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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北师大实验中学 2023—2024 学年度第二学期初一年级数学期中考试试
卷
试卷说明：
1.本试卷考试时间为100分钟，总分数为120分．
2.本试卷共8页，四道大题，31道小题．
3.请将答案都写在答题纸上．
4.一律不得使用涂改液及涂改带，本试卷主观试题铅笔答题无效．
5.注意保持卷面整洁，书写工整．
A卷
一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）
1. 5的平方根是（ ）
A. 25 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平方根的定义，关键在于牢记定义，注意平方根与算术平方根的区别．根据平方根定义
求出即可．
【详解】解：5的平方根是 ，
故选：C．
2. 在平面直角坐标系中，点 在第（ ）象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查判断点所在的象限．熟练掌握象限内点的符号特征，第一象限 ，第二象限 ，
第三象限 ，第四象限 ，是解题的关键．根据象限内点的符号特征，进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
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∴点 在第四象限，
故选D．
3. 下列命题中，错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 且 ，则
C. 若 且 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质判断即可．
【详解】解：对于A选项，若 ，则 ，正确，不符合题意；
对于B选项，若 且 ，则 ，正确，不符合题意；
对于C选项，若 且 ，则 ，正确，不符合题意；
对于D选项，当 ， ， ，则 ，错误，符合题意；
故选D．
4. 如图，直线 直线 ，与 相等的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，由 ，得到 ，又因为 ，所以
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，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
5. 北京大兴国际机场采用“三纵一横”全向型跑道构型，可节省飞机飞行时间，遇极端天气侧向跑道可提
升机场运行能力．跑道的布局为：三条南北向的跑道和一条偏东南走向的侧向跑道．如图，侧向跑道
在点O的南偏东 的方向上，则点A在点B的（ ）的方向上．
A. 南偏东 B. 南偏西 C. 北偏西 D. 北偏东
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查方位角的定义，熟练掌握方位角的定义是解题的关键．
根据方位角的定义解答即可．
【详解】解： 在点O的南偏东 的方向上，
点A在点B的北偏西 的方向上，
故选C．
6. 若 是关于 、 的方程组 的解，则有序数对 是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，把 代入原方程组，得到关于 、
的方程组，解方程组即可．解题关键是明确方程解的概念，熟练的解二元一次方程组．
【详解】解：把 代入方程得： ，
解得： ，
故选：A．
7. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 同旁内角相等，两直线平行
B. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
C. 如果两个角互补，那么这两个角互为邻补角
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行公理，点到直线的距离，邻补角的定义，平行线的判定，熟练掌握有关定理是解题
的关键．根据平行公理，点到直线的距离，邻补角的定义，平行线的判定逐一分析即可．
【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行，原说法错误，不符合题意；
B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，正确，符合题意；
C、如果两个角互补，那么这两个角互为邻补角，错误，不符合题意；
D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
8. 不等式组 的解集为 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】根据不等式组的解集“大大取大”的原则确定a的取值范围
【详解】解：由题意可得
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法及步骤是解题的关键．
9. 某种商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于 的售价打折出售．设商店在标
价的基础上打x折出售商品，那么x满足的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式 的应用，读懂题意是解题关键．
根据题意列出不等式即可．
【详解】解：根据题意可得： ，
故选B．
10. 在平面直角坐标系中，对于点 ，若点Q的坐标为 ，则称点Q为点P的“单
向2倍点”．例如：点 的“单向2倍点”为 .如图，正方形 四个顶点分别为 、
、 、 ，则正方形 的边上及内部所有点的“单向2倍点”组成的图形是
（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查新定义单向2倍点，理解单向2倍点的定义是解题的关键．
根据单向2倍点的定义分别找出正方形 四个顶点的单向2倍点即可得出答案．
【详解】解： 正方形 四个顶点分别为 、 、 、 ，
的单向2倍点为 ， 的单向2倍点为 ， 的单向2倍点为 ，
的单向2倍点为 ，
故正方形 的边上及内部所有点的“单向2倍点”组成的图形为：
故选C．
二、填空题（本大题共10道小题，每小题2分，共20分）
11. 写出一个2到3之间的无理数______．
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【答案】答案不唯一，如：
【解析】
【详解】无理数是无限不循环小数，本题答案不唯一，只要在 2到3之间的无理数都可，例如： .故答
案为 （答案不唯一，符合要求即可）.
