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北京市回民学校 22—23 学年度第二学期期中练习（23 年 4 月）初一
数学
一、选择题（本大题共8小题）
1. 下列实数哪个不是无理数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数的定义逐项判定即可得出答案．
【详解】解：A. 是无理数，故本选不项符合题意；
是
B. 无理数，故本选项不符合题意；
C. 是无理数，故本选项不符合题意；
D. ，2是有理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握能化成无限不循环小数的是无理数是解题的关键．
2. 在平面直角坐标系中，把点 向下平移3个单位，所得点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点坐标平移的性质，把点 横坐标保持不变，纵坐标减3即可求解．
【详解】解：把点 向下平移3个单位，即横坐标保持不变，纵坐标减3，故把点 向下
平移3个单位后所得的点的坐标是 ．
故选：D．【点睛】此题考查了点坐标的平移问题，解题的关键是点坐标平移的性质．
3. 下列计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用算术平方根的性质和立方根的性质依次分析即可．
【详解】A选项正确；
B选项的计算结果为4，所以错误；
C选项 ，所以错误；
D选项的计算结果为2，所以错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根的性质和立方根的性质，解题关键是牢记概念．
为
4. 点M(m+2，m-5)在 轴上，则点 坐标 （ ）．
A. （0，-7） B. （2，0） C. （7，0） D. （0，7）
【答案】C
【解析】
【分析】根据x轴上点的坐标的性质得出纵坐标为0，求出m的值，进而求出M的坐标．
【详解】解：∵点M(m+2，m-5)在 轴上
∴m-5=0
解得m=5
∴m+2=5+2=7
∴点M的坐标为(7,0)．
故选C．
【点睛】本题主要考查了点的坐标性质．根据x轴上点的坐标的性质得出纵坐标为0是解题的关键．
5. 用加减法解方程组 时，若要求消去 ，则应（ ）
A. ①×3+②×2 B. ①×3-②×2 C. ①×5+②×3 D. ①×5-②×3
【答案】C
【解析】
【分析】利用加减消元法①×5+②×3消去y即可．【详解】用加减法解方程组 时，若要求消去y，则应①×5+②×3，
故选C
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
6. 一个有理数的平方等于 ，则这个数是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一个数a，如果 ，那么a就叫做b的平方根求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴36的平方根为6或-6，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键在于能够熟练掌握平方根的定义．
7. 如图，下列条件中，能判断 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故①选项符合题意；
∵ ，
∴ ，
故②选项不符合题意；
∵ ，
∴ ，
故③选项不符合题意；
∵ ，不能判定 ，
故④选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关
键．
8. 如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角 与折射角 的度数比为
．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分
别为 ， ，在液体中两条折射光线的夹角为 ，则 ， ， 三者之间的数量关系为（ ）
A. B.C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点B、D、F分别作水平线的垂线，则 ，根据平行线的性质与光的折射原理即可
得到答案
【详解】如图：过点B、D、F分别作水平线的垂线，则
由题知
即：
即
故选B
【点睛】本题考查了平行线的性质，光学原理，读懂题并熟练掌握平行线的性质是关键．
二、填空题（本大题共8小题）
9. 有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为 ，请你把这个英文单
词写出来_________________．【答案】BOOK
【解析】
【分析】根据每一个点的坐标确定其对应的位置，最后写出答案即可．
【详解】解：（2，1）对应的字母是B，
（1，3）对应的字母是O，
（1，3）对应的字母是O，
（4，2）对应的字母是K．
故答案为：BOOK．
【点睛】本题考查了坐标位置的确定，熟记有序数对的规定，找出各点的对应字母是解题的关键．
10. 如图，将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A放在数轴原点上，若将圆沿数轴正方向滚动一周，
点A恰好与点 重合，则点 对应的数是____．（填“有理数”或“无理数”）
【答案】无理数
【解析】
【分析】根据点A移动的距离是圆的周长，求出点 表示的数，然后判断即可．
【详解】解：∵将直径为1个单位长度的圆形纸片上的点A放在数轴原点上，若将圆沿数轴正方向滚动一
周，点A恰好与点 重合，
∴ 的距离为圆的周长 ，
∴点 表示的数为 ，是无理数；
故答案为：无理数．
【点睛】本题考查实数与数轴，确定点 表示的数是解答本题的关键．
11. 比较大小：①6____ ；② ____
【答案】 ①. ②.【解析】
【分析】实数比较大小，化简成相同的形式再比较大小.
【详解】（1） ，∴
（2） ，∴
【点睛】两个正数的算术平方根比较大小，较大的数的算术平方根更大.
