文档内容
东城区 2021-2022 学年第一学期期末统一检测
初三数学
一、选择题（每题2分，共16分）
1. 一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，1，5 B. 2，1，－5 C. 2，0，－5 D. 2，0，5
2. 下列四个图形中，为中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
.
3. 将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系xOy中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. （2，－3） B. （－2，3） C. （3，2） D. （－2，－3）
5. 用配方法解方程x2＋4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A. (x＋2)2＝5 B. (x＋2)2＝2 C. (x－2)2＝5 D. (x－2)2＝2
6. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“ ”（图中虚线）的下方，
“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“ ”
上方的概率是（ ）
A. B. C. D.
的
7. 如图，PA，PB是⊙O 切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为
（ ）.
A 70° B. 50° C. 20° D. 40°
的
8. 如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度 速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A
为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y
与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 一次函数关系，正比例函数关系
C. 一次函数关系， 二次函数关系 D. 正比例函数关系，二次函数关系
二、填空题 (每题2分，共16分）
9. 抛物线 的顶点坐标是_________．
10. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个根为1，则m的值为_______．
11. 写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________．
12. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同
的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复
上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析
可以推断“摸出黑球”的概率约为_______．
13. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平
均增长率为x，则可列方程为________．
14. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE=110°，∠B=40°，则∠C的度数为________．
15. 斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）
焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆
与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．
16. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，
AE，DF交于点 P，则∠APD的度数为______ ；连接CP，线段CP长的最小值为_______．
三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）
17. 解方程： ．18. 如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB
的长．
19. 下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.
已知：⊙O.
求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.
作法：如图，
①作直径AB；
②分别以点A, B为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧交于M 点；
③作直线MO交⊙O于点C，D；
④连接AC，BC．
所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.
根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.证明：连接MA，MB．
∵MA=MB，OA=OB，
∴MO是AB的垂直平分线．
∴AC= ．
∵AB是直径,
∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ．
∴△ABC是等腰直角三角形．
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中， OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0）， B（4，－3），
将 OAB绕点O顺时针旋转90°得到 O△A′B′，点A旋转后的对应点为A´．
（△1）画出旋转后的图形 OA′B′，并△写出点A′ 的坐标；
△
（2）求点B经过的路径 的长（结果保留π）.
22. 2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿
者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中
随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是______ 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
的
（2）用画树状图或列表 方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．
23. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求 的取值范围．
24. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD，小花
园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB边的长为 m，面积为
ym2．
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）当 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
25. 如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，PC＝ ，求线段AB的长．
26. 在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线 上．
（1）若m＝0，求该抛物线的对称轴；（2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线 ，
①直接写出 的取值范围；
②已知点（－1，y），（ ，y），（3，y）在该抛物线上．比较y，y，y 的大小，并说明理由．
1 2 3 1 2 3
27. 如图，在等边三角形ABC中，点P为 ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A 顺时针旋
△
转60°得到 ，连接 ．
（1）用等式表示 与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，
①直接写出 的度数为 ；
②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于
直线l对称，可以得到⊙O的弦A´B´（A´，B´分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l
对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段 是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．（1）如图2， 的横、纵坐标都是整数．
①在线段 中，⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”是_______；
②若线段 中，存在⊙O的关于直线y＝－x＋m对称的“关联线段”，则 ＝ ；
（2）已知直线 交x轴于点C，在 ABC中，AC=3，AB=1，若线段AB是⊙O的关于
△
直线 对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．