12. 已知： ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查算术平方根的非负性，结合已知条件求得 的值是解题的关键．
根据算术平方根的非负性确定 的值，再将其代入 中计算即可．
【详解】解：∵ ，
，
解得： ，
则 ，
故答案为： ．
13. 能说明“如果 ，那么 ”是假命题的反例是： ____， ____．
【答案】 ①. ； ②. ．
【解析】
【分析】本题考查了举反例，举一组例子说明 时有 即可求解，掌握举反例的定义是解题的关
键．
【详解】解：要说明“如果 ，那么 ”是假命题，只需要举一组例子说明 时有 就
可以，
当 ， 时，有 ，但 ，
∴ ， 是假命题的反例，
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故答案为： ； ．
14. 图中用五角星标记了北京师范大学附属实验中学的本校、国际部、初二校区、初三校区的旗杆的位置．
如果初二校区旗杆的坐标为 ，国际部旗杆的坐标为 ，那么初三校区旗杆的坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标确定位置，确定出坐标原点的位置是解题的关键．
根据初二校区旗杆的坐标为 ，国际部旗杆的坐标为 ，建立平面直角坐标系，然后找出初三
校区旗杆的坐标即可．
【详解】解：根据初二校区旗杆的坐标为 ，国际部旗杆的坐标为 ，建立平面直角坐标系，
如图所示：
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由图可得初三校区旗杆的坐标为 ，
故答案为： ．
15. 已知： ， ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了当被开方数的小数点每移动两位，那么其算术平方根的小数点也相应的移动一位，熟
练掌握此知识点是解题的关键．根据当被开方数的小数点每移动两位，那么其算术平方根的小数点也相应
的移动一位，由此即可确定 的值．
【详解】解： ，
．
故答案为： ．
16. 在平面直角坐标系中，点 在x轴上，则m的值为____．
【答案】2
【解析】
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【分析】根据平面直角坐标系中的点在x轴的特点纵坐标为0来求解．
【详解】解：∵点 在x轴上，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了在坐标上点的坐标特征，理解点在坐标轴上的坐标特征是解答关键．
17. 如图，已知OA⊥OB，， BOC=40°，OD平分 AOC，则 BOD=________．
【答案】25°
【解析】
【分析】根据题意：因为OD平分∠AOC，可以先求∠AOC，再求∠COD，利用角的和差关系求∠BOD的
度数．
【详解】解：∵OA⊥OB，∠BOC=40°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠AOC÷2=65°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=25°．
故答案为：25°．
【点睛】本题主要考查了垂线和角平分线的定义，难度较小．
18. 光从一种透明介质斜射入另一种透明介质时，传播方向一般会发生改变．如图，两束平行的光线从烧
杯底部斜射入水面，然后折射到空气中，由于折射率相同，射入空气后的两束光线也平行．若 ，
，则 ________°， ________°．
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【答案】 ①. 45 ②. 58
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、同位角以及同旁内角，解题的关键是：①能够找出一个角的同
位角以及同旁内角；②熟悉各平行线的性质．
根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：45；58．
19. 在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ， 轴，且 ，则点 的坐标为_______．
【答案】 或
【解析】
【分析】此题考查坐标与图形，在平面直角坐标系中与 轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求 点纵
坐标；与 轴平行，相当于点 左右平移，可求 点横坐标，掌握平面直角坐标系内点的坐标特定，利用
数形结合和分类讨论思想解题是关键．
【详解】解： 轴，
点 纵坐标与点 纵坐标相同，为1，
，
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当点 位于点 右侧时，点 的横坐标为 ；