12. 已知点 在第二象限，且 ， ，点 的坐标是__．
【答案】
【解析】
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数确定出 、 的值，然后写出点的坐标即可．
【详解】解： 点 在第二象限，且 ， ，
， ，
点 的坐标为 ．
为
故答案 ： ．
【点睛】本题考查了点的坐标的确定与意义，点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，到y轴的距离是其横
坐标的绝对值．点在第二象限，即在y轴左侧，在x轴的上侧，横坐标为负，纵坐标为正．
13. 将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为：_______．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】先确定命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式．
【详解】解：原命题的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，
∴将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点睛】此题考查了将命题写成“如果…那么…” 的形式，“如果”后面是命题的题设，“那么”后
面是命题的结论，解题的关键是找到相应的题设和结论，比较简单．
14. 二元一次方程2x－y＝10，当x＝______时，y＝5；当x＝5，y＝______．【答案】 ①. 7.5； ②. 0．
【解析】
【分析】把y=5代入方程2x－y＝10即可求出对应的x的值，把x=5代入程2x－y＝10，得10-y=10,解出方
程，求出y的值即可.
【详解】解：把y=5代入方程2x－y＝10，得2x-5=10,解得x=7.5，把x=5代入程2x－y＝10，得10-y=10,
解得y=0，
故答案为 7.5； 0．
【点睛】本题考查了解方程以及方程的解，正确代入方程求解是解题的关键.
15. 如图a，ABCD是长方形纸带 ， ，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成
图c，则图c中的 的度数是__________．
【答案】120°##120度
【解析】
【分析】由平行线的性质知∠DEF＝∠EFB＝20°，进而得到图b中∠GFC＝140°，依据图c中的∠CFE＝
∠GFC﹣∠EFG进行计算．
【详解】解：∵ ，
∴∠DEF＝∠EFB＝20°，
在图b中∠GFC＝180°﹣2∠EFG＝140°，
在图c中∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝120°．
故答案为：120°．
【点睛】此题考查平行线的性质，图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对
称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
16. 数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？老师说这个证明可以用反证
法完成，思路及过程如下：
如图1，我们想要证明“如果直线 ， 被直线 所截， ，那么 ”小贴士
反证法不是直接从命题的已知得出结
论，而是假设命题的结论不成立，由此
经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假
设不正确，从而得到原命题成立．
在某些情形下，反证法是很有效的证明
方法。
如图2，
假设 ，过点 作直线 ，使 ，
依据基本事实（1）___________，
可得 ．这样过点 就有两条直线 ， 都平行于直线 ，
这与基本事实（2）___________矛盾
说明 的假设是不对的，于是有 ．
【答案】 ①. 同位角相等，两直线平行 ②. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理和平行公理解答即可．
【详解】解：假设 ，过点 作直线 ，使 ，
依据基本事实同位角相等，两直线平行，
可得 ．这样过点 就有两条直线 ， 都平行于直线 ，
这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，
说明 的假设是不对的，于是有 ．
故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【点睛】本题考查的是反证法，熟记平行线的判定定理和平行公理是解题的关键．
三、计算题17. 按要求计算下列各题
（1）计算： ；
（2）已知 ，则 的算术平方根；
（3）已知 ，求x的值；
（4）已知 ，求x的值．
【答案】（1）
（2）4 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）先根据绝对值、算术平方根、立方根的知识化简，然后再结束即可；
（2）先根据算术平方根的非负性求得a、b的值，然后再代入 求出其算术平方根即可；
（3）先求出 ，然后再运用平方根解方程即可解答；
（4）运用平方根解方程即可解答．
【小问1详解】
解： ，
，
．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 的算术平方根是4．
【小问3详解】
解： ，
，
∴ ．
【小问4详解】
解： ，
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、算术平方根的非负性、立方根、运用平方根解方程等知识点，
灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
18. 解下列方程组：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．【小问1详解】
解： ，
得， ，解得 ，
将 代入①得， ，解得 ，
∴方程组的解为 ．
【小问2详解】
解： ，
得， ，解得 ，
将 代入②得， ，解得 ，
∴方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组．解题的关键在于熟练掌握加减消元法并正确的运算．
四、解答题
19. 作图并回答问题：已知，如图，点P在 的边 上．
（1）过点P作 边的垂线l；
（2）过点P作 边的垂线段 ；（3）过点O作 的平行线交l于点E，比较 ， ， 三条线段的大小，并用“>”连接得
___________，得此结论的依据是_____________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） ，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短
【解析】
【分析】（1）按照要求作出垂线，即可；
（2）再作出垂线段，即可；
（3）作出平行线，再根据垂线段最短比较即可解答．
【小问1详解】
如图所示．
【小问2详解】
如图所示．
【小问3详解】
如图所示．OE＞OP，OP＞PD，
所以 ，理论根据是“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”．
