过点 ．
（1）若该二次函数图象与 轴的一个交点是 ．
①求二次函数的表达式：
②当 时，函数最大值为 ，最小值为 ．若 ，求t的值；
（2）对于该二次函数图象上的两点 ，当 时，始终有 ．求
的取值范围．
【答案】（1）① ；② 的值为 ；
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）①利用待定系数法求二次函数解析式；
②利用配方法得到 ，则抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，再利用
得 ，所以 ，根据二次函数的性质，当 时， 时，函数有最小值
，当 或 时，函数有最大值，即 ，则 ，然后解方程即
可；
（2）先利用二次函数 的图象经过点 得到 ，则可求出抛物线的对称轴为直线
，根据二次函数的性质，点 到对称轴的距离大于或等于 点到对称轴的距离，即 ，
解得 或 ，然后利用 得到 或 ，从而得到 的范围．
【小问1详解】
解：①把 分别代入
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得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
②∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴当 时， 时，函数有最小值-4，即N=-4，
当 或 时，函数有最大值，即 ，
∵ ，
∴ t2-2t-3-（-4）=3，
解得 （舍去）， ，
∴ 的值为 ；
【小问2详解】
∵二次函数 的图象经过点（ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，抛物线的对称轴为直线 ，
∵ 在抛物线上，且 ，
∴点 到对称轴的距离大于或等于 点到对称轴的距离，
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∴ ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 或 ，
解得 或 ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，一元二次方程和不等式组解法，
熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
27. 如图，在四边形 中， ， ， ，作 ，使得点 和点
在直线 异侧，连接 ，将射线 绕点 逆时针旋转90°交射线 于点 ．
（1）①依题意，补全图形；
②证明： ．
（2）连接 ，若 为线段 的中点，连接 ，请用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证
明．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】 （1）①根据题意补全图形即可；②根据旋转性质和全等三角形的判定证明
即可证得结论；
（2）延长 至H，使 ，连接 ， ，先证明 ，得到 ，
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，进而证得 ，再证明 ，得到
，在 中，利用勾股定理即可得出结论．
【小问1详解】
解：①根据题意，补全图形如图所示；
②证明：由旋转性质得 ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ．
证明：延长 至H，使 ，连接 ， ，
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∵ 为线段 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
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在
中， ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理，添加适当辅助线构造全等三角形求
解是解答的关键．
28. 对于平面内的点 和点 ，给出如下定义：
若点 是点 绕点 旋转所得到的点，则称点 是点 关于点 的旋转点；若旋转角小于 ，则称点
是点 关于点 的锐角旋转点．如图1，点 是点 关于点 的锐角旋转点．
（1）已知点 ，在点 中，是点 关于点 的
锐角旋转点的是______．
（2）已知点 ，点 在直线 上，若点 是点 关于点 的锐角旋转点，求实数 的取值
范围；
（3）点 是 轴上的动点， ，点 是以 为圆心，3为半径的圆上一个动点，
且满足 ．若直线 上存在点 关于点 的锐角旋转点，请直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ， ．
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点 以及 轴上的点），点 ， 满足条件．
（2）如图中，以 为圆心，3为半径作半圆，交 轴于 ， 当直线 与半圆有交
点（不包括 ， 时，满足条件．
（3）根据题意，点 关于点 的锐角旋转点在半圆 上，设点 在半圆 上，点 在半圆 上（将半圆
绕点 旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，求出图3（2），图3（3）中，
的值，可得结论．
【小问1详解】
解：如图， ， ，
， ，
点 不是点 关于点 的锐角旋转点；
，作 轴于点 ，
，
，
，
点 是点 关于点 的锐角旋转点；
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，作 轴于点 ，
则 ，
，
，
，
不是点 关于点 的锐角旋转点；
，作 轴于点 ，
则 ，
，
，
是点 关于点 的锐角旋转点；
综上所述，在点 ， ， ， 中，是点 关于点 的锐角旋转点的是 ， ，
故答案为： ， ．
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【小问2详解】
解：在 轴上取点 ，当直线 经过点 时，可得 ，
当直线 经过点 时，则 ，
解得： ，
当 时， 绕点 逆时针旋转锐角时，点 一定可以落在某条直线 上，
过点 作 直线 ，垂足 在第四象限时，如图，
则 ， ，
，
当 时， 取得最小值，
，
，
．
【小问3详解】
解：根据题意，点 关于点 的锐角旋转点在半圆 上，设点 在半圆 上，点 在半圆 上（将半圆
绕点 旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，
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如图3（2）中，阴影部分与直线 相切于点 ， ， ，过点 作
轴于点 ，过点 作 于点 ，
，
，
， ，
，
，
，即 ，
解得 ，
如图3（3）中，阴影部分与 相切于点 ， ， ，则 ，
，
，
解得 ，
观察图象可知， ．
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【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形，解直角三角形，勾股定理，点
是点 关于点 的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决
问题，属于压轴题．
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