当点 位于点 的左侧时，点 的横坐标为 ，
点坐标为 或 ．
故答案 ：为或 ．
20. 在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发移动：当其所在位置的横、纵坐标之和是3的倍数时就向
右平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余1时就向上平移一个单位长度；当其所在
位置的横、纵坐标之和除以3余2时就向下平移两个单位长度．即起点坐标为 ，第一次平移到 ，
第二次平移到 ，第三次平移到 ，……，这个动点第2024次平移到_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查点的坐标规律问题，熟练找到点的坐标规律是解题的关键．
根据题意找出点的坐标规律即可得出答案．
【详解】解：第一次平移到 ，第二次平移到 ，第三次平移到 ，第四次平移到 ，
第五次平移到 ，第六次平移到 ，第七次平移到 ，第八次平移到 ，第九次平移
到 ，……，由此可得每三次得到一个循环，
，
第2024次平移到 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共50分，第21、22题各8分，第23题5分，第24题7分，第25、26
题各4分，第27、28题各7分）
21. （1）计算： ；
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（2）解方程组： ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算算术平方根、立方根及绝对值，再进行实数的混合运算即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查实数的混合运算、算术平方根、立方根、绝对值及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题
的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
，得： ，
解得 ，
把 代入①，得： ，
解得 ，
∴原方程组的解为 ．
22. （1）解不等式 ，并在数轴上表示解集；
（2）求不等式组 的整数解．
【答案】（1） ，在数轴上表示解集见解析；（2）整数解为
【解析】
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【分析】本题考查解一元一次不等式及不等式组，在数轴上表示不等式的解集，不等式的整数解．
（1）根据解一元一次不等式 步的骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解，再在
数轴上表示解集即可；
（2）先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，进而可得整数解．
【详解】（1）解：
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项并合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
该不等式的解集在数轴上表示为：
（2）解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
把不等式①和②的解集在数轴上表示为
∴原不等式组的解集为 ．
又∵ 是整数，
∴ ．
23. 如图，点 在 的边 上，按要求作图并回答问题：
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（1）过点 作 边的垂线 ；
（2）过点 作 边的垂线段 ；
（3）过点 作 的平行线交直线 于点 ；
（4）比较 、 、 三条线段的长度，并用“＞”连接：__________，得此结论的依据是
_____________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4） ；垂线段最短
【解析】
【分析】该题主要考查了-基本作图，垂线，平行线的判定，以及线段比较大小，解题的关键是理解题意．
（1）根据题意作图即可；
（2）根据题意作图即可；
（3）根据题意作图即可；
（4）根据垂线段最短判断即可；
【小问1详解】
如图，垂线 即为所求；
【小问2详解】
如图，线段 即为所求；
【小问3详解】
如图， 即为所求；
【小问4详解】
根据图象即可得出： ；
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得此结论的依据是：垂线段最短．
24. 已知：如图， ， ， 平分 ， ， ，求 的大
小.