故答案为： ，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了作垂线和平行线以及垂线段的性质，掌握过一点作直线的垂线和平行线的方法是
解题的关键．
20. 完成下面的证明：
已知：如图， ，CD平分 ，EF平分 ．
求证： ．
证明：∵ ，
∴ ___________（ ）．
∵CD平分 ，EF平分 ，
∴∠1=__________，∠2=_________．
∴∠___________=∠_____________．
∴ （___________________________）．【答案】DEB；两直线平行，同位角相等； ∠ACB； ∠DEB；1；2；同位角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠1＝∠2，进而判定CD∥EF．
【详解】证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEB（两直线平行，同位角相等），
∵CD平分∠ACB．EF平分∠DEB，
∴∠1 ∠ACB，∠2 ∠DEB，
∴∠1＝∠2，
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：DEB；两直线平行，同位角相等； ∠ACB； ∠DEB；1；2；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；
平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
21. 如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝55°，求∠2的度数．
【答案】70°
【解析】
【分析】根据平行线的性质的∠ABC＝∠1＝55°，∠ABD+∠BDC＝180°，根据角平分线的定义得到∠ABD＝
2∠ABC＝110°，再求出 的度数，根据对顶角相等即可求得答案．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠1＝55°，∠ABD+∠BDC＝180°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABC＝110°，
∴ ，
∴∠2＝∠BDC＝70°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
22. 利用方程（组）解决问题：“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及
《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的
教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．某学校计划分阶
段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读．已知用1300元购买《孟子》和《论语》各
20本，《孟子》的单价比《论语》的单价少15元．求购买《孟子》和《论语》这两种书的单价各是多少
元？
【答案】《孟子》单价为25元，《论语》单价为40元
【解析】
【分析】有两个未知数，故根据已知条件建立二元一次方程
【详解】解：设《孟子》单价为x元，《论语》单价为y元，
据题意得：
解得：
故《孟子》单价为25元，《论语》单价为40元
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，建立等量关系是关键．
23. 如图，建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为 和 ，并过点B作 轴于
点C．
（1）按照要求画出图形，并写出点C的坐标__________；（2）若线段 是由线段 平移得到的，点A的对应点是C，画出图形，并写出一种由线段 得到线
段 的过程__________________；
（3）请写出以A，B，C为顶点的三角形的面积____________；
（4）点E的坐标 ，满足 ，且三角形 的面积与三角形 的面积相同，请直接写出
点E的坐标__________．
【答案】（1）作图见解析，
（2）作图见解析，先向下平移1个单位，然后向左平移3个单位
（3）3 （4） 或
【解析】
【分析】（1）根据 坐标确定平面直角坐标系如图1，由 轴于点 ，可得 点坐标；
（2）根据平移的性质作图如图2,并写出平移过程即可；
（3）由题意知， ，计算求解即可；
（4）由题意设 ，则 ，根据 ，即 ，
求解 的值，进而可得 点坐标．
【小问1详解】
解：画图如图1，
由题意知， 点坐标为 ，故答案为：
【小问2详解】
解：画图如图2，
由题意知，线段 得到线段 的过程为先向下平移1个单位，然后向左平移3个单位，
故答案为：先向下平移1个单位，然后向左平移3个单位；
【小问3详解】
解：由题意知， ，
故答案为：3
【小问4详解】
解：由题意设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 或 ，
∴ 点坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，平移，一次函数与几何综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练
掌握与灵活运用．
24. 对于平面直角坐标系 中的图形G和点P，给出如下定义：将图形G沿上、下、左、右四个方向中的任意一个方向平移一次，平移距离小于或者等于1个单位长度，平移后的图形记为 ，若点P在图形
上，则称点P为图形G的稳定点，例如，当图形G为点 时，点 都是图形G
的稳定点．
（1）已知点 ．
①在点 中，线段 的稳定点是___________．
②若将线段 向上平移t个单位长度，使得点 或者点 为线段 的稳定点，写出t的取值
范围___________．
（2）边长为a的正方形，一个顶点是原点O，相邻两边分别在x轴、y轴的正半轴上，这个正方形及其内
部记为图形G．若以 为端点的线段上的所有点都是这个图形G的稳定点，直接写出a的最小值
___________．
【答案】（1）① ， ；②0≤t≤2或4≤t≤6；
（2）3
【解析】
【分析】（1）①画出图形，根据稳定点的定义即可判断；
②画出图形，利用图象法解决问题即可；
（2）画出图形利用图象法解决问题即可．
【小问1详解】
解：①如图1中，观察图象，根据图形G的稳定点的定义可知： ， 是线段AB的稳定点．
故答案为： ， ；
②如图2中，
的
观察图象可知当0≤t≤2或4≤t≤6时，点E（0，1）或者点F（0，5）为线段AB 稳定点．
故答案为：0≤t≤2或4≤t≤6；
【小问2详解】
解：如图3中，正方形OABC的边长为a，P（0，2），Q（4，0），观察图象可知当3≤a时，线段PQ上的点都是图形G的稳定点．
∴a的最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，图形稳定点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图
象法解决问题．