解： ， ，
．
， ，
．
又 ，
，
．
平分 ，
．
【答案】 ； 两直线平行，内错角相等； ； 平行于同一直线的两直线平行；
； ；
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
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先根据两直线平行，内错角相等得出 ，再根据平行于同一直线的两直线平行得出
，最后根据角平分线的定义和角的等量关系即可得出答案．
【详解】解： ， ，
（两直线平行，内错角相等），
， ，
（平行于同一直线的两直线平行），
又 ，
，
．
平分 ，
．
．
25. 如图，在平面直角坐标系中，三角形 的三个顶点的坐标分别为 ， ，
．将三角形 向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形 ，其
中点 ， ， 分别为点 ， ， 的对应点．
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（1）请在所给坐标系中画出三角形 ，点 的坐标为_______；
（2）若 边上一点 经过上述平移后的对应点为 ，则点 的坐标为_______；（用含 、 的
式子表示）
（3）三角形 的面积是_______．
【答案】（1）画图见解析，
（2）
（3）12
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形：
（1）根据所给的平移方式确定A、B、C对应点 的坐标，在坐标系中描出 ，再顺
次连接 即可；
（2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可；
（3）根据三角形面积计算公式结合网格的特点进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求，
∴点 的坐标为 ；
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【小问2详解】
解：∵将三角形 向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形 ， 边上
一点 经过上述平移后的对应点为 ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解： ．
26. 已知：如图， ， ， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线的性质求出 ，求出
，推出 ，根据平行线的判定推出即可．注意：平行线的性质是：①两直线
平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
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【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
27. 列方程（组）或不等式（组）解应用题：
为了更好地治理流溪河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的
设备，其中每台设备的价格、月处理污水量如下表：
A型 型
价格（万元/台）
处理污水量（吨/月） 240 200
经调查：购买一台A型设备比购买一台 型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台 型设备少6万
元．
（1）求 、 的值；
（2）如果每月要求处理流溪河两岸污水量不低于2040吨，并且市治污公司购买污水处理设备的资金不超
过105万元，求该公司最省钱的设备购买方案．
【答案】（1）
（2）选择购买 型设备1台、 型设备9台最省钱
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意
的不等关系式及所求量的等量关系，同时要注意分类讨论思想的运用．
（1）根据“购买一台 型设备比购买一台 型设备多2万元，购买2台 型设备比购买3台 型设备少6
万元”即可列出方程组，继而进行求解；
（2）因为每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，可列不等式，再根据市治污公司购买污水处
理设备的资金不超过105万元，列不等式，解不等式组即可由 的值确定方案，然后进行比较，作出选择．
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【小问1详解】
解：根据题意，得： ，解得 ；
【小问2详解】
解：设公司购买 型设备 台.
根据题意，得： ，解得
∴公司可购买 型设备1台、 型设备9台或 型设备2台、 型设备8台.
∵ 型设备比 型设备贵，
∴ 型设备应尽量少购买，
故选择购买 型设备1台、 型设备9台最省钱.
28. 将两副三角板 、 按图1方式摆放，其中 ， ，
， 、 分别在直线 、 上，直线 ．
（1）从图1的位置开始，保持三角板 不动，将三角板 绕点 以每秒 的速度顺时针旋转（如
图2，运动过程中，三角板任意两边所在直线均不重合）．设旋转时间为 秒，且 ．
①当边 与边 平行时， _______；
②当边 与边 平行时，求所有满足条件的 的值．
（2）从图1的位置开始，将三角板 绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，同时三角板 绕点 以
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每秒 的速度顺时针旋转（如图3，运动过程中，三角板任意两边所在直线均不重合）．设旋转时间为
秒，且 ．当 与 垂直时， ______．
【答案】（1）①15或105；② 或172.5
（2）165
【解析】
【分析】（1）①延长 交 于点P，则 ，然后根据平行线的性质求出旋转角，
然后计算时间即可；②延长 交 于点 ，过点 作 ，则 ，然后根
据平行线的性质求出旋转角，然后计算时间即可；
（2）由旋转可得 ， ，设 于点P，过P点作 ，
过点E作 ，即可得到 ，计算得到
，然后根据 解题即可．
【小问1详解】
①解：延长 交 于点P，则 ，
当 时，如图，则 ，
∴ ；
如图， ，
∴旋转角为 ，即旋转时间为 ；
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故答案为： 或 ；
②如图，延长 交 于点 ，过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴旋转时间为 ；
如图，由上题解答可得： ， ，
∴
∴旋转角度为 ，时间为 ；
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综上所述，当 或 时，边 与边 平行；
【小问2详解】
如图，由旋转可得： ， ，
∴ ，
，
设 于点P，过P点作 ，过点E作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
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故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质、添加恰当的辅助线、采用分类讨
论的思想解决问题．
B卷
四、填空题（本卷共20分，第29、30题每题6分，第31题8分）
29. （1）关于 的不等式 有________个整数解；
（2）若关于 的不等式组 （ 为常数，且为整数）恰有5个整数解，则 的取值为
________；
（3）若关于 的不等式 （ 和 为常数，且为整数）恰有6个整数解，则共有________
组满足题意的 和 ．
【答案】 ①. 4 ②. 2 ③. 4
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式，不等式组的整数解问题，解一元一次方程，正确理解题意，熟练掌
握知识点是解题的关键．
（1）直接找出 的范围内的整数即可；
（2）先求出不等式组的解集为 ，满足题意得 ，解方程即可；
（3）由题意得： ，化简得到 ，由于 和 为常数，且为整数，分类讨论即可．
【详解】（1）解：在 的范围内整数为 ，
∴有4个，
故答案为：4．
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（2）解：
由①得： ；
由②得： ，
则不等式组的解集为： ，
∵方程组恰有5个整数解，
∴ ，
解得： ，
故答案为：2．
（3）解：由题意得： ，
化简得： ，
∵ 和 为常数，且为整数，
∴只有 或 ，
∴有 ，
∴有4组满足题意的 和 ，
故答案为：4．
30. 定义“[ ]”是一种取整运算新符号，即 表示不超过 的最大整数．例如： ， ．
（1）请计算： _______， _______；
的
（2）若 和 满足方程 ，则当 时，请直接写出 取值范围：________；
（3）在平面直角坐标系中，如果坐标为 的点都在第一象限，且满足 ，则所有符合条件
的点 所构成图形面积为_______．
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【答案】 ①. 1 ②. ③. ④. 4
【解析】
【分析】本题考查了取整函数的定义，根据定义正确列出不等式是解题的关键．
（1）根据取整函数的定义即可求解；
（2）根据取整函数的定义即可求解；
（3）根据取整函数的定义即可求解．
【详解】解：（1） 表示不超过 的最大整数，
∵ ，故 ；
∵ 表示不超过 的最大整数，故 ，
故答案为： ；
（2） ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
（3）∵ 的点都在第一象限，
∴ ，
又∵ ， 都是整数，
或 或 或 ，
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则所有符合条件的点 所构成图形如图所示，
故所有符合条件的点 所构成图形面积 ．
故答案为：4．
31. 平面直角坐标系中，从点 分别向 轴、 轴作垂线，两条垂线分别与坐标轴交于点 ， ，与
一、三象限角平分线交于 ， ，则记点 的长度差为 ，例如
．
（1）请直接写出： _____， ______；
（2）若点 的长度差 ，则 ______；
（3）若整点 的长度差 ，且 ， ，则所有满足条件的整点共有_____个．
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【答案】（1）1，1 （2）
（3）36
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，两点之间的距离，熟练
掌握知识点是解题的关键．
（1）先证明出 ，再根据新定义即可求解；
（2）根据新定义得到 ，分类讨论解方程即可；
（3）分类讨论，根据 ，且 ， 这些范围，列举出所有的情况即可．
【小问1详解】
解：如图，
∵直线 是第一、三象限角平分线，
∴ ，
∵点 向 轴作垂线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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同理 ，
故答案为：1，1．
【小问2详解】
解：由题意得： ，
则 或
解得 或 （舍），
∴ ，
故答案为： ．
【小问3详解】
解：当点P在第一象限及坐标轴时，则 ，
由 得： ，
∴满足题意得点有 ，
共12个；
当点P在第二象限及坐标轴时，则 ，
由 得： ，
∴满足题意的点有 共9个；
当个点P在第三象限及坐标轴时，则
由 得： ，
∴满足题意的点有 ，
共9个；
当个点P在第四象限及坐标轴时，则
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由 得： ，
∴满足题意的有： 共6个，
∴ 共计36个，
故答案为：36．
